Theorem indconst0 12362

Description: Indicator of the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
indconst0	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂)‘∅) = (𝑂 × {0}))

Proof of Theorem indconst0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4353	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝑂
2		indval2 12355	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘∅) = ((∅ × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ ∅) × {0})))
3	1, 2	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂)‘∅) = ((∅ × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ ∅) × {0})))
4		0xp 5756	. . . 4 ⊢ (∅ × {1}) = ∅
5		dif0 4330	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∖ ∅) = 𝑂
6	5	xpeq1i 5682	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∖ ∅) × {0}) = (𝑂 × {0})
7	4, 6	uneq12i 4168	. . 3 ⊢ ((∅ × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ ∅) × {0})) = (∅ ∪ (𝑂 × {0}))
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((∅ × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ ∅) × {0})) = (∅ ∪ (𝑂 × {0})))
9		0un 4349	. . 3 ⊢ (∅ ∪ (𝑂 × {0})) = (𝑂 × {0})
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (∅ ∪ (𝑂 × {0})) = (𝑂 × {0}))
11	3, 8, 10	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂)‘∅) = (𝑂 × {0}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  {csn 4588   × cxp 5654  ‘cfv 6561  0cc0 11230  1c1 11231  𝟭cind 12350

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ind 12351

This theorem is used by:  esplyfval0  34279  esplyfval2  34280