Theorem ishmeo 22818

Description: The predicate F is a homeomorphism between topology 𝐽 and topology 𝐾. Criterion of [BourbakiTop1] p. I.2. (Contributed by FL, 14-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ishmeo	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))

Proof of Theorem ishmeo

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnveq 5771	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ◡𝑓 = ◡𝐹)
2	1	eleq1d 2823	. 2 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (◡𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))
3		hmeofval 22817	. 2 ⊢ (𝐽Homeo𝐾) = {𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∣ ◡𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)}
4	2, 3	elrab2 3620	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ^◡ccnv 5579  (class class class)co 7255   Cn ccn 22283  Homeochmeo 22812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-map 8575  df-top 21951  df-topon 21968  df-cn 22286  df-hmeo 22814

This theorem is referenced by:  hmeocn  22819  hmeocnvcn  22820  hmeocnv  22821  hmeores  22830  hmeoco  22831  idhmeo  22832  indishmph  22857  cmphaushmeo  22859  ordthmeo  22861  txhmeo  22862  txswaphmeo  22864  pt1hmeo  22865  ptunhmeo  22867  xkohmeo  22874  qtopf1  22875  qtophmeo  22876  grpinvhmeo  23145  tgplacthmeo  23162  cncfcnvcn  23994  icchmeo  24010  cnrehmeo  24022  cnheiborlem  24023  ismtyhmeo  35890