Theorem ishmeo 23705

Description: The predicate F is a homeomorphism between topology 𝐽 and topology 𝐾. Criterion of [BourbakiTop1] p. I.2. (Contributed by FL, 14-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ishmeo	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))

Proof of Theorem ishmeo

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnveq 5822	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ◡𝑓 = ◡𝐹)
2	1	eleq1d 2821	. 2 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (◡𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))
3		hmeofval 23704	. 2 ⊢ (𝐽Homeo𝐾) = {𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∣ ◡𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)}
4	2, 3	elrab2 3649	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ^◡ccnv 5623  (class class class)co 7358   Cn ccn 23170  Homeochmeo 23699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8767  df-top 22840  df-topon 22857  df-cn 23173  df-hmeo 23701

This theorem is referenced by:  hmeocn  23706  hmeocnvcn  23707  hmeocnv  23708  hmeores  23717  hmeoco  23718  idhmeo  23719  indishmph  23744  cmphaushmeo  23746  ordthmeo  23748  txhmeo  23749  txswaphmeo  23751  pt1hmeo  23752  ptunhmeo  23754  xkohmeo  23761  qtopf1  23762  qtophmeo  23763  grpinvhmeo  24032  tgplacthmeo  24049  cncfcnvcn  24877  icchmeo  24896  icchmeoOLD  24897  cnrehmeo  24909  cnrehmeoOLD  24910  cnheiborlem  24911  ismtyhmeo  38008