Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iooinlbub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iooinlbub 43746
Description: An open interval has empty intersection with its bounds. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
iooinlbub ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅

Proof of Theorem iooinlbub
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 disjr 4410 . 2 (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2 elpri 4609 . . 3 (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐵))
3 lbioo 13296 . . . . 5 ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)
4 eleq1 2826 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
53, 4mtbiri 327 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
6 ubioo 13297 . . . . 5 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)
7 eleq1 2826 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
86, 7mtbiri 327 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
95, 8jaoi 856 . . 3 ((𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
102, 9syl 17 . 2 (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
111, 10mprgbir 3072 1 ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  cin 3910  c0 4283  {cpr 4589  (class class class)co 7358  (,)cioo 13265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-ioo 13269
This theorem is referenced by:  iccdifioo  43760  iccdifprioo  43761
  Copyright terms: Public domain W3C validator