Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem49 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fourierdlem49 42447
Description: The given periodic function 𝐹 has a left limit at every point in the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem49.a (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem49.b (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem49.altb (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem49.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem49.t 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem49.m (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem49.q (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem49.d (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
fourierdlem49.f (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
fourierdlem49.dper ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
fourierdlem49.per ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
fourierdlem49.cn ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem49.l ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem49.x (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem49.z 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
fourierdlem49.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem49 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐴,𝑖   𝐵,𝑖,𝑘   𝐵,𝑚,𝑝   𝑥,𝐵,𝑘   𝐷,𝑘,𝑥   𝑖,𝐸,𝑘,𝑥   𝑖,𝐹,𝑘,𝑥   𝑖,𝑀,𝑘   𝑚,𝑀,𝑝   𝑥,𝑀   𝑄,𝑖,𝑘   𝑄,𝑝   𝑥,𝑄   𝑇,𝑘,𝑥   𝑖,𝑋,𝑘,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥   𝜑,𝑖,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐴(𝑘)   𝐷(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑇(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐸(𝑚,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑋(𝑚,𝑝)   𝑍(𝑖,𝑚,𝑝)
Proof of Theorem fourierdlem49
Dummy variables 𝑗 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem49.a . . . . . 6 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem49.b . . . . . 6 (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3 fourierdlem49.altb . . . . . 6 (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
4 fourierdlem49.t . . . . . 6 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
5 fourierdlem49.e . . . . . . 7 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥)))
6 ovex 7191 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V
7 fourierdlem49.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
87fvmpt2 6781 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V) → (𝑍‘𝑥) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
96, 8mpan2 689 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑍‘𝑥) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
109oveq2d 7174 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (𝑍‘𝑥)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
1110mpteq2ia 5159 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
125, 11eqtri 2846 . . . . . 6 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
131, 2, 3, 4, 12fourierdlem4 42403 . . . . 5 (𝜑 → 𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
14 fourierdlem49.x . . . . 5 (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
1513, 14ffvelrnd 6854 . . . 4 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵))
16 simpr 487 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄)
17 fourierdlem49.q . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
18 fourierdlem49.m . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
19 fourierdlem49.p . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
2019fourierdlem2 42401 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
2118, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
2217, 21mpbid 234 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
2322simpld 497 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
24 elmapi 8430 . . . . . . . . . . 11 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
26 ffn 6516 . . . . . . . . . 10 (𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ → 𝑄 Fn (0...𝑀))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 𝑄 Fn (0...𝑀))
2827ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
29 fvelrnb 6728 . . . . . . . 8 (𝑄 Fn (0...𝑀) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)))
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)))
3116, 30mpbid 234 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋))
32 1zzd 12016 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
33 elfzelz 12911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
3433ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ ℤ)
35 1e0p1 12143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = (0 + 1)
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 1 = (0 + 1))
3734zred 12090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ ℝ)
38 elfzle1 12913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 0 ≤ 𝑗)
3938ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 ≤ 𝑗)
40 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋))
4140eqcomd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘𝑗))
4241ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘𝑗))
43 fveq2 6672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 = 0 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘0))
4443adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘0))
4522simprld 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵))
4645simpld 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
4746ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄‘0) = 𝐴)
4842, 44, 473eqtrd 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
4948adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
5049adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
511adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
521rexrd 10693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5352adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
542rexrd 10693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5554adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
56 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵))
57 iocgtlb 41784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸‘𝑋))
5853, 55, 56, 57syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸‘𝑋))
5951, 58gtned 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐴)
6059neneqd 3023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ¬ (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
6160ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → ¬ (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
6250, 61pm2.65da 815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ¬ 𝑗 = 0)
6362neqned 3025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ≠ 0)
6437, 39, 63ne0gt0d 10779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 < 𝑗)
65 0zd 11996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 ∈ ℤ)
66 zltp1le 12035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗))
6765, 34, 66syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗))
6864, 67mpbid 234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (0 + 1) ≤ 𝑗)
6936, 68eqbrtrd 5090 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 1 ≤ 𝑗)
70 eluz2 12252 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗))
7132, 34, 69, 70syl3anbrc 1339 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1))
72 nnuz 12284 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ = (ℤ≥‘1)
7371, 72eleqtrrdi 2926 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ ℕ)
74 nnm1nn0 11941 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
76 nn0uz 12283 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ0 = (ℤ≥‘0)
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ℕ0 = (ℤ≥‘0))
7875, 77eleqtrd 2917 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
7918nnzd 12089 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8079ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑀 ∈ ℤ)
81 peano2zm 12028 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
8233, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
8382zred 12090 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
8433zred 12090 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
85 elfzel2 12909 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
8685zred 12090 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
8784ltm1d 11574 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑗)
88 elfzle2 12914 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ≤ 𝑀)
8983, 84, 86, 87, 88ltletrd 10802 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑀)
9089ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) < 𝑀)
91 elfzo2 13044 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝑗 − 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) < 𝑀))
9278, 80, 90, 91syl3anbrc 1339 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))
9325ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
9434, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
9565, 80, 943jca 1124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ))
9675nn0ge0d 11961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 ≤ (𝑗 − 1))
9783, 86, 89ltled 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)
9897ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)
9995, 96, 98jca32 518 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑗 − 1) ∧ (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)))
100 elfz2 12902 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 − 1) ∈ (0...𝑀) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑗 − 1) ∧ (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)))
10199, 100sylibr 236 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0...𝑀))
10293, 101ffvelrnd 6854 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ)
103102rexrd 10693 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ*)
10425ffvelrnda 6853 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ)
105104rexrd 10693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
106105adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
107106adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
108 iocssre 12819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
10952, 2, 108syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
110109sselda 3969 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
111110rexrd 10693 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
112111ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
113 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝜑)
114 ovex 7191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 − 1) ∈ V
115 eleq1 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)))
116115anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))))
117 fveq2 6672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘(𝑗 − 1)))
118 oveq1 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑗 − 1) + 1))
119118fveq2d 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
120117, 119breq12d 5081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
121116, 120imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))))
12222simprrd 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
123122r19.21bi 3210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
124114, 121, 123vtocl 3561 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
125113, 92, 124syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
12633zcnd 12091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
127 1cnd 10638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 1 ∈ ℂ)
128126, 127npcand 11003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
129128eqcomd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 = ((𝑗 − 1) + 1))
130129fveq2d 6676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
131130eqcomd 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄‘𝑗))
132131ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄‘𝑗))
133125, 132breqtrd 5094 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘𝑗))
134 simpr 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋))
135133, 134breqtrd 5094 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝐸‘𝑋))
136109, 15sseldd 3970 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
137136leidd 11208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝐸‘𝑋))
138137ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝐸‘𝑋))
13941adantl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘𝑗))
140138, 139breqtrd 5094 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘𝑗))
141140adantllr 717 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘𝑗))
142103, 107, 112, 135, 141eliocd 41790 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘𝑗)))
143130oveq2d 7174 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
144143ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
145142, 144eleqtrd 2917 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
146117, 119oveq12d 7176 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
147146eleq2d 2900 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))))
148147rspcev 3625 . . . . . . . . . 10 (((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
14992, 145, 148syl2anc 586 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
150149ex 415 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
151150adantlr 713 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
152151rexlimdva 3286 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
15331, 152mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
15418ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑀 ∈ ℕ)
15525ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
156 iocssicc 12828 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
15746eqcomd 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝐴 = (𝑄‘0))
15845simprd 498 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = 𝐵)
159158eqcomd 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝐵 = (𝑄‘𝑀))
160157, 159oveq12d 7176 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
161156, 160sseqtrid 4021 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
162161sselda 3969 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
163162adantr 483 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
164 simpr 487 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄)
165 fveq2 6672 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘𝑗))
166165breq1d 5078 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑄‘𝑘) < (𝐸‘𝑋) ↔ (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)))
167166cbvrabv 3493 . . . . . . . 8 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < (𝐸‘𝑋)} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)}
168167supeq1i 8913 . . . . . . 7 sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < (𝐸‘𝑋)}, ℝ, < ) = sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)}, ℝ, < )
169154, 155, 163, 164, 168fourierdlem25 42424 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
170 ioossioc 41773 . . . . . . . . 9 ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
171170sseli 3965 . . . . . . . 8 ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
172171a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
173172reximdva 3276 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
174169, 173mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
175153, 174pm2.61dan 811 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
17615, 175mpdan 685 . . 3 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
177 fourierdlem49.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
178 frel 6521 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐷⟶ℝ → Rel 𝐹)
179177, 178syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Rel 𝐹)
180 resindm 5902 . . . . . . . . . . 11 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))))
181180eqcomd 2829 . . . . . . . . . 10 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ dom 𝐹)))
182179, 181syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ dom 𝐹)))
183 fdm 6524 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐷⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐷)
184177, 183syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
185184ineq2d 4191 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ dom 𝐹) = ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷))
186185reseq2d 5855 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)))
187182, 186eqtrd 2858 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)))
1881873ad2ant1 1129 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)))
189188oveq1d 7173 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)) limℂ (𝐸‘𝑋)))
190 ax-resscn 10596 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
191190a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
192177, 191fssd 6530 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
1931923ad2ant1 1129 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
194 inss2 4208 . . . . . . . . 9 ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
195194a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷)
196193, 195fssresd 6547 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)):((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)⟶ℂ)
197 mnfxr 10700 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
198197a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ ∈ ℝ*)
19925adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
200 elfzofz 13056 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
201200adantl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
202199, 201ffvelrnd 6854 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
203202rexrd 10693 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
204202mnfltd 12522 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ < (𝑄‘𝑖))
205198, 203, 204xrltled 12546 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ ≤ (𝑄‘𝑖))
206 iooss1 12776 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝑄‘𝑖)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ (-∞(,)(𝐸‘𝑋)))
207197, 205, 206sylancr 589 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ (-∞(,)(𝐸‘𝑋)))
2082073adant3 1128 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ (-∞(,)(𝐸‘𝑋)))
209 fzofzp1 13137 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
210209adantl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
211199, 210ffvelrnd 6854 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
2122113adant3 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
213212rexrd 10693 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
2142023adant3 1128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
215214rexrd 10693 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
216 simp3 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
217 iocleub 41785 . . . . . . . . . . 11 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
218215, 213, 216, 217syl3anc 1367 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
219 iooss2 12777 . . . . . . . . . 10 (((𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
220213, 218, 219syl2anc 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
221 fourierdlem49.cn . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
222 cncff 23503 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
223 fdm 6524 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
224221, 222, 2233syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
225 ssdmres 5878 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
226224, 225sylibr 236 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
227184adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom 𝐹 = 𝐷)
228226, 227sseqtrd 4009 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
2292283adant3 1128 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
230220, 229sstrd 3979 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ 𝐷)
231208, 230ssind 4211 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷))
232 fourierdlem49.d . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
233232, 191sstrd 3979 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
2342333ad2ant1 1129 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐷 ⊆ ℂ)
235194, 234sstrid 3980 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ)
236 eqid 2823 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
237 eqid 2823 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))
2381363ad2ant1 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
239238rexrd 10693 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
240 iocgtlb 41784 . . . . . . . . . 10 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) < (𝐸‘𝑋))
241215, 213, 216, 240syl3anc 1367 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) < (𝐸‘𝑋))
242238leidd 11208 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝐸‘𝑋))
243215, 239, 239, 241, 242eliocd 41790 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)))
244 ioounsn 12866 . . . . . . . . . . 11 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘𝑖) < (𝐸‘𝑋)) → (((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) = ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)))
245215, 239, 241, 244syl3anc 1367 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) = ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)))
246245fveq2d 6676 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))‘(((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))‘((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))))
247236cnfldtop 23394 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
248 ovex 7191 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∈ V
249248inex1 5223 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∈ V
250 snex 5334 . . . . . . . . . . . 12 {(𝐸‘𝑋)} ∈ V
251249, 250unex 7471 . . . . . . . . . . 11 (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) ∈ V
252 resttop 21770 . . . . . . . . . . 11 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∈ Top)
253247, 251, 252mp2an 690 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∈ Top
254 retop 23372 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
255254a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
256251a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) ∈ V)
257 iooretop 23376 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
258257a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
259 elrestr 16704 . . . . . . . . . . . 12 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) ∈ V ∧ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
260255, 256, 258, 259syl3anc 1367 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
261 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 = (𝐸‘𝑋))
262 pnfxr 10697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 +∞ ∈ ℝ*
263262a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → +∞ ∈ ℝ*)
264238ltpnfd 12519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) < +∞)
265215, 263, 238, 241, 264eliood 41780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞))
266 snidg 4601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐸‘𝑋) ∈ ℝ → (𝐸‘𝑋) ∈ {(𝐸‘𝑋)})
267 elun2 4155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐸‘𝑋) ∈ {(𝐸‘𝑋)} → (𝐸‘𝑋) ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))
268266, 267syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐸‘𝑋) ∈ ℝ → (𝐸‘𝑋) ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))
269136, 268syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))
2702693ad2ant1 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))
271265, 270elind 4173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
272271adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
273261, 272eqeltrd 2915 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
274273adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
275215adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
276262a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → +∞ ∈ ℝ*)
277203adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
278136adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
279278adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
280 iocssre 12819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ) → ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)) ⊆ ℝ)
281277, 279, 280syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)) ⊆ ℝ)
282 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)))
283281, 282sseldd 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
2842833adantl3 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
285279rexrd 10693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
286 iocgtlb 41784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
287277, 285, 282, 286syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
2882873adantl3 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
289284ltpnfd 12519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → 𝑥 < +∞)
290275, 276, 284, 288, 289eliood 41780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞))
291290adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞))
292197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → -∞ ∈ ℝ*)
293285adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
294283adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
295294mnfltd 12522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → -∞ < 𝑥)
296136ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
297 iocleub 41785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
298277, 285, 282, 297syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
299298adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
300 neqne 3026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋) → 𝑥 ≠ (𝐸‘𝑋))
301300necomd 3073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋) → (𝐸‘𝑋) ≠ 𝑥)
302301adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≠ 𝑥)
303294, 296, 299, 302leneltd 10796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 < (𝐸‘𝑋))
304292, 293, 294, 295, 303eliood 41780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋)))
3053043adantll3 41308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋)))
306229ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
307275adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
308213ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
309284adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
310288adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
311238ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
312212ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
3133033adantll3 41308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 < (𝐸‘𝑋))
314218ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
315309, 311, 312, 313, 314ltletrd 10802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
316307, 308, 309, 310, 315eliood 41780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
317306, 316sseldd 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
318305, 317elind 4173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷))
319 elun1 4154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))
320318, 319syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))
321291, 320elind 4173 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
322274, 321pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
323215adantr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
324239adantr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
325 elinel1 4174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞))
326 elioore 12771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
327326rexrd 10693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
328325, 327syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
329328adantl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
330203adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
331262a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → +∞ ∈ ℝ*)
332325adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞))
333 ioogtlb 41777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞)) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
334330, 331, 332, 333syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
3353343adantl3 1164 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
336 elinel2 4175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))
337 elsni 4586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)} → 𝑥 = (𝐸‘𝑋))
338337adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)}) → 𝑥 = (𝐸‘𝑋))
339137adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)}) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝐸‘𝑋))
340338, 339eqbrtrd 5090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)}) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
341340adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)}) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
342 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)}) → 𝜑)
343 elunnel2 41303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)}) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷))
344343adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)}) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷))
345 elinel1 4174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋)))
346 elioore 12771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
347346adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
348136adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
349197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) → -∞ ∈ ℝ*)
350348rexrd 10693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
351 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋)))
352 iooltub 41793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) → 𝑥 < (𝐸‘𝑋))
353349, 350, 351, 352syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) → 𝑥 < (𝐸‘𝑋))
354347, 348, 353ltled 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
355345, 354sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
356342, 344, 355syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)}) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
357341, 356pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
358357adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
359336, 358sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
3603593adantl3 1164 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
361323, 324, 329, 335, 360eliocd 41790 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)))
362322, 361impbida 799 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)) ↔ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))))
363362eqrdv 2821 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)) = (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
364 ioossre 12801 . . . . . . . . . . . . . 14 (-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ ℝ
365 ssinss1 4216 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ ℝ → ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
366364, 365mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
367238snssd 4744 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {(𝐸‘𝑋)} ⊆ ℝ)
368366, 367unssd 4164 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) ⊆ ℝ)
369 eqid 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
370236, 369rerest 23414 . . . . . . . . . . . 12 ((((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
371368, 370syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
372260, 363, 3713eltr4d 2930 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
373 isopn3i 21692 . . . . . . . . . 10 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∈ Top ∧ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))‘((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) = ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)))
374253, 372, 373sylancr 589 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))‘((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) = ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)))
375246, 374eqtr2d 2859 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))‘(((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
376243, 375eleqtrd 2917 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))‘(((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
377196, 231, 235, 236, 237, 376limcres 24486 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)) limℂ (𝐸‘𝑋)))
378231resabs1d 5886 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))))
379378oveq1d 7173 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
380189, 377, 3793eqtr2d 2864 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
381184feq2d 6502 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:𝐷⟶ℂ))
382192, 381mpbird 259 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
383382adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3843833ad2antl1 1181 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
385 ioosscn 41776 . . . . . . . . . 10 ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ ℂ
386385a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ ℂ)
387184eqcomd 2829 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 𝐷 = dom 𝐹)
3883873ad2ant1 1129 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐷 = dom 𝐹)
389230, 388sseqtrd 4009 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ dom 𝐹)
390389adantr 483 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ dom 𝐹)
3917a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
392 oveq2 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑋 → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 𝑋))
393392oveq1d 7173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))
394393fveq2d 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)))
395394oveq1d 7173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
396395adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
3972, 14resubcld 11070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℝ)
3982, 1resubcld 11070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
3994, 398eqeltrid 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
4001, 2posdifd 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
4013, 400mpbid 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
4024eqcomi 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵 − 𝐴) = 𝑇
403402a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = 𝑇)
404401, 403breqtrd 5094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 < 𝑇)
405404gt0ne0d 11206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
406397, 399, 405redivcld 11470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
407406flcld 13171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
408407zred 12090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ)
409408, 399remulcld 10673 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
410391, 396, 14, 409fvmptd 6777 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑍‘𝑋) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
411410, 409eqeltrd 2915 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑍‘𝑋) ∈ ℝ)
412411recnd 10671 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑍‘𝑋) ∈ ℂ)
413412adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℂ)
4144133ad2antl1 1181 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℂ)
415414negcld 10986 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → -(𝑍‘𝑋) ∈ ℂ)
416 eqid 2823 . . . . . . . . 9 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))}
417 ioosscn 41776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ ℂ
418417sseli 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) → 𝑦 ∈ ℂ)
419418adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ ℂ)
420412adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℂ)
421419, 420pncand 11000 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)) = 𝑦)
422421eqcomd 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)))
4234223ad2antl1 1181 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)))
424410oveq2d 7174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
425424adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
426419, 420addcld 10662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ℂ)
427409recnd 10671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
428427adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
429426, 428negsubd 11005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + -((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
430407zcnd 12091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℂ)
431399recnd 10671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
432430, 431mulneg1d 11095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) = -((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
433432eqcomd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → -((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) = (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
434433oveq2d 7174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + -((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
435434adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + -((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
436425, 429, 4353eqtr2d 2864 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
4374363ad2antl1 1181 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
438407znegcld 12092 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
439438adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
4404393ad2antl1 1181 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
441 simpl1 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝜑)
442230adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ 𝐷)
443203adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
444136rexrd 10693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
445444ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
446 elioore 12771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) → 𝑦 ∈ ℝ)
447446adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ ℝ)
448411adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℝ)
449447, 448readdcld 10672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ)
450449adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ)
451411adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℝ)
452202, 451resubcld 11070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ)
453452rexrd 10693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ*)
454453adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ*)
45514rexrd 10693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
456455ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
457 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋))
458 ioogtlb 41777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑦)
459454, 456, 457, 458syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑦)
460202adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
461451adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℝ)
462446adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ ℝ)
463460, 461, 462ltsubaddd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑦 ↔ (𝑄‘𝑖) < (𝑦 + (𝑍‘𝑋))))
464459, 463mpbid 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑦 + (𝑍‘𝑋)))
46514ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
466 iooltub 41793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 < 𝑋)
467454, 456, 457, 466syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 < 𝑋)
468462, 465, 461, 467ltadd1dd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) < (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
4695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥))))
470 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
471 fveq2 6672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 𝑋 → (𝑍‘𝑥) = (𝑍‘𝑋))
472470, 471oveq12d 7176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑍‘𝑥)) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
473472adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (𝑍‘𝑥)) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
47414, 411readdcld 10672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ)
475469, 473, 14, 474fvmptd 6777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
476475eqcomd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍‘𝑋)) = (𝐸‘𝑋))
477476ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑋 + (𝑍‘𝑋)) = (𝐸‘𝑋))
478468, 477breqtrd 5094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) < (𝐸‘𝑋))
479443, 445, 450, 464, 478eliood 41780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)))
4804793adantl3 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)))
481442, 480sseldd 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷)
482441, 481, 4403jca 1124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
483 eleq1 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 ∈ ℤ ↔ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
4844833anbi3d 1438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)))
485 oveq1 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 · 𝑇) = (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
486485oveq2d 7174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
487486eleq1d 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐷))
488484, 487imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
489 ovex 7191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ V
490 eleq1 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) → (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷))
4914903anbi2d 1437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ)))
492 oveq1 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)))
493492eleq1d 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
494491, 493imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
495 fourierdlem49.dper . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
496489, 494, 495vtocl 3561 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
497488, 496vtoclg 3569 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ → ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐷))
498440, 482, 497sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐷)
499437, 498eqeltrd 2915 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷)
500423, 499eqeltrd 2915 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ 𝐷)
501500ralrimiva 3184 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∀𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑦 ∈ 𝐷)
502 dfss3 3958 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑦 ∈ 𝐷)
503501, 502sylibr 236 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ 𝐷)
504202recnd 10671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℂ)
505412adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℂ)
506504, 505negsubd 11005 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖) + -(𝑍‘𝑋)) = ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)))
507506eqcomd 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) = ((𝑄‘𝑖) + -(𝑍‘𝑋)))
508475oveq1d 7173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋)) = ((𝑋 + (𝑍‘𝑋)) + -(𝑍‘𝑋)))
509474recnd 10671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ℂ)
510509, 412negsubd 11005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑍‘𝑋)) + -(𝑍‘𝑋)) = ((𝑋 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)))
51114recnd 10671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
512511, 412pncand 11000 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)) = 𝑋)
513508, 510, 5123eqtrrd 2863 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 𝑋 = ((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋)))
514513adantr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 = ((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋)))
515507, 514oveq12d 7176 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) = (((𝑄‘𝑖) + -(𝑍‘𝑋))(,)((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋))))
516451renegcld 11069 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -(𝑍‘𝑋) ∈ ℝ)
517202, 278, 516iooshift 41805 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄‘𝑖) + -(𝑍‘𝑋))(,)((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))})
518515, 517eqtr2d 2859 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))} = (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋))
5195183adant3 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))} = (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋))
5201843ad2ant1 1129 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → dom 𝐹 = 𝐷)
521503, 519, 5203sstr4d 4016 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))} ⊆ dom 𝐹)
522521adantr 483 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))} ⊆ dom 𝐹)
523410negeqd 10882 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -(𝑍‘𝑋) = -((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
524523, 433eqtrd 2858 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -(𝑍‘𝑋) = (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
525524oveq2d 7174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 + -(𝑍‘𝑋)) = (𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
526525fveq2d 6676 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
527526adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
5285273ad2antl1 1181 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
529438adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
5305293ad2antl1 1181 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
531 simpl1 1187 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → 𝜑)
532230sselda 3969 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ∈ 𝐷)
533531, 532, 5303jca 1124 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
5344833anbi3d 1438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)))
535485oveq2d 7174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
536535fveq2d 6676 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
537536eqeq1d 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)))
538534, 537imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))))
539 fourierdlem49.per . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
540538, 539vtoclg 3569 . . . . . . . . . . . 12 (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)))
541530, 533, 540sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
542528, 541eqtrd 2858 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘𝑥))
543542adantlr 713 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘𝑥))
544 simpr 487 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
545384, 386, 390, 415, 416, 522, 543, 544limcperiod 41916 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))}) limℂ ((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋))))
546518reseq2d 5855 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))}) = (𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)))
547514eqcomd 2829 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋)) = 𝑋)
548546, 547oveq12d 7176 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))}) limℂ ((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋))) = ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
5495483adant3 1128 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))}) limℂ ((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋))) = ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
550549adantr 483 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))}) limℂ ((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋))) = ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
551545, 550eleqtrd 2917 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
552382adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
5535523ad2antl1 1181 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
554417a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ ℂ)
555503, 520sseqtrrd 4010 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ dom 𝐹)
556555adantr 483 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ dom 𝐹)
557412adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℂ)
5585573ad2antl1 1181 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℂ)
559 eqid 2823 . . . . . . . . 9 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))}
560504, 505npcand 11003 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) + (𝑍‘𝑋)) = (𝑄‘𝑖))
561560eqcomd 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) = (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) + (𝑍‘𝑋)))
562475adantr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
563561, 562oveq12d 7176 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) = ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) + (𝑍‘𝑋))(,)(𝑋 + (𝑍‘𝑋))))
56414adantr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
565452, 564, 451iooshift 41805 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) + (𝑍‘𝑋))(,)(𝑋 + (𝑍‘𝑋))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))})
566563, 565eqtr2d 2859 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))} = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)))
5675663adant3 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))} = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)))
568230, 567, 5203sstr4d 4016 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))} ⊆ dom 𝐹)
569568adantr 483 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))} ⊆ dom 𝐹)
570410oveq2d 7174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 + (𝑍‘𝑋)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
571570fveq2d 6676 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
572571adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
5735723ad2antl1 1181 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
574407adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
5755743ad2antl1 1181 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
576 simpl1 1187 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝜑)
577503sselda 3969 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
578576, 577, 5753jca 1124 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
579 eleq1 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 ∈ ℤ ↔ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
5805793anbi3d 1438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)))
581 oveq1 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
582581oveq2d 7174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
583582fveq2d 6676 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
584583eqeq1d 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)))
585580, 584imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))))
586585, 539vtoclg 3569 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)))
587575, 578, 586sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
588573, 587eqtrd 2858 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘𝑥))
589588adantlr 713 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘𝑥))
590 simpr 487 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
591553, 554, 556, 558, 559, 569, 589, 590limcperiod 41916 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))}) limℂ (𝑋 + (𝑍‘𝑋))))
592566reseq2d 5855 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))}) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))))
593476adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑍‘𝑋)) = (𝐸‘𝑋))
594592, 593oveq12d 7176 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))}) limℂ (𝑋 + (𝑍‘𝑋))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
5955943adant3 1128 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))}) limℂ (𝑋 + (𝑍‘𝑋))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
596595adantr 483 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))}) limℂ (𝑋 + (𝑍‘𝑋))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
597591, 596eleqtrd 2917 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
598551, 597impbida 799 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) ↔ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)))
599598eqrdv 2821 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) = ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
600 resindm 5902 . . . . . . . . . . 11 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)))
601600eqcomd 2829 . . . . . . . . . 10 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹)))
602179, 601syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹)))
603184ineq2d 4191 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹) = ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
604603reseq2d 5855 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)))
605602, 604eqtrd 2858 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)))
606605oveq1d 7173 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) limℂ 𝑋))
6076063ad2ant1 1129 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) limℂ 𝑋))
608 inss2 4208 . . . . . . . . . 10 ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
609608a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷)
610193, 609fssresd 6547 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)):((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)⟶ℂ)
611452mnfltd 12522 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ < ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)))
612198, 453, 611xrltled 12546 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ ≤ ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)))
613 iooss1 12776 . . . . . . . . . . 11 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ (-∞(,)𝑋))
614197, 612, 613sylancr 589 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ (-∞(,)𝑋))
6156143adant3 1128 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ (-∞(,)𝑋))
616615, 503ssind 4211 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
617608, 234sstrid 3980 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ)
618 eqid 2823 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
6194533adant3 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ*)
6204553ad2ant1 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
6214753ad2ant1 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
622241, 621breqtrd 5094 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) < (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
6234113ad2ant1 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℝ)
624143ad2ant1 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
625214, 623, 624ltsubaddd 11238 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑋 ↔ (𝑄‘𝑖) < (𝑋 + (𝑍‘𝑋))))
626622, 625mpbird 259 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑋)
62714leidd 11208 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑋)
6286273ad2ant1 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ≤ 𝑋)
629619, 620, 620, 626, 628eliocd 41790 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋))
630 ioounsn 12866 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑋) → ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋}) = (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋))
631619, 620, 626, 630syl3anc 1367 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋}) = (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋))
632631fveq2d 6676 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)))
633 ovex 7191 . . . . . . . . . . . . . 14 (-∞(,)𝑋) ∈ V
634633inex1 5223 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∈ V
635 snex 5334 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑋} ∈ V
636634, 635unex 7471 . . . . . . . . . . . 12 (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V
637 resttop 21770 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top)
638247, 636, 637mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top
639636a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V)
640 iooretop 23376 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
641640a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
642 elrestr 16704 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V ∧ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
643255, 639, 641, 642syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
644453adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ*)
645262a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → +∞ ∈ ℝ*)
64614ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
647 iocssre 12819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋) ⊆ ℝ)
648644, 646, 647syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋) ⊆ ℝ)
649 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋))
650648, 649sseldd 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
651455ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
652 iocgtlb 41784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑥)
653644, 651, 649, 652syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑥)
654650ltpnfd 12519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 < +∞)
655644, 645, 650, 653, 654eliood 41780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞))
6566553adantl3 1164 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞))
657 eqvisset 3513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑋 → 𝑋 ∈ V)
658 snidg 4601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋 ∈ V → 𝑋 ∈ {𝑋})
659657, 658syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑋 → 𝑋 ∈ {𝑋})
660470, 659eqeltrd 2915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ {𝑋})
661 elun2 4155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ {𝑋} → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
662660, 661syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
663662adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
664 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
665644adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ*)
666455ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ*)
667650adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
668653adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑥)
66914ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
670 iocleub 41785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ≤ 𝑋)
671644, 651, 649, 670syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ≤ 𝑋)
672671adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ≤ 𝑋)
673470eqcoms 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 = 𝑥 → 𝑥 = 𝑋)
674673necon3bi 3044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ 𝑥 = 𝑋 → 𝑋 ≠ 𝑥)
675674adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ≠ 𝑥)
676667, 669, 672, 675leneltd 10796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < 𝑋)
677665, 666, 667, 668, 676eliood 41780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋))
6786773adantll3 41308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋))
679616sselda 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
680 elun1 4154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
681679, 680syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
682664, 678, 681syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
683663, 682pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
684656, 683elind 4173 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
685619adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ*)
686620adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
687 elinel1 4174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞))
688 elioore 12771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
689687, 688syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ)
690689rexrd 10693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
691690adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
692453adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ*)
693262a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → +∞ ∈ ℝ*)
694687adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞))
695 ioogtlb 41777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑥)
696692, 693, 694, 695syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑥)
6976963adantl3 1164 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑥)
698 elinel2 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
699 elsni 4586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ {𝑋} → 𝑥 = 𝑋)
700699adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 = 𝑋)
701627adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑋 ≤ 𝑋)
702700, 701eqbrtrd 5090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ≤ 𝑋)
703702adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ≤ 𝑋)
704 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝜑)
705 elunnel2 41303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
706705adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
707 elinel1 4174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋))
708706, 707syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋))
709 elioore 12771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
710709adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
71114adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
712197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → -∞ ∈ ℝ*)
713455adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
714 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋))
715 iooltub 41793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 < 𝑋)
716712, 713, 714, 715syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 < 𝑋)
717710, 711, 716ltled 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 ≤ 𝑋)
718704, 708, 717syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ≤ 𝑋)
719703, 718pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ≤ 𝑋)
720698, 719sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ≤ 𝑋)
7217203ad2antl1 1181 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ≤ 𝑋)
722685, 686, 691, 697, 721eliocd 41790 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋))
723684, 722impbida 799 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋) ↔ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))))
724723eqrdv 2821 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋) = ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
725608, 232sstrid 3980 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
72614snssd 4744 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → {𝑋} ⊆ ℝ)
727725, 726unssd 4164 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ)
7287273ad2ant1 1129 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ)
729236, 369rerest 23414 . . . . . . . . . . . . 13 ((((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
730728, 729syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
731643, 724, 7303eltr4d 2930 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
732 isopn3i 21692 . . . . . . . . . . 11 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top ∧ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) = (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋))
733638, 731, 732sylancr 589 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) = (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋))
734632, 733eqtr2d 2859 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋})))
735629, 734eleqtrd 2917 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋})))
736610, 616, 617, 236, 618, 735limcres 24486 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) limℂ 𝑋))
737736eqcomd 2829 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) limℂ 𝑋) = (((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
738616resabs1d 5886 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) = (𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)))
739738oveq1d 7173 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
740607, 737, 7393eqtrrd 2863 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
741380, 599, 7403eqtrrd 2863 . . . 4 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
742741rexlimdv3a 3288 . . 3 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))))
743176, 742mpd 15 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
7441233adant3 1128 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
7452213adant3 1128 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
746 fourierdlem49.l . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
7477463adant3 1128 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
748 eqid 2823 . . . . . . . 8 if((𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸‘𝑋))) = if((𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸‘𝑋)))
749 eqid 2823 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
750214, 212, 744, 745, 747, 214, 238, 241, 220, 748, 749fourierdlem33 42432 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if((𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸‘𝑋))) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
751220resabs1d 5886 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))))
752751oveq1d 7173 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
753750, 752eleqtrd 2917 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if((𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸‘𝑋))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
754 ne0i 4302 . . . . . 6 (if((𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸‘𝑋))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) ≠ ∅)
755753, 754syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) ≠ ∅)
756380, 755eqnetrd 3085 . . . 4 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) ≠ ∅)
757756rexlimdv3a 3288 . . 3 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) ≠ ∅))
758176, 757mpd 15 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) ≠ ∅)
759743, 758eqnetrd 3085 1 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∀wral 3140  ∃wrex 3141  {crab 3144  Vcvv 3496   ∪ cun 3936   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293  ifcif 4469  {csn 4569   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148  dom cdm 5557  ran crn 5558   ↾ cres 5559  Rel wrel 5562   Fn wfn 6352  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ↑m cmap 8408  supcsup 8906  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544  +∞cpnf 10674  -∞cmnf 10675  ℝ*cxr 10676   < clt 10677   ≤ cle 10678   − cmin 10872  -cneg 10873   / cdiv 11299  ℕcn 11640  ℕ0cn0 11900  ℤcz 11984  ℤ≥cuz 12246  (,)cioo 12741  (,]cioc 12742  [,]cicc 12744  ...cfz 12895  ..^cfzo 13036  ⌊cfl 13163   ↾t crest 16696  TopOpenctopn 16697  topGenctg 16713  ℂfldccnfld 20547  Topctop 21503  intcnt 21627  –cn→ccncf 23486   limℂ climc 24462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ioc 12746  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-rest 16698  df-topn 16699  df-topgen 16719  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-cnfld 20548  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-ntr 21630  df-cn 21837  df-cnp 21838  df-xms 22932  df-ms 22933  df-cncf 23488  df-limc 24466
This theorem is referenced by:  fourierdlem94  42492  fourierdlem113  42511
  Copyright terms: Public domain W3C validator