Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem49 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem49 41012
Description: The given periodic function 𝐹 has a left limit at every point in the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem49.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem49.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem49.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem49.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem49.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem49.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem49.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem49.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
fourierdlem49.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
fourierdlem49.dper ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
fourierdlem49.per ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
fourierdlem49.cn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem49.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem49.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem49.z 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
fourierdlem49.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem49 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐴,𝑖   𝐵,𝑖,𝑘   𝐵,𝑚,𝑝   𝑥,𝐵,𝑘   𝐷,𝑘,𝑥   𝑖,𝐸,𝑘,𝑥   𝑖,𝐹,𝑘,𝑥   𝑖,𝑀,𝑘   𝑚,𝑀,𝑝   𝑥,𝑀   𝑄,𝑖,𝑘   𝑄,𝑝   𝑥,𝑄   𝑇,𝑘,𝑥   𝑖,𝑋,𝑘,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥   𝜑,𝑖,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐴(𝑘)   𝐷(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑇(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐸(𝑚,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑋(𝑚,𝑝)   𝑍(𝑖,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem49
Dummy variables 𝑗 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem49.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem49.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 fourierdlem49.altb . . . . . 6 (𝜑𝐴 < 𝐵)
4 fourierdlem49.t . . . . . 6 𝑇 = (𝐵𝐴)
5 fourierdlem49.e . . . . . . 7 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥)))
6 ovex 6876 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V
7 fourierdlem49.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
87fvmpt2 6482 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V) → (𝑍𝑥) = ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
96, 8mpan2 682 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑍𝑥) = ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
109oveq2d 6860 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (𝑍𝑥)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
1110mpteq2ia 4901 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
125, 11eqtri 2787 . . . . . 6 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
131, 2, 3, 4, 12fourierdlem4 40968 . . . . 5 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
14 fourierdlem49.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1513, 14ffvelrnd 6552 . . . 4 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵))
16 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄)
17 fourierdlem49.q . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
18 fourierdlem49.m . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
19 fourierdlem49.p . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
2019fourierdlem2 40966 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
2118, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
2217, 21mpbid 223 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
2322simpld 488 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)))
24 elmapi 8084 . . . . . . . . . . 11 (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
26 ffn 6225 . . . . . . . . . 10 (𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ → 𝑄 Fn (0...𝑀))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 Fn (0...𝑀))
2827ad2antrr 717 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
29 fvelrnb 6434 . . . . . . . 8 (𝑄 Fn (0...𝑀) → ((𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)))
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ((𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)))
3116, 30mpbid 223 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋))
32 1zzd 11658 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
33 elfzelz 12552 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
3433ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ ℤ)
35 1e0p1 11786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = (0 + 1)
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 1 = (0 + 1))
3734zred 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ ℝ)
38 elfzle1 12554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 0 ≤ 𝑗)
3938ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 ≤ 𝑗)
40 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋))
4140eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → (𝐸𝑋) = (𝑄𝑗))
4241ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = (𝑄𝑗))
43 fveq2 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 = 0 → (𝑄𝑗) = (𝑄‘0))
4443adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄𝑗) = (𝑄‘0))
4522simprld 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵))
4645simpld 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
4746ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄‘0) = 𝐴)
4842, 44, 473eqtrd 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = 𝐴)
4948adantllr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = 𝐴)
5049adantllr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = 𝐴)
511adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
521rexrd 10345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5352adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
542rexrd 10345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5554adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
56 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵))
57 iocgtlb 40369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸𝑋))
5853, 55, 56, 57syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸𝑋))
5951, 58gtned 10428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ≠ 𝐴)
6059neneqd 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ¬ (𝐸𝑋) = 𝐴)
6160ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → ¬ (𝐸𝑋) = 𝐴)
6250, 61pm2.65da 851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ¬ 𝑗 = 0)
6362neqned 2944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ≠ 0)
6437, 39, 63ne0gt0d 10430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 < 𝑗)
65 0zd 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 ∈ ℤ)
66 zltp1le 11677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗))
6765, 34, 66syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗))
6864, 67mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (0 + 1) ≤ 𝑗)
6936, 68eqbrtrd 4833 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 1 ≤ 𝑗)
70 eluz2 11895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗))
7132, 34, 69, 70syl3anbrc 1443 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
72 nnuz 11926 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ = (ℤ‘1)
7371, 72syl6eleqr 2855 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ ℕ)
74 nnm1nn0 11583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
76 nn0uz 11925 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ℕ0 = (ℤ‘0))
7875, 77eleqtrd 2846 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0))
7918nnzd 11731 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
8079ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑀 ∈ ℤ)
81 peano2zm 11670 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
8233, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
8382zred 11732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
8433zred 11732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
85 elfzel2 12550 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
8685zred 11732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
8784ltm1d 11212 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑗)
88 elfzle2 12555 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗𝑀)
8983, 84, 86, 87, 88ltletrd 10453 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑀)
9089ad2antlr 718 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) < 𝑀)
91 elfzo2 12684 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) < 𝑀))
9278, 80, 90, 91syl3anbrc 1443 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))
9325ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
9434, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
9565, 80, 943jca 1158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ))
9675nn0ge0d 11603 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 ≤ (𝑗 − 1))
9783, 86, 89ltled 10441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)
9897ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)
9995, 96, 98jca32 511 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑗 − 1) ∧ (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)))
100 elfz2 12543 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 − 1) ∈ (0...𝑀) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑗 − 1) ∧ (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)))
10199, 100sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0...𝑀))
10293, 101ffvelrnd 6552 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ)
103102rexrd 10345 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ*)
10425ffvelrnda 6551 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ)
105104rexrd 10345 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
106105adantlr 706 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
107106adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
108 iocssre 12458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
10952, 2, 108syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
110109sselda 3763 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
111110rexrd 10345 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
112111ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
113 simplll 791 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝜑)
114 ovex 6876 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 − 1) ∈ V
115 eleq1 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)))
116115anbi2d 622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))))
117 fveq2 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄𝑖) = (𝑄‘(𝑗 − 1)))
118 oveq1 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑗 − 1) + 1))
119118fveq2d 6381 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
120117, 119breq12d 4824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
121116, 120imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))))
12222simprrd 790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
123122r19.21bi 3079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
124114, 121, 123vtocl 3411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
125113, 92, 124syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
12633zcnd 11733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
127 1cnd 10290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 1 ∈ ℂ)
128126, 127npcand 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
129128eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 = ((𝑗 − 1) + 1))
130129fveq2d 6381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄𝑗) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
131130eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄𝑗))
132131ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄𝑗))
133125, 132breqtrd 4837 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄𝑗))
134 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋))
135133, 134breqtrd 4837 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝐸𝑋))
136109, 15sseldd 3764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
137136leidd 10850 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸𝑋) ≤ (𝐸𝑋))
138137ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≤ (𝐸𝑋))
13941adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) = (𝑄𝑗))
140138, 139breqtrd 4837 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄𝑗))
141140adantllr 710 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄𝑗))
142103, 107, 112, 135, 141eliocd 40375 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄𝑗)))
143130oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
144143ad2antlr 718 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
145142, 144eleqtrd 2846 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
146117, 119oveq12d 6862 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
147146eleq2d 2830 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))))
148147rspcev 3462 . . . . . . . . . 10 (((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
14992, 145, 148syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
150149ex 401 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
151150adantlr 706 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
152151rexlimdva 3178 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
15331, 152mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
15418ad2antrr 717 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑀 ∈ ℕ)
15525ad2antrr 717 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
156 iocssicc 12467 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
15746eqcomd 2771 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 = (𝑄‘0))
15845simprd 489 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄𝑀) = 𝐵)
159158eqcomd 2771 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 = (𝑄𝑀))
160157, 159oveq12d 6862 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
161156, 160syl5sseq 3815 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
162161sselda 3763 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
163162adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
164 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄)
165 fveq2 6377 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝑄𝑘) = (𝑄𝑗))
166165breq1d 4821 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑄𝑘) < (𝐸𝑋) ↔ (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋)))
167166cbvrabv 3348 . . . . . . . 8 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < (𝐸𝑋)} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋)}
168167supeq1i 8562 . . . . . . 7 sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < (𝐸𝑋)}, ℝ, < ) = sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋)}, ℝ, < )
169154, 155, 163, 164, 168fourierdlem25 40989 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
170 ioossioc 40358 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
171170sseli 3759 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
172171a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
173172reximdva 3163 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
174169, 173mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
175153, 174pm2.61dan 847 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
17615, 175mpdan 678 . . 3 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
177 fourierdlem49.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
178 frel 6230 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐷⟶ℝ → Rel 𝐹)
179177, 178syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Rel 𝐹)
180 resindm 5623 . . . . . . . . . . 11 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))))
181180eqcomd 2771 . . . . . . . . . 10 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ dom 𝐹)))
182179, 181syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ dom 𝐹)))
183 fdm 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐷⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐷)
184177, 183syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
185184ineq2d 3978 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ dom 𝐹) = ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷))
186185reseq2d 5567 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)))
187182, 186eqtrd 2799 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)))
1881873ad2ant1 1163 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)))
189188oveq1d 6859 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)) lim (𝐸𝑋)))
190 ax-resscn 10248 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
191190a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
192177, 191fssd 6239 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
1931923ad2ant1 1163 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
194 inss2 3995 . . . . . . . . 9 ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
195194a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷)
196193, 195fssresd 6255 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)):((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)⟶ℂ)
197 mnfxr 10352 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
198197a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ ∈ ℝ*)
19925adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
200 elfzofz 12696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
201200adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
202199, 201ffvelrnd 6552 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
203202rexrd 10345 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
204202mnfltd 12161 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ < (𝑄𝑖))
205198, 203, 204xrltled 12186 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ ≤ (𝑄𝑖))
206 iooss1 12415 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝑄𝑖)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ (-∞(,)(𝐸𝑋)))
207197, 205, 206sylancr 581 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ (-∞(,)(𝐸𝑋)))
2082073adant3 1162 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ (-∞(,)(𝐸𝑋)))
209 fzofzp1 12776 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
210209adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
211199, 210ffvelrnd 6552 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
2122113adant3 1162 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
213212rexrd 10345 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
2142023adant3 1162 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
215214rexrd 10345 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
216 simp3 1168 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
217 iocleub 40370 . . . . . . . . . . 11 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
218215, 213, 216, 217syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
219 iooss2 12416 . . . . . . . . . 10 (((𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
220213, 218, 219syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
221 fourierdlem49.cn . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
222 cncff 22978 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
223 fdm 6233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
224221, 222, 2233syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
225 ssdmres 5597 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
226224, 225sylibr 225 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
227184adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom 𝐹 = 𝐷)
228226, 227sseqtrd 3803 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
2292283adant3 1162 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
230220, 229sstrd 3773 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ 𝐷)
231208, 230ssind 3998 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷))
232 fourierdlem49.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
233232, 191sstrd 3773 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
2342333ad2ant1 1163 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐷 ⊆ ℂ)
235194, 234syl5ss 3774 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ)
236 eqid 2765 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
237 eqid 2765 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))
2381363ad2ant1 1163 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
239238rexrd 10345 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
240 iocgtlb 40369 . . . . . . . . . 10 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < (𝐸𝑋))
241215, 213, 216, 240syl3anc 1490 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < (𝐸𝑋))
242238leidd 10850 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ≤ (𝐸𝑋))
243215, 239, 239, 241, 242eliocd 40375 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)))
244 ioounsn 12506 . . . . . . . . . . 11 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑖) < (𝐸𝑋)) → (((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ∪ {(𝐸𝑋)}) = ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)))
245215, 239, 241, 244syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ∪ {(𝐸𝑋)}) = ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)))
246245fveq2d 6381 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))‘(((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ∪ {(𝐸𝑋)})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))‘((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))))
247236cnfldtop 22869 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
248 ovex 6876 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞(,)(𝐸𝑋)) ∈ V
249248inex1 4962 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∈ V
250 snex 5066 . . . . . . . . . . . 12 {(𝐸𝑋)} ∈ V
251249, 250unex 7156 . . . . . . . . . . 11 (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}) ∈ V
252 resttop 21247 . . . . . . . . . . 11 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∈ Top)
253247, 251, 252mp2an 683 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∈ Top
254 retop 22847 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
255254a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
256251a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}) ∈ V)
257 iooretop 22851 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄𝑖)(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
258257a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
259 elrestr 16358 . . . . . . . . . . . 12 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}) ∈ V ∧ ((𝑄𝑖)(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
260255, 256, 258, 259syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
261 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 = (𝐸𝑋))
262 pnfxr 10348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 +∞ ∈ ℝ*
263262a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → +∞ ∈ ℝ*)
264238ltpnfd 12158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) < +∞)
265215, 263, 238, 241, 264eliood 40365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)+∞))
266 snidg 4366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐸𝑋) ∈ ℝ → (𝐸𝑋) ∈ {(𝐸𝑋)})
267 elun2 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐸𝑋) ∈ {(𝐸𝑋)} → (𝐸𝑋) ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))
268266, 267syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐸𝑋) ∈ ℝ → (𝐸𝑋) ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))
269136, 268syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))
2702693ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))
271265, 270elind 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
272271adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
273261, 272eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
274273adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
275215adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
276262a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → +∞ ∈ ℝ*)
277203adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
278136adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
279278adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
280 iocssre 12458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ℝ) → ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)) ⊆ ℝ)
281277, 279, 280syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)) ⊆ ℝ)
282 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)))
283281, 282sseldd 3764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
2842833adantl3 1209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
285279rexrd 10345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
286 iocgtlb 40369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
287277, 285, 282, 286syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
2882873adantl3 1209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
289284ltpnfd 12158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → 𝑥 < +∞)
290275, 276, 284, 288, 289eliood 40365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)+∞))
291290adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)+∞))
292197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → -∞ ∈ ℝ*)
293285adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
294283adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
295294mnfltd 12161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → -∞ < 𝑥)
296136ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
297 iocleub 40370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
298277, 285, 282, 297syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
299298adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
300 neqne 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥 = (𝐸𝑋) → 𝑥 ≠ (𝐸𝑋))
301300necomd 2992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 = (𝐸𝑋) → (𝐸𝑋) ≠ 𝑥)
302301adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≠ 𝑥)
303294, 296, 299, 302leneltd 10447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 < (𝐸𝑋))
304292, 293, 294, 295, 303eliood 40365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋)))
3053043adantll3 39858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋)))
306229ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
307275adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
308213ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
309284adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
310288adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
311238ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
312212ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
3133033adantll3 39858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 < (𝐸𝑋))
314218ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
315309, 311, 312, 313, 314ltletrd 10453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
316307, 308, 309, 310, 315eliood 40365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
317306, 316sseldd 3764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥𝐷)
318305, 317elind 3962 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷))
319 elun1 3944 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))
320318, 319syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))
321291, 320elind 3962 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
322274, 321pm2.61dan 847 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
323215adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
324239adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
325 elinel1 3963 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)+∞))
326 elioore 12410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
327326rexrd 10345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
328325, 327syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
329328adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
330203adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
331262a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → +∞ ∈ ℝ*)
332325adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)+∞))
333 ioogtlb 40362 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)+∞)) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
334330, 331, 332, 333syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
3353343adantl3 1209 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
336 elinel2 3964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))
337 elsni 4353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)} → 𝑥 = (𝐸𝑋))
338337adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)}) → 𝑥 = (𝐸𝑋))
339137adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)}) → (𝐸𝑋) ≤ (𝐸𝑋))
340338, 339eqbrtrd 4833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)}) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
341340adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)}) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
342 simpll 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)}) → 𝜑)
343 elunnel2 39853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)}) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷))
344343adantll 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)}) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷))
345 elinel1 3963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋)))
346 elioore 12410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
347346adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
348136adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
349197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋))) → -∞ ∈ ℝ*)
350348rexrd 10345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
351 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋)))
352 iooltub 40378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋))) → 𝑥 < (𝐸𝑋))
353349, 350, 351, 352syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋))) → 𝑥 < (𝐸𝑋))
354347, 348, 353ltled 10441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋))) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
355345, 354sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
356342, 344, 355syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)}) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
357341, 356pm2.61dan 847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
358357adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
359336, 358sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
3603593adantl3 1209 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
361323, 324, 329, 335, 360eliocd 40375 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)))
362322, 361impbida 835 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)) ↔ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))))
363362eqrdv 2763 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)) = (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
364 ioossre 12440 . . . . . . . . . . . . . 14 (-∞(,)(𝐸𝑋)) ⊆ ℝ
365 ssinss1 4003 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ⊆ ℝ → ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
366364, 365mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
367238snssd 4496 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {(𝐸𝑋)} ⊆ ℝ)
368366, 367unssd 3953 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}) ⊆ ℝ)
369 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
370236, 369rerest 22889 . . . . . . . . . . . 12 ((((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
371368, 370syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
372260, 363, 3713eltr4d 2859 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
373 isopn3i 21169 . . . . . . . . . 10 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∈ Top ∧ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))‘((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) = ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)))
374253, 372, 373sylancr 581 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))‘((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) = ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)))
375246, 374eqtr2d 2800 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))‘(((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ∪ {(𝐸𝑋)})))
376243, 375eleqtrd 2846 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))‘(((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ∪ {(𝐸𝑋)})))
377196, 231, 235, 236, 237, 376limcres 23944 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)) lim (𝐸𝑋)))
378231resabs1d 5605 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))))
379378oveq1d 6859 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
380189, 377, 3793eqtr2d 2805 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
381184feq2d 6211 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:𝐷⟶ℂ))
382192, 381mpbird 248 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
383382adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3843833ad2antl1 1236 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
385 ioosscn 40361 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ ℂ
386385a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ ℂ)
387184eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 = dom 𝐹)
3883873ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐷 = dom 𝐹)
389230, 388sseqtrd 3803 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ dom 𝐹)
390389adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ dom 𝐹)
3917a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
392 oveq2 6852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑋 → (𝐵𝑥) = (𝐵𝑋))
393392oveq1d 6859 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = ((𝐵𝑋) / 𝑇))
394393fveq2d 6381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)))
395394oveq1d 6859 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
396395adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
3972, 14resubcld 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
3982, 1resubcld 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
3994, 398syl5eqel 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
4001, 2posdifd 10870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
4013, 400mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
4024eqcomi 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵𝐴) = 𝑇
403402a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐵𝐴) = 𝑇)
404401, 403breqtrd 4837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 < 𝑇)
405404gt0ne0d 10848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑇 ≠ 0)
406397, 399, 405redivcld 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐵𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
407406flcld 12810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
408407zred 11732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ)
409408, 399remulcld 10326 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
410391, 396, 14, 409fvmptd 6479 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑍𝑋) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
411410, 409eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑍𝑋) ∈ ℝ)
412411recnd 10324 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑍𝑋) ∈ ℂ)
413412adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → (𝑍𝑋) ∈ ℂ)
4144133ad2antl1 1236 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → (𝑍𝑋) ∈ ℂ)
415414negcld 10635 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → -(𝑍𝑋) ∈ ℂ)
416 eqid 2765 . . . . . . . . 9 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))}
417 ioosscn 40361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ ℂ
418417sseli 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) → 𝑦 ∈ ℂ)
419418adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ ℂ)
420412adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑍𝑋) ∈ ℂ)
421419, 420pncand 10649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)) = 𝑦)
422421eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)))
4234223ad2antl1 1236 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)))
424410oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
425424adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
426419, 420addcld 10315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ ℂ)
427409recnd 10324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
428427adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
429426, 428negsubd 10654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + -((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
430407zcnd 11733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℂ)
431399recnd 10324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
432430, 431mulneg1d 10739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) = -((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
433432eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → -((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) = (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
434433oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + -((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
435434adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + -((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
436425, 429, 4353eqtr2d 2805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
4374363ad2antl1 1236 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
438407znegcld 11734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
439438adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
4404393ad2antl1 1236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
441 simpl1 1242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝜑)
442230adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ 𝐷)
443203adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
444136rexrd 10345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
445444ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
446 elioore 12410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) → 𝑦 ∈ ℝ)
447446adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ ℝ)
448411adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑍𝑋) ∈ ℝ)
449447, 448readdcld 10325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ ℝ)
450449adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ ℝ)
451411adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑍𝑋) ∈ ℝ)
452202, 451resubcld 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ)
453452rexrd 10345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*)
454453adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*)
45514rexrd 10345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
456455ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
457 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋))
458 ioogtlb 40362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑦)
459454, 456, 457, 458syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑦)
460202adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
461451adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑍𝑋) ∈ ℝ)
462446adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ ℝ)
463460, 461, 462ltsubaddd 10879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑦 ↔ (𝑄𝑖) < (𝑦 + (𝑍𝑋))))
464459, 463mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑄𝑖) < (𝑦 + (𝑍𝑋)))
46514ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
466 iooltub 40378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 < 𝑋)
467454, 456, 457, 466syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 < 𝑋)
468462, 465, 461, 467ltadd1dd 10894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍𝑋)) < (𝑋 + (𝑍𝑋)))
4695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥))))
470 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
471 fveq2 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 𝑋 → (𝑍𝑥) = (𝑍𝑋))
472470, 471oveq12d 6862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑍𝑥)) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
473472adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (𝑍𝑥)) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
47414, 411readdcld 10325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍𝑋)) ∈ ℝ)
475469, 473, 14, 474fvmptd 6479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
476475eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍𝑋)) = (𝐸𝑋))
477476ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑋 + (𝑍𝑋)) = (𝐸𝑋))
478468, 477breqtrd 4837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍𝑋)) < (𝐸𝑋))
479443, 445, 450, 464, 478eliood 40365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)))
4804793adantl3 1209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)))
481442, 480sseldd 3764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷)
482441, 481, 4403jca 1158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
483 eleq1 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 ∈ ℤ ↔ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
4844833anbi3d 1566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)))
485 oveq1 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 · 𝑇) = (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
486485oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
487486eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐷))
488484, 487imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
489 ovex 6876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ V
490 eleq1 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍𝑋)) → (𝑥𝐷 ↔ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷))
4914903anbi2d 1565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍𝑋)) → ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷𝑘 ∈ ℤ)))
492 oveq1 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍𝑋)) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)))
493492eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍𝑋)) → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
494491, 493imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍𝑋)) → (((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
495 fourierdlem49.dper . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
496489, 494, 495vtocl 3411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
497488, 496vtoclg 3418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ → ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐷))
498440, 482, 497sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐷)
499437, 498eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷)
500423, 499eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦𝐷)
501500ralrimiva 3113 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∀𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑦𝐷)
502 dfss3 3752 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑦𝐷)
503501, 502sylibr 225 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ 𝐷)
504202recnd 10324 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
505412adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑍𝑋) ∈ ℂ)
506504, 505negsubd 10654 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) + -(𝑍𝑋)) = ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)))
507506eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) = ((𝑄𝑖) + -(𝑍𝑋)))
508475oveq1d 6859 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋)) = ((𝑋 + (𝑍𝑋)) + -(𝑍𝑋)))
509474recnd 10324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍𝑋)) ∈ ℂ)
510509, 412negsubd 10654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑍𝑋)) + -(𝑍𝑋)) = ((𝑋 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)))
51114recnd 10324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
512511, 412pncand 10649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)) = 𝑋)
513508, 510, 5123eqtrrd 2804 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 = ((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋)))
514513adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 = ((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋)))
515507, 514oveq12d 6862 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) = (((𝑄𝑖) + -(𝑍𝑋))(,)((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋))))
516451renegcld 10713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -(𝑍𝑋) ∈ ℝ)
517202, 278, 516iooshift 40390 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖) + -(𝑍𝑋))(,)((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))})
518515, 517eqtr2d 2800 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))} = (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋))
5195183adant3 1162 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))} = (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋))
5201843ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → dom 𝐹 = 𝐷)
521503, 519, 5203sstr4d 3810 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))} ⊆ dom 𝐹)
522521adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))} ⊆ dom 𝐹)
523410negeqd 10531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -(𝑍𝑋) = -((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
524523, 433eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -(𝑍𝑋) = (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
525524oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 + -(𝑍𝑋)) = (𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
526525fveq2d 6381 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
527526adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
5285273ad2antl1 1236 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
529438adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
5305293ad2antl1 1236 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
531 simpl1 1242 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → 𝜑)
532230sselda 3763 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → 𝑥𝐷)
533531, 532, 5303jca 1158 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → (𝜑𝑥𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
5344833anbi3d 1566 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑥𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)))
535485oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
536535fveq2d 6381 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
537536eqeq1d 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹𝑥)))
538534, 537imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹𝑥))))
539 fourierdlem49.per . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
540538, 539vtoclg 3418 . . . . . . . . . . . 12 (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ → ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹𝑥)))
541530, 533, 540sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
542528, 541eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍𝑋))) = (𝐹𝑥))
543542adantlr 706 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍𝑋))) = (𝐹𝑥))
544 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
545384, 386, 390, 415, 416, 522, 543, 544limcperiod 40501 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))}) lim ((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋))))
546518reseq2d 5567 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))}) = (𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)))
547514eqcomd 2771 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋)) = 𝑋)
548546, 547oveq12d 6862 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))}) lim ((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋))) = ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋))
5495483adant3 1162 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))}) lim ((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋))) = ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋))
550549adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))}) lim ((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋))) = ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋))
551545, 550eleqtrd 2846 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋))
552382adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
5535523ad2antl1 1236 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
554417a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ ℂ)
555503, 520sseqtr4d 3804 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ dom 𝐹)
556555adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ dom 𝐹)
557412adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → (𝑍𝑋) ∈ ℂ)
5585573ad2antl1 1236 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → (𝑍𝑋) ∈ ℂ)
559 eqid 2765 . . . . . . . . 9 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))}
560504, 505npcand 10652 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) + (𝑍𝑋)) = (𝑄𝑖))
561560eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) = (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) + (𝑍𝑋)))
562475adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
563561, 562oveq12d 6862 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) = ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) + (𝑍𝑋))(,)(𝑋 + (𝑍𝑋))))
56414adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
565452, 564, 451iooshift 40390 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) + (𝑍𝑋))(,)(𝑋 + (𝑍𝑋))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))})
566563, 565eqtr2d 2800 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))} = ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)))
5675663adant3 1162 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))} = ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)))
568230, 567, 5203sstr4d 3810 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))} ⊆ dom 𝐹)
569568adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))} ⊆ dom 𝐹)
570410oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 + (𝑍𝑋)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
571570fveq2d 6381 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
572571adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
5735723ad2antl1 1236 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
574407adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
5755743ad2antl1 1236 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
576 simpl1 1242 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝜑)
577503sselda 3763 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑥𝐷)
578576, 577, 5753jca 1158 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝜑𝑥𝐷 ∧ (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
579 eleq1 2832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 ∈ ℤ ↔ (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
5805793anbi3d 1566 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑥𝐷 ∧ (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)))
581 oveq1 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
582581oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
583582fveq2d 6381 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
584583eqeq1d 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹𝑥)))
585580, 584imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑥𝐷 ∧ (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹𝑥))))
586585, 539vtoclg 3418 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ → ((𝜑𝑥𝐷 ∧ (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹𝑥)))
587575, 578, 586sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
588573, 587eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍𝑋))) = (𝐹𝑥))
589588adantlr 706 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍𝑋))) = (𝐹𝑥))
590 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋))
591553, 554, 556, 558, 559, 569, 589, 590limcperiod 40501 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))}) lim (𝑋 + (𝑍𝑋))))
592566reseq2d 5567 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))}) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))))
593476adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑍𝑋)) = (𝐸𝑋))
594592, 593oveq12d 6862 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))}) lim (𝑋 + (𝑍𝑋))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
5955943adant3 1162 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))}) lim (𝑋 + (𝑍𝑋))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
596595adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))}) lim (𝑋 + (𝑍𝑋))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
597591, 596eleqtrd 2846 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
598551, 597impbida 835 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) ↔ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)))
599598eqrdv 2763 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) = ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋))
600 resindm 5623 . . . . . . . . . . 11 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)))
601600eqcomd 2771 . . . . . . . . . 10 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹)))
602179, 601syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹)))
603184ineq2d 3978 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹) = ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
604603reseq2d 5567 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)))
605602, 604eqtrd 2799 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)))
606605oveq1d 6859 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) lim 𝑋))
6076063ad2ant1 1163 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) lim 𝑋))
608 inss2 3995 . . . . . . . . . 10 ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
609608a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷)
610193, 609fssresd 6255 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)):((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)⟶ℂ)
611452mnfltd 12161 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ < ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)))
612198, 453, 611xrltled 12186 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ ≤ ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)))
613 iooss1 12415 . . . . . . . . . . 11 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ (-∞(,)𝑋))
614197, 612, 613sylancr 581 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ (-∞(,)𝑋))
6156143adant3 1162 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ (-∞(,)𝑋))
616615, 503ssind 3998 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
617608, 234syl5ss 3774 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ)
618 eqid 2765 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
6194533adant3 1162 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*)
6204553ad2ant1 1163 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
6214753ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
622241, 621breqtrd 4837 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < (𝑋 + (𝑍𝑋)))
6234113ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑍𝑋) ∈ ℝ)
624143ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
625214, 623, 624ltsubaddd 10879 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑋 ↔ (𝑄𝑖) < (𝑋 + (𝑍𝑋))))
626622, 625mpbird 248 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑋)
62714leidd 10850 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑋)
6286273ad2ant1 1163 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋𝑋)
629619, 620, 620, 626, 628eliocd 40375 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋))
630 ioounsn 12506 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑋) → ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋}) = (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋))
631619, 620, 626, 630syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋}) = (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋))
632631fveq2d 6381 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)))
633 ovex 6876 . . . . . . . . . . . . . 14 (-∞(,)𝑋) ∈ V
634633inex1 4962 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∈ V
635 snex 5066 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑋} ∈ V
636634, 635unex 7156 . . . . . . . . . . . 12 (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V
637 resttop 21247 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top)
638247, 636, 637mp2an 683 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top
639636a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V)
640 iooretop 22851 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
641640a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
642 elrestr 16358 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V ∧ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
643255, 639, 641, 642syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
644453adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*)
645262a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → +∞ ∈ ℝ*)
64614ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
647 iocssre 12458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋) ⊆ ℝ)
648644, 646, 647syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋) ⊆ ℝ)
649 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋))
650648, 649sseldd 3764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
651455ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
652 iocgtlb 40369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑥)
653644, 651, 649, 652syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑥)
654650ltpnfd 12158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 < +∞)
655644, 645, 650, 653, 654eliood 40365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞))
6566553adantl3 1209 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞))
657 eqvisset 3364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑋𝑋 ∈ V)
658 snidg 4366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋 ∈ V → 𝑋 ∈ {𝑋})
659657, 658syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑋𝑋 ∈ {𝑋})
660470, 659eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ {𝑋})
661 elun2 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ {𝑋} → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
662660, 661syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
663662adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
664 simpll 783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → (𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
665644adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*)
666455ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ*)
667650adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
668653adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑥)
66914ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
670 iocleub 40370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥𝑋)
671644, 651, 649, 670syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥𝑋)
672671adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥𝑋)
673470eqcoms 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 = 𝑥𝑥 = 𝑋)
674673necon3bi 2963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 = 𝑋𝑋𝑥)
675674adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋𝑥)
676667, 669, 672, 675leneltd 10447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < 𝑋)
677665, 666, 667, 668, 676eliood 40365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋))
6786773adantll3 39858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋))
679616sselda 3763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
680 elun1 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
681679, 680syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
682664, 678, 681syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
683663, 682pm2.61dan 847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
684656, 683elind 3962 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
685619adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*)
686620adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
687 elinel1 3963 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞))
688 elioore 12410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
689687, 688syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ)
690689rexrd 10345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
691690adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
692453adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*)
693262a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → +∞ ∈ ℝ*)
694687adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞))
695 ioogtlb 40362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑥)
696692, 693, 694, 695syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑥)
6976963adantl3 1209 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑥)
698 elinel2 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
699 elsni 4353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ {𝑋} → 𝑥 = 𝑋)
700699adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 = 𝑋)
701627adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑋𝑋)
702700, 701eqbrtrd 4833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥𝑋)
703702adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥𝑋)
704 simpll 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝜑)
705 elunnel2 39853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
706705adantll 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
707 elinel1 3963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋))
708706, 707syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋))
709 elioore 12410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
710709adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
71114adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
712197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → -∞ ∈ ℝ*)
713455adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
714 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋))
715 iooltub 40378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-∞ ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 < 𝑋)
716712, 713, 714, 715syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 < 𝑋)
717710, 711, 716ltled 10441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥𝑋)
718704, 708, 717syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥𝑋)
719703, 718pm2.61dan 847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥𝑋)
720698, 719sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥𝑋)
7217203ad2antl1 1236 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥𝑋)
722685, 686, 691, 697, 721eliocd 40375 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋))
723684, 722impbida 835 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋) ↔ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))))
724723eqrdv 2763 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋) = ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
725608, 232syl5ss 3774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
72614snssd 4496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → {𝑋} ⊆ ℝ)
727725, 726unssd 3953 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ)
7287273ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ)
729236, 369rerest 22889 . . . . . . . . . . . . 13 ((((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
730728, 729syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
731643, 724, 7303eltr4d 2859 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
732 isopn3i 21169 . . . . . . . . . . 11 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top ∧ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) = (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋))
733638, 731, 732sylancr 581 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) = (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋))
734632, 733eqtr2d 2800 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋})))
735629, 734eleqtrd 2846 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋})))
736610, 616, 617, 236, 618, 735limcres 23944 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) lim 𝑋))
737736eqcomd 2771 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) lim 𝑋) = (((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋))
738616resabs1d 5605 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) = (𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)))
739738oveq1d 6859 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋))
740607, 737, 7393eqtrrd 2804 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
741380, 599, 7403eqtrrd 2804 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
742741rexlimdv3a 3180 . . 3 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))))
743176, 742mpd 15 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
7441233adant3 1162 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
7452213adant3 1162 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
746 fourierdlem49.l . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
7477463adant3 1162 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
748 eqid 2765 . . . . . . . 8 if((𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸𝑋))) = if((𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸𝑋)))
749 eqid 2765 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
750214, 212, 744, 745, 747, 214, 238, 241, 220, 748, 749fourierdlem33 40997 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if((𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸𝑋))) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
751220resabs1d 5605 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))))
752751oveq1d 6859 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
753750, 752eleqtrd 2846 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if((𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸𝑋))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
754 ne0i 4087 . . . . . 6 (if((𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸𝑋))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) ≠ ∅)
755753, 754syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) ≠ ∅)
756380, 755eqnetrd 3004 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) ≠ ∅)
757756rexlimdv3a 3180 . . 3 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) ≠ ∅))
758176, 757mpd 15 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) ≠ ∅)
759743, 758eqnetrd 3004 1 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059  Vcvv 3350  cun 3732  cin 3733  wss 3734  c0 4081  ifcif 4245  {csn 4336   class class class wbr 4811  cmpt 4890  dom cdm 5279  ran crn 5280  cres 5281  Rel wrel 5284   Fn wfn 6065  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6844  𝑚 cmap 8062  supcsup 8555  cc 10189  cr 10190  0cc0 10191  1c1 10192   + caddc 10194   · cmul 10196  +∞cpnf 10327  -∞cmnf 10328  *cxr 10329   < clt 10330  cle 10331  cmin 10522  -cneg 10523   / cdiv 10940  cn 11276  0cn0 11540  cz 11626  cuz 11889  (,)cioo 12380  (,]cioc 12381  [,]cicc 12383  ...cfz 12536  ..^cfzo 12676  cfl 12802  t crest 16350  TopOpenctopn 16351  topGenctg 16367  fldccnfld 20022  Topctop 20980  intcnt 21104  cnccncf 22961   lim climc 23920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-oadd 7770  df-er 7949  df-map 8064  df-pm 8065  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-fi 8526  df-sup 8557  df-inf 8558  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-4 11339  df-5 11340  df-6 11341  df-7 11342  df-8 11343  df-9 11344  df-n0 11541  df-z 11627  df-dec 11744  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12032  df-xneg 12149  df-xadd 12150  df-xmul 12151  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-icc 12387  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-fl 12804  df-seq 13012  df-exp 13071  df-cj 14127  df-re 14128  df-im 14129  df-sqrt 14263  df-abs 14264  df-struct 16135  df-ndx 16136  df-slot 16137  df-base 16139  df-plusg 16230  df-mulr 16231  df-starv 16232  df-tset 16236  df-ple 16237  df-ds 16239  df-unif 16240  df-rest 16352  df-topn 16353  df-topgen 16373  df-psmet 20014  df-xmet 20015  df-met 20016  df-bl 20017  df-mopn 20018  df-cnfld 20023  df-top 20981  df-topon 20998  df-topsp 21020  df-bases 21033  df-ntr 21107  df-cn 21314  df-cnp 21315  df-xms 22407  df-ms 22408  df-cncf 22963  df-limc 23924
This theorem is referenced by:  fourierdlem94  41057  fourierdlem113  41076
  Copyright terms: Public domain W3C validator