HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  elunop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elunop 30643
Description: Property defining a unitary Hilbert space operator. (Contributed by NM, 18-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elunop (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†” (๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘‡

Proof of Theorem elunop
Dummy variable ๐‘ก is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3461 . 2 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ ๐‘‡ โˆˆ V)
2 fof 6753 . . . 4 (๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
3 ax-hilex 29770 . . . 4 โ„‹ โˆˆ V
4 fex 7172 . . . 4 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โ„‹ โˆˆ V) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ V)
52, 3, 4sylancl 586 . . 3 (๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ V)
65adantr 481 . 2 ((๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ V)
7 foeq1 6749 . . . 4 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (๐‘ก: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โ†” ๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹))
8 fveq1 6838 . . . . . . 7 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (๐‘กโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))
9 fveq1 6838 . . . . . . 7 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (๐‘กโ€˜๐‘ฆ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))
108, 9oveq12d 7369 . . . . . 6 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
1110eqeq1d 2739 . . . . 5 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†” ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
12112ralbidv 3210 . . . 4 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
137, 12anbi12d 631 . . 3 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘ก: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ))))
14 df-unop 30614 . . 3 UniOp = {๐‘ก โˆฃ (๐‘ก: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ))}
1513, 14elab2g 3630 . 2 (๐‘‡ โˆˆ V โ†’ (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†” (๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ))))
161, 6, 15pm5.21nii 379 1 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†” (๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3062  Vcvv 3443  โŸถwf 6489  โ€“ontoโ†’wfo 6491  โ€˜cfv 6493  (class class class)co 7351   โ„‹chba 29690   ยทih csp 29693  UniOpcuo 29720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382  ax-hilex 29770
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-unop 30614
This theorem is referenced by:  unop  30686  unopf1o  30687  cnvunop  30689  counop  30692  idunop  30749  lnopunii  30783  elunop2  30784
  Copyright terms: Public domain W3C validator