Theorem indconst0 12248

Description: Indicator of the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
indconst0	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂)‘∅) = (𝑂 × {0}))

Proof of Theorem indconst0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4360	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝑂
2		indval2 12241	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘∅) = ((∅ × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ ∅) × {0})))
3	1, 2	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂)‘∅) = ((∅ × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ ∅) × {0})))
4		0xp 5765	. . . 4 ⊢ (∅ × {1}) = ∅
5		dif0 4337	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∖ ∅) = 𝑂
6	5	xpeq1i 5692	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∖ ∅) × {0}) = (𝑂 × {0})
7	4, 6	uneq12i 4123	. . 3 ⊢ ((∅ × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ ∅) × {0})) = (∅ ∪ (𝑂 × {0}))
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((∅ × {1}) ∪ ((𝑂 ∖ ∅) × {0})) = (∅ ∪ (𝑂 × {0})))
9		0un 4356	. . 3 ⊢ (∅ ∪ (𝑂 × {0})) = (𝑂 × {0})
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (∅ ∪ (𝑂 × {0})) = (𝑂 × {0}))
11	3, 8, 10	3eqtrd 2805	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂)‘∅) = (𝑂 × {0}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 3905   ∪ cun 3906   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  {csn 4594   × cxp 5664  ‘cfv 6543  0cc0 11118  1c1 11119  𝟭cind 12236

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ind 12237

This theorem is used by:  esplyfval0  33985  esplyfval2  33986