Theorem ishmeo 23724

Description: The predicate F is a homeomorphism between topology 𝐽 and topology 𝐾. Criterion of [BourbakiTop1] p. I.2. (Contributed by FL, 14-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ishmeo	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))

Proof of Theorem ishmeo

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnveq 5828	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ◡𝑓 = ◡𝐹)
2	1	eleq1d 2821	. 2 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (◡𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))
3		hmeofval 23723	. 2 ⊢ (𝐽Homeo𝐾) = {𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∣ ◡𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)}
4	2, 3	elrab2 3637	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ^◡ccnv 5630  (class class class)co 7367   Cn ccn 23189  Homeochmeo 23718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-map 8775  df-top 22859  df-topon 22876  df-cn 23192  df-hmeo 23720

This theorem is referenced by:  hmeocn  23725  hmeocnvcn  23726  hmeocnv  23727  hmeores  23736  hmeoco  23737  idhmeo  23738  indishmph  23763  cmphaushmeo  23765  ordthmeo  23767  txhmeo  23768  txswaphmeo  23770  pt1hmeo  23771  ptunhmeo  23773  xkohmeo  23780  qtopf1  23781  qtophmeo  23782  grpinvhmeo  24051  tgplacthmeo  24068  cncfcnvcn  24892  icchmeo  24908  cnrehmeo  24920  cnheiborlem  24921  ismtyhmeo  38126