Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limcresiooub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcresiooub 45059
Description: The left limit doesn't change if the function is restricted to a smaller open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcresiooub.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcresiooub.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
limcresiooub.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
limcresiooub.bltc (𝜑𝐵 < 𝐶)
limcresiooub.bcss (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ 𝐴)
limcresiooub.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
limcresiooub.cled (𝜑𝐷𝐵)
Assertion
Ref Expression
limcresiooub (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐶) = ((𝐹 ↾ (𝐷(,)𝐶)) lim 𝐶))

Proof of Theorem limcresiooub
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcresiooub.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
2 limcresiooub.cled . . . . . 6 (𝜑𝐷𝐵)
3 iooss1 13399 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℝ*𝐷𝐵) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐷(,)𝐶))
41, 2, 3syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐷(,)𝐶))
54resabs1d 6017 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐷(,)𝐶)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) = (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)))
65eqcomd 2734 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) = ((𝐹 ↾ (𝐷(,)𝐶)) ↾ (𝐵(,)𝐶)))
76oveq1d 7441 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐶) = (((𝐹 ↾ (𝐷(,)𝐶)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐶))
8 limcresiooub.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
9 fresin 6771 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (𝐷(,)𝐶)):(𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶))⟶ℂ)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐷(,)𝐶)):(𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶))⟶ℂ)
11 limcresiooub.bcss . . . 4 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ 𝐴)
1211, 4ssind 4235 . . 3 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)))
13 inss2 4232 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ⊆ (𝐷(,)𝐶)
14 ioosscn 13426 . . . . 5 (𝐷(,)𝐶) ⊆ ℂ
1513, 14sstri 3991 . . . 4 (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ⊆ ℂ
1615a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ⊆ ℂ)
17 eqid 2728 . . 3 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
18 eqid 2728 . . 3 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
19 limcresiooub.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
20 limcresiooub.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2120rexrd 11302 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
22 limcresiooub.bltc . . . . 5 (𝜑𝐵 < 𝐶)
23 ubioc1 13417 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐵(,]𝐶))
2419, 21, 22, 23syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐵(,]𝐶))
25 ioounsn 13494 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵 < 𝐶) → ((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐶}) = (𝐵(,]𝐶))
2619, 21, 22, 25syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐶}) = (𝐵(,]𝐶))
2726fveq2d 6906 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))‘((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐶})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))‘(𝐵(,]𝐶)))
2817cnfldtop 24720 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
29 ovex 7459 . . . . . . . . . 10 (𝐷(,)𝐶) ∈ V
3029inex2 5322 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∈ V
31 snex 5437 . . . . . . . . 9 {𝐶} ∈ V
3230, 31unex 7754 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}) ∈ V
33 resttop 23084 . . . . . . . 8 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) ∈ Top)
3428, 32, 33mp2an 690 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) ∈ Top
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) ∈ Top)
36 pnfxr 11306 . . . . . . . . . . . . . 14 +∞ ∈ ℝ*
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
3819xrleidd 13171 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵𝐵)
3920ltpnfd 13141 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 < +∞)
40 iocssioo 13456 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (𝐵𝐵𝐶 < +∞)) → (𝐵(,]𝐶) ⊆ (𝐵(,)+∞))
4119, 37, 38, 39, 40syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵(,]𝐶) ⊆ (𝐵(,)+∞))
42 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝑥 = 𝐶)
43 snidg 4667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ {𝐶})
44 elun2 4179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐶 ∈ {𝐶} → 𝐶 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
4520, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
4645adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
4742, 46eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
4847adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
49 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝜑)
5019adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5150adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5221adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
5352adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
54 iocssre 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵(,]𝐶) ⊆ ℝ)
5519, 20, 54syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐵(,]𝐶) ⊆ ℝ)
5655sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5756adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
58 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
59 iocgtlb 44916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 < 𝑥)
6050, 52, 58, 59syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 < 𝑥)
6160adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝐵 < 𝑥)
6220ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
63 iocleub 44917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥𝐶)
6450, 52, 58, 63syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥𝐶)
6564adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥𝐶)
66 neqne 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 = 𝐶𝑥𝐶)
6766adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥𝐶)
6867necomd 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝐶𝑥)
6957, 62, 65, 68leneltd 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 < 𝐶)
7051, 53, 57, 61, 69eliood 44912 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶))
7112sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)))
72 elun1 4178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
7449, 70, 73syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
7548, 74pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
7675ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
77 dfss3 3970 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵(,]𝐶) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
7876, 77sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵(,]𝐶) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
7941, 78ssind 4235 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵(,]𝐶) ⊆ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))
8079sseld 3981 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) → 𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))))
8124adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐵(,]𝐶))
8242, 81eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
8382adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
84 ioossioc 44906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵(,]𝐶)
8519ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
8621ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
87 elinel1 4197 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))
8887elioored 44963 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) → 𝑥 ∈ ℝ)
8988ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
9036a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → +∞ ∈ ℝ*)
9187ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))
92 ioogtlb 44909 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐵 < 𝑥)
9385, 90, 91, 92syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝐵 < 𝑥)
941ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ*)
95 elinel2 4198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
96 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥 = 𝐶 → ¬ 𝑥 = 𝐶)
97 velsn 4648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ {𝐶} ↔ 𝑥 = 𝐶)
9896, 97sylnibr 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥 = 𝐶 → ¬ 𝑥 ∈ {𝐶})
99 elunnel2 4151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝐶}) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)))
10095, 98, 99syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)))
10113, 100sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐷(,)𝐶))
102101adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐷(,)𝐶))
103 iooltub 44924 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐷(,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
10494, 86, 102, 103syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 < 𝐶)
10585, 86, 89, 93, 104eliood 44912 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶))
10684, 105sselid 3980 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
10783, 106pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
108107ex 411 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)))
10980, 108impbid 211 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))))
110109eqrdv 2726 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵(,]𝐶) = ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))
111 retop 24698 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
112111a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
11332a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}) ∈ V)
114 iooretop 24702 . . . . . . . . . 10 (𝐵(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
115114a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
116 elrestr 17417 . . . . . . . . 9 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}) ∈ V ∧ (𝐵(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))
117112, 113, 115, 116syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))
118110, 117eqeltrd 2829 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵(,]𝐶) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))
11917tgioo2 24739 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
120119oveq1i 7436 . . . . . . . 8 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
12128a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
122 ioossre 13425 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷(,)𝐶) ⊆ ℝ
12313, 122sstri 3991 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ⊆ ℝ
124123a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ⊆ ℝ)
12520snssd 4817 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝐶} ⊆ ℝ)
126124, 125unssd 4188 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}) ⊆ ℝ)
127 reex 11237 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
128127a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ∈ V)
129 restabs 23089 . . . . . . . . 9 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))
130121, 126, 128, 129syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))
131120, 130eqtrid 2780 . . . . . . 7 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))
132118, 131eleqtrd 2831 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵(,]𝐶) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))
133 isopn3i 23006 . . . . . 6 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) ∈ Top ∧ (𝐵(,]𝐶) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))‘(𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))
13435, 132, 133syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))‘(𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))
13527, 134eqtr2d 2769 . . . 4 (𝜑 → (𝐵(,]𝐶) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))‘((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐶})))
13624, 135eleqtrd 2831 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))‘((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐶})))
13710, 12, 16, 17, 18, 136limcres 25835 . 2 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐷(,)𝐶)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐶) = ((𝐹 ↾ (𝐷(,)𝐶)) lim 𝐶))
1387, 137eqtrd 2768 1 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐶) = ((𝐹 ↾ (𝐷(,)𝐶)) lim 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937  wral 3058  Vcvv 3473  cun 3947  cin 3948  wss 3949  {csn 4632   class class class wbr 5152  ran crn 5683  cres 5684  wf 6549  cfv 6553  (class class class)co 7426  cc 11144  cr 11145  +∞cpnf 11283  *cxr 11285   < clt 11286  cle 11287  (,)cioo 13364  (,]cioc 13365  t crest 17409  TopOpenctopn 17410  topGenctg 17426  fldccnfld 21286  Topctop 22815  intcnt 22941   lim climc 25811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-icc 13371  df-fz 13525  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-rest 17411  df-topn 17412  df-topgen 17432  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-ntr 22944  df-cnp 23152  df-xms 24246  df-ms 24247  df-limc 25815
This theorem is referenced by:  fouriersw  45648
  Copyright terms: Public domain W3C validator