Theorem indconst1 12222

Description: Indicator of the whole set. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
indconst1	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂)‘𝑂) = (𝑂 × {1}))

Proof of Theorem indconst1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3961	. . 3 ⊢ 𝑂 ⊆ 𝑂
2		indval2 12214	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝑂) = ((𝑂 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝑂) × {0})))
3	1, 2	mpan2 703	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂)‘𝑂) = ((𝑂 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝑂) × {0})))
4		difid 4332	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∖ 𝑂) = ∅
5	4	xpeq1i 5678	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∖ 𝑂) × {0}) = (∅ × {0})
6		0xp 5751	. . . . 5 ⊢ (∅ × {0}) = ∅
7	5, 6	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∖ 𝑂) × {0}) = ∅
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝑂 ∖ 𝑂) × {0}) = ∅)
9	8	uneq2d 4124	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝑂 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝑂) × {0})) = ((𝑂 × {1}) ∪ ∅))
10		un0 4351	. . 3 ⊢ ((𝑂 × {1}) ∪ ∅) = (𝑂 × {1})
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝑂 × {1}) ∪ ∅) = (𝑂 × {1}))
12	3, 9, 11	3eqtrd 2804	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂)‘𝑂) = (𝑂 × {1}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3904   ∪ cun 3905   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  {csn 4585   × cxp 5650  ‘cfv 6525  0cc0 11088  1c1 11089  𝟭cind 12209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ind 12210

This theorem is referenced by:  vieta  33887