HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  idunop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idunop 30969
Description: The identity function (restricted to Hilbert space) is a unitary operator. (Contributed by NM, 21-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
idunop ( I โ†พ โ„‹) โˆˆ UniOp

Proof of Theorem idunop
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 6826 . . 3 ( I โ†พ โ„‹): โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹
2 f1ofo 6795 . . 3 (( I โ†พ โ„‹): โ„‹โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹ โ†’ ( I โ†พ โ„‹): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹)
31, 2ax-mp 5 . 2 ( I โ†พ โ„‹): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹
4 fvresi 7123 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
5 fvresi 7123 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฆ)
64, 5oveqan12d 7380 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฅ) ยทih (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ))
76rgen2 3191 . 2 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฅ) ยทih (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)
8 elunop 30863 . 2 (( I โ†พ โ„‹) โˆˆ UniOp โ†” (( I โ†พ โ„‹): โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฅ) ยทih (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
93, 7, 8mpbir2an 710 1 ( I โ†พ โ„‹) โˆˆ UniOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061   I cid 5534   โ†พ cres 5639  โ€“ontoโ†’wfo 6498  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6499  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โ„‹chba 29910   ยทih csp 29913  UniOpcuo 29940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-hilex 29990
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-unop 30834
This theorem is referenced by:  idlnop  30983
  Copyright terms: Public domain W3C validator