Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem49 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem49 43696
Description: The given periodic function 𝐹 has a left limit at every point in the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem49.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem49.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem49.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem49.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem49.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem49.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem49.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem49.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
fourierdlem49.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
fourierdlem49.dper ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
fourierdlem49.per ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
fourierdlem49.cn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem49.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem49.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem49.z 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
fourierdlem49.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem49 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐴,𝑖   𝐵,𝑖,𝑘   𝐵,𝑚,𝑝   𝑥,𝐵,𝑘   𝐷,𝑘,𝑥   𝑖,𝐸,𝑘,𝑥   𝑖,𝐹,𝑘,𝑥   𝑖,𝑀,𝑘   𝑚,𝑀,𝑝   𝑥,𝑀   𝑄,𝑖,𝑘   𝑄,𝑝   𝑥,𝑄   𝑇,𝑘,𝑥   𝑖,𝑋,𝑘,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥   𝜑,𝑖,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐴(𝑘)   𝐷(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑇(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐸(𝑚,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑋(𝑚,𝑝)   𝑍(𝑖,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem49
Dummy variables 𝑗 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem49.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem49.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 fourierdlem49.altb . . . . . 6 (𝜑𝐴 < 𝐵)
4 fourierdlem49.t . . . . . 6 𝑇 = (𝐵𝐴)
5 fourierdlem49.e . . . . . . 7 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥)))
6 ovex 7308 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V
7 fourierdlem49.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
87fvmpt2 6886 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V) → (𝑍𝑥) = ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
96, 8mpan2 688 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑍𝑥) = ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
109oveq2d 7291 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (𝑍𝑥)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
1110mpteq2ia 5177 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
125, 11eqtri 2766 . . . . . 6 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
131, 2, 3, 4, 12fourierdlem4 43652 . . . . 5 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
14 fourierdlem49.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1513, 14ffvelrnd 6962 . . . 4 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵))
16 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄)
17 fourierdlem49.q . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
18 fourierdlem49.m . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
19 fourierdlem49.p . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
2019fourierdlem2 43650 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
2118, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
2217, 21mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
2322simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
24 elmapi 8637 . . . . . . . . . . 11 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
26 ffn 6600 . . . . . . . . . 10 (𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ → 𝑄 Fn (0...𝑀))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 Fn (0...𝑀))
2827ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
29 fvelrnb 6830 . . . . . . . 8 (𝑄 Fn (0...𝑀) → ((𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)))
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ((𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)))
3116, 30mpbid 231 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋))
32 1zzd 12351 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
33 elfzelz 13256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
3433ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ ℤ)
35 1e0p1 12479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = (0 + 1)
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 1 = (0 + 1))
3734zred 12426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ ℝ)
38 elfzle1 13259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 0 ≤ 𝑗)
3938ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 ≤ 𝑗)
40 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋))
4140eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → (𝐸𝑋) = (𝑄𝑗))
4241ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = (𝑄𝑗))
43 fveq2 6774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 = 0 → (𝑄𝑗) = (𝑄‘0))
4443adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄𝑗) = (𝑄‘0))
4522simprld 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵))
4645simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
4746ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄‘0) = 𝐴)
4842, 44, 473eqtrd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = 𝐴)
4948adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = 𝐴)
5049adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = 𝐴)
511adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
521rexrd 11025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5352adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
542rexrd 11025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5554adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
56 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵))
57 iocgtlb 43040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸𝑋))
5853, 55, 56, 57syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸𝑋))
5951, 58gtned 11110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ≠ 𝐴)
6059neneqd 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ¬ (𝐸𝑋) = 𝐴)
6160ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → ¬ (𝐸𝑋) = 𝐴)
6250, 61pm2.65da 814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ¬ 𝑗 = 0)
6362neqned 2950 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ≠ 0)
6437, 39, 63ne0gt0d 11112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 < 𝑗)
65 0zd 12331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 ∈ ℤ)
66 zltp1le 12370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗))
6765, 34, 66syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗))
6864, 67mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (0 + 1) ≤ 𝑗)
6936, 68eqbrtrd 5096 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 1 ≤ 𝑗)
70 eluz2 12588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗))
7132, 34, 69, 70syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
72 nnuz 12621 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ = (ℤ‘1)
7371, 72eleqtrrdi 2850 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ ℕ)
74 nnm1nn0 12274 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
76 nn0uz 12620 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ℕ0 = (ℤ‘0))
7875, 77eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0))
7918nnzd 12425 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
8079ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑀 ∈ ℤ)
81 peano2zm 12363 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
8233, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
8382zred 12426 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
8433zred 12426 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
85 elfzel2 13254 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
8685zred 12426 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
8784ltm1d 11907 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑗)
88 elfzle2 13260 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗𝑀)
8983, 84, 86, 87, 88ltletrd 11135 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑀)
9089ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) < 𝑀)
91 elfzo2 13390 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) < 𝑀))
9278, 80, 90, 91syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))
9325ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
9434, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
9575nn0ge0d 12296 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 ≤ (𝑗 − 1))
9683, 86, 89ltled 11123 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)
9796ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)
9865, 80, 94, 95, 97elfzd 13247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0...𝑀))
9993, 98ffvelrnd 6962 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ)
10099rexrd 11025 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ*)
10125ffvelrnda 6961 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ)
102101rexrd 11025 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
103102adantlr 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
104103adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
105 iocssre 13159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
10652, 2, 105syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
107106sselda 3921 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
108107rexrd 11025 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
109108ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
110 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝜑)
111 ovex 7308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 − 1) ∈ V
112 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)))
113112anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))))
114 fveq2 6774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄𝑖) = (𝑄‘(𝑗 − 1)))
115 oveq1 7282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑗 − 1) + 1))
116115fveq2d 6778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
117114, 116breq12d 5087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
118113, 117imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))))
11922simprrd 771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
120119r19.21bi 3134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
121111, 118, 120vtocl 3498 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
122110, 92, 121syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
12333zcnd 12427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
124 1cnd 10970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 1 ∈ ℂ)
125123, 124npcand 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
126125eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 = ((𝑗 − 1) + 1))
127126fveq2d 6778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄𝑗) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
128127eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄𝑗))
129128ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄𝑗))
130122, 129breqtrd 5100 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄𝑗))
131 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋))
132130, 131breqtrd 5100 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝐸𝑋))
133106, 15sseldd 3922 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
134133leidd 11541 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸𝑋) ≤ (𝐸𝑋))
135134ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≤ (𝐸𝑋))
13641adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) = (𝑄𝑗))
137135, 136breqtrd 5100 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄𝑗))
138137adantllr 716 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄𝑗))
139100, 104, 109, 132, 138eliocd 43045 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄𝑗)))
140127oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
141140ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
142139, 141eleqtrd 2841 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
143114, 116oveq12d 7293 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
144143eleq2d 2824 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))))
145144rspcev 3561 . . . . . . . . . 10 (((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
14692, 142, 145syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
147146ex 413 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
148147adantlr 712 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
149148rexlimdva 3213 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
15031, 149mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
15118ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑀 ∈ ℕ)
15225ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
153 iocssicc 13169 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
15446eqcomd 2744 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 = (𝑄‘0))
15545simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄𝑀) = 𝐵)
156155eqcomd 2744 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 = (𝑄𝑀))
157154, 156oveq12d 7293 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
158153, 157sseqtrid 3973 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
159158sselda 3921 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
160159adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
161 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄)
162 fveq2 6774 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝑄𝑘) = (𝑄𝑗))
163162breq1d 5084 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑄𝑘) < (𝐸𝑋) ↔ (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋)))
164163cbvrabv 3426 . . . . . . . 8 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < (𝐸𝑋)} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋)}
165164supeq1i 9206 . . . . . . 7 sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < (𝐸𝑋)}, ℝ, < ) = sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋)}, ℝ, < )
166151, 152, 160, 161, 165fourierdlem25 43673 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
167 ioossioc 43030 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
168167sseli 3917 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
169168a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
170169reximdva 3203 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
171166, 170mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
172150, 171pm2.61dan 810 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
17315, 172mpdan 684 . . 3 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
174 fourierdlem49.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
175 frel 6605 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐷⟶ℝ → Rel 𝐹)
176174, 175syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Rel 𝐹)
177 resindm 5940 . . . . . . . . . . 11 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))))
178177eqcomd 2744 . . . . . . . . . 10 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ dom 𝐹)))
179176, 178syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ dom 𝐹)))
180 fdm 6609 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐷⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐷)
181174, 180syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
182181ineq2d 4146 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ dom 𝐹) = ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷))
183182reseq2d 5891 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)))
184179, 183eqtrd 2778 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)))
1851843ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)))
186185oveq1d 7290 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)) lim (𝐸𝑋)))
187 ax-resscn 10928 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
188187a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
189174, 188fssd 6618 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
1901893ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
191 inss2 4163 . . . . . . . . 9 ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
192191a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷)
193190, 192fssresd 6641 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)):((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)⟶ℂ)
194 mnfxr 11032 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
195194a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ ∈ ℝ*)
19625adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
197 elfzofz 13403 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
198197adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
199196, 198ffvelrnd 6962 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
200199rexrd 11025 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
201199mnfltd 12860 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ < (𝑄𝑖))
202195, 200, 201xrltled 12884 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ ≤ (𝑄𝑖))
203 iooss1 13114 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝑄𝑖)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ (-∞(,)(𝐸𝑋)))
204194, 202, 203sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ (-∞(,)(𝐸𝑋)))
2052043adant3 1131 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ (-∞(,)(𝐸𝑋)))
206 fzofzp1 13484 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
207206adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
208196, 207ffvelrnd 6962 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
2092083adant3 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
210209rexrd 11025 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
2111993adant3 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
212211rexrd 11025 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
213 simp3 1137 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
214 iocleub 43041 . . . . . . . . . . 11 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
215212, 210, 213, 214syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
216 iooss2 13115 . . . . . . . . . 10 (((𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
217210, 215, 216syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
218 fourierdlem49.cn . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
219 cncff 24056 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
220 fdm 6609 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
221218, 219, 2203syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
222 ssdmres 5914 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
223221, 222sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
224181adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom 𝐹 = 𝐷)
225223, 224sseqtrd 3961 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
2262253adant3 1131 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
227217, 226sstrd 3931 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ 𝐷)
228205, 227ssind 4166 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷))
229 fourierdlem49.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
230229, 188sstrd 3931 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
2312303ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐷 ⊆ ℂ)
232191, 231sstrid 3932 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ)
233 eqid 2738 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
234 eqid 2738 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))
2351333ad2ant1 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
236235rexrd 11025 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
237 iocgtlb 43040 . . . . . . . . . 10 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < (𝐸𝑋))
238212, 210, 213, 237syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < (𝐸𝑋))
239235leidd 11541 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ≤ (𝐸𝑋))
240212, 236, 236, 238, 239eliocd 43045 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)))
241 ioounsn 13209 . . . . . . . . . . 11 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑖) < (𝐸𝑋)) → (((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ∪ {(𝐸𝑋)}) = ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)))
242212, 236, 238, 241syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ∪ {(𝐸𝑋)}) = ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)))
243242fveq2d 6778 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))‘(((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ∪ {(𝐸𝑋)})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))‘((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))))
244233cnfldtop 23947 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
245 ovex 7308 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞(,)(𝐸𝑋)) ∈ V
246245inex1 5241 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∈ V
247 snex 5354 . . . . . . . . . . . 12 {(𝐸𝑋)} ∈ V
248246, 247unex 7596 . . . . . . . . . . 11 (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}) ∈ V
249 resttop 22311 . . . . . . . . . . 11 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∈ Top)
250244, 248, 249mp2an 689 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∈ Top
251 retop 23925 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
252251a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
253248a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}) ∈ V)
254 iooretop 23929 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄𝑖)(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
255254a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
256 elrestr 17139 . . . . . . . . . . . 12 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}) ∈ V ∧ ((𝑄𝑖)(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
257252, 253, 255, 256syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
258 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 = (𝐸𝑋))
259 pnfxr 11029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 +∞ ∈ ℝ*
260259a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → +∞ ∈ ℝ*)
261235ltpnfd 12857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) < +∞)
262212, 260, 235, 238, 261eliood 43036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)+∞))
263 snidg 4595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐸𝑋) ∈ ℝ → (𝐸𝑋) ∈ {(𝐸𝑋)})
264 elun2 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐸𝑋) ∈ {(𝐸𝑋)} → (𝐸𝑋) ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))
265263, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐸𝑋) ∈ ℝ → (𝐸𝑋) ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))
266133, 265syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))
2672663ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))
268262, 267elind 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
269268adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
270258, 269eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
271270adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
272212adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
273259a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → +∞ ∈ ℝ*)
274200adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
275133adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
276275adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
277 iocssre 13159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ℝ) → ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)) ⊆ ℝ)
278274, 276, 277syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)) ⊆ ℝ)
279 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)))
280278, 279sseldd 3922 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
2812803adantl3 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
282276rexrd 11025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
283 iocgtlb 43040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
284274, 282, 279, 283syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
2852843adantl3 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
286281ltpnfd 12857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → 𝑥 < +∞)
287272, 273, 281, 285, 286eliood 43036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)+∞))
288287adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)+∞))
289194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → -∞ ∈ ℝ*)
290282adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
291280adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
292291mnfltd 12860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → -∞ < 𝑥)
293133ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
294 iocleub 43041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
295274, 282, 279, 294syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
296295adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
297 neqne 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥 = (𝐸𝑋) → 𝑥 ≠ (𝐸𝑋))
298297necomd 2999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 = (𝐸𝑋) → (𝐸𝑋) ≠ 𝑥)
299298adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≠ 𝑥)
300291, 293, 296, 299leneltd 11129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 < (𝐸𝑋))
301289, 290, 291, 292, 300eliood 43036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋)))
3023013adantll3 42587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋)))
303226ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
304272adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
305210ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
306281adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
307285adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
308235ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
309209ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
3103003adantll3 42587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 < (𝐸𝑋))
311215ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
312306, 308, 309, 310, 311ltletrd 11135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
313304, 305, 306, 307, 312eliood 43036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
314303, 313sseldd 3922 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥𝐷)
315302, 314elind 4128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷))
316 elun1 4110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))
317315, 316syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))
318288, 317elind 4128 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
319271, 318pm2.61dan 810 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
320212adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
321236adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
322 elinel1 4129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)+∞))
323 elioore 13109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
324323rexrd 11025 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
325322, 324syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
326325adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
327200adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
328259a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → +∞ ∈ ℝ*)
329322adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)+∞))
330 ioogtlb 43033 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)+∞)) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
331327, 328, 329, 330syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
3323313adantl3 1167 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
333 elinel2 4130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))
334 elsni 4578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)} → 𝑥 = (𝐸𝑋))
335334adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)}) → 𝑥 = (𝐸𝑋))
336134adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)}) → (𝐸𝑋) ≤ (𝐸𝑋))
337335, 336eqbrtrd 5096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)}) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
338337adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)}) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
339 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)}) → 𝜑)
340 elunnel2 42582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)}) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷))
341340adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)}) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷))
342 elinel1 4129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋)))
343 elioore 13109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
344343adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
345133adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
346194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋))) → -∞ ∈ ℝ*)
347345rexrd 11025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
348 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋)))
349 iooltub 43048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋))) → 𝑥 < (𝐸𝑋))
350346, 347, 348, 349syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋))) → 𝑥 < (𝐸𝑋))
351344, 345, 350ltled 11123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋))) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
352342, 351sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
353339, 341, 352syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)}) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
354338, 353pm2.61dan 810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
355354adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
356333, 355sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
3573563adantl3 1167 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
358320, 321, 326, 332, 357eliocd 43045 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)))
359319, 358impbida 798 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)) ↔ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))))
360359eqrdv 2736 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)) = (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
361 ioossre 13140 . . . . . . . . . . . . . 14 (-∞(,)(𝐸𝑋)) ⊆ ℝ
362 ssinss1 4171 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ⊆ ℝ → ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
363361, 362mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
364235snssd 4742 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {(𝐸𝑋)} ⊆ ℝ)
365363, 364unssd 4120 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}) ⊆ ℝ)
366 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
367233, 366rerest 23967 . . . . . . . . . . . 12 ((((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
368365, 367syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
369257, 360, 3683eltr4d 2854 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
370 isopn3i 22233 . . . . . . . . . 10 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∈ Top ∧ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))‘((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) = ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)))
371250, 369, 370sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))‘((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) = ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)))
372243, 371eqtr2d 2779 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))‘(((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ∪ {(𝐸𝑋)})))
373240, 372eleqtrd 2841 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))‘(((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ∪ {(𝐸𝑋)})))
374193, 228, 232, 233, 234, 373limcres 25050 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)) lim (𝐸𝑋)))
375228resabs1d 5922 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))))
376375oveq1d 7290 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
377186, 374, 3763eqtr2d 2784 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
378181feq2d 6586 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:𝐷⟶ℂ))
379189, 378mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
380379adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3813803ad2antl1 1184 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
382 ioosscn 13141 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ ℂ
383382a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ ℂ)
384181eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 = dom 𝐹)
3853843ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐷 = dom 𝐹)
386227, 385sseqtrd 3961 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ dom 𝐹)
387386adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ dom 𝐹)
3887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
389 oveq2 7283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑋 → (𝐵𝑥) = (𝐵𝑋))
390389oveq1d 7290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = ((𝐵𝑋) / 𝑇))
391390fveq2d 6778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)))
392391oveq1d 7290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
393392adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
3942, 14resubcld 11403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
3952, 1resubcld 11403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
3964, 395eqeltrid 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
3971, 2posdifd 11562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
3983, 397mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
3994eqcomi 2747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵𝐴) = 𝑇
400399a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐵𝐴) = 𝑇)
401398, 400breqtrd 5100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 < 𝑇)
402401gt0ne0d 11539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑇 ≠ 0)
403394, 396, 402redivcld 11803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐵𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
404403flcld 13518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
405404zred 12426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ)
406405, 396remulcld 11005 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
407388, 393, 14, 406fvmptd 6882 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑍𝑋) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
408407, 406eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑍𝑋) ∈ ℝ)
409408recnd 11003 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑍𝑋) ∈ ℂ)
410409adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → (𝑍𝑋) ∈ ℂ)
4114103ad2antl1 1184 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → (𝑍𝑋) ∈ ℂ)
412411negcld 11319 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → -(𝑍𝑋) ∈ ℂ)
413 eqid 2738 . . . . . . . . 9 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))}
414 ioosscn 13141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ ℂ
415414sseli 3917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) → 𝑦 ∈ ℂ)
416415adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ ℂ)
417409adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑍𝑋) ∈ ℂ)
418416, 417pncand 11333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)) = 𝑦)
419418eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)))
4204193ad2antl1 1184 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)))
421407oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
422421adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
423416, 417addcld 10994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ ℂ)
424406recnd 11003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
425424adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
426423, 425negsubd 11338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + -((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
427404zcnd 12427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℂ)
428396recnd 11003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
429427, 428mulneg1d 11428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) = -((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
430429eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → -((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) = (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
431430oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + -((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
432431adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + -((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
433422, 426, 4323eqtr2d 2784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
4344333ad2antl1 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
435404znegcld 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
436435adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
4374363ad2antl1 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
438 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝜑)
439227adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ 𝐷)
440200adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
441133rexrd 11025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
442441ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
443 elioore 13109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) → 𝑦 ∈ ℝ)
444443adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ ℝ)
445408adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑍𝑋) ∈ ℝ)
446444, 445readdcld 11004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ ℝ)
447446adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ ℝ)
448408adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑍𝑋) ∈ ℝ)
449199, 448resubcld 11403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ)
450449rexrd 11025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*)
451450adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*)
45214rexrd 11025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
453452ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
454 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋))
455 ioogtlb 43033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑦)
456451, 453, 454, 455syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑦)
457199adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
458448adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑍𝑋) ∈ ℝ)
459443adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ ℝ)
460457, 458, 459ltsubaddd 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑦 ↔ (𝑄𝑖) < (𝑦 + (𝑍𝑋))))
461456, 460mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑄𝑖) < (𝑦 + (𝑍𝑋)))
46214ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
463 iooltub 43048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 < 𝑋)
464451, 453, 454, 463syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 < 𝑋)
465459, 462, 458, 464ltadd1dd 11586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍𝑋)) < (𝑋 + (𝑍𝑋)))
4665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥))))
467 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
468 fveq2 6774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 𝑋 → (𝑍𝑥) = (𝑍𝑋))
469467, 468oveq12d 7293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑍𝑥)) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
470469adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (𝑍𝑥)) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
47114, 408readdcld 11004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍𝑋)) ∈ ℝ)
472466, 470, 14, 471fvmptd 6882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
473472eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍𝑋)) = (𝐸𝑋))
474473ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑋 + (𝑍𝑋)) = (𝐸𝑋))
475465, 474breqtrd 5100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍𝑋)) < (𝐸𝑋))
476440, 442, 447, 461, 475eliood 43036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)))
4774763adantl3 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)))
478439, 477sseldd 3922 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷)
479438, 478, 4373jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
480 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 ∈ ℤ ↔ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
4814803anbi3d 1441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)))
482 oveq1 7282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 · 𝑇) = (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
483482oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
484483eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐷))
485481, 484imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
486 ovex 7308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ V
487 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍𝑋)) → (𝑥𝐷 ↔ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷))
4884873anbi2d 1440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍𝑋)) → ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷𝑘 ∈ ℤ)))
489 oveq1 7282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍𝑋)) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)))
490489eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍𝑋)) → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
491488, 490imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍𝑋)) → (((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
492 fourierdlem49.dper . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
493486, 491, 492vtocl 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
494485, 493vtoclg 3505 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ → ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐷))
495437, 479, 494sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐷)
496434, 495eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷)
497420, 496eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦𝐷)
498497ralrimiva 3103 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∀𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑦𝐷)
499 dfss3 3909 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑦𝐷)
500498, 499sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ 𝐷)
501199recnd 11003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
502409adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑍𝑋) ∈ ℂ)
503501, 502negsubd 11338 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) + -(𝑍𝑋)) = ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)))
504503eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) = ((𝑄𝑖) + -(𝑍𝑋)))
505472oveq1d 7290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋)) = ((𝑋 + (𝑍𝑋)) + -(𝑍𝑋)))
506471recnd 11003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍𝑋)) ∈ ℂ)
507506, 409negsubd 11338 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑍𝑋)) + -(𝑍𝑋)) = ((𝑋 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)))
50814recnd 11003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
509508, 409pncand 11333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)) = 𝑋)
510505, 507, 5093eqtrrd 2783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 = ((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋)))
511510adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 = ((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋)))
512504, 511oveq12d 7293 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) = (((𝑄𝑖) + -(𝑍𝑋))(,)((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋))))
513448renegcld 11402 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -(𝑍𝑋) ∈ ℝ)
514199, 275, 513iooshift 43060 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖) + -(𝑍𝑋))(,)((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))})
515512, 514eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))} = (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋))
5165153adant3 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))} = (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋))
5171813ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → dom 𝐹 = 𝐷)
518500, 516, 5173sstr4d 3968 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))} ⊆ dom 𝐹)
519518adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))} ⊆ dom 𝐹)
520407negeqd 11215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -(𝑍𝑋) = -((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
521520, 430eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -(𝑍𝑋) = (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
522521oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 + -(𝑍𝑋)) = (𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
523522fveq2d 6778 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
524523adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
5255243ad2antl1 1184 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
526435adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
5275263ad2antl1 1184 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
528 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → 𝜑)
529227sselda 3921 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → 𝑥𝐷)
530528, 529, 5273jca 1127 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → (𝜑𝑥𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
5314803anbi3d 1441 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑥𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)))
532482oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
533532fveq2d 6778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
534533eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹𝑥)))
535531, 534imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹𝑥))))
536 fourierdlem49.per . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
537535, 536vtoclg 3505 . . . . . . . . . . . 12 (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ → ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹𝑥)))
538527, 530, 537sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
539525, 538eqtrd 2778 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍𝑋))) = (𝐹𝑥))
540539adantlr 712 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍𝑋))) = (𝐹𝑥))
541 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
542381, 383, 387, 412, 413, 519, 540, 541limcperiod 43169 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))}) lim ((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋))))
543515reseq2d 5891 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))}) = (𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)))
544511eqcomd 2744 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋)) = 𝑋)
545543, 544oveq12d 7293 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))}) lim ((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋))) = ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋))
5465453adant3 1131 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))}) lim ((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋))) = ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋))
547546adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))}) lim ((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋))) = ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋))
548542, 547eleqtrd 2841 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋))
549379adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
5505493ad2antl1 1184 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
551414a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ ℂ)
552500, 517sseqtrrd 3962 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ dom 𝐹)
553552adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ dom 𝐹)
554409adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → (𝑍𝑋) ∈ ℂ)
5555543ad2antl1 1184 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → (𝑍𝑋) ∈ ℂ)
556 eqid 2738 . . . . . . . . 9 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))}
557501, 502npcand 11336 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) + (𝑍𝑋)) = (𝑄𝑖))
558557eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) = (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) + (𝑍𝑋)))
559472adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
560558, 559oveq12d 7293 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) = ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) + (𝑍𝑋))(,)(𝑋 + (𝑍𝑋))))
56114adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
562449, 561, 448iooshift 43060 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) + (𝑍𝑋))(,)(𝑋 + (𝑍𝑋))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))})
563560, 562eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))} = ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)))
5645633adant3 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))} = ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)))
565227, 564, 5173sstr4d 3968 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))} ⊆ dom 𝐹)
566565adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))} ⊆ dom 𝐹)
567407oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 + (𝑍𝑋)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
568567fveq2d 6778 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
569568adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
5705693ad2antl1 1184 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
571404adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
5725713ad2antl1 1184 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
573 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝜑)
574500sselda 3921 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑥𝐷)
575573, 574, 5723jca 1127 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝜑𝑥𝐷 ∧ (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
576 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 ∈ ℤ ↔ (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
5775763anbi3d 1441 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑥𝐷 ∧ (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)))
578 oveq1 7282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
579578oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
580579fveq2d 6778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
581580eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹𝑥)))
582577, 581imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑥𝐷 ∧ (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹𝑥))))
583582, 536vtoclg 3505 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ → ((𝜑𝑥𝐷 ∧ (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹𝑥)))
584572, 575, 583sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
585570, 584eqtrd 2778 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍𝑋))) = (𝐹𝑥))
586585adantlr 712 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍𝑋))) = (𝐹𝑥))
587 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋))
588550, 551, 553, 555, 556, 566, 586, 587limcperiod 43169 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))}) lim (𝑋 + (𝑍𝑋))))
589563reseq2d 5891 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))}) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))))
590473adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑍𝑋)) = (𝐸𝑋))
591589, 590oveq12d 7293 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))}) lim (𝑋 + (𝑍𝑋))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
5925913adant3 1131 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))}) lim (𝑋 + (𝑍𝑋))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
593592adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))}) lim (𝑋 + (𝑍𝑋))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
594588, 593eleqtrd 2841 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
595548, 594impbida 798 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) ↔ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)))
596595eqrdv 2736 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) = ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋))
597 resindm 5940 . . . . . . . . . . 11 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)))
598597eqcomd 2744 . . . . . . . . . 10 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹)))
599176, 598syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹)))
600181ineq2d 4146 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹) = ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
601600reseq2d 5891 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)))
602599, 601eqtrd 2778 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)))
603602oveq1d 7290 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) lim 𝑋))
6046033ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) lim 𝑋))
605 inss2 4163 . . . . . . . . . 10 ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
606605a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷)
607190, 606fssresd 6641 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)):((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)⟶ℂ)
608449mnfltd 12860 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ < ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)))
609195, 450, 608xrltled 12884 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ ≤ ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)))
610 iooss1 13114 . . . . . . . . . . 11 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ (-∞(,)𝑋))
611194, 609, 610sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ (-∞(,)𝑋))
6126113adant3 1131 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ (-∞(,)𝑋))
613612, 500ssind 4166 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
614605, 231sstrid 3932 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ)
615 eqid 2738 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
6164503adant3 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*)
6174523ad2ant1 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
6184723ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
619238, 618breqtrd 5100 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < (𝑋 + (𝑍𝑋)))
6204083ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑍𝑋) ∈ ℝ)
621143ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
622211, 620, 621ltsubaddd 11571 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑋 ↔ (𝑄𝑖) < (𝑋 + (𝑍𝑋))))
623619, 622mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑋)
62414leidd 11541 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑋)
6256243ad2ant1 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋𝑋)
626616, 617, 617, 623, 625eliocd 43045 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋))
627 ioounsn 13209 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑋) → ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋}) = (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋))
628616, 617, 623, 627syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋}) = (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋))
629628fveq2d 6778 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)))
630 ovex 7308 . . . . . . . . . . . . . 14 (-∞(,)𝑋) ∈ V
631630inex1 5241 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∈ V
632 snex 5354 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑋} ∈ V
633631, 632unex 7596 . . . . . . . . . . . 12 (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V
634 resttop 22311 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top)
635244, 633, 634mp2an 689 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top
636633a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V)
637 iooretop 23929 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
638637a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
639 elrestr 17139 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V ∧ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
640252, 636, 638, 639syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
641450adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*)
642259a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → +∞ ∈ ℝ*)
64314ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
644 iocssre 13159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋) ⊆ ℝ)
645641, 643, 644syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋) ⊆ ℝ)
646 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋))
647645, 646sseldd 3922 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
648452ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
649 iocgtlb 43040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑥)
650641, 648, 646, 649syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑥)
651647ltpnfd 12857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 < +∞)
652641, 642, 647, 650, 651eliood 43036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞))
6536523adantl3 1167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞))
654 eqvisset 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑋𝑋 ∈ V)
655 snidg 4595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋 ∈ V → 𝑋 ∈ {𝑋})
656654, 655syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑋𝑋 ∈ {𝑋})
657467, 656eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ {𝑋})
658 elun2 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ {𝑋} → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
659657, 658syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
660659adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
661 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → (𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
662641adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*)
663452ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ*)
664647adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
665650adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑥)
66614ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
667 iocleub 43041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥𝑋)
668641, 648, 646, 667syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥𝑋)
669668adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥𝑋)
670467eqcoms 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 = 𝑥𝑥 = 𝑋)
671670necon3bi 2970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 = 𝑋𝑋𝑥)
672671adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋𝑥)
673664, 666, 669, 672leneltd 11129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < 𝑋)
674662, 663, 664, 665, 673eliood 43036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋))
6756743adantll3 42587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋))
676613sselda 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
677 elun1 4110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
678676, 677syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
679661, 675, 678syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
680660, 679pm2.61dan 810 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
681653, 680elind 4128 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
682616adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*)
683617adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
684 elinel1 4129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞))
685 elioore 13109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
686684, 685syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ)
687686rexrd 11025 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
688687adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
689450adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*)
690259a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → +∞ ∈ ℝ*)
691684adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞))
692 ioogtlb 43033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑥)
693689, 690, 691, 692syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑥)
6946933adantl3 1167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑥)
695 elinel2 4130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
696 elsni 4578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ {𝑋} → 𝑥 = 𝑋)
697696adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 = 𝑋)
698624adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑋𝑋)
699697, 698eqbrtrd 5096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥𝑋)
700699adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥𝑋)
701 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝜑)
702 elunnel2 42582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
703702adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
704 elinel1 4129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋))
705703, 704syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋))
706 elioore 13109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
707706adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
70814adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
709194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → -∞ ∈ ℝ*)
710452adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
711 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋))
712 iooltub 43048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-∞ ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 < 𝑋)
713709, 710, 711, 712syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 < 𝑋)
714707, 708, 713ltled 11123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥𝑋)
715701, 705, 714syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥𝑋)
716700, 715pm2.61dan 810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥𝑋)
717695, 716sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥𝑋)
7187173ad2antl1 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥𝑋)
719682, 683, 688, 694, 718eliocd 43045 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋))
720681, 719impbida 798 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋) ↔ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))))
721720eqrdv 2736 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋) = ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
722605, 229sstrid 3932 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
72314snssd 4742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → {𝑋} ⊆ ℝ)
724722, 723unssd 4120 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ)
7257243ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ)
726233, 366rerest 23967 . . . . . . . . . . . . 13 ((((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
727725, 726syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
728640, 721, 7273eltr4d 2854 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
729 isopn3i 22233 . . . . . . . . . . 11 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top ∧ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) = (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋))
730635, 728, 729sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) = (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋))
731629, 730eqtr2d 2779 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋})))
732626, 731eleqtrd 2841 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋})))
733607, 613, 614, 233, 615, 732limcres 25050 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) lim 𝑋))
734733eqcomd 2744 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) lim 𝑋) = (((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋))
735613resabs1d 5922 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) = (𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)))
736735oveq1d 7290 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋))
737604, 734, 7363eqtrrd 2783 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
738377, 596, 7373eqtrrd 2783 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
739738rexlimdv3a 3215 . . 3 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))))
740173, 739mpd 15 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
7411203adant3 1131 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
7422183adant3 1131 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
743 fourierdlem49.l . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
7447433adant3 1131 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
745 eqid 2738 . . . . . . . 8 if((𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸𝑋))) = if((𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸𝑋)))
746 eqid 2738 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
747211, 209, 741, 742, 744, 211, 235, 238, 217, 745, 746fourierdlem33 43681 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if((𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸𝑋))) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
748217resabs1d 5922 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))))
749748oveq1d 7290 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
750747, 749eleqtrd 2841 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if((𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸𝑋))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
751 ne0i 4268 . . . . . 6 (if((𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸𝑋))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) ≠ ∅)
752750, 751syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) ≠ ∅)
753377, 752eqnetrd 3011 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) ≠ ∅)
754753rexlimdv3a 3215 . . 3 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) ≠ ∅))
755173, 754mpd 15 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) ≠ ∅)
756740, 755eqnetrd 3011 1 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3065  {crab 3068  Vcvv 3432  cun 3885  cin 3886  wss 3887  c0 4256  ifcif 4459  {csn 4561   class class class wbr 5074  cmpt 5157  dom cdm 5589  ran crn 5590  cres 5591  Rel wrel 5594   Fn wfn 6428  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  m cmap 8615  supcsup 9199  cc 10869  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  +∞cpnf 11006  -∞cmnf 11007  *cxr 11008   < clt 11009  cle 11010  cmin 11205  -cneg 11206   / cdiv 11632  cn 11973  0cn0 12233  cz 12319  cuz 12582  (,)cioo 13079  (,]cioc 13080  [,]cicc 13082  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382  cfl 13510  t crest 17131  TopOpenctopn 17132  topGenctg 17148  fldccnfld 20597  Topctop 22042  intcnt 22168  cnccncf 24039   lim climc 25026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-rest 17133  df-topn 17134  df-topgen 17154  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-ntr 22171  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-xms 23473  df-ms 23474  df-cncf 24041  df-limc 25030
This theorem is referenced by:  fourierdlem94  43741  fourierdlem113  43760
  Copyright terms: Public domain W3C validator