Theorem indconst1 12170

Description: Indicator of the whole set. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
indconst1	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂)‘𝑂) = (𝑂 × {1}))

Proof of Theorem indconst1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3944	. . 3 ⊢ 𝑂 ⊆ 𝑂
2		indval2 12162	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝑂) = ((𝑂 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝑂) × {0})))
3	1, 2	mpan2 697	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂)‘𝑂) = ((𝑂 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝑂) × {0})))
4		difid 4311	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∖ 𝑂) = ∅
5	4	xpeq1i 5651	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∖ 𝑂) × {0}) = (∅ × {0})
6		0xp 5724	. . . . 5 ⊢ (∅ × {0}) = ∅
7	5, 6	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∖ 𝑂) × {0}) = ∅
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝑂 ∖ 𝑂) × {0}) = ∅)
9	8	uneq2d 4105	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝑂 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝑂) × {0})) = ((𝑂 × {1}) ∪ ∅))
10		un0 4329	. . 3 ⊢ ((𝑂 × {1}) ∪ ∅) = (𝑂 × {1})
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝑂 × {1}) ∪ ∅) = (𝑂 × {1}))
12	3, 9, 11	3eqtrd 2779	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂)‘𝑂) = (𝑂 × {1}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  {csn 4562   × cxp 5623  ‘cfv 6492  0cc0 11036  1c1 11037  𝟭cind 12157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ind 12158

This theorem is referenced by:  vieta  33771