Theorem indconst1 32847

Description: Indicator of the whole set. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
indconst1	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂)‘𝑂) = (𝑂 × {1}))

Proof of Theorem indconst1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3953	. . 3 ⊢ 𝑂 ⊆ 𝑂
2		indval2 32840	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝑂) = ((𝑂 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝑂) × {0})))
3	1, 2	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂)‘𝑂) = ((𝑂 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝑂) × {0})))
4		difid 4325	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∖ 𝑂) = ∅
5	4	xpeq1i 5645	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∖ 𝑂) × {0}) = (∅ × {0})
6		0xp 5718	. . . . 5 ⊢ (∅ × {0}) = ∅
7	5, 6	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∖ 𝑂) × {0}) = ∅
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝑂 ∖ 𝑂) × {0}) = ∅)
9	8	uneq2d 4117	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝑂 × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ 𝑂) × {0})) = ((𝑂 × {1}) ∪ ∅))
10		un0 4343	. . 3 ⊢ ((𝑂 × {1}) ∪ ∅) = (𝑂 × {1})
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝑂 × {1}) ∪ ∅) = (𝑂 × {1}))
12	3, 9, 11	3eqtrd 2772	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂)‘𝑂) = (𝑂 × {1}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3895   ∪ cun 3896   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  {csn 4575   × cxp 5617  ‘cfv 6486  0cc0 11013  1c1 11014  𝟭cind 32836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ind 32837

This theorem is referenced by: (None)