Theorem iooinlbub 46655

Description: An open interval has empty intersection with its bounds. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
iooinlbub	⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅

Proof of Theorem iooinlbub

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjr 4407	. 2 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2		elpri 4608	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐵))
3		lbioo 13520	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)
4		eleq1 2852	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
5	3, 4	mtbiri 330	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
6		ubioo 13521	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)
7		eleq1 2852	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
8	6, 7	mtbiri 330	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
9	5, 8	jaoi 871	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
10	2, 9	syl 18	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
11	1, 10	mprgbir 3087	1 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  {cpr 4590  (class class class)co 7430  (,)cioo 13489

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-ioo 13493

This theorem is used by:  iccdifioo  46669  iccdifprioo  46670