Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indpi1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indpi1 30680
Description: Preimage of the singleton {1} by the indicator function. See i1f1lem 23893. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
indpi1 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) = 𝐴)

Proof of Theorem indpi1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ind1a 30679 . . . . 5 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑥𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥𝐴))
213expia 1111 . . . 4 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → (𝑥𝑂 → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥𝐴)))
32pm5.32d 572 . . 3 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → ((𝑥𝑂 ∧ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1) ↔ (𝑥𝑂𝑥𝐴)))
4 indf 30675 . . . 4 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
5 ffn 6291 . . . 4 (((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1} → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) Fn 𝑂)
6 fniniseg 6602 . . . 4 (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) Fn 𝑂 → (𝑥 ∈ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) ↔ (𝑥𝑂 ∧ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1)))
74, 5, 63syl 18 . . 3 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → (𝑥 ∈ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) ↔ (𝑥𝑂 ∧ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1)))
8 ssel 3814 . . . . 5 (𝐴𝑂 → (𝑥𝐴𝑥𝑂))
98pm4.71rd 558 . . . 4 (𝐴𝑂 → (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝑂𝑥𝐴)))
109adantl 475 . . 3 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝑂𝑥𝐴)))
113, 7, 103bitr4d 303 . 2 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → (𝑥 ∈ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) ↔ 𝑥𝐴))
1211eqrdv 2775 1 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  wss 3791  {csn 4397  {cpr 4399  ccnv 5354  cima 5358   Fn wfn 6130  wf 6131  cfv 6135  0cc0 10272  1c1 10273  𝟭cind 30670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-ind 30671
This theorem is referenced by:  indf1ofs  30686  eulerpartlemgf  31039
  Copyright terms: Public domain W3C validator