Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limcresiooub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcresiooub 43890
Description: The left limit doesn't change if the function is restricted to a smaller open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcresiooub.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
limcresiooub.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
limcresiooub.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
limcresiooub.bltc (πœ‘ β†’ 𝐡 < 𝐢)
limcresiooub.bcss (πœ‘ β†’ (𝐡(,)𝐢) βŠ† 𝐴)
limcresiooub.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ*)
limcresiooub.cled (πœ‘ β†’ 𝐷 ≀ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
limcresiooub (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐢)) limβ„‚ 𝐢) = ((𝐹 β†Ύ (𝐷(,)𝐢)) limβ„‚ 𝐢))

Proof of Theorem limcresiooub
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcresiooub.d . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ*)
2 limcresiooub.cled . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ≀ 𝐡)
3 iooss1 13300 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≀ 𝐡) β†’ (𝐡(,)𝐢) βŠ† (𝐷(,)𝐢))
41, 2, 3syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡(,)𝐢) βŠ† (𝐷(,)𝐢))
54resabs1d 5969 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐷(,)𝐢)) β†Ύ (𝐡(,)𝐢)) = (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐢)))
65eqcomd 2743 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐢)) = ((𝐹 β†Ύ (𝐷(,)𝐢)) β†Ύ (𝐡(,)𝐢)))
76oveq1d 7373 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐢)) limβ„‚ 𝐢) = (((𝐹 β†Ύ (𝐷(,)𝐢)) β†Ύ (𝐡(,)𝐢)) limβ„‚ 𝐢))
8 limcresiooub.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
9 fresin 6712 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐷(,)𝐢)):(𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢))βŸΆβ„‚)
108, 9syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐷(,)𝐢)):(𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢))βŸΆβ„‚)
11 limcresiooub.bcss . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡(,)𝐢) βŠ† 𝐴)
1211, 4ssind 4193 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡(,)𝐢) βŠ† (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)))
13 inss2 4190 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βŠ† (𝐷(,)𝐢)
14 ioosscn 13327 . . . . 5 (𝐷(,)𝐢) βŠ† β„‚
1513, 14sstri 3954 . . . 4 (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βŠ† β„‚
1615a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βŠ† β„‚)
17 eqid 2737 . . 3 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
18 eqid 2737 . . 3 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}))
19 limcresiooub.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
20 limcresiooub.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
2120rexrd 11206 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
22 limcresiooub.bltc . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 < 𝐢)
23 ubioc1 13318 . . . . 5 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 < 𝐢) β†’ 𝐢 ∈ (𝐡(,]𝐢))
2419, 21, 22, 23syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐡(,]𝐢))
25 ioounsn 13395 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 < 𝐢) β†’ ((𝐡(,)𝐢) βˆͺ {𝐢}) = (𝐡(,]𝐢))
2619, 21, 22, 25syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐡(,)𝐢) βˆͺ {𝐢}) = (𝐡(,]𝐢))
2726fveq2d 6847 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢})))β€˜((𝐡(,)𝐢) βˆͺ {𝐢})) = ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢})))β€˜(𝐡(,]𝐢)))
2817cnfldtop 24150 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
29 ovex 7391 . . . . . . . . . 10 (𝐷(,)𝐢) ∈ V
3029inex2 5276 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) ∈ V
31 snex 5389 . . . . . . . . 9 {𝐢} ∈ V
3230, 31unex 7681 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}) ∈ V
33 resttop 22514 . . . . . . . 8 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}) ∈ V) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢})) ∈ Top)
3428, 32, 33mp2an 691 . . . . . . 7 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢})) ∈ Top
3534a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢})) ∈ Top)
36 pnfxr 11210 . . . . . . . . . . . . . 14 +∞ ∈ ℝ*
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
3819xrleidd 13072 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 ≀ 𝐡)
3920ltpnfd 13043 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 < +∞)
40 iocssioo 13357 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐡 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (𝐡 ≀ 𝐡 ∧ 𝐢 < +∞)) β†’ (𝐡(,]𝐢) βŠ† (𝐡(,)+∞))
4119, 37, 38, 39, 40syl22anc 838 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐡(,]𝐢) βŠ† (𝐡(,)+∞))
42 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐢) β†’ π‘₯ = 𝐢)
43 snidg 4621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐢 ∈ ℝ β†’ 𝐢 ∈ {𝐢})
44 elun2 4138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐢 ∈ {𝐢} β†’ 𝐢 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}))
4520, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}))
4645adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐢) β†’ 𝐢 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}))
4742, 46eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}))
4847adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,]𝐢)) ∧ π‘₯ = 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}))
49 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,]𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐢) β†’ πœ‘)
5019adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,]𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
5150adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,]𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐢) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
5221adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,]𝐢)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
5352adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,]𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐢) β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
54 iocssre 13345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ) β†’ (𝐡(,]𝐢) βŠ† ℝ)
5519, 20, 54syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝐡(,]𝐢) βŠ† ℝ)
5655sselda 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,]𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
5756adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,]𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
58 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,]𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡(,]𝐢))
59 iocgtlb 43747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,]𝐢)) β†’ 𝐡 < π‘₯)
6050, 52, 58, 59syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,]𝐢)) β†’ 𝐡 < π‘₯)
6160adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,]𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐢) β†’ 𝐡 < π‘₯)
6220ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,]𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐢) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
63 iocleub 43748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,]𝐢)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐢)
6450, 52, 58, 63syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,]𝐢)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐢)
6564adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,]𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐢) β†’ π‘₯ ≀ 𝐢)
66 neqne 2952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Β¬ π‘₯ = 𝐢 β†’ π‘₯ β‰  𝐢)
6766adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,]𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐢) β†’ π‘₯ β‰  𝐢)
6867necomd 3000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,]𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐢) β†’ 𝐢 β‰  π‘₯)
6957, 62, 65, 68leneltd 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,]𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐢) β†’ π‘₯ < 𝐢)
7051, 53, 57, 61, 69eliood 43743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,]𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢))
7112sselda 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)))
72 elun1 4137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}))
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}))
7449, 70, 73syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,]𝐢)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}))
7548, 74pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,]𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}))
7675ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡(,]𝐢)π‘₯ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}))
77 dfss3 3933 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐡(,]𝐢) βŠ† ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡(,]𝐢)π‘₯ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}))
7876, 77sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐡(,]𝐢) βŠ† ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}))
7941, 78ssind 4193 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐡(,]𝐢) βŠ† ((𝐡(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢})))
8079sseld 3944 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡(,]𝐢) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐡(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}))))
8124adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐢) β†’ 𝐢 ∈ (𝐡(,]𝐢))
8242, 81eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡(,]𝐢))
8382adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐡(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}))) ∧ π‘₯ = 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡(,]𝐢))
84 ioossioc 43737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡(,)𝐢) βŠ† (𝐡(,]𝐢)
8519ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐡(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}))) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐢) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
8621ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐡(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}))) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐢) β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
87 elinel1 4156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ ((𝐡(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢})) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡(,)+∞))
8887elioored 43794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ((𝐡(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢})) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
8988ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐡(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}))) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
9036a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐡(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}))) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐢) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
9187ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐡(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}))) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡(,)+∞))
92 ioogtlb 43740 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐡(,)+∞)) β†’ 𝐡 < π‘₯)
9385, 90, 91, 92syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐡(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}))) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐢) β†’ 𝐡 < π‘₯)
941ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐡(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}))) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐢) β†’ 𝐷 ∈ ℝ*)
95 elinel2 4157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ ((𝐡(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢})) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}))
96 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Β¬ π‘₯ = 𝐢 β†’ Β¬ π‘₯ = 𝐢)
97 velsn 4603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ {𝐢} ↔ π‘₯ = 𝐢)
9896, 97sylnibr 329 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Β¬ π‘₯ = 𝐢 β†’ Β¬ π‘₯ ∈ {𝐢})
99 elunnel2 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ {𝐢}) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)))
10095, 98, 99syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ((𝐡(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢})) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)))
10113, 100sselid 3943 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ((𝐡(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢})) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ (𝐷(,)𝐢))
102101adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐡(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}))) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ (𝐷(,)𝐢))
103 iooltub 43755 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐷(,)𝐢)) β†’ π‘₯ < 𝐢)
10494, 86, 102, 103syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐡(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}))) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐢) β†’ π‘₯ < 𝐢)
10585, 86, 89, 93, 104eliood 43743 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐡(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}))) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡(,)𝐢))
10684, 105sselid 3943 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐡(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}))) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡(,]𝐢))
10783, 106pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐡(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡(,]𝐢))
108107ex 414 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐡(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢})) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡(,]𝐢)))
10980, 108impbid 211 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡(,]𝐢) ↔ π‘₯ ∈ ((𝐡(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}))))
110109eqrdv 2735 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡(,]𝐢) = ((𝐡(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢})))
111 retop 24128 . . . . . . . . . 10 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
112111a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top)
11332a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}) ∈ V)
114 iooretop 24132 . . . . . . . . . 10 (𝐡(,)+∞) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
115114a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡(,)+∞) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
116 elrestr 17311 . . . . . . . . 9 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}) ∈ V ∧ (𝐡(,)+∞) ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ ((𝐡(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢})) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢})))
117112, 113, 115, 116syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐡(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢})) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢})))
118110, 117eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡(,]𝐢) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢})))
11917tgioo2 24169 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
120119oveq1i 7368 . . . . . . . 8 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢})) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}))
12128a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top)
122 ioossre 13326 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷(,)𝐢) βŠ† ℝ
12313, 122sstri 3954 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βŠ† ℝ
124123a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βŠ† ℝ)
12520snssd 4770 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ {𝐢} βŠ† ℝ)
126124, 125unssd 4147 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}) βŠ† ℝ)
127 reex 11143 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
128127a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
129 restabs 22519 . . . . . . . . 9 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}) βŠ† ℝ ∧ ℝ ∈ V) β†’ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢})))
130121, 126, 128, 129syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢})))
131120, 130eqtrid 2789 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢})))
132118, 131eleqtrd 2840 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡(,]𝐢) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢})))
133 isopn3i 22436 . . . . . 6 ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢})) ∈ Top ∧ (𝐡(,]𝐢) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢}))) β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢})))β€˜(𝐡(,]𝐢)) = (𝐡(,]𝐢))
13435, 132, 133syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢})))β€˜(𝐡(,]𝐢)) = (𝐡(,]𝐢))
13527, 134eqtr2d 2778 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡(,]𝐢) = ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢})))β€˜((𝐡(,)𝐢) βˆͺ {𝐢})))
13624, 135eleqtrd 2840 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐢)) βˆͺ {𝐢})))β€˜((𝐡(,)𝐢) βˆͺ {𝐢})))
13710, 12, 16, 17, 18, 136limcres 25253 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐹 β†Ύ (𝐷(,)𝐢)) β†Ύ (𝐡(,)𝐢)) limβ„‚ 𝐢) = ((𝐹 β†Ύ (𝐷(,)𝐢)) limβ„‚ 𝐢))
1387, 137eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)𝐢)) limβ„‚ 𝐢) = ((𝐹 β†Ύ (𝐷(,)𝐢)) limβ„‚ 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  Vcvv 3446   βˆͺ cun 3909   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  {csn 4587   class class class wbr 5106  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11050  β„cr 11051  +∞cpnf 11187  β„*cxr 11189   < clt 11190   ≀ cle 11191  (,)cioo 13265  (,]cioc 13266   β†Ύt crest 17303  TopOpenctopn 17304  topGenctg 17320  β„‚fldccnfld 20799  Topctop 22245  intcnt 22371   limβ„‚ climc 25229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fi 9348  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-ioo 13269  df-ioc 13270  df-icc 13272  df-fz 13426  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-struct 17020  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-rest 17305  df-topn 17306  df-topgen 17326  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-cnfld 20800  df-top 22246  df-topon 22263  df-topsp 22285  df-bases 22299  df-ntr 22374  df-cnp 22582  df-xms 23676  df-ms 23677  df-limc 25233
This theorem is referenced by:  fouriersw  44479
  Copyright terms: Public domain W3C validator