Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indpi1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indpi1 32845
Description: Preimage of the singleton {1} by the indicator function. See i1f1lem 25724. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
indpi1 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) = 𝐴)

Proof of Theorem indpi1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ind1a 32844 . . . . 5 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑥𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥𝐴))
213expia 1122 . . . 4 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → (𝑥𝑂 → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥𝐴)))
32pm5.32d 577 . . 3 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → ((𝑥𝑂 ∧ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1) ↔ (𝑥𝑂𝑥𝐴)))
4 indf 32840 . . . 4 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
5 ffn 6736 . . . 4 (((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1} → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) Fn 𝑂)
6 fniniseg 7080 . . . 4 (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) Fn 𝑂 → (𝑥 ∈ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) ↔ (𝑥𝑂 ∧ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1)))
74, 5, 63syl 18 . . 3 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → (𝑥 ∈ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) ↔ (𝑥𝑂 ∧ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1)))
8 ssel 3977 . . . . 5 (𝐴𝑂 → (𝑥𝐴𝑥𝑂))
98pm4.71rd 562 . . . 4 (𝐴𝑂 → (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝑂𝑥𝐴)))
109adantl 481 . . 3 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝑂𝑥𝐴)))
113, 7, 103bitr4d 311 . 2 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → (𝑥 ∈ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) ↔ 𝑥𝐴))
1211eqrdv 2735 1 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  {csn 4626  {cpr 4628  ccnv 5684  cima 5688   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  0cc0 11155  1c1 11156  𝟭cind 32835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-ind 32836
This theorem is referenced by:  indf1ofs  32851  indsupp  32852  eulerpartlemgf  34381
  Copyright terms: Public domain W3C validator