Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limcresiooub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcresiooub 43873
Description: The left limit doesn't change if the function is restricted to a smaller open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcresiooub.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcresiooub.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
limcresiooub.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
limcresiooub.bltc (𝜑𝐵 < 𝐶)
limcresiooub.bcss (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ 𝐴)
limcresiooub.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
limcresiooub.cled (𝜑𝐷𝐵)
Assertion
Ref Expression
limcresiooub (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐶) = ((𝐹 ↾ (𝐷(,)𝐶)) lim 𝐶))

Proof of Theorem limcresiooub
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcresiooub.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
2 limcresiooub.cled . . . . . 6 (𝜑𝐷𝐵)
3 iooss1 13299 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℝ*𝐷𝐵) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐷(,)𝐶))
41, 2, 3syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐷(,)𝐶))
54resabs1d 5968 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐷(,)𝐶)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) = (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)))
65eqcomd 2742 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) = ((𝐹 ↾ (𝐷(,)𝐶)) ↾ (𝐵(,)𝐶)))
76oveq1d 7372 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐶) = (((𝐹 ↾ (𝐷(,)𝐶)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐶))
8 limcresiooub.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
9 fresin 6711 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (𝐷(,)𝐶)):(𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶))⟶ℂ)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐷(,)𝐶)):(𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶))⟶ℂ)
11 limcresiooub.bcss . . . 4 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ 𝐴)
1211, 4ssind 4192 . . 3 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)))
13 inss2 4189 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ⊆ (𝐷(,)𝐶)
14 ioosscn 13326 . . . . 5 (𝐷(,)𝐶) ⊆ ℂ
1513, 14sstri 3953 . . . 4 (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ⊆ ℂ
1615a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ⊆ ℂ)
17 eqid 2736 . . 3 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
18 eqid 2736 . . 3 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
19 limcresiooub.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
20 limcresiooub.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2120rexrd 11205 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
22 limcresiooub.bltc . . . . 5 (𝜑𝐵 < 𝐶)
23 ubioc1 13317 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐵(,]𝐶))
2419, 21, 22, 23syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐵(,]𝐶))
25 ioounsn 13394 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵 < 𝐶) → ((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐶}) = (𝐵(,]𝐶))
2619, 21, 22, 25syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐶}) = (𝐵(,]𝐶))
2726fveq2d 6846 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))‘((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐶})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))‘(𝐵(,]𝐶)))
2817cnfldtop 24147 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
29 ovex 7390 . . . . . . . . . 10 (𝐷(,)𝐶) ∈ V
3029inex2 5275 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∈ V
31 snex 5388 . . . . . . . . 9 {𝐶} ∈ V
3230, 31unex 7680 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}) ∈ V
33 resttop 22511 . . . . . . . 8 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) ∈ Top)
3428, 32, 33mp2an 690 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) ∈ Top
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) ∈ Top)
36 pnfxr 11209 . . . . . . . . . . . . . 14 +∞ ∈ ℝ*
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
3819xrleidd 13071 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵𝐵)
3920ltpnfd 13042 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 < +∞)
40 iocssioo 13356 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (𝐵𝐵𝐶 < +∞)) → (𝐵(,]𝐶) ⊆ (𝐵(,)+∞))
4119, 37, 38, 39, 40syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵(,]𝐶) ⊆ (𝐵(,)+∞))
42 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝑥 = 𝐶)
43 snidg 4620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ {𝐶})
44 elun2 4137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐶 ∈ {𝐶} → 𝐶 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
4520, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
4645adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
4742, 46eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
4847adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
49 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝜑)
5019adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5221adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
5352adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
54 iocssre 13344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵(,]𝐶) ⊆ ℝ)
5519, 20, 54syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐵(,]𝐶) ⊆ ℝ)
5655sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5756adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
58 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
59 iocgtlb 43730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 < 𝑥)
6050, 52, 58, 59syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 < 𝑥)
6160adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝐵 < 𝑥)
6220ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
63 iocleub 43731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥𝐶)
6450, 52, 58, 63syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥𝐶)
6564adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥𝐶)
66 neqne 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 = 𝐶𝑥𝐶)
6766adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥𝐶)
6867necomd 2999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝐶𝑥)
6957, 62, 65, 68leneltd 11309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 < 𝐶)
7051, 53, 57, 61, 69eliood 43726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶))
7112sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)))
72 elun1 4136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
7449, 70, 73syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
7548, 74pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
7675ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
77 dfss3 3932 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵(,]𝐶) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
7876, 77sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵(,]𝐶) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
7941, 78ssind 4192 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵(,]𝐶) ⊆ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))
8079sseld 3943 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) → 𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))))
8124adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐵(,]𝐶))
8242, 81eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
8382adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
84 ioossioc 43720 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵(,]𝐶)
8519ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
8621ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
87 elinel1 4155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))
8887elioored 43777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) → 𝑥 ∈ ℝ)
8988ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
9036a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → +∞ ∈ ℝ*)
9187ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))
92 ioogtlb 43723 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞)) → 𝐵 < 𝑥)
9385, 90, 91, 92syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝐵 < 𝑥)
941ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ*)
95 elinel2 4156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
96 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥 = 𝐶 → ¬ 𝑥 = 𝐶)
97 velsn 4602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ {𝐶} ↔ 𝑥 = 𝐶)
9896, 97sylnibr 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥 = 𝐶 → ¬ 𝑥 ∈ {𝐶})
99 elunnel2 4110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝐶}) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)))
10095, 98, 99syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)))
10113, 100sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐷(,)𝐶))
102101adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐷(,)𝐶))
103 iooltub 43738 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐷(,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
10494, 86, 102, 103syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 < 𝐶)
10585, 86, 89, 93, 104eliood 43726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶))
10684, 105sselid 3942 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
10783, 106pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
108107ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)))
10980, 108impbid 211 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))))
110109eqrdv 2734 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵(,]𝐶) = ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))
111 retop 24125 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
112111a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
11332a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}) ∈ V)
114 iooretop 24129 . . . . . . . . . 10 (𝐵(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
115114a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
116 elrestr 17310 . . . . . . . . 9 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}) ∈ V ∧ (𝐵(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))
117112, 113, 115, 116syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵(,)+∞) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))
118110, 117eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵(,]𝐶) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))
11917tgioo2 24166 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
120119oveq1i 7367 . . . . . . . 8 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))
12128a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
122 ioossre 13325 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷(,)𝐶) ⊆ ℝ
12313, 122sstri 3953 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ⊆ ℝ
124123a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ⊆ ℝ)
12520snssd 4769 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝐶} ⊆ ℝ)
126124, 125unssd 4146 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}) ⊆ ℝ)
127 reex 11142 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
128127a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ∈ V)
129 restabs 22516 . . . . . . . . 9 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))
130121, 126, 128, 129syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))
131120, 130eqtrid 2788 . . . . . . 7 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))
132118, 131eleqtrd 2840 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵(,]𝐶) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))
133 isopn3i 22433 . . . . . 6 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})) ∈ Top ∧ (𝐵(,]𝐶) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))‘(𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))
13435, 132, 133syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))‘(𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))
13527, 134eqtr2d 2777 . . . 4 (𝜑 → (𝐵(,]𝐶) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))‘((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐶})))
13624, 135eleqtrd 2840 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐷(,)𝐶)) ∪ {𝐶})))‘((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐶})))
13710, 12, 16, 17, 18, 136limcres 25250 . 2 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐷(,)𝐶)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐶) = ((𝐹 ↾ (𝐷(,)𝐶)) lim 𝐶))
1387, 137eqtrd 2776 1 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐶) = ((𝐹 ↾ (𝐷(,)𝐶)) lim 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3445  cun 3908  cin 3909  wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105  ran crn 5634  cres 5635  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  (,)cioo 13264  (,]cioc 13265  t crest 17302  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  fldccnfld 20796  Topctop 22242  intcnt 22368   lim climc 25226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-icc 13271  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-rest 17304  df-topn 17305  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-ntr 22371  df-cnp 22579  df-xms 23673  df-ms 23674  df-limc 25230
This theorem is referenced by:  fouriersw  44462
  Copyright terms: Public domain W3C validator