Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indpi1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indpi1 34001
Description: Preimage of the singleton {1} by the indicator function. See i1f1lem 25738. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
indpi1 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) = 𝐴)

Proof of Theorem indpi1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ind1a 34000 . . . . 5 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑥𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥𝐴))
213expia 1120 . . . 4 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → (𝑥𝑂 → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥𝐴)))
32pm5.32d 577 . . 3 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → ((𝑥𝑂 ∧ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1) ↔ (𝑥𝑂𝑥𝐴)))
4 indf 33996 . . . 4 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
5 ffn 6737 . . . 4 (((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1} → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) Fn 𝑂)
6 fniniseg 7080 . . . 4 (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) Fn 𝑂 → (𝑥 ∈ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) ↔ (𝑥𝑂 ∧ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1)))
74, 5, 63syl 18 . . 3 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → (𝑥 ∈ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) ↔ (𝑥𝑂 ∧ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1)))
8 ssel 3989 . . . . 5 (𝐴𝑂 → (𝑥𝐴𝑥𝑂))
98pm4.71rd 562 . . . 4 (𝐴𝑂 → (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝑂𝑥𝐴)))
109adantl 481 . . 3 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝑂𝑥𝐴)))
113, 7, 103bitr4d 311 . 2 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → (𝑥 ∈ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) ↔ 𝑥𝐴))
1211eqrdv 2733 1 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  {csn 4631  {cpr 4633  ccnv 5688  cima 5692   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  0cc0 11153  1c1 11154  𝟭cind 33991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-ind 33992
This theorem is referenced by:  indf1ofs  34007  eulerpartlemgf  34361
  Copyright terms: Public domain W3C validator