Theorem indconst0 12258

Description: Indicator of the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
indconst0	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂)‘∅) = (𝑂 × {0}))

Proof of Theorem indconst0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4353	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝑂
2		indval2 12251	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘∅) = ((∅ × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ ∅) × {0})))
3	1, 2	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂)‘∅) = ((∅ × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ ∅) × {0})))
4		0xp 5758	. . . 4 ⊢ (∅ × {1}) = ∅
5		dif0 4330	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∖ ∅) = 𝑂
6	5	xpeq1i 5685	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∖ ∅) × {0}) = (𝑂 × {0})
7	4, 6	uneq12i 4116	. . 3 ⊢ ((∅ × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ ∅) × {0})) = (∅ ∪ (𝑂 × {0}))
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((∅ × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ ∅) × {0})) = (∅ ∪ (𝑂 × {0})))
9		0un 4349	. . 3 ⊢ (∅ ∪ (𝑂 × {0})) = (𝑂 × {0})
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (∅ ∪ (𝑂 × {0})) = (𝑂 × {0}))
11	3, 8, 10	3eqtrd 2801	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂)‘∅) = (𝑂 × {0}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  {csn 4587   × cxp 5657  ‘cfv 6537  0cc0 11128  1c1 11129  𝟭cind 12246

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ind 12247

This theorem is used by:  esplyfval0  34082  esplyfval2  34083