Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limcresiooub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcresiooub 41300
Description: The left limit doesn't change if the function is restricted to a smaller open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcresiooub.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcresiooub.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
limcresiooub.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
limcresiooub.bltc (𝜑𝐵 < 𝐶)
limcresiooub.bcss (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ 𝐴)
limcresiooub.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
limcresiooub.cled (𝜑𝐷𝐵)
Assertion
Ref Expression
limcresiooub (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐶) = ((𝐹 ↾ (𝐷(,)𝐶)) lim 𝐶))

Proof of Theorem limcresiooub
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcresiooub.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
2 limcresiooub.cled . . . . . 6 (𝜑𝐷𝐵)
3 iooss1 12582 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℝ*𝐷𝐵) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐷(,)𝐶))
41, 2, 3syl2anc 576 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐷(,)𝐶))
54resabs1d 5723 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐷(,)𝐶)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) = (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)))
65eqcomd 2778 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) = ((𝐹 ↾ (𝐷(,)𝐶)) ↾ (𝐵(,)𝐶)))
76oveq1d 6985 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐶) = (((𝐹 ↾ (𝐷(,)𝐶)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐶))
8 limcresiooub.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
9 fresin 6370 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (𝐷(,)𝐶)):(𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶))⟶ℂ)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐷(,)𝐶)):(𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶))⟶ℂ)
11 limcresiooub.bcss . . . 4 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ 𝐴)
1211, 4ssind 4091 . . 3 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)))
13 inss2 4088 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ⊆ (𝐷(,)𝐶)
14 ioosscn 41146 . . . . 5 (𝐷(,)𝐶) ⊆ ℂ
1513, 14sstri 3863 . . . 4 (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ⊆ ℂ
1615a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ⊆ ℂ)
17 eqid 2772 . . 3 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
18 eqid 2772 . . 3 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
19 limcresiooub.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
20 limcresiooub.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2120rexrd 10482 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
22 limcresiooub.bltc . . . . 5 (𝜑𝐵 < 𝐶)
23 ubioc1 12599 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐵(,]𝐶))
2419, 21, 22, 23syl3anc 1351 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐵(,]𝐶))
25 ioounsn 12672 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵 < 𝐶) → ((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐶}) = (𝐵(,]𝐶))
2619, 21, 22, 25syl3anc 1351 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐶}) = (𝐵(,]𝐶))
2726fveq2d 6497 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))‘((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐶})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))‘(𝐵(,]𝐶)))
2817cnfldtop 23085 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
29 ovex 7002 . . . . . . . . . 10 (𝐷(,)𝐶) ∈ V
3029inex2 5073 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∈ V
31 snex 5182 . . . . . . . . 9 {𝐶} ∈ V
3230, 31unex 7280 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}) ∈ V
33 resttop 21462 . . . . . . . 8 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) ∈ Top)
3428, 32, 33mp2an 679 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) ∈ Top
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) ∈ Top)
36 pnfxr 10486 . . . . . . . . . . . . . 14 +∞ ∈ ℝ*
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
3819xrleidd 12355 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵𝐵)
3920ltpnfd 12326 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 < +∞)
40 iocssioo 12636 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (𝐵𝐵𝐶 < +∞)) → (𝐵(,]𝐶) ⊆ (𝐵(,)+∞))
4119, 37, 38, 39, 40syl22anc 826 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵(,]𝐶) ⊆ (𝐵(,)+∞))
42 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝑥 = 𝐶)
43 snidg 4465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ {𝐶})
44 elun2 4038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐶 ∈ {𝐶} → 𝐶 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
4520, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
4645adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
4742, 46eqeltrd 2860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
4847adantlr 702 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
49 simpll 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝜑)
5019adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5150adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5221adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
5352adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
54 iocssre 12625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵(,]𝐶) ⊆ ℝ)
5519, 20, 54syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐵(,]𝐶) ⊆ ℝ)
5655sselda 3854 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5756adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
58 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
59 iocgtlb 41154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 < 𝑥)
6050, 52, 58, 59syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 < 𝑥)
6160adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝐵 < 𝑥)
6220ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
63 iocleub 41155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥𝐶)
6450, 52, 58, 63syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥𝐶)
6564adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥𝐶)
66 neqne 2969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 = 𝐶𝑥𝐶)
6766adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥𝐶)
6867necomd 3016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝐶𝑥)
6957, 62, 65, 68leneltd 10586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 < 𝐶)
7051, 53, 57, 61, 69eliood 41150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶))
7112sselda 3854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)))
72 elun1 4037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
7449, 70, 73syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
7548, 74pm2.61dan 800 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
7675ralrimiva 3126 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
77 dfss3 3843 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵(,]𝐶) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
7876, 77sylibr 226 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵(,]𝐶) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
7941, 78ssind 4091 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵(,]𝐶) ⊆ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))
8079sseld 3853 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) → 𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))))
8124adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐵(,]𝐶))
8242, 81eqeltrd 2860 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
8382adantlr 702 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
84 ioossioc 41143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵(,]𝐶)
8519ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
8621ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
87 elinel1 4056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))
8887elioored 41202 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) → 𝑥 ∈ ℝ)
8988ad2antlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
9036a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → +∞ ∈ ℝ*)
9187ad2antlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))
92 ioogtlb 41147 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐵 < 𝑥)
9385, 90, 91, 92syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝐵 < 𝑥)
941ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ*)
95 elinel2 4057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
96 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥 = 𝐶 → ¬ 𝑥 = 𝐶)
97 velsn 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ {𝐶} ↔ 𝑥 = 𝐶)
9896, 97sylnibr 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥 = 𝐶 → ¬ 𝑥 ∈ {𝐶})
99 elunnel2 40659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝐶}) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)))
10095, 98, 99syl2an 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)))
10113, 100sseldi 3852 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐷(,)𝐶))
102101adantll 701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐷(,)𝐶))
103 iooltub 41163 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐷(,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
10494, 86, 102, 103syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 < 𝐶)
10585, 86, 89, 93, 104eliood 41150 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶))
10684, 105sseldi 3852 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
10783, 106pm2.61dan 800 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
108107ex 405 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)))
10980, 108impbid 204 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))))
110109eqrdv 2770 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵(,]𝐶) = ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))
111 retop 23063 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
112111a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
11332a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}) ∈ V)
114 iooretop 23067 . . . . . . . . . 10 (𝐵(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
115114a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
116 elrestr 16548 . . . . . . . . 9 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}) ∈ V ∧ (𝐵(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))
117112, 113, 115, 116syl3anc 1351 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))
118110, 117eqeltrd 2860 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵(,]𝐶) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))
11917tgioo2 23104 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
120119oveq1i 6980 . . . . . . . 8 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
12128a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
122 ioossre 12607 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷(,)𝐶) ⊆ ℝ
12313, 122sstri 3863 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ⊆ ℝ
124123a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ⊆ ℝ)
12520snssd 4610 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝐶} ⊆ ℝ)
126124, 125unssd 4046 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}) ⊆ ℝ)
127 reex 10418 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
128127a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ∈ V)
129 restabs 21467 . . . . . . . . 9 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))
130121, 126, 128, 129syl3anc 1351 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))
131120, 130syl5eq 2820 . . . . . . 7 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))
132118, 131eleqtrd 2862 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵(,]𝐶) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))
133 isopn3i 21384 . . . . . 6 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) ∈ Top ∧ (𝐵(,]𝐶) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))‘(𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))
13435, 132, 133syl2anc 576 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))‘(𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))
13527, 134eqtr2d 2809 . . . 4 (𝜑 → (𝐵(,]𝐶) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))‘((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐶})))
13624, 135eleqtrd 2862 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))‘((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐶})))
13710, 12, 16, 17, 18, 136limcres 24177 . 2 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐷(,)𝐶)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐶) = ((𝐹 ↾ (𝐷(,)𝐶)) lim 𝐶))
1387, 137eqtrd 2808 1 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐶) = ((𝐹 ↾ (𝐷(,)𝐶)) lim 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  wne 2961  wral 3082  Vcvv 3409  cun 3823  cin 3824  wss 3825  {csn 4435   class class class wbr 4923  ran crn 5401  cres 5402  wf 6178  cfv 6182  (class class class)co 6970  cc 10325  cr 10326  +∞cpnf 10463  *cxr 10465   < clt 10466  cle 10467  (,)cioo 12547  (,]cioc 12548  t crest 16540  TopOpenctopn 16541  topGenctg 16557  fldccnfld 20237  Topctop 21195  intcnt 21319   lim climc 24153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-pm 8201  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-fi 8662  df-sup 8693  df-inf 8694  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-q 12156  df-rp 12198  df-xneg 12317  df-xadd 12318  df-xmul 12319  df-ioo 12551  df-ioc 12552  df-icc 12554  df-fz 12702  df-seq 13178  df-exp 13238  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-starv 16426  df-tset 16430  df-ple 16431  df-ds 16433  df-unif 16434  df-rest 16542  df-topn 16543  df-topgen 16563  df-psmet 20229  df-xmet 20230  df-met 20231  df-bl 20232  df-mopn 20233  df-cnfld 20238  df-top 21196  df-topon 21213  df-topsp 21235  df-bases 21248  df-ntr 21322  df-cnp 21530  df-xms 22623  df-ms 22624  df-limc 24157
This theorem is referenced by:  fouriersw  41893
  Copyright terms: Public domain W3C validator