Theorem indpi1 32890

Description: Preimage of the singleton {1} by the indicator function. See i1f1lem 25644. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indpi1	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) = 𝐴)

Proof of Theorem indpi1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ind1a 32887	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
2	1	3expia 1121	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (𝑥 ∈ 𝑂 → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴)))
3	2	pm5.32d 577	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝑥 ∈ 𝑂 ∧ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1) ↔ (𝑥 ∈ 𝑂 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
4		indf 32883	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
5		ffn 6660	. . . 4 ⊢ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1} → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) Fn 𝑂)
6		fniniseg 7003	. . . 4 ⊢ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) Fn 𝑂 → (𝑥 ∈ (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑂 ∧ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1)))
7	4, 5, 6	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (𝑥 ∈ (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑂 ∧ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1)))
8		ssel 3925	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑂))
9	8	pm4.71rd 562	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝑂 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
10	9	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝑂 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
11	3, 7, 10	3bitr4d 311	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (𝑥 ∈ (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
12	11	eqrdv 2732	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3899  {csn 4578  {cpr 4580  ^◡ccnv 5621   “ cima 5625   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  0cc0 11024  1c1 11025  𝟭cind 32878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-ind 32879

This theorem is referenced by:  indf1ofs  32897  indsupp  32898  eulerpartlemgf  34485