Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iooinlbub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iooinlbub 40475
Description: An open interval has empty intersection with its bounds. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
iooinlbub ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅

Proof of Theorem iooinlbub
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 disjr 4217 . 2 (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2 elpri 4394 . . 3 (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐵))
3 lbioo 12459 . . . . 5 ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)
4 eleq1 2870 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
53, 4mtbiri 319 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
6 ubioo 12460 . . . . 5 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)
7 eleq1 2870 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
86, 7mtbiri 319 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
95, 8jaoi 884 . . 3 ((𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
102, 9syl 17 . 2 (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
111, 10mprgbir 3112 1 ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wo 874   = wceq 1653  wcel 2157  cin 3772  c0 4119  {cpr 4374  (class class class)co 6882  (,)cioo 12428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2379  ax-ext 2781  ax-sep 4979  ax-nul 4987  ax-pow 5039  ax-pr 5101  ax-un 7187  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2593  df-eu 2611  df-clab 2790  df-cleq 2796  df-clel 2799  df-nfc 2934  df-ne 2976  df-nel 3079  df-ral 3098  df-rex 3099  df-rab 3102  df-v 3391  df-sbc 3638  df-csb 3733  df-dif 3776  df-un 3778  df-in 3780  df-ss 3787  df-nul 4120  df-if 4282  df-pw 4355  df-sn 4373  df-pr 4375  df-op 4379  df-uni 4633  df-iun 4716  df-br 4848  df-opab 4910  df-mpt 4927  df-id 5224  df-po 5237  df-so 5238  df-xp 5322  df-rel 5323  df-cnv 5324  df-co 5325  df-dm 5326  df-rn 5327  df-res 5328  df-ima 5329  df-iota 6068  df-fun 6107  df-fn 6108  df-f 6109  df-f1 6110  df-fo 6111  df-f1o 6112  df-fv 6113  df-ov 6885  df-oprab 6886  df-mpt2 6887  df-1st 7405  df-2nd 7406  df-er 7986  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-pnf 10369  df-mnf 10370  df-xr 10371  df-ltxr 10372  df-ioo 12432
This theorem is referenced by:  iccdifioo  40490  iccdifprioo  40491
  Copyright terms: Public domain W3C validator