Theorem indpi1 12334

Description: Preimage of the singleton {1} by the indicator function. See i1f1lem 26010. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indpi1	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) = 𝐴)

Proof of Theorem indpi1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ind1a 12331	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
2	1	3expia 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (𝑥 ∈ 𝑂 → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴)))
3	2	pm5.32d 588	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝑥 ∈ 𝑂 ∧ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1) ↔ (𝑥 ∈ 𝑂 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
4		indf 12326	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
5		ffn 6709	. . . 4 ⊢ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1} → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) Fn 𝑂)
6		fniniseg 7059	. . . 4 ⊢ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) Fn 𝑂 → (𝑥 ∈ (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑂 ∧ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1)))
7	4, 5, 6	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (𝑥 ∈ (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑂 ∧ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1)))
8		ssel 3925	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑂))
9	8	pm4.71rd 572	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝑂 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
10	9	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝑂 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
11	3, 7, 10	3bitr4d 314	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (𝑥 ∈ (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
12	11	eqrdv 2759	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  {csn 4584  {cpr 4586  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  0cc0 11200  1c1 11201  𝟭cind 12320

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-ind 12321

This theorem is used by:  indf1ofs  33433  indsupp  33434  eulerpartlemgf  35011