Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indpi1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indpi1 33809
Description: Preimage of the singleton {1} by the indicator function. See i1f1lem 25701. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
indpi1 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) = 𝐴)

Proof of Theorem indpi1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ind1a 33808 . . . . 5 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑥𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥𝐴))
213expia 1118 . . . 4 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → (𝑥𝑂 → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥𝐴)))
32pm5.32d 575 . . 3 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → ((𝑥𝑂 ∧ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1) ↔ (𝑥𝑂𝑥𝐴)))
4 indf 33804 . . . 4 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
5 ffn 6727 . . . 4 (((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1} → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) Fn 𝑂)
6 fniniseg 7072 . . . 4 (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) Fn 𝑂 → (𝑥 ∈ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) ↔ (𝑥𝑂 ∧ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1)))
74, 5, 63syl 18 . . 3 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → (𝑥 ∈ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) ↔ (𝑥𝑂 ∧ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1)))
8 ssel 3972 . . . . 5 (𝐴𝑂 → (𝑥𝐴𝑥𝑂))
98pm4.71rd 561 . . . 4 (𝐴𝑂 → (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝑂𝑥𝐴)))
109adantl 480 . . 3 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝑂𝑥𝐴)))
113, 7, 103bitr4d 310 . 2 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → (𝑥 ∈ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) ↔ 𝑥𝐴))
1211eqrdv 2723 1 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3946  {csn 4632  {cpr 4634  ccnv 5680  cima 5684   Fn wfn 6548  wf 6549  cfv 6553  0cc0 11154  1c1 11155  𝟭cind 33799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5579  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7426  df-ind 33800
This theorem is referenced by:  indf1ofs  33815  eulerpartlemgf  34169
  Copyright terms: Public domain W3C validator