Theorem indconst0 12204

Description: Indicator of the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
indconst0	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂)‘∅) = (𝑂 × {0}))

Proof of Theorem indconst0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4353	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝑂
2		indval2 12197	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘∅) = ((∅ × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ ∅) × {0})))
3	1, 2	mpan2 701	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂)‘∅) = ((∅ × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ ∅) × {0})))
4		0xp 5744	. . . 4 ⊢ (∅ × {1}) = ∅
5		dif0 4330	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∖ ∅) = 𝑂
6	5	xpeq1i 5671	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∖ ∅) × {0}) = (𝑂 × {0})
7	4, 6	uneq12i 4119	. . 3 ⊢ ((∅ × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ ∅) × {0})) = (∅ ∪ (𝑂 × {0}))
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((∅ × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ ∅) × {0})) = (∅ ∪ (𝑂 × {0})))
9		0un 4349	. . 3 ⊢ (∅ ∪ (𝑂 × {0})) = (𝑂 × {0})
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (∅ ∪ (𝑂 × {0})) = (𝑂 × {0}))
11	3, 8, 10	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂)‘∅) = (𝑂 × {0}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {csn 4581   × cxp 5643  ‘cfv 6517  0cc0 11070  1c1 11071  𝟭cind 12192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ind 12193

This theorem is referenced by:  esplyfval0  33822  esplyfval2  33823