Theorem iooinlbub 46512

Description: An open interval has empty intersection with its bounds. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
iooinlbub	⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅

Proof of Theorem iooinlbub

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjr 4404	. 2 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2		elpri 4608	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐵))
3		lbioo 13507	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)
4		eleq1 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
5	3, 4	mtbiri 330	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
6		ubioo 13508	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)
7		eleq1 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
8	6, 7	mtbiri 330	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
9	5, 8	jaoi 871	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
10	2, 9	syl 18	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
11	1, 10	mprgbir 3084	1 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  {cpr 4586  (class class class)co 7420  (,)cioo 13476

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-ioo 13480

This theorem is used by:  iccdifioo  46526  iccdifprioo  46527