Theorem iooinlbub 46237

Description: An open interval has empty intersection with its bounds. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
iooinlbub	⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅

Proof of Theorem iooinlbub

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjr 4411	. 2 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2		elpri 4613	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐵))
3		lbioo 13398	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)
4		eleq1 2851	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
5	3, 4	mtbiri 330	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
6		ubioo 13399	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)
7		eleq1 2851	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
8	6, 7	mtbiri 330	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
9	5, 8	jaoi 870	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
10	2, 9	syl 18	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
11	1, 10	mprgbir 3086	1 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∩ cin 3904  ∅c0 4286  {cpr 4591  (class class class)co 7410  (,)cioo 13367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-ioo 13371

This theorem is referenced by:  iccdifioo  46251  iccdifprioo  46252