Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem49 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem49 43222
Description: The given periodic function 𝐹 has a left limit at every point in the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem49.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem49.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem49.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem49.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem49.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem49.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem49.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem49.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
fourierdlem49.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
fourierdlem49.dper ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
fourierdlem49.per ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
fourierdlem49.cn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem49.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem49.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem49.z 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
fourierdlem49.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem49 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐴,𝑖   𝐵,𝑖,𝑘   𝐵,𝑚,𝑝   𝑥,𝐵,𝑘   𝐷,𝑘,𝑥   𝑖,𝐸,𝑘,𝑥   𝑖,𝐹,𝑘,𝑥   𝑖,𝑀,𝑘   𝑚,𝑀,𝑝   𝑥,𝑀   𝑄,𝑖,𝑘   𝑄,𝑝   𝑥,𝑄   𝑇,𝑘,𝑥   𝑖,𝑋,𝑘,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥   𝜑,𝑖,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐴(𝑘)   𝐷(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑇(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐸(𝑚,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑋(𝑚,𝑝)   𝑍(𝑖,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem49
Dummy variables 𝑗 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem49.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem49.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 fourierdlem49.altb . . . . . 6 (𝜑𝐴 < 𝐵)
4 fourierdlem49.t . . . . . 6 𝑇 = (𝐵𝐴)
5 fourierdlem49.e . . . . . . 7 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥)))
6 ovex 7197 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V
7 fourierdlem49.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
87fvmpt2 6780 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V) → (𝑍𝑥) = ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
96, 8mpan2 691 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑍𝑥) = ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
109oveq2d 7180 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (𝑍𝑥)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
1110mpteq2ia 5118 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
125, 11eqtri 2761 . . . . . 6 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
131, 2, 3, 4, 12fourierdlem4 43178 . . . . 5 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
14 fourierdlem49.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1513, 14ffvelrnd 6856 . . . 4 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵))
16 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄)
17 fourierdlem49.q . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
18 fourierdlem49.m . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
19 fourierdlem49.p . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
2019fourierdlem2 43176 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
2118, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
2217, 21mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
2322simpld 498 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
24 elmapi 8452 . . . . . . . . . . 11 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
26 ffn 6498 . . . . . . . . . 10 (𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ → 𝑄 Fn (0...𝑀))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 Fn (0...𝑀))
2827ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
29 fvelrnb 6724 . . . . . . . 8 (𝑄 Fn (0...𝑀) → ((𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)))
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ((𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)))
3116, 30mpbid 235 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋))
32 1zzd 12087 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
33 elfzelz 12991 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
3433ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ ℤ)
35 1e0p1 12214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = (0 + 1)
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 1 = (0 + 1))
3734zred 12161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ ℝ)
38 elfzle1 12994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 0 ≤ 𝑗)
3938ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 ≤ 𝑗)
40 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋))
4140eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → (𝐸𝑋) = (𝑄𝑗))
4241ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = (𝑄𝑗))
43 fveq2 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 = 0 → (𝑄𝑗) = (𝑄‘0))
4443adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄𝑗) = (𝑄‘0))
4522simprld 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵))
4645simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
4746ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄‘0) = 𝐴)
4842, 44, 473eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = 𝐴)
4948adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = 𝐴)
5049adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = 𝐴)
511adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
521rexrd 10762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5352adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
542rexrd 10762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5554adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
56 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵))
57 iocgtlb 42564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸𝑋))
5853, 55, 56, 57syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸𝑋))
5951, 58gtned 10846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ≠ 𝐴)
6059neneqd 2939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ¬ (𝐸𝑋) = 𝐴)
6160ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → ¬ (𝐸𝑋) = 𝐴)
6250, 61pm2.65da 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ¬ 𝑗 = 0)
6362neqned 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ≠ 0)
6437, 39, 63ne0gt0d 10848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 < 𝑗)
65 0zd 12067 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 ∈ ℤ)
66 zltp1le 12106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗))
6765, 34, 66syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗))
6864, 67mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (0 + 1) ≤ 𝑗)
6936, 68eqbrtrd 5049 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 1 ≤ 𝑗)
70 eluz2 12323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗))
7132, 34, 69, 70syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
72 nnuz 12356 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ = (ℤ‘1)
7371, 72eleqtrrdi 2844 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ ℕ)
74 nnm1nn0 12010 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
76 nn0uz 12355 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ℕ0 = (ℤ‘0))
7875, 77eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0))
7918nnzd 12160 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
8079ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑀 ∈ ℤ)
81 peano2zm 12099 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
8233, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
8382zred 12161 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
8433zred 12161 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
85 elfzel2 12989 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
8685zred 12161 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
8784ltm1d 11643 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑗)
88 elfzle2 12995 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗𝑀)
8983, 84, 86, 87, 88ltletrd 10871 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑀)
9089ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) < 𝑀)
91 elfzo2 13125 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) < 𝑀))
9278, 80, 90, 91syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))
9325ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
9434, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
9575nn0ge0d 12032 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 ≤ (𝑗 − 1))
9683, 86, 89ltled 10859 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)
9796ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)
9865, 80, 94, 95, 97elfzd 12982 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0...𝑀))
9993, 98ffvelrnd 6856 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ)
10099rexrd 10762 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ*)
10125ffvelrnda 6855 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ)
102101rexrd 10762 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
103102adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
104103adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
105 iocssre 12894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
10652, 2, 105syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
107106sselda 3875 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
108107rexrd 10762 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
109108ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
110 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝜑)
111 ovex 7197 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 − 1) ∈ V
112 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)))
113112anbi2d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))))
114 fveq2 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄𝑖) = (𝑄‘(𝑗 − 1)))
115 oveq1 7171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑗 − 1) + 1))
116115fveq2d 6672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
117114, 116breq12d 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
118113, 117imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))))
11922simprrd 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
120119r19.21bi 3120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
121111, 118, 120vtocl 3463 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
122110, 92, 121syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
12333zcnd 12162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
124 1cnd 10707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 1 ∈ ℂ)
125123, 124npcand 11072 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
126125eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 = ((𝑗 − 1) + 1))
127126fveq2d 6672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄𝑗) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
128127eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄𝑗))
129128ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄𝑗))
130122, 129breqtrd 5053 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄𝑗))
131 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋))
132130, 131breqtrd 5053 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝐸𝑋))
133106, 15sseldd 3876 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
134133leidd 11277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸𝑋) ≤ (𝐸𝑋))
135134ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≤ (𝐸𝑋))
13641adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) = (𝑄𝑗))
137135, 136breqtrd 5053 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄𝑗))
138137adantllr 719 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄𝑗))
139100, 104, 109, 132, 138eliocd 42569 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄𝑗)))
140127oveq2d 7180 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
141140ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
142139, 141eleqtrd 2835 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
143114, 116oveq12d 7182 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
144143eleq2d 2818 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))))
145144rspcev 3524 . . . . . . . . . 10 (((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
14692, 142, 145syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
147146ex 416 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
148147adantlr 715 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
149148rexlimdva 3193 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
15031, 149mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
15118ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑀 ∈ ℕ)
15225ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
153 iocssicc 12904 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
15446eqcomd 2744 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 = (𝑄‘0))
15545simprd 499 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄𝑀) = 𝐵)
156155eqcomd 2744 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 = (𝑄𝑀))
157154, 156oveq12d 7182 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
158153, 157sseqtrid 3927 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
159158sselda 3875 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
160159adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
161 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄)
162 fveq2 6668 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝑄𝑘) = (𝑄𝑗))
163162breq1d 5037 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑄𝑘) < (𝐸𝑋) ↔ (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋)))
164163cbvrabv 3392 . . . . . . . 8 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < (𝐸𝑋)} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋)}
165164supeq1i 8977 . . . . . . 7 sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < (𝐸𝑋)}, ℝ, < ) = sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋)}, ℝ, < )
166151, 152, 160, 161, 165fourierdlem25 43199 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
167 ioossioc 42554 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
168167sseli 3871 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
169168a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
170169reximdva 3183 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
171166, 170mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
172150, 171pm2.61dan 813 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
17315, 172mpdan 687 . . 3 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
174 fourierdlem49.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
175 frel 6503 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐷⟶ℝ → Rel 𝐹)
176174, 175syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Rel 𝐹)
177 resindm 5868 . . . . . . . . . . 11 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))))
178177eqcomd 2744 . . . . . . . . . 10 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ dom 𝐹)))
179176, 178syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ dom 𝐹)))
180 fdm 6507 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐷⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐷)
181174, 180syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
182181ineq2d 4101 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ dom 𝐹) = ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷))
183182reseq2d 5819 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)))
184179, 183eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)))
1851843ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)))
186185oveq1d 7179 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)) lim (𝐸𝑋)))
187 ax-resscn 10665 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
188187a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
189174, 188fssd 6516 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
1901893ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
191 inss2 4118 . . . . . . . . 9 ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
192191a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷)
193190, 192fssresd 6539 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)):((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)⟶ℂ)
194 mnfxr 10769 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
195194a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ ∈ ℝ*)
19625adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
197 elfzofz 13137 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
198197adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
199196, 198ffvelrnd 6856 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
200199rexrd 10762 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
201199mnfltd 12595 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ < (𝑄𝑖))
202195, 200, 201xrltled 12619 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ ≤ (𝑄𝑖))
203 iooss1 12849 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝑄𝑖)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ (-∞(,)(𝐸𝑋)))
204194, 202, 203sylancr 590 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ (-∞(,)(𝐸𝑋)))
2052043adant3 1133 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ (-∞(,)(𝐸𝑋)))
206 fzofzp1 13218 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
207206adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
208196, 207ffvelrnd 6856 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
2092083adant3 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
210209rexrd 10762 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
2111993adant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
212211rexrd 10762 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
213 simp3 1139 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
214 iocleub 42565 . . . . . . . . . . 11 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
215212, 210, 213, 214syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
216 iooss2 12850 . . . . . . . . . 10 (((𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
217210, 215, 216syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
218 fourierdlem49.cn . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
219 cncff 23638 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
220 fdm 6507 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
221218, 219, 2203syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
222 ssdmres 5842 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
223221, 222sylibr 237 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
224181adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom 𝐹 = 𝐷)
225223, 224sseqtrd 3915 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
2262253adant3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
227217, 226sstrd 3885 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ 𝐷)
228205, 227ssind 4121 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷))
229 fourierdlem49.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
230229, 188sstrd 3885 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
2312303ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐷 ⊆ ℂ)
232191, 231sstrid 3886 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ)
233 eqid 2738 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
234 eqid 2738 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))
2351333ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
236235rexrd 10762 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
237 iocgtlb 42564 . . . . . . . . . 10 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < (𝐸𝑋))
238212, 210, 213, 237syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < (𝐸𝑋))
239235leidd 11277 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ≤ (𝐸𝑋))
240212, 236, 236, 238, 239eliocd 42569 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)))
241 ioounsn 12944 . . . . . . . . . . 11 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑖) < (𝐸𝑋)) → (((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ∪ {(𝐸𝑋)}) = ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)))
242212, 236, 238, 241syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ∪ {(𝐸𝑋)}) = ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)))
243242fveq2d 6672 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))‘(((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ∪ {(𝐸𝑋)})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))‘((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))))
244233cnfldtop 23529 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
245 ovex 7197 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞(,)(𝐸𝑋)) ∈ V
246245inex1 5182 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∈ V
247 snex 5295 . . . . . . . . . . . 12 {(𝐸𝑋)} ∈ V
248246, 247unex 7481 . . . . . . . . . . 11 (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}) ∈ V
249 resttop 21904 . . . . . . . . . . 11 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∈ Top)
250244, 248, 249mp2an 692 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∈ Top
251 retop 23507 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
252251a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
253248a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}) ∈ V)
254 iooretop 23511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄𝑖)(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
255254a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
256 elrestr 16798 . . . . . . . . . . . 12 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}) ∈ V ∧ ((𝑄𝑖)(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
257252, 253, 255, 256syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
258 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 = (𝐸𝑋))
259 pnfxr 10766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 +∞ ∈ ℝ*
260259a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → +∞ ∈ ℝ*)
261235ltpnfd 12592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) < +∞)
262212, 260, 235, 238, 261eliood 42560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)+∞))
263 snidg 4547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐸𝑋) ∈ ℝ → (𝐸𝑋) ∈ {(𝐸𝑋)})
264 elun2 4065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐸𝑋) ∈ {(𝐸𝑋)} → (𝐸𝑋) ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))
265263, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐸𝑋) ∈ ℝ → (𝐸𝑋) ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))
266133, 265syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))
2672663ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))
268262, 267elind 4082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
269268adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
270258, 269eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
271270adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
272212adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
273259a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → +∞ ∈ ℝ*)
274200adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
275133adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
276275adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
277 iocssre 12894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ℝ) → ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)) ⊆ ℝ)
278274, 276, 277syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)) ⊆ ℝ)
279 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)))
280278, 279sseldd 3876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
2812803adantl3 1169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
282276rexrd 10762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
283 iocgtlb 42564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
284274, 282, 279, 283syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
2852843adantl3 1169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
286281ltpnfd 12592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → 𝑥 < +∞)
287272, 273, 281, 285, 286eliood 42560 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)+∞))
288287adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)+∞))
289194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → -∞ ∈ ℝ*)
290282adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
291280adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
292291mnfltd 12595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → -∞ < 𝑥)
293133ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
294 iocleub 42565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
295274, 282, 279, 294syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
296295adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
297 neqne 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥 = (𝐸𝑋) → 𝑥 ≠ (𝐸𝑋))
298297necomd 2989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 = (𝐸𝑋) → (𝐸𝑋) ≠ 𝑥)
299298adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≠ 𝑥)
300291, 293, 296, 299leneltd 10865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 < (𝐸𝑋))
301289, 290, 291, 292, 300eliood 42560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋)))
3023013adantll3 42109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋)))
303226ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
304272adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
305210ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
306281adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
307285adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
308235ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
309209ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
3103003adantll3 42109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 < (𝐸𝑋))
311215ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
312306, 308, 309, 310, 311ltletrd 10871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
313304, 305, 306, 307, 312eliood 42560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
314303, 313sseldd 3876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥𝐷)
315302, 314elind 4082 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷))
316 elun1 4064 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))
317315, 316syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))
318288, 317elind 4082 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
319271, 318pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
320212adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
321236adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
322 elinel1 4083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)+∞))
323 elioore 12844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
324323rexrd 10762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
325322, 324syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
326325adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
327200adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
328259a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → +∞ ∈ ℝ*)
329322adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)+∞))
330 ioogtlb 42557 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)+∞)) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
331327, 328, 329, 330syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
3323313adantl3 1169 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
333 elinel2 4084 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))
334 elsni 4530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)} → 𝑥 = (𝐸𝑋))
335334adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)}) → 𝑥 = (𝐸𝑋))
336134adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)}) → (𝐸𝑋) ≤ (𝐸𝑋))
337335, 336eqbrtrd 5049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)}) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
338337adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)}) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
339 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)}) → 𝜑)
340 elunnel2 42104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)}) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷))
341340adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)}) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷))
342 elinel1 4083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋)))
343 elioore 12844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
344343adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
345133adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
346194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋))) → -∞ ∈ ℝ*)
347345rexrd 10762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
348 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋)))
349 iooltub 42572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋))) → 𝑥 < (𝐸𝑋))
350346, 347, 348, 349syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋))) → 𝑥 < (𝐸𝑋))
351344, 345, 350ltled 10859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋))) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
352342, 351sylan2 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
353339, 341, 352syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)}) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
354338, 353pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
355354adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
356333, 355sylan2 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
3573563adantl3 1169 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
358320, 321, 326, 332, 357eliocd 42569 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)))
359319, 358impbida 801 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)) ↔ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))))
360359eqrdv 2736 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)) = (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
361 ioossre 12875 . . . . . . . . . . . . . 14 (-∞(,)(𝐸𝑋)) ⊆ ℝ
362 ssinss1 4126 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ⊆ ℝ → ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
363361, 362mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
364235snssd 4694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {(𝐸𝑋)} ⊆ ℝ)
365363, 364unssd 4074 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}) ⊆ ℝ)
366 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
367233, 366rerest 23549 . . . . . . . . . . . 12 ((((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
368365, 367syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
369257, 360, 3683eltr4d 2848 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
370 isopn3i 21826 . . . . . . . . . 10 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∈ Top ∧ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))‘((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) = ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)))
371250, 369, 370sylancr 590 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))‘((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) = ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)))
372243, 371eqtr2d 2774 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))‘(((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ∪ {(𝐸𝑋)})))
373240, 372eleqtrd 2835 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))‘(((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ∪ {(𝐸𝑋)})))
374193, 228, 232, 233, 234, 373limcres 24630 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)) lim (𝐸𝑋)))
375228resabs1d 5850 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))))
376375oveq1d 7179 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
377186, 374, 3763eqtr2d 2779 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
378181feq2d 6484 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:𝐷⟶ℂ))
379189, 378mpbird 260 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
380379adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3813803ad2antl1 1186 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
382 ioosscn 12876 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ ℂ
383382a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ ℂ)
384181eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 = dom 𝐹)
3853843ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐷 = dom 𝐹)
386227, 385sseqtrd 3915 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ dom 𝐹)
387386adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ dom 𝐹)
3887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
389 oveq2 7172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑋 → (𝐵𝑥) = (𝐵𝑋))
390389oveq1d 7179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = ((𝐵𝑋) / 𝑇))
391390fveq2d 6672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)))
392391oveq1d 7179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
393392adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
3942, 14resubcld 11139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
3952, 1resubcld 11139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
3964, 395eqeltrid 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
3971, 2posdifd 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
3983, 397mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
3994eqcomi 2747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵𝐴) = 𝑇
400399a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐵𝐴) = 𝑇)
401398, 400breqtrd 5053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 < 𝑇)
402401gt0ne0d 11275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑇 ≠ 0)
403394, 396, 402redivcld 11539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐵𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
404403flcld 13252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
405404zred 12161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ)
406405, 396remulcld 10742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
407388, 393, 14, 406fvmptd 6776 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑍𝑋) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
408407, 406eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑍𝑋) ∈ ℝ)
409408recnd 10740 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑍𝑋) ∈ ℂ)
410409adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → (𝑍𝑋) ∈ ℂ)
4114103ad2antl1 1186 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → (𝑍𝑋) ∈ ℂ)
412411negcld 11055 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → -(𝑍𝑋) ∈ ℂ)
413 eqid 2738 . . . . . . . . 9 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))}
414 ioosscn 12876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ ℂ
415414sseli 3871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) → 𝑦 ∈ ℂ)
416415adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ ℂ)
417409adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑍𝑋) ∈ ℂ)
418416, 417pncand 11069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)) = 𝑦)
419418eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)))
4204193ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)))
421407oveq2d 7180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
422421adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
423416, 417addcld 10731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ ℂ)
424406recnd 10740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
425424adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
426423, 425negsubd 11074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + -((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
427404zcnd 12162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℂ)
428396recnd 10740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
429427, 428mulneg1d 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) = -((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
430429eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → -((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) = (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
431430oveq2d 7180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + -((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
432431adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + -((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
433422, 426, 4323eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
4344333ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
435404znegcld 12163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
436435adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
4374363ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
438 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝜑)
439227adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ 𝐷)
440200adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
441133rexrd 10762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
442441ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
443 elioore 12844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) → 𝑦 ∈ ℝ)
444443adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ ℝ)
445408adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑍𝑋) ∈ ℝ)
446444, 445readdcld 10741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ ℝ)
447446adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ ℝ)
448408adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑍𝑋) ∈ ℝ)
449199, 448resubcld 11139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ)
450449rexrd 10762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*)
451450adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*)
45214rexrd 10762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
453452ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
454 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋))
455 ioogtlb 42557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑦)
456451, 453, 454, 455syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑦)
457199adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
458448adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑍𝑋) ∈ ℝ)
459443adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ ℝ)
460457, 458, 459ltsubaddd 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑦 ↔ (𝑄𝑖) < (𝑦 + (𝑍𝑋))))
461456, 460mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑄𝑖) < (𝑦 + (𝑍𝑋)))
46214ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
463 iooltub 42572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 < 𝑋)
464451, 453, 454, 463syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 < 𝑋)
465459, 462, 458, 464ltadd1dd 11322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍𝑋)) < (𝑋 + (𝑍𝑋)))
4665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥))))
467 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
468 fveq2 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 𝑋 → (𝑍𝑥) = (𝑍𝑋))
469467, 468oveq12d 7182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑍𝑥)) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
470469adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (𝑍𝑥)) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
47114, 408readdcld 10741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍𝑋)) ∈ ℝ)
472466, 470, 14, 471fvmptd 6776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
473472eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍𝑋)) = (𝐸𝑋))
474473ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑋 + (𝑍𝑋)) = (𝐸𝑋))
475465, 474breqtrd 5053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍𝑋)) < (𝐸𝑋))
476440, 442, 447, 461, 475eliood 42560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)))
4774763adantl3 1169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)))
478439, 477sseldd 3876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷)
479438, 478, 4373jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
480 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 ∈ ℤ ↔ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
4814803anbi3d 1443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)))
482 oveq1 7171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 · 𝑇) = (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
483482oveq2d 7180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
484483eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐷))
485481, 484imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
486 ovex 7197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ V
487 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍𝑋)) → (𝑥𝐷 ↔ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷))
4884873anbi2d 1442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍𝑋)) → ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷𝑘 ∈ ℤ)))
489 oveq1 7171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍𝑋)) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)))
490489eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍𝑋)) → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
491488, 490imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍𝑋)) → (((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
492 fourierdlem49.dper . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
493486, 491, 492vtocl 3463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
494485, 493vtoclg 3470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ → ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐷))
495437, 479, 494sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐷)
496434, 495eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷)
497420, 496eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦𝐷)
498497ralrimiva 3096 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∀𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑦𝐷)
499 dfss3 3863 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑦𝐷)
500498, 499sylibr 237 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ 𝐷)
501199recnd 10740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
502409adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑍𝑋) ∈ ℂ)
503501, 502negsubd 11074 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) + -(𝑍𝑋)) = ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)))
504503eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) = ((𝑄𝑖) + -(𝑍𝑋)))
505472oveq1d 7179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋)) = ((𝑋 + (𝑍𝑋)) + -(𝑍𝑋)))
506471recnd 10740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍𝑋)) ∈ ℂ)
507506, 409negsubd 11074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑍𝑋)) + -(𝑍𝑋)) = ((𝑋 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)))
50814recnd 10740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
509508, 409pncand 11069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)) = 𝑋)
510505, 507, 5093eqtrrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 = ((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋)))
511510adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 = ((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋)))
512504, 511oveq12d 7182 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) = (((𝑄𝑖) + -(𝑍𝑋))(,)((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋))))
513448renegcld 11138 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -(𝑍𝑋) ∈ ℝ)
514199, 275, 513iooshift 42584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖) + -(𝑍𝑋))(,)((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))})
515512, 514eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))} = (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋))
5165153adant3 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))} = (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋))
5171813ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → dom 𝐹 = 𝐷)
518500, 516, 5173sstr4d 3922 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))} ⊆ dom 𝐹)
519518adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))} ⊆ dom 𝐹)
520407negeqd 10951 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -(𝑍𝑋) = -((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
521520, 430eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -(𝑍𝑋) = (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
522521oveq2d 7180 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 + -(𝑍𝑋)) = (𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
523522fveq2d 6672 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
524523adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
5255243ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
526435adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
5275263ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
528 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → 𝜑)
529227sselda 3875 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → 𝑥𝐷)
530528, 529, 5273jca 1129 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → (𝜑𝑥𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
5314803anbi3d 1443 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑥𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)))
532482oveq2d 7180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
533532fveq2d 6672 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
534533eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹𝑥)))
535531, 534imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹𝑥))))
536 fourierdlem49.per . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
537535, 536vtoclg 3470 . . . . . . . . . . . 12 (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ → ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹𝑥)))
538527, 530, 537sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
539525, 538eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍𝑋))) = (𝐹𝑥))
540539adantlr 715 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍𝑋))) = (𝐹𝑥))
541 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
542381, 383, 387, 412, 413, 519, 540, 541limcperiod 42695 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))}) lim ((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋))))
543515reseq2d 5819 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))}) = (𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)))
544511eqcomd 2744 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋)) = 𝑋)
545543, 544oveq12d 7182 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))}) lim ((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋))) = ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋))
5465453adant3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))}) lim ((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋))) = ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋))
547546adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))}) lim ((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋))) = ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋))
548542, 547eleqtrd 2835 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋))
549379adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
5505493ad2antl1 1186 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
551414a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ ℂ)
552500, 517sseqtrrd 3916 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ dom 𝐹)
553552adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ dom 𝐹)
554409adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → (𝑍𝑋) ∈ ℂ)
5555543ad2antl1 1186 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → (𝑍𝑋) ∈ ℂ)
556 eqid 2738 . . . . . . . . 9 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))}
557501, 502npcand 11072 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) + (𝑍𝑋)) = (𝑄𝑖))
558557eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) = (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) + (𝑍𝑋)))
559472adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
560558, 559oveq12d 7182 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) = ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) + (𝑍𝑋))(,)(𝑋 + (𝑍𝑋))))
56114adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
562449, 561, 448iooshift 42584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) + (𝑍𝑋))(,)(𝑋 + (𝑍𝑋))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))})
563560, 562eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))} = ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)))
5645633adant3 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))} = ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)))
565227, 564, 5173sstr4d 3922 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))} ⊆ dom 𝐹)
566565adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))} ⊆ dom 𝐹)
567407oveq2d 7180 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 + (𝑍𝑋)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
568567fveq2d 6672 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
569568adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
5705693ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
571404adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
5725713ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
573 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝜑)
574500sselda 3875 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑥𝐷)
575573, 574, 5723jca 1129 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝜑𝑥𝐷 ∧ (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
576 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 ∈ ℤ ↔ (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
5775763anbi3d 1443 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑥𝐷 ∧ (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)))
578 oveq1 7171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
579578oveq2d 7180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
580579fveq2d 6672 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
581580eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹𝑥)))
582577, 581imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑥𝐷 ∧ (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹𝑥))))
583582, 536vtoclg 3470 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ → ((𝜑𝑥𝐷 ∧ (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹𝑥)))
584572, 575, 583sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
585570, 584eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍𝑋))) = (𝐹𝑥))
586585adantlr 715 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍𝑋))) = (𝐹𝑥))
587 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋))
588550, 551, 553, 555, 556, 566, 586, 587limcperiod 42695 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))}) lim (𝑋 + (𝑍𝑋))))
589563reseq2d 5819 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))}) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))))
590473adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑍𝑋)) = (𝐸𝑋))
591589, 590oveq12d 7182 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))}) lim (𝑋 + (𝑍𝑋))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
5925913adant3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))}) lim (𝑋 + (𝑍𝑋))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
593592adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))}) lim (𝑋 + (𝑍𝑋))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
594588, 593eleqtrd 2835 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
595548, 594impbida 801 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) ↔ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)))
596595eqrdv 2736 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) = ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋))
597 resindm 5868 . . . . . . . . . . 11 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)))
598597eqcomd 2744 . . . . . . . . . 10 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹)))
599176, 598syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹)))
600181ineq2d 4101 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹) = ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
601600reseq2d 5819 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)))
602599, 601eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)))
603602oveq1d 7179 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) lim 𝑋))
6046033ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) lim 𝑋))
605 inss2 4118 . . . . . . . . . 10 ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
606605a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷)
607190, 606fssresd 6539 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)):((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)⟶ℂ)
608449mnfltd 12595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ < ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)))
609195, 450, 608xrltled 12619 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ ≤ ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)))
610 iooss1 12849 . . . . . . . . . . 11 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ (-∞(,)𝑋))
611194, 609, 610sylancr 590 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ (-∞(,)𝑋))
6126113adant3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ (-∞(,)𝑋))
613612, 500ssind 4121 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
614605, 231sstrid 3886 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ)
615 eqid 2738 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
6164503adant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*)
6174523ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
6184723ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
619238, 618breqtrd 5053 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < (𝑋 + (𝑍𝑋)))
6204083ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑍𝑋) ∈ ℝ)
621143ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
622211, 620, 621ltsubaddd 11307 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑋 ↔ (𝑄𝑖) < (𝑋 + (𝑍𝑋))))
623619, 622mpbird 260 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑋)
62414leidd 11277 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑋)
6256243ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋𝑋)
626616, 617, 617, 623, 625eliocd 42569 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋))
627 ioounsn 12944 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑋) → ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋}) = (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋))
628616, 617, 623, 627syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋}) = (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋))
629628fveq2d 6672 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)))
630 ovex 7197 . . . . . . . . . . . . . 14 (-∞(,)𝑋) ∈ V
631630inex1 5182 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∈ V
632 snex 5295 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑋} ∈ V
633631, 632unex 7481 . . . . . . . . . . . 12 (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V
634 resttop 21904 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top)
635244, 633, 634mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top
636633a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V)
637 iooretop 23511 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
638637a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
639 elrestr 16798 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V ∧ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
640252, 636, 638, 639syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
641450adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*)
642259a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → +∞ ∈ ℝ*)
64314ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
644 iocssre 12894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋) ⊆ ℝ)
645641, 643, 644syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋) ⊆ ℝ)
646 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋))
647645, 646sseldd 3876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
648452ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
649 iocgtlb 42564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑥)
650641, 648, 646, 649syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑥)
651647ltpnfd 12592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 < +∞)
652641, 642, 647, 650, 651eliood 42560 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞))
6536523adantl3 1169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞))
654 eqvisset 3414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑋𝑋 ∈ V)
655 snidg 4547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋 ∈ V → 𝑋 ∈ {𝑋})
656654, 655syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑋𝑋 ∈ {𝑋})
657467, 656eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ {𝑋})
658 elun2 4065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ {𝑋} → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
659657, 658syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
660659adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
661 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → (𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
662641adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*)
663452ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ*)
664647adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
665650adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑥)
66614ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
667 iocleub 42565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥𝑋)
668641, 648, 646, 667syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥𝑋)
669668adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥𝑋)
670467eqcoms 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 = 𝑥𝑥 = 𝑋)
671670necon3bi 2960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 = 𝑋𝑋𝑥)
672671adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋𝑥)
673664, 666, 669, 672leneltd 10865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < 𝑋)
674662, 663, 664, 665, 673eliood 42560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋))
6756743adantll3 42109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋))
676613sselda 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
677 elun1 4064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
678676, 677syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
679661, 675, 678syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
680660, 679pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
681653, 680elind 4082 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
682616adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*)
683617adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
684 elinel1 4083 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞))
685 elioore 12844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
686684, 685syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ)
687686rexrd 10762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
688687adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
689450adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*)
690259a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → +∞ ∈ ℝ*)
691684adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞))
692 ioogtlb 42557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑥)
693689, 690, 691, 692syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑥)
6946933adantl3 1169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑥)
695 elinel2 4084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
696 elsni 4530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ {𝑋} → 𝑥 = 𝑋)
697696adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 = 𝑋)
698624adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑋𝑋)
699697, 698eqbrtrd 5049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥𝑋)
700699adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥𝑋)
701 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝜑)
702 elunnel2 42104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
703702adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
704 elinel1 4083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋))
705703, 704syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋))
706 elioore 12844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
707706adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
70814adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
709194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → -∞ ∈ ℝ*)
710452adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
711 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋))
712 iooltub 42572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-∞ ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 < 𝑋)
713709, 710, 711, 712syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 < 𝑋)
714707, 708, 713ltled 10859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥𝑋)
715701, 705, 714syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥𝑋)
716700, 715pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥𝑋)
717695, 716sylan2 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥𝑋)
7187173ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥𝑋)
719682, 683, 688, 694, 718eliocd 42569 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋))
720681, 719impbida 801 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋) ↔ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))))
721720eqrdv 2736 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋) = ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
722605, 229sstrid 3886 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
72314snssd 4694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → {𝑋} ⊆ ℝ)
724722, 723unssd 4074 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ)
7257243ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ)
726233, 366rerest 23549 . . . . . . . . . . . . 13 ((((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
727725, 726syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
728640, 721, 7273eltr4d 2848 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
729 isopn3i 21826 . . . . . . . . . . 11 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top ∧ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) = (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋))
730635, 728, 729sylancr 590 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) = (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋))
731629, 730eqtr2d 2774 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋})))
732626, 731eleqtrd 2835 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋})))
733607, 613, 614, 233, 615, 732limcres 24630 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) lim 𝑋))
734733eqcomd 2744 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) lim 𝑋) = (((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋))
735613resabs1d 5850 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) = (𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)))
736735oveq1d 7179 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋))
737604, 734, 7363eqtrrd 2778 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
738377, 596, 7373eqtrrd 2778 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
739738rexlimdv3a 3195 . . 3 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))))
740173, 739mpd 15 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
7411203adant3 1133 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
7422183adant3 1133 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
743 fourierdlem49.l . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
7447433adant3 1133 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
745 eqid 2738 . . . . . . . 8 if((𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸𝑋))) = if((𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸𝑋)))
746 eqid 2738 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
747211, 209, 741, 742, 744, 211, 235, 238, 217, 745, 746fourierdlem33 43207 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if((𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸𝑋))) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
748217resabs1d 5850 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))))
749748oveq1d 7179 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
750747, 749eleqtrd 2835 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if((𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸𝑋))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
751 ne0i 4221 . . . . . 6 (if((𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸𝑋))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) ≠ ∅)
752750, 751syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) ≠ ∅)
753377, 752eqnetrd 3001 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) ≠ ∅)
754753rexlimdv3a 3195 . . 3 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) ≠ ∅))
755173, 754mpd 15 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) ≠ ∅)
756740, 755eqnetrd 3001 1 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  wral 3053  wrex 3054  {crab 3057  Vcvv 3397  cun 3839  cin 3840  wss 3841  c0 4209  ifcif 4411  {csn 4513   class class class wbr 5027  cmpt 5107  dom cdm 5519  ran crn 5520  cres 5521  Rel wrel 5524   Fn wfn 6328  wf 6329  cfv 6333  (class class class)co 7164  m cmap 8430  supcsup 8970  cc 10606  cr 10607  0cc0 10608  1c1 10609   + caddc 10611   · cmul 10613  +∞cpnf 10743  -∞cmnf 10744  *cxr 10745   < clt 10746  cle 10747  cmin 10941  -cneg 10942   / cdiv 11368  cn 11709  0cn0 11969  cz 12055  cuz 12317  (,)cioo 12814  (,]cioc 12815  [,]cicc 12817  ...cfz 12974  ..^cfzo 13117  cfl 13244  t crest 16790  TopOpenctopn 16791  topGenctg 16807  fldccnfld 20210  Topctop 21637  intcnt 21761  cnccncf 23621   lim climc 24606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fi 8941  df-sup 8972  df-inf 8973  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-xneg 12583  df-xadd 12584  df-xmul 12585  df-ioo 12818  df-ioc 12819  df-icc 12821  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-fl 13246  df-seq 13454  df-exp 13515  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-starv 16676  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-unif 16684  df-rest 16792  df-topn 16793  df-topgen 16813  df-psmet 20202  df-xmet 20203  df-met 20204  df-bl 20205  df-mopn 20206  df-cnfld 20211  df-top 21638  df-topon 21655  df-topsp 21677  df-bases 21690  df-ntr 21764  df-cn 21971  df-cnp 21972  df-xms 23066  df-ms 23067  df-cncf 23623  df-limc 24610
This theorem is referenced by:  fourierdlem94  43267  fourierdlem113  43286
  Copyright terms: Public domain W3C validator