Theorem ishmeo 23697

Description: The predicate F is a homeomorphism between topology 𝐽 and topology 𝐾. Criterion of [BourbakiTop1] p. I.2. (Contributed by FL, 14-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ishmeo	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))

Proof of Theorem ishmeo

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnveq 5853	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ◡𝑓 = ◡𝐹)
2	1	eleq1d 2819	. 2 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (◡𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))
3		hmeofval 23696	. 2 ⊢ (𝐽Homeo𝐾) = {𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∣ ◡𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)}
4	2, 3	elrab2 3674	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ^◡ccnv 5653  (class class class)co 7405   Cn ccn 23162  Homeochmeo 23691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8842  df-top 22832  df-topon 22849  df-cn 23165  df-hmeo 23693

This theorem is referenced by:  hmeocn  23698  hmeocnvcn  23699  hmeocnv  23700  hmeores  23709  hmeoco  23710  idhmeo  23711  indishmph  23736  cmphaushmeo  23738  ordthmeo  23740  txhmeo  23741  txswaphmeo  23743  pt1hmeo  23744  ptunhmeo  23746  xkohmeo  23753  qtopf1  23754  qtophmeo  23755  grpinvhmeo  24024  tgplacthmeo  24041  cncfcnvcn  24870  icchmeo  24889  icchmeoOLD  24890  cnrehmeo  24902  cnrehmeoOLD  24903  cnheiborlem  24904  ismtyhmeo  37829