HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  idunop Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem idunop 31226
Description: The identity function (restricted to Hilbert space) is a unitary operator. (Contributed by NM, 21-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
idunop ( I โ†พ โ„‹) โˆˆ UniOp
Proof of Theorem idunop
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 6871 . . 3 ( I โ†พ โ„‹): โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹
2 f1ofo 6840 . . 3 (( I โ†พ โ„‹): โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹ โ†’ ( I โ†พ โ„‹): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹)
31, 2ax-mp 5 . 2 ( I โ†พ โ„‹): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹
4 fvresi 7170 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
5 fvresi 7170 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฆ)
64, 5oveqan12d 7427 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฅ) ยทih (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ))
76rgen2 3197 . 2 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฅ) ยทih (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)
8 elunop 31120 . 2 (( I โ†พ โ„‹) โˆˆ UniOp โ†” (( I โ†พ โ„‹): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฅ) ยทih (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
93, 7, 8mpbir2an 709 1 ( I โ†พ โ„‹) โˆˆ UniOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061   I cid 5573   โ†พ cres 5678  โ€“ontoโ†’wfo 6541  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6542  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   โ„‹chba 30167   ยทih csp 30170  UniOpcuo 30197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-hilex 30247
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-unop 31091
This theorem is referenced by:  idlnop  31240
  Copyright terms: Public domain W3C validator