Theorem indpi1 32845

Description: Preimage of the singleton {1} by the indicator function. See i1f1lem 25724. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indpi1	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) = 𝐴)

Proof of Theorem indpi1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ind1a 32844	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
2	1	3expia 1122	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (𝑥 ∈ 𝑂 → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴)))
3	2	pm5.32d 577	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝑥 ∈ 𝑂 ∧ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1) ↔ (𝑥 ∈ 𝑂 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
4		indf 32840	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
5		ffn 6736	. . . 4 ⊢ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1} → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) Fn 𝑂)
6		fniniseg 7080	. . . 4 ⊢ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) Fn 𝑂 → (𝑥 ∈ (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑂 ∧ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1)))
7	4, 5, 6	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (𝑥 ∈ (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑂 ∧ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1)))
8		ssel 3977	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑂))
9	8	pm4.71rd 562	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝑂 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
10	9	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝑂 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
11	3, 7, 10	3bitr4d 311	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (𝑥 ∈ (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
12	11	eqrdv 2735	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (◡((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951  {csn 4626  {cpr 4628  ^◡ccnv 5684   “ cima 5688   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  0cc0 11155  1c1 11156  𝟭cind 32835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-ind 32836

This theorem is referenced by:  indf1ofs  32851  indsupp  32852  eulerpartlemgf  34381