Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iooinlbub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iooinlbub 44949
Description: An open interval has empty intersection with its bounds. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
iooinlbub ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅

Proof of Theorem iooinlbub
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 disjr 4445 . 2 (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2 elpri 4647 . . 3 (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐵))
3 lbioo 13387 . . . . 5 ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)
4 eleq1 2813 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
53, 4mtbiri 326 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
6 ubioo 13388 . . . . 5 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)
7 eleq1 2813 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
86, 7mtbiri 326 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
95, 8jaoi 855 . . 3 ((𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
102, 9syl 17 . 2 (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
111, 10mprgbir 3058 1 ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  cin 3938  c0 4318  {cpr 4626  (class class class)co 7416  (,)cioo 13356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-ioo 13360
This theorem is referenced by:  iccdifioo  44963  iccdifprioo  44964
  Copyright terms: Public domain W3C validator