Theorem indconst0 12234

Description: Indicator of the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
indconst0	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂)‘∅) = (𝑂 × {0}))

Proof of Theorem indconst0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4357	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝑂
2		indval2 12227	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘∅) = ((∅ × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ ∅) × {0})))
3	1, 2	mpan2 703	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂)‘∅) = ((∅ × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ ∅) × {0})))
4		0xp 5760	. . . 4 ⊢ (∅ × {1}) = ∅
5		dif0 4334	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∖ ∅) = 𝑂
6	5	xpeq1i 5687	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∖ ∅) × {0}) = (𝑂 × {0})
7	4, 6	uneq12i 4120	. . 3 ⊢ ((∅ × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ ∅) × {0})) = (∅ ∪ (𝑂 × {0}))
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((∅ × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ ∅) × {0})) = (∅ ∪ (𝑂 × {0})))
9		0un 4353	. . 3 ⊢ (∅ ∪ (𝑂 × {0})) = (𝑂 × {0})
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (∅ ∪ (𝑂 × {0})) = (𝑂 × {0}))
11	3, 8, 10	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂)‘∅) = (𝑂 × {0}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4589   × cxp 5659  ‘cfv 6536  0cc0 11104  1c1 11105  𝟭cind 12222

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ind 12223

This theorem is used by:  esplyfval0  33963  esplyfval2  33964