Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem49 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fourierdlem49 46076
Description: The given periodic function 𝐹 has a left limit at every point in the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem49.a (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem49.b (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem49.altb (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem49.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem49.t 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem49.m (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem49.q (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem49.d (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
fourierdlem49.f (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
fourierdlem49.dper ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
fourierdlem49.per ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
fourierdlem49.cn ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem49.l ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem49.x (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem49.z 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
fourierdlem49.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem49 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐴,𝑖   𝐵,𝑖,𝑘   𝐵,𝑚,𝑝   𝑥,𝐵,𝑘   𝐷,𝑘,𝑥   𝑖,𝐸,𝑘,𝑥   𝑖,𝐹,𝑘,𝑥   𝑖,𝑀,𝑘   𝑚,𝑀,𝑝   𝑥,𝑀   𝑄,𝑖,𝑘   𝑄,𝑝   𝑥,𝑄   𝑇,𝑘,𝑥   𝑖,𝑋,𝑘,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥   𝜑,𝑖,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐴(𝑘)   𝐷(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑇(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐸(𝑚,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑋(𝑚,𝑝)   𝑍(𝑖,𝑚,𝑝)
Proof of Theorem fourierdlem49
Dummy variables 𝑗 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem49.a . . . . . 6 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem49.b . . . . . 6 (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3 fourierdlem49.altb . . . . . 6 (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
4 fourierdlem49.t . . . . . 6 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
5 fourierdlem49.e . . . . . . 7 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥)))
6 ovex 7481 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V
7 fourierdlem49.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
87fvmpt2 7040 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V) → (𝑍‘𝑥) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
96, 8mpan2 690 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑍‘𝑥) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
109oveq2d 7464 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (𝑍‘𝑥)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
1110mpteq2ia 5269 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
125, 11eqtri 2768 . . . . . 6 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
131, 2, 3, 4, 12fourierdlem4 46032 . . . . 5 (𝜑 → 𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
14 fourierdlem49.x . . . . 5 (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
1513, 14ffvelcdmd 7119 . . . 4 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵))
16 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄)
17 fourierdlem49.q . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
18 fourierdlem49.m . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
19 fourierdlem49.p . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
2019fourierdlem2 46030 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
2118, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
2217, 21mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
2322simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
24 elmapi 8907 . . . . . . . . . . 11 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
26 ffn 6747 . . . . . . . . . 10 (𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ → 𝑄 Fn (0...𝑀))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 𝑄 Fn (0...𝑀))
2827ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
29 fvelrnb 6982 . . . . . . . 8 (𝑄 Fn (0...𝑀) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)))
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)))
3116, 30mpbid 232 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋))
32 1zzd 12674 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
33 elfzelz 13584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
3433ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ ℤ)
35 1e0p1 12800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = (0 + 1)
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 1 = (0 + 1))
3734zred 12747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ ℝ)
38 elfzle1 13587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 0 ≤ 𝑗)
3938ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 ≤ 𝑗)
40 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋))
4140eqcomd 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘𝑗))
4241ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘𝑗))
43 fveq2 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 = 0 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘0))
4443adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘0))
4522simprld 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵))
4645simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄‘0) = 𝐴)
4842, 44, 473eqtrd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
4948adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
5049adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
511adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
521rexrd 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5352adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
542rexrd 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5554adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
56 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵))
57 iocgtlb 45420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸‘𝑋))
5853, 55, 56, 57syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸‘𝑋))
5951, 58gtned 11425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐴)
6059neneqd 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ¬ (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
6160ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → ¬ (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
6250, 61pm2.65da 816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ¬ 𝑗 = 0)
6362neqned 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ≠ 0)
6437, 39, 63ne0gt0d 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 < 𝑗)
65 0zd 12651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 ∈ ℤ)
66 zltp1le 12693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗))
6765, 34, 66syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗))
6864, 67mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (0 + 1) ≤ 𝑗)
6936, 68eqbrtrd 5188 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 1 ≤ 𝑗)
70 eluz2 12909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗))
7132, 34, 69, 70syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1))
72 nnuz 12946 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ = (ℤ≥‘1)
7371, 72eleqtrrdi 2855 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ ℕ)
74 nnm1nn0 12594 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
76 nn0uz 12945 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ0 = (ℤ≥‘0)
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ℕ0 = (ℤ≥‘0))
7875, 77eleqtrd 2846 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
7918nnzd 12666 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8079ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑀 ∈ ℤ)
81 peano2zm 12686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
8233, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
8382zred 12747 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
8433zred 12747 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
85 elfzel2 13582 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
8685zred 12747 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
8784ltm1d 12227 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑗)
88 elfzle2 13588 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ≤ 𝑀)
8983, 84, 86, 87, 88ltletrd 11450 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑀)
9089ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) < 𝑀)
91 elfzo2 13719 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝑗 − 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) < 𝑀))
9278, 80, 90, 91syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))
9325ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
9434, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
9575nn0ge0d 12616 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 ≤ (𝑗 − 1))
9683, 86, 89ltled 11438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)
9796ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)
9865, 80, 94, 95, 97elfzd 13575 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0...𝑀))
9993, 98ffvelcdmd 7119 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ)
10099rexrd 11340 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ*)
10125ffvelcdmda 7118 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ)
102101rexrd 11340 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
103102adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
104103adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
105 iocssre 13487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
10652, 2, 105syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
107106sselda 4008 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
108107rexrd 11340 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
109108ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
110 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝜑)
111 ovex 7481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 − 1) ∈ V
112 eleq1 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)))
113112anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))))
114 fveq2 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘(𝑗 − 1)))
115 oveq1 7455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑗 − 1) + 1))
116115fveq2d 6924 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
117114, 116breq12d 5179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
118113, 117imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))))
11922simprrd 773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
120119r19.21bi 3257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
121111, 118, 120vtocl 3570 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
122110, 92, 121syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
12333zcnd 12748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
124 1cnd 11285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 1 ∈ ℂ)
125123, 124npcand 11651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
126125eqcomd 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 = ((𝑗 − 1) + 1))
127126fveq2d 6924 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
128127eqcomd 2746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄‘𝑗))
129128ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄‘𝑗))
130122, 129breqtrd 5192 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘𝑗))
131 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋))
132130, 131breqtrd 5192 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝐸‘𝑋))
133106, 15sseldd 4009 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
134133leidd 11856 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝐸‘𝑋))
135134ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝐸‘𝑋))
13641adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘𝑗))
137135, 136breqtrd 5192 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘𝑗))
138137adantllr 718 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘𝑗))
139100, 104, 109, 132, 138eliocd 45425 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘𝑗)))
140127oveq2d 7464 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
141140ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
142139, 141eleqtrd 2846 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
143114, 116oveq12d 7466 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
144143eleq2d 2830 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))))
145144rspcev 3635 . . . . . . . . . 10 (((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
14692, 142, 145syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
147146ex 412 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
148147adantlr 714 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
149148rexlimdva 3161 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
15031, 149mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
15118ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑀 ∈ ℕ)
15225ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
153 iocssicc 13497 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
15446eqcomd 2746 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝐴 = (𝑄‘0))
15545simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = 𝐵)
156155eqcomd 2746 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝐵 = (𝑄‘𝑀))
157154, 156oveq12d 7466 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
158153, 157sseqtrid 4061 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
159158sselda 4008 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
160159adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
161 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄)
162 fveq2 6920 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘𝑗))
163162breq1d 5176 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑄‘𝑘) < (𝐸‘𝑋) ↔ (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)))
164163cbvrabv 3454 . . . . . . . 8 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < (𝐸‘𝑋)} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)}
165164supeq1i 9516 . . . . . . 7 sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < (𝐸‘𝑋)}, ℝ, < ) = sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)}, ℝ, < )
166151, 152, 160, 161, 165fourierdlem25 46053 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
167 ioossioc 45410 . . . . . . . . 9 ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
168167sseli 4004 . . . . . . . 8 ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
169168a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
170169reximdva 3174 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
171166, 170mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
172150, 171pm2.61dan 812 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
17315, 172mpdan 686 . . 3 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
174 fourierdlem49.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
175 frel 6752 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐷⟶ℝ → Rel 𝐹)
176174, 175syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Rel 𝐹)
177 resindm 6059 . . . . . . . . . . 11 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))))
178177eqcomd 2746 . . . . . . . . . 10 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ dom 𝐹)))
179176, 178syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ dom 𝐹)))
180 fdm 6756 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐷⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐷)
181174, 180syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
182181ineq2d 4241 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ dom 𝐹) = ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷))
183182reseq2d 6009 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)))
184179, 183eqtrd 2780 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)))
1851843ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)))
186185oveq1d 7463 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)) limℂ (𝐸‘𝑋)))
187 ax-resscn 11241 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
188187a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
189174, 188fssd 6764 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
1901893ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
191 inss2 4259 . . . . . . . . 9 ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
192191a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷)
193190, 192fssresd 6788 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)):((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)⟶ℂ)
194 mnfxr 11347 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
195194a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ ∈ ℝ*)
19625adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
197 elfzofz 13732 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
198197adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
199196, 198ffvelcdmd 7119 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
200199rexrd 11340 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
201199mnfltd 13187 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ < (𝑄‘𝑖))
202195, 200, 201xrltled 13212 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ ≤ (𝑄‘𝑖))
203 iooss1 13442 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝑄‘𝑖)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ (-∞(,)(𝐸‘𝑋)))
204194, 202, 203sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ (-∞(,)(𝐸‘𝑋)))
2052043adant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ (-∞(,)(𝐸‘𝑋)))
206 fzofzp1 13814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
207206adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
208196, 207ffvelcdmd 7119 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
2092083adant3 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
210209rexrd 11340 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
2111993adant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
212211rexrd 11340 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
213 simp3 1138 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
214 iocleub 45421 . . . . . . . . . . 11 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
215212, 210, 213, 214syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
216 iooss2 13443 . . . . . . . . . 10 (((𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
217210, 215, 216syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
218 fourierdlem49.cn . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
219 cncff 24938 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
220 fdm 6756 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
221218, 219, 2203syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
222 ssdmres 6042 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
223221, 222sylibr 234 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
224181adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom 𝐹 = 𝐷)
225223, 224sseqtrd 4049 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
2262253adant3 1132 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
227217, 226sstrd 4019 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ 𝐷)
228205, 227ssind 4262 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷))
229 fourierdlem49.d . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
230229, 188sstrd 4019 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
2312303ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐷 ⊆ ℂ)
232191, 231sstrid 4020 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ)
233 eqid 2740 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
234 eqid 2740 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))
2351333ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
236235rexrd 11340 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
237 iocgtlb 45420 . . . . . . . . . 10 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) < (𝐸‘𝑋))
238212, 210, 213, 237syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) < (𝐸‘𝑋))
239235leidd 11856 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝐸‘𝑋))
240212, 236, 236, 238, 239eliocd 45425 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)))
241 ioounsn 13537 . . . . . . . . . . 11 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘𝑖) < (𝐸‘𝑋)) → (((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) = ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)))
242212, 236, 238, 241syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) = ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)))
243242fveq2d 6924 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))‘(((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))‘((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))))
244233cnfldtop 24825 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
245 ovex 7481 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∈ V
246245inex1 5335 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∈ V
247 snex 5451 . . . . . . . . . . . 12 {(𝐸‘𝑋)} ∈ V
248246, 247unex 7779 . . . . . . . . . . 11 (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) ∈ V
249 resttop 23189 . . . . . . . . . . 11 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∈ Top)
250244, 248, 249mp2an 691 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∈ Top
251 retop 24803 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
252251a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
253248a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) ∈ V)
254 iooretop 24807 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
255254a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
256 elrestr 17488 . . . . . . . . . . . 12 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) ∈ V ∧ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
257252, 253, 255, 256syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
258 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 = (𝐸‘𝑋))
259 pnfxr 11344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 +∞ ∈ ℝ*
260259a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → +∞ ∈ ℝ*)
261235ltpnfd 13184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) < +∞)
262212, 260, 235, 238, 261eliood 45416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞))
263 snidg 4682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐸‘𝑋) ∈ ℝ → (𝐸‘𝑋) ∈ {(𝐸‘𝑋)})
264 elun2 4206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐸‘𝑋) ∈ {(𝐸‘𝑋)} → (𝐸‘𝑋) ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))
265263, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐸‘𝑋) ∈ ℝ → (𝐸‘𝑋) ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))
266133, 265syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))
2672663ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))
268262, 267elind 4223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
269268adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
270258, 269eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
271270adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
272212adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
273259a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → +∞ ∈ ℝ*)
274200adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
275133adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
276275adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
277 iocssre 13487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ) → ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)) ⊆ ℝ)
278274, 276, 277syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)) ⊆ ℝ)
279 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)))
280278, 279sseldd 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
2812803adantl3 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
282276rexrd 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
283 iocgtlb 45420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
284274, 282, 279, 283syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
2852843adantl3 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
286281ltpnfd 13184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → 𝑥 < +∞)
287272, 273, 281, 285, 286eliood 45416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞))
288287adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞))
289194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → -∞ ∈ ℝ*)
290282adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
291280adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
292291mnfltd 13187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → -∞ < 𝑥)
293133ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
294 iocleub 45421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
295274, 282, 279, 294syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
296295adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
297 neqne 2954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋) → 𝑥 ≠ (𝐸‘𝑋))
298297necomd 3002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋) → (𝐸‘𝑋) ≠ 𝑥)
299298adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≠ 𝑥)
300291, 293, 296, 299leneltd 11444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 < (𝐸‘𝑋))
301289, 290, 291, 292, 300eliood 45416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋)))
3023013adantll3 44942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋)))
303226ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
304272adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
305210ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
306281adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
307285adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
308235ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
309209ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
3103003adantll3 44942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 < (𝐸‘𝑋))
311215ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
312306, 308, 309, 310, 311ltletrd 11450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
313304, 305, 306, 307, 312eliood 45416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
314303, 313sseldd 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
315302, 314elind 4223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷))
316 elun1 4205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))
317315, 316syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))
318288, 317elind 4223 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
319271, 318pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
320212adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
321236adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
322 elinel1 4224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞))
323 elioore 13437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
324323rexrd 11340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
325322, 324syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
326325adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
327200adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
328259a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → +∞ ∈ ℝ*)
329322adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞))
330 ioogtlb 45413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞)) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
331327, 328, 329, 330syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
3323313adantl3 1168 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
333 elinel2 4225 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))
334 elsni 4665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)} → 𝑥 = (𝐸‘𝑋))
335334adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)}) → 𝑥 = (𝐸‘𝑋))
336134adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)}) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝐸‘𝑋))
337335, 336eqbrtrd 5188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)}) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
338337adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)}) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
339 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)}) → 𝜑)
340 elunnel2 4178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)}) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷))
341340adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)}) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷))
342 elinel1 4224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋)))
343 elioore 13437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
344343adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
345133adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
346194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) → -∞ ∈ ℝ*)
347345rexrd 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
348 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋)))
349 iooltub 45428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) → 𝑥 < (𝐸‘𝑋))
350346, 347, 348, 349syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) → 𝑥 < (𝐸‘𝑋))
351344, 345, 350ltled 11438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
352342, 351sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
353339, 341, 352syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)}) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
354338, 353pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
355354adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
356333, 355sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
3573563adantl3 1168 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
358320, 321, 326, 332, 357eliocd 45425 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)))
359319, 358impbida 800 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)) ↔ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))))
360359eqrdv 2738 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)) = (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
361 ioossre 13468 . . . . . . . . . . . . . 14 (-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ ℝ
362 ssinss1 4267 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ ℝ → ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
363361, 362mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
364235snssd 4834 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {(𝐸‘𝑋)} ⊆ ℝ)
365363, 364unssd 4215 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) ⊆ ℝ)
366 eqid 2740 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
367233, 366rerest 24845 . . . . . . . . . . . 12 ((((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
368365, 367syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
369257, 360, 3683eltr4d 2859 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
370 isopn3i 23111 . . . . . . . . . 10 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∈ Top ∧ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))‘((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) = ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)))
371250, 369, 370sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))‘((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) = ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)))
372243, 371eqtr2d 2781 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))‘(((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
373240, 372eleqtrd 2846 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))‘(((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
374193, 228, 232, 233, 234, 373limcres 25941 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)) limℂ (𝐸‘𝑋)))
375228resabs1d 6037 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))))
376375oveq1d 7463 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
377186, 374, 3763eqtr2d 2786 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
378181feq2d 6733 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:𝐷⟶ℂ))
379189, 378mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
380379adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3813803ad2antl1 1185 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
382 ioosscn 13469 . . . . . . . . . 10 ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ ℂ
383382a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ ℂ)
384181eqcomd 2746 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 𝐷 = dom 𝐹)
3853843ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐷 = dom 𝐹)
386227, 385sseqtrd 4049 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ dom 𝐹)
387386adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ dom 𝐹)
3887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
389 oveq2 7456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑋 → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 𝑋))
390389oveq1d 7463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))
391390fveq2d 6924 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)))
392391oveq1d 7463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
393392adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
3942, 14resubcld 11718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℝ)
3952, 1resubcld 11718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
3964, 395eqeltrid 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
3971, 2posdifd 11877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
3983, 397mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
3994eqcomi 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵 − 𝐴) = 𝑇
400399a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = 𝑇)
401398, 400breqtrd 5192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 < 𝑇)
402401gt0ne0d 11854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
403394, 396, 402redivcld 12122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
404403flcld 13849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
405404zred 12747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ)
406405, 396remulcld 11320 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
407388, 393, 14, 406fvmptd 7036 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑍‘𝑋) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
408407, 406eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑍‘𝑋) ∈ ℝ)
409408recnd 11318 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑍‘𝑋) ∈ ℂ)
410409adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℂ)
4114103ad2antl1 1185 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℂ)
412411negcld 11634 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → -(𝑍‘𝑋) ∈ ℂ)
413 eqid 2740 . . . . . . . . 9 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))}
414 ioosscn 13469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ ℂ
415414sseli 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) → 𝑦 ∈ ℂ)
416415adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ ℂ)
417409adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℂ)
418416, 417pncand 11648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)) = 𝑦)
419418eqcomd 2746 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)))
4204193ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)))
421407oveq2d 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
422421adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
423416, 417addcld 11309 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ℂ)
424406recnd 11318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
425424adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
426423, 425negsubd 11653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + -((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
427404zcnd 12748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℂ)
428396recnd 11318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
429427, 428mulneg1d 11743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) = -((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
430429eqcomd 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → -((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) = (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
431430oveq2d 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + -((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
432431adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + -((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
433422, 426, 4323eqtr2d 2786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
4344333ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
435404znegcld 12749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
436435adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
4374363ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
438 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝜑)
439227adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ 𝐷)
440200adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
441133rexrd 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
442441ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
443 elioore 13437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) → 𝑦 ∈ ℝ)
444443adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ ℝ)
445408adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℝ)
446444, 445readdcld 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ)
447446adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ)
448408adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℝ)
449199, 448resubcld 11718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ)
450449rexrd 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ*)
451450adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ*)
45214rexrd 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
453452ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
454 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋))
455 ioogtlb 45413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑦)
456451, 453, 454, 455syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑦)
457199adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
458448adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℝ)
459443adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ ℝ)
460457, 458, 459ltsubaddd 11886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑦 ↔ (𝑄‘𝑖) < (𝑦 + (𝑍‘𝑋))))
461456, 460mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑦 + (𝑍‘𝑋)))
46214ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
463 iooltub 45428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 < 𝑋)
464451, 453, 454, 463syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 < 𝑋)
465459, 462, 458, 464ltadd1dd 11901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) < (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
4665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥))))
467 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
468 fveq2 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 𝑋 → (𝑍‘𝑥) = (𝑍‘𝑋))
469467, 468oveq12d 7466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑍‘𝑥)) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
470469adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (𝑍‘𝑥)) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
47114, 408readdcld 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ)
472466, 470, 14, 471fvmptd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
473472eqcomd 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍‘𝑋)) = (𝐸‘𝑋))
474473ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑋 + (𝑍‘𝑋)) = (𝐸‘𝑋))
475465, 474breqtrd 5192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) < (𝐸‘𝑋))
476440, 442, 447, 461, 475eliood 45416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)))
4774763adantl3 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)))
478439, 477sseldd 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷)
479438, 478, 4373jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
480 eleq1 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 ∈ ℤ ↔ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
4814803anbi3d 1442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)))
482 oveq1 7455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 · 𝑇) = (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
483482oveq2d 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
484483eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐷))
485481, 484imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
486 ovex 7481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ V
487 eleq1 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) → (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷))
4884873anbi2d 1441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ)))
489 oveq1 7455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)))
490489eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
491488, 490imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
492 fourierdlem49.dper . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
493486, 491, 492vtocl 3570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
494485, 493vtoclg 3566 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ → ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐷))
495437, 479, 494sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐷)
496434, 495eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷)
497420, 496eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ 𝐷)
498497ralrimiva 3152 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∀𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑦 ∈ 𝐷)
499 dfss3 3997 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑦 ∈ 𝐷)
500498, 499sylibr 234 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ 𝐷)
501199recnd 11318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℂ)
502409adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℂ)
503501, 502negsubd 11653 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖) + -(𝑍‘𝑋)) = ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)))
504503eqcomd 2746 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) = ((𝑄‘𝑖) + -(𝑍‘𝑋)))
505472oveq1d 7463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋)) = ((𝑋 + (𝑍‘𝑋)) + -(𝑍‘𝑋)))
506471recnd 11318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ℂ)
507506, 409negsubd 11653 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑍‘𝑋)) + -(𝑍‘𝑋)) = ((𝑋 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)))
50814recnd 11318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
509508, 409pncand 11648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)) = 𝑋)
510505, 507, 5093eqtrrd 2785 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 𝑋 = ((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋)))
511510adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 = ((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋)))
512504, 511oveq12d 7466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) = (((𝑄‘𝑖) + -(𝑍‘𝑋))(,)((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋))))
513448renegcld 11717 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -(𝑍‘𝑋) ∈ ℝ)
514199, 275, 513iooshift 45440 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄‘𝑖) + -(𝑍‘𝑋))(,)((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))})
515512, 514eqtr2d 2781 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))} = (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋))
5165153adant3 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))} = (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋))
5171813ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → dom 𝐹 = 𝐷)
518500, 516, 5173sstr4d 4056 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))} ⊆ dom 𝐹)
519518adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))} ⊆ dom 𝐹)
520407negeqd 11530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -(𝑍‘𝑋) = -((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
521520, 430eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -(𝑍‘𝑋) = (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
522521oveq2d 7464 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 + -(𝑍‘𝑋)) = (𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
523522fveq2d 6924 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
524523adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
5255243ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
526435adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
5275263ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
528 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → 𝜑)
529227sselda 4008 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ∈ 𝐷)
530528, 529, 5273jca 1128 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
5314803anbi3d 1442 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)))
532482oveq2d 7464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
533532fveq2d 6924 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
534533eqeq1d 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)))
535531, 534imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))))
536 fourierdlem49.per . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
537535, 536vtoclg 3566 . . . . . . . . . . . 12 (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)))
538527, 530, 537sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
539525, 538eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘𝑥))
540539adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘𝑥))
541 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
542381, 383, 387, 412, 413, 519, 540, 541limcperiod 45549 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))}) limℂ ((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋))))
543515reseq2d 6009 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))}) = (𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)))
544511eqcomd 2746 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋)) = 𝑋)
545543, 544oveq12d 7466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))}) limℂ ((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋))) = ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
5465453adant3 1132 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))}) limℂ ((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋))) = ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
547546adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))}) limℂ ((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋))) = ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
548542, 547eleqtrd 2846 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
549379adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
5505493ad2antl1 1185 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
551414a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ ℂ)
552500, 517sseqtrrd 4050 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ dom 𝐹)
553552adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ dom 𝐹)
554409adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℂ)
5555543ad2antl1 1185 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℂ)
556 eqid 2740 . . . . . . . . 9 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))}
557501, 502npcand 11651 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) + (𝑍‘𝑋)) = (𝑄‘𝑖))
558557eqcomd 2746 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) = (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) + (𝑍‘𝑋)))
559472adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
560558, 559oveq12d 7466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) = ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) + (𝑍‘𝑋))(,)(𝑋 + (𝑍‘𝑋))))
56114adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
562449, 561, 448iooshift 45440 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) + (𝑍‘𝑋))(,)(𝑋 + (𝑍‘𝑋))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))})
563560, 562eqtr2d 2781 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))} = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)))
5645633adant3 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))} = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)))
565227, 564, 5173sstr4d 4056 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))} ⊆ dom 𝐹)
566565adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))} ⊆ dom 𝐹)
567407oveq2d 7464 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 + (𝑍‘𝑋)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
568567fveq2d 6924 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
569568adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
5705693ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
571404adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
5725713ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
573 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝜑)
574500sselda 4008 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
575573, 574, 5723jca 1128 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
576 eleq1 2832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 ∈ ℤ ↔ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
5775763anbi3d 1442 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)))
578 oveq1 7455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
579578oveq2d 7464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
580579fveq2d 6924 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
581580eqeq1d 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)))
582577, 581imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))))
583582, 536vtoclg 3566 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)))
584572, 575, 583sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
585570, 584eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘𝑥))
586585adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘𝑥))
587 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
588550, 551, 553, 555, 556, 566, 586, 587limcperiod 45549 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))}) limℂ (𝑋 + (𝑍‘𝑋))))
589563reseq2d 6009 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))}) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))))
590473adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑍‘𝑋)) = (𝐸‘𝑋))
591589, 590oveq12d 7466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))}) limℂ (𝑋 + (𝑍‘𝑋))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
5925913adant3 1132 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))}) limℂ (𝑋 + (𝑍‘𝑋))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
593592adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))}) limℂ (𝑋 + (𝑍‘𝑋))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
594588, 593eleqtrd 2846 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
595548, 594impbida 800 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) ↔ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)))
596595eqrdv 2738 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) = ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
597 resindm 6059 . . . . . . . . . . 11 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)))
598597eqcomd 2746 . . . . . . . . . 10 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹)))
599176, 598syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹)))
600181ineq2d 4241 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹) = ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
601600reseq2d 6009 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)))
602599, 601eqtrd 2780 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)))
603602oveq1d 7463 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) limℂ 𝑋))
6046033ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) limℂ 𝑋))
605 inss2 4259 . . . . . . . . . 10 ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
606605a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷)
607190, 606fssresd 6788 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)):((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)⟶ℂ)
608449mnfltd 13187 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ < ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)))
609195, 450, 608xrltled 13212 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ ≤ ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)))
610 iooss1 13442 . . . . . . . . . . 11 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ (-∞(,)𝑋))
611194, 609, 610sylancr 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ (-∞(,)𝑋))
6126113adant3 1132 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ (-∞(,)𝑋))
613612, 500ssind 4262 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
614605, 231sstrid 4020 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ)
615 eqid 2740 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
6164503adant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ*)
6174523ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
6184723ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
619238, 618breqtrd 5192 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) < (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
6204083ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℝ)
621143ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
622211, 620, 621ltsubaddd 11886 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑋 ↔ (𝑄‘𝑖) < (𝑋 + (𝑍‘𝑋))))
623619, 622mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑋)
62414leidd 11856 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑋)
6256243ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ≤ 𝑋)
626616, 617, 617, 623, 625eliocd 45425 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋))
627 ioounsn 13537 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑋) → ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋}) = (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋))
628616, 617, 623, 627syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋}) = (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋))
629628fveq2d 6924 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)))
630 ovex 7481 . . . . . . . . . . . . . 14 (-∞(,)𝑋) ∈ V
631630inex1 5335 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∈ V
632 snex 5451 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑋} ∈ V
633631, 632unex 7779 . . . . . . . . . . . 12 (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V
634 resttop 23189 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top)
635244, 633, 634mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top
636633a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V)
637 iooretop 24807 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
638637a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
639 elrestr 17488 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V ∧ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
640252, 636, 638, 639syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
641450adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ*)
642259a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → +∞ ∈ ℝ*)
64314ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
644 iocssre 13487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋) ⊆ ℝ)
645641, 643, 644syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋) ⊆ ℝ)
646 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋))
647645, 646sseldd 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
648452ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
649 iocgtlb 45420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑥)
650641, 648, 646, 649syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑥)
651647ltpnfd 13184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 < +∞)
652641, 642, 647, 650, 651eliood 45416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞))
6536523adantl3 1168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞))
654 eqvisset 3508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑋 → 𝑋 ∈ V)
655 snidg 4682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋 ∈ V → 𝑋 ∈ {𝑋})
656654, 655syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑋 → 𝑋 ∈ {𝑋})
657467, 656eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ {𝑋})
658 elun2 4206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ {𝑋} → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
659657, 658syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
660659adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
661 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
662641adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ*)
663452ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ*)
664647adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
665650adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑥)
66614ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
667 iocleub 45421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ≤ 𝑋)
668641, 648, 646, 667syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ≤ 𝑋)
669668adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ≤ 𝑋)
670467eqcoms 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 = 𝑥 → 𝑥 = 𝑋)
671670necon3bi 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ 𝑥 = 𝑋 → 𝑋 ≠ 𝑥)
672671adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ≠ 𝑥)
673664, 666, 669, 672leneltd 11444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < 𝑋)
674662, 663, 664, 665, 673eliood 45416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋))
6756743adantll3 44942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋))
676613sselda 4008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
677 elun1 4205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
678676, 677syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
679661, 675, 678syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
680660, 679pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
681653, 680elind 4223 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
682616adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ*)
683617adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
684 elinel1 4224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞))
685 elioore 13437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
686684, 685syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ)
687686rexrd 11340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
688687adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
689450adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ*)
690259a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → +∞ ∈ ℝ*)
691684adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞))
692 ioogtlb 45413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑥)
693689, 690, 691, 692syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑥)
6946933adantl3 1168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑥)
695 elinel2 4225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
696 elsni 4665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ {𝑋} → 𝑥 = 𝑋)
697696adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 = 𝑋)
698624adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑋 ≤ 𝑋)
699697, 698eqbrtrd 5188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ≤ 𝑋)
700699adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ≤ 𝑋)
701 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝜑)
702 elunnel2 4178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
703702adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
704 elinel1 4224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋))
705703, 704syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋))
706 elioore 13437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
707706adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
70814adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
709194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → -∞ ∈ ℝ*)
710452adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
711 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋))
712 iooltub 45428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 < 𝑋)
713709, 710, 711, 712syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 < 𝑋)
714707, 708, 713ltled 11438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 ≤ 𝑋)
715701, 705, 714syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ≤ 𝑋)
716700, 715pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ≤ 𝑋)
717695, 716sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ≤ 𝑋)
7187173ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ≤ 𝑋)
719682, 683, 688, 694, 718eliocd 45425 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋))
720681, 719impbida 800 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋) ↔ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))))
721720eqrdv 2738 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋) = ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
722605, 229sstrid 4020 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
72314snssd 4834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → {𝑋} ⊆ ℝ)
724722, 723unssd 4215 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ)
7257243ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ)
726233, 366rerest 24845 . . . . . . . . . . . . 13 ((((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
727725, 726syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
728640, 721, 7273eltr4d 2859 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
729 isopn3i 23111 . . . . . . . . . . 11 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top ∧ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) = (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋))
730635, 728, 729sylancr 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) = (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋))
731629, 730eqtr2d 2781 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋})))
732626, 731eleqtrd 2846 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋})))
733607, 613, 614, 233, 615, 732limcres 25941 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) limℂ 𝑋))
734733eqcomd 2746 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) limℂ 𝑋) = (((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
735613resabs1d 6037 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) = (𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)))
736735oveq1d 7463 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
737604, 734, 7363eqtrrd 2785 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
738377, 596, 7373eqtrrd 2785 . . . 4 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
739738rexlimdv3a 3165 . . 3 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))))
740173, 739mpd 15 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
7411203adant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
7422183adant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
743 fourierdlem49.l . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
7447433adant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
745 eqid 2740 . . . . . . . 8 if((𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸‘𝑋))) = if((𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸‘𝑋)))
746 eqid 2740 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
747211, 209, 741, 742, 744, 211, 235, 238, 217, 745, 746fourierdlem33 46061 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if((𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸‘𝑋))) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
748217resabs1d 6037 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))))
749748oveq1d 7463 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
750747, 749eleqtrd 2846 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if((𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸‘𝑋))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
751 ne0i 4364 . . . . . 6 (if((𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸‘𝑋))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) ≠ ∅)
752750, 751syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) ≠ ∅)
753377, 752eqnetrd 3014 . . . 4 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) ≠ ∅)
754753rexlimdv3a 3165 . . 3 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) ≠ ∅))
755173, 754mpd 15 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) ≠ ∅)
756740, 755eqnetrd 3014 1 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  {crab 3443  Vcvv 3488   ∪ cun 3974   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ifcif 4548  {csn 4648   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  dom cdm 5700  ran crn 5701   ↾ cres 5702  Rel wrel 5705   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑m cmap 8884  supcsup 9509  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  +∞cpnf 11321  -∞cmnf 11322  ℝ*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  -cneg 11521   / cdiv 11947  ℕcn 12293  ℕ0cn0 12553  ℤcz 12639  ℤ≥cuz 12903  (,)cioo 13407  (,]cioc 13408  [,]cicc 13410  ...cfz 13567  ..^cfzo 13711  ⌊cfl 13841   ↾t crest 17480  TopOpenctopn 17481  topGenctg 17497  ℂfldccnfld 21387  Topctop 22920  intcnt 23046  –cn→ccncf 24921   limℂ climc 25917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-rest 17482  df-topn 17483  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-ntr 23049  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-xms 24351  df-ms 24352  df-cncf 24923  df-limc 25921
This theorem is referenced by:  fourierdlem94  46121  fourierdlem113  46140
  Copyright terms: Public domain W3C validator