MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ishmeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ishmeo 23925
Description: The predicate F is a homeomorphism between topology 𝐽 and topology 𝐾. Criterion of [BourbakiTop1] p. I.2. (Contributed by FL, 14-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ishmeo (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))

Proof of Theorem ishmeo
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnveq 5859 . . 3 (𝑓 = 𝐹𝑓 = 𝐹)
21eleq1d 2848 . 2 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))
3 hmeofval 23924 . 2 (𝐽Homeo𝐾) = {𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∣ 𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)}
42, 3elrab2 3654 1 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))
Colors of variables:    wff setvar class
This proof depends on syntax axioms:  wb 209  wa 400   = wceq 1570  wcel 2143  ccnv 5660  (class class class)co 7410   Cn ccn 23390  Homeochmeo 23919
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732
This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-map 8822  df-top 23060  df-topon 23077  df-cn 23393  df-hmeo 23921
This theorem is used by:  hmeocn  23926  hmeocnvcn  23927  hmeocnv  23928  hmeores  23937  hmeoco  23938  idhmeo  23939  indishmph  23964  cmphaushmeo  23966  ordthmeo  23968  txhmeo  23969  txswaphmeo  23971  pt1hmeo  23972  ptunhmeo  23974  xkohmeo  23981  qtopf1  23982  qtophmeo  23983  grpinvhmeo  24252  tgplacthmeo  24269  cncfcnvcn  25093  icchmeo  25109  cnrehmeo  25121  cnheiborlem  25122  ismtyhmeo  38484
  Copyright terms: Public domain W3C validator