HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  0cnop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0cnop 30327
Description: The identically zero function is a continuous Hilbert space operator. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0cnop 0hop ∈ ContOp

Proof of Theorem 0cnop
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ho0f 30099 . 2 0hop : ℋ⟶ ℋ
2 1rp 12722 . . . 4 1 ∈ ℝ+
3 ho0val 30098 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℋ → ( 0hop𝑤) = 0)
4 ho0val 30098 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ( 0hop𝑥) = 0)
53, 4oveqan12rd 7288 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (( 0hop𝑤) − ( 0hop𝑥)) = (0 0))
65adantlr 712 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (( 0hop𝑤) − ( 0hop𝑥)) = (0 0))
7 ax-hv0cl 29351 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℋ
8 hvsubid 29374 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℋ → (0 0) = 0)
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0 0) = 0
106, 9eqtrdi 2794 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (( 0hop𝑤) − ( 0hop𝑥)) = 0)
1110fveq2d 6771 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (norm‘(( 0hop𝑤) − ( 0hop𝑥))) = (norm‘0))
12 norm0 29476 . . . . . . . 8 (norm‘0) = 0
1311, 12eqtrdi 2794 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (norm‘(( 0hop𝑤) − ( 0hop𝑥))) = 0)
14 rpgt0 12730 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑦)
1514ad2antlr 724 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 0 < 𝑦)
1613, 15eqbrtrd 5096 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (norm‘(( 0hop𝑤) − ( 0hop𝑥))) < 𝑦)
1716a1d 25 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 1 → (norm‘(( 0hop𝑤) − ( 0hop𝑥))) < 𝑦))
1817ralrimiva 3113 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 1 → (norm‘(( 0hop𝑤) − ( 0hop𝑥))) < 𝑦))
19 breq2 5078 . . . . 5 (𝑧 = 1 → ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 ↔ (norm‘(𝑤 𝑥)) < 1))
2019rspceaimv 3565 . . . 4 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 1 → (norm‘(( 0hop𝑤) − ( 0hop𝑥))) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (norm‘(( 0hop𝑤) − ( 0hop𝑥))) < 𝑦))
212, 18, 20sylancr 587 . . 3 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (norm‘(( 0hop𝑤) − ( 0hop𝑥))) < 𝑦))
2221rgen2 3127 . 2 𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (norm‘(( 0hop𝑤) − ( 0hop𝑥))) < 𝑦)
23 elcnop 30205 . 2 ( 0hop ∈ ContOp ↔ ( 0hop : ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (norm‘(( 0hop𝑤) − ( 0hop𝑥))) < 𝑦)))
241, 22, 23mpbir2an 708 1 0hop ∈ ContOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  wrex 3065   class class class wbr 5074  wf 6423  cfv 6427  (class class class)co 7268  0cc0 10859  1c1 10860   < clt 10997  +crp 12718  chba 29267  normcno 29271  0c0v 29272   cmv 29273   0hop ch0o 29291  ContOpccop 29294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-inf2 9387  ax-cc 10179  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936  ax-pre-sup 10937  ax-addf 10938  ax-mulf 10939  ax-hilex 29347  ax-hfvadd 29348  ax-hvcom 29349  ax-hvass 29350  ax-hv0cl 29351  ax-hvaddid 29352  ax-hfvmul 29353  ax-hvmulid 29354  ax-hvmulass 29355  ax-hvdistr1 29356  ax-hvdistr2 29357  ax-hvmul0 29358  ax-hfi 29427  ax-his1 29430  ax-his2 29431  ax-his3 29432  ax-his4 29433  ax-hcompl 29550
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-se 5541  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-isom 6436  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-supp 7966  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-2o 8286  df-oadd 8289  df-omul 8290  df-er 8486  df-map 8605  df-pm 8606  df-ixp 8674  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-fsupp 9117  df-fi 9158  df-sup 9189  df-inf 9190  df-oi 9257  df-card 9685  df-acn 9688  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-div 11621  df-nn 11962  df-2 12024  df-3 12025  df-4 12026  df-5 12027  df-6 12028  df-7 12029  df-8 12030  df-9 12031  df-n0 12222  df-z 12308  df-dec 12426  df-uz 12571  df-q 12677  df-rp 12719  df-xneg 12836  df-xadd 12837  df-xmul 12838  df-ioo 13071  df-ico 13073  df-icc 13074  df-fz 13228  df-fzo 13371  df-fl 13500  df-seq 13710  df-exp 13771  df-hash 14033  df-cj 14798  df-re 14799  df-im 14800  df-sqrt 14934  df-abs 14935  df-clim 15185  df-rlim 15186  df-sum 15386  df-struct 16836  df-sets 16853  df-slot 16871  df-ndx 16883  df-base 16901  df-ress 16930  df-plusg 16963  df-mulr 16964  df-starv 16965  df-sca 16966  df-vsca 16967  df-ip 16968  df-tset 16969  df-ple 16970  df-ds 16972  df-unif 16973  df-hom 16974  df-cco 16975  df-rest 17121  df-topn 17122  df-0g 17140  df-gsum 17141  df-topgen 17142  df-pt 17143  df-prds 17146  df-xrs 17201  df-qtop 17206  df-imas 17207  df-xps 17209  df-mre 17283  df-mrc 17284  df-acs 17286  df-mgm 18314  df-sgrp 18363  df-mnd 18374  df-submnd 18419  df-mulg 18689  df-cntz 18911  df-cmn 19376  df-psmet 20577  df-xmet 20578  df-met 20579  df-bl 20580  df-mopn 20581  df-fbas 20582  df-fg 20583  df-cnfld 20586  df-top 22031  df-topon 22048  df-topsp 22070  df-bases 22084  df-cld 22158  df-ntr 22159  df-cls 22160  df-nei 22237  df-cn 22366  df-cnp 22367  df-lm 22368  df-haus 22454  df-tx 22701  df-hmeo 22894  df-fil 22985  df-fm 23077  df-flim 23078  df-flf 23079  df-xms 23461  df-ms 23462  df-tms 23463  df-cfil 24407  df-cau 24408  df-cmet 24409  df-grpo 28841  df-gid 28842  df-ginv 28843  df-gdiv 28844  df-ablo 28893  df-vc 28907  df-nv 28940  df-va 28943  df-ba 28944  df-sm 28945  df-0v 28946  df-vs 28947  df-nmcv 28948  df-ims 28949  df-dip 29049  df-ssp 29070  df-ph 29161  df-cbn 29211  df-hnorm 29316  df-hba 29317  df-hvsub 29319  df-hlim 29320  df-hcau 29321  df-sh 29555  df-ch 29569  df-oc 29600  df-ch0 29601  df-shs 29656  df-pjh 29743  df-h0op 30096  df-cnop 30188
This theorem is referenced by:  cnlnadjeu  30426
  Copyright terms: Public domain W3C validator