Theorem iooinlbub 44200

Description: An open interval has empty intersection with its bounds. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
iooinlbub	⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅

Proof of Theorem iooinlbub

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjr 4448	. 2 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2		elpri 4649	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐵))
3		lbioo 13351	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)
4		eleq1 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
5	3, 4	mtbiri 326	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
6		ubioo 13352	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)
7		eleq1 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
8	6, 7	mtbiri 326	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
9	5, 8	jaoi 855	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
10	2, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
11	1, 10	mprgbir 3068	1 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3946  ∅c0 4321  {cpr 4629  (class class class)co 7405  (,)cioo 13320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-ioo 13324

This theorem is referenced by:  iccdifioo  44214  iccdifprioo  44215