Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem49 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fourierdlem49 45182
Description: The given periodic function 𝐹 has a left limit at every point in the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem49.a (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem49.b (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem49.altb (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem49.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem49.t 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem49.m (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem49.q (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem49.d (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
fourierdlem49.f (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
fourierdlem49.dper ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
fourierdlem49.per ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
fourierdlem49.cn ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem49.l ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem49.x (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem49.z 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
fourierdlem49.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem49 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐴,𝑖   𝐵,𝑖,𝑘   𝐵,𝑚,𝑝   𝑥,𝐵,𝑘   𝐷,𝑘,𝑥   𝑖,𝐸,𝑘,𝑥   𝑖,𝐹,𝑘,𝑥   𝑖,𝑀,𝑘   𝑚,𝑀,𝑝   𝑥,𝑀   𝑄,𝑖,𝑘   𝑄,𝑝   𝑥,𝑄   𝑇,𝑘,𝑥   𝑖,𝑋,𝑘,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥   𝜑,𝑖,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐴(𝑘)   𝐷(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑇(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐸(𝑚,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑋(𝑚,𝑝)   𝑍(𝑖,𝑚,𝑝)
Proof of Theorem fourierdlem49
Dummy variables 𝑗 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem49.a . . . . . 6 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem49.b . . . . . 6 (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3 fourierdlem49.altb . . . . . 6 (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
4 fourierdlem49.t . . . . . 6 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
5 fourierdlem49.e . . . . . . 7 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥)))
6 ovex 7445 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V
7 fourierdlem49.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
87fvmpt2 7009 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V) → (𝑍‘𝑥) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
96, 8mpan2 688 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑍‘𝑥) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
109oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (𝑍‘𝑥)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
1110mpteq2ia 5251 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
125, 11eqtri 2759 . . . . . 6 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
131, 2, 3, 4, 12fourierdlem4 45138 . . . . 5 (𝜑 → 𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
14 fourierdlem49.x . . . . 5 (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
1513, 14ffvelcdmd 7087 . . . 4 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵))
16 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄)
17 fourierdlem49.q . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
18 fourierdlem49.m . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
19 fourierdlem49.p . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
2019fourierdlem2 45136 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
2118, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
2217, 21mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
2322simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
24 elmapi 8849 . . . . . . . . . . 11 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
26 ffn 6717 . . . . . . . . . 10 (𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ → 𝑄 Fn (0...𝑀))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 𝑄 Fn (0...𝑀))
2827ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
29 fvelrnb 6952 . . . . . . . 8 (𝑄 Fn (0...𝑀) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)))
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)))
3116, 30mpbid 231 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋))
32 1zzd 12600 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
33 elfzelz 13508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
3433ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ ℤ)
35 1e0p1 12726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = (0 + 1)
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 1 = (0 + 1))
3734zred 12673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ ℝ)
38 elfzle1 13511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 0 ≤ 𝑗)
3938ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 ≤ 𝑗)
40 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋))
4140eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘𝑗))
4241ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘𝑗))
43 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 = 0 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘0))
4443adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘0))
4522simprld 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵))
4645simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
4746ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄‘0) = 𝐴)
4842, 44, 473eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
4948adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
5049adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
511adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
521rexrd 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5352adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
542rexrd 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5554adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
56 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵))
57 iocgtlb 44526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸‘𝑋))
5853, 55, 56, 57syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸‘𝑋))
5951, 58gtned 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐴)
6059neneqd 2944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ¬ (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
6160ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → ¬ (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
6250, 61pm2.65da 814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ¬ 𝑗 = 0)
6362neqned 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ≠ 0)
6437, 39, 63ne0gt0d 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 < 𝑗)
65 0zd 12577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 ∈ ℤ)
66 zltp1le 12619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗))
6765, 34, 66syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗))
6864, 67mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (0 + 1) ≤ 𝑗)
6936, 68eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 1 ≤ 𝑗)
70 eluz2 12835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗))
7132, 34, 69, 70syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1))
72 nnuz 12872 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ = (ℤ≥‘1)
7371, 72eleqtrrdi 2843 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ ℕ)
74 nnm1nn0 12520 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
76 nn0uz 12871 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ0 = (ℤ≥‘0)
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ℕ0 = (ℤ≥‘0))
7875, 77eleqtrd 2834 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
7918nnzd 12592 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8079ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑀 ∈ ℤ)
81 peano2zm 12612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
8233, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
8382zred 12673 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
8433zred 12673 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
85 elfzel2 13506 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
8685zred 12673 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
8784ltm1d 12153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑗)
88 elfzle2 13512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ≤ 𝑀)
8983, 84, 86, 87, 88ltletrd 11381 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑀)
9089ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) < 𝑀)
91 elfzo2 13642 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝑗 − 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) < 𝑀))
9278, 80, 90, 91syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))
9325ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
9434, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
9575nn0ge0d 12542 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 ≤ (𝑗 − 1))
9683, 86, 89ltled 11369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)
9796ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)
9865, 80, 94, 95, 97elfzd 13499 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0...𝑀))
9993, 98ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ)
10099rexrd 11271 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ*)
10125ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ)
102101rexrd 11271 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
103102adantlr 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
104103adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
105 iocssre 13411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
10652, 2, 105syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
107106sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
108107rexrd 11271 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
109108ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
110 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝜑)
111 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 − 1) ∈ V
112 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)))
113112anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))))
114 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘(𝑗 − 1)))
115 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑗 − 1) + 1))
116115fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
117114, 116breq12d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
118113, 117imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))))
11922simprrd 771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
120119r19.21bi 3247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
121111, 118, 120vtocl 3545 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
122110, 92, 121syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
12333zcnd 12674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
124 1cnd 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 1 ∈ ℂ)
125123, 124npcand 11582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
126125eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 = ((𝑗 − 1) + 1))
127126fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
128127eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄‘𝑗))
129128ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄‘𝑗))
130122, 129breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘𝑗))
131 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋))
132130, 131breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝐸‘𝑋))
133106, 15sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
134133leidd 11787 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝐸‘𝑋))
135134ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝐸‘𝑋))
13641adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘𝑗))
137135, 136breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘𝑗))
138137adantllr 716 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘𝑗))
139100, 104, 109, 132, 138eliocd 44531 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘𝑗)))
140127oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
141140ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
142139, 141eleqtrd 2834 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
143114, 116oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
144143eleq2d 2818 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))))
145144rspcev 3612 . . . . . . . . . 10 (((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
14692, 142, 145syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
147146ex 412 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
148147adantlr 712 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
149148rexlimdva 3154 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
15031, 149mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
15118ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑀 ∈ ℕ)
15225ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
153 iocssicc 13421 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
15446eqcomd 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝐴 = (𝑄‘0))
15545simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = 𝐵)
156155eqcomd 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝐵 = (𝑄‘𝑀))
157154, 156oveq12d 7430 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
158153, 157sseqtrid 4034 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
159158sselda 3982 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
160159adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
161 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄)
162 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘𝑗))
163162breq1d 5158 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑄‘𝑘) < (𝐸‘𝑋) ↔ (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)))
164163cbvrabv 3441 . . . . . . . 8 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < (𝐸‘𝑋)} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)}
165164supeq1i 9448 . . . . . . 7 sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < (𝐸‘𝑋)}, ℝ, < ) = sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)}, ℝ, < )
166151, 152, 160, 161, 165fourierdlem25 45159 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
167 ioossioc 44516 . . . . . . . . 9 ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
168167sseli 3978 . . . . . . . 8 ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
169168a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
170169reximdva 3167 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
171166, 170mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
172150, 171pm2.61dan 810 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
17315, 172mpdan 684 . . 3 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
174 fourierdlem49.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
175 frel 6722 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐷⟶ℝ → Rel 𝐹)
176174, 175syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Rel 𝐹)
177 resindm 6030 . . . . . . . . . . 11 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))))
178177eqcomd 2737 . . . . . . . . . 10 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ dom 𝐹)))
179176, 178syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ dom 𝐹)))
180 fdm 6726 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐷⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐷)
181174, 180syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
182181ineq2d 4212 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ dom 𝐹) = ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷))
183182reseq2d 5981 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)))
184179, 183eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)))
1851843ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)))
186185oveq1d 7427 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)) limℂ (𝐸‘𝑋)))
187 ax-resscn 11173 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
188187a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
189174, 188fssd 6735 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
1901893ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
191 inss2 4229 . . . . . . . . 9 ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
192191a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷)
193190, 192fssresd 6758 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)):((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)⟶ℂ)
194 mnfxr 11278 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
195194a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ ∈ ℝ*)
19625adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
197 elfzofz 13655 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
198197adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
199196, 198ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
200199rexrd 11271 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
201199mnfltd 13111 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ < (𝑄‘𝑖))
202195, 200, 201xrltled 13136 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ ≤ (𝑄‘𝑖))
203 iooss1 13366 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝑄‘𝑖)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ (-∞(,)(𝐸‘𝑋)))
204194, 202, 203sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ (-∞(,)(𝐸‘𝑋)))
2052043adant3 1131 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ (-∞(,)(𝐸‘𝑋)))
206 fzofzp1 13736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
207206adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
208196, 207ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
2092083adant3 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
210209rexrd 11271 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
2111993adant3 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
212211rexrd 11271 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
213 simp3 1137 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
214 iocleub 44527 . . . . . . . . . . 11 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
215212, 210, 213, 214syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
216 iooss2 13367 . . . . . . . . . 10 (((𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
217210, 215, 216syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
218 fourierdlem49.cn . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
219 cncff 24646 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
220 fdm 6726 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
221218, 219, 2203syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
222 ssdmres 6004 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
223221, 222sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
224181adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom 𝐹 = 𝐷)
225223, 224sseqtrd 4022 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
2262253adant3 1131 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
227217, 226sstrd 3992 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ 𝐷)
228205, 227ssind 4232 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷))
229 fourierdlem49.d . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
230229, 188sstrd 3992 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
2312303ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐷 ⊆ ℂ)
232191, 231sstrid 3993 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ)
233 eqid 2731 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
234 eqid 2731 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))
2351333ad2ant1 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
236235rexrd 11271 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
237 iocgtlb 44526 . . . . . . . . . 10 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) < (𝐸‘𝑋))
238212, 210, 213, 237syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) < (𝐸‘𝑋))
239235leidd 11787 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝐸‘𝑋))
240212, 236, 236, 238, 239eliocd 44531 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)))
241 ioounsn 13461 . . . . . . . . . . 11 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘𝑖) < (𝐸‘𝑋)) → (((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) = ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)))
242212, 236, 238, 241syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) = ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)))
243242fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))‘(((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))‘((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))))
244233cnfldtop 24533 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
245 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∈ V
246245inex1 5317 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∈ V
247 snex 5431 . . . . . . . . . . . 12 {(𝐸‘𝑋)} ∈ V
248246, 247unex 7737 . . . . . . . . . . 11 (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) ∈ V
249 resttop 22897 . . . . . . . . . . 11 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∈ Top)
250244, 248, 249mp2an 689 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∈ Top
251 retop 24511 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
252251a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
253248a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) ∈ V)
254 iooretop 24515 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
255254a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
256 elrestr 17381 . . . . . . . . . . . 12 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) ∈ V ∧ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
257252, 253, 255, 256syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
258 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 = (𝐸‘𝑋))
259 pnfxr 11275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 +∞ ∈ ℝ*
260259a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → +∞ ∈ ℝ*)
261235ltpnfd 13108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) < +∞)
262212, 260, 235, 238, 261eliood 44522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞))
263 snidg 4662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐸‘𝑋) ∈ ℝ → (𝐸‘𝑋) ∈ {(𝐸‘𝑋)})
264 elun2 4177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐸‘𝑋) ∈ {(𝐸‘𝑋)} → (𝐸‘𝑋) ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))
265263, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐸‘𝑋) ∈ ℝ → (𝐸‘𝑋) ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))
266133, 265syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))
2672663ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))
268262, 267elind 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
269268adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
270258, 269eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
271270adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
272212adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
273259a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → +∞ ∈ ℝ*)
274200adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
275133adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
276275adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
277 iocssre 13411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ) → ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)) ⊆ ℝ)
278274, 276, 277syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)) ⊆ ℝ)
279 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)))
280278, 279sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
2812803adantl3 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
282276rexrd 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
283 iocgtlb 44526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
284274, 282, 279, 283syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
2852843adantl3 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
286281ltpnfd 13108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → 𝑥 < +∞)
287272, 273, 281, 285, 286eliood 44522 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞))
288287adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞))
289194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → -∞ ∈ ℝ*)
290282adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
291280adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
292291mnfltd 13111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → -∞ < 𝑥)
293133ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
294 iocleub 44527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
295274, 282, 279, 294syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
296295adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
297 neqne 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋) → 𝑥 ≠ (𝐸‘𝑋))
298297necomd 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋) → (𝐸‘𝑋) ≠ 𝑥)
299298adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≠ 𝑥)
300291, 293, 296, 299leneltd 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 < (𝐸‘𝑋))
301289, 290, 291, 292, 300eliood 44522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋)))
3023013adantll3 44041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋)))
303226ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
304272adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
305210ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
306281adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
307285adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
308235ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
309209ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
3103003adantll3 44041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 < (𝐸‘𝑋))
311215ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
312306, 308, 309, 310, 311ltletrd 11381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
313304, 305, 306, 307, 312eliood 44522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
314303, 313sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
315302, 314elind 4194 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷))
316 elun1 4176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))
317315, 316syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))
318288, 317elind 4194 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
319271, 318pm2.61dan 810 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
320212adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
321236adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
322 elinel1 4195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞))
323 elioore 13361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
324323rexrd 11271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
325322, 324syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
326325adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
327200adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
328259a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → +∞ ∈ ℝ*)
329322adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞))
330 ioogtlb 44519 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞)) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
331327, 328, 329, 330syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
3323313adantl3 1167 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
333 elinel2 4196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))
334 elsni 4645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)} → 𝑥 = (𝐸‘𝑋))
335334adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)}) → 𝑥 = (𝐸‘𝑋))
336134adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)}) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝐸‘𝑋))
337335, 336eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)}) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
338337adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)}) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
339 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)}) → 𝜑)
340 elunnel2 4150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)}) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷))
341340adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)}) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷))
342 elinel1 4195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋)))
343 elioore 13361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
344343adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
345133adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
346194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) → -∞ ∈ ℝ*)
347345rexrd 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
348 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋)))
349 iooltub 44534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) → 𝑥 < (𝐸‘𝑋))
350346, 347, 348, 349syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) → 𝑥 < (𝐸‘𝑋))
351344, 345, 350ltled 11369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
352342, 351sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
353339, 341, 352syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)}) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
354338, 353pm2.61dan 810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
355354adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
356333, 355sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
3573563adantl3 1167 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
358320, 321, 326, 332, 357eliocd 44531 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)))
359319, 358impbida 798 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)) ↔ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))))
360359eqrdv 2729 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)) = (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
361 ioossre 13392 . . . . . . . . . . . . . 14 (-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ ℝ
362 ssinss1 4237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ ℝ → ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
363361, 362mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
364235snssd 4812 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {(𝐸‘𝑋)} ⊆ ℝ)
365363, 364unssd 4186 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) ⊆ ℝ)
366 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
367233, 366rerest 24553 . . . . . . . . . . . 12 ((((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
368365, 367syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
369257, 360, 3683eltr4d 2847 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
370 isopn3i 22819 . . . . . . . . . 10 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∈ Top ∧ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))‘((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) = ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)))
371250, 369, 370sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))‘((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) = ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)))
372243, 371eqtr2d 2772 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))‘(((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
373240, 372eleqtrd 2834 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))‘(((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
374193, 228, 232, 233, 234, 373limcres 25648 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)) limℂ (𝐸‘𝑋)))
375228resabs1d 6012 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))))
376375oveq1d 7427 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
377186, 374, 3763eqtr2d 2777 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
378181feq2d 6703 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:𝐷⟶ℂ))
379189, 378mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
380379adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3813803ad2antl1 1184 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
382 ioosscn 13393 . . . . . . . . . 10 ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ ℂ
383382a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ ℂ)
384181eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 𝐷 = dom 𝐹)
3853843ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐷 = dom 𝐹)
386227, 385sseqtrd 4022 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ dom 𝐹)
387386adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ dom 𝐹)
3887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
389 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑋 → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 𝑋))
390389oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))
391390fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)))
392391oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
393392adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
3942, 14resubcld 11649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℝ)
3952, 1resubcld 11649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
3964, 395eqeltrid 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
3971, 2posdifd 11808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
3983, 397mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
3994eqcomi 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵 − 𝐴) = 𝑇
400399a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = 𝑇)
401398, 400breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 < 𝑇)
402401gt0ne0d 11785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
403394, 396, 402redivcld 12049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
404403flcld 13770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
405404zred 12673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ)
406405, 396remulcld 11251 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
407388, 393, 14, 406fvmptd 7005 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑍‘𝑋) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
408407, 406eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑍‘𝑋) ∈ ℝ)
409408recnd 11249 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑍‘𝑋) ∈ ℂ)
410409adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℂ)
4114103ad2antl1 1184 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℂ)
412411negcld 11565 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → -(𝑍‘𝑋) ∈ ℂ)
413 eqid 2731 . . . . . . . . 9 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))}
414 ioosscn 13393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ ℂ
415414sseli 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) → 𝑦 ∈ ℂ)
416415adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ ℂ)
417409adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℂ)
418416, 417pncand 11579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)) = 𝑦)
419418eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)))
4204193ad2antl1 1184 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)))
421407oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
422421adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
423416, 417addcld 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ℂ)
424406recnd 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
425424adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
426423, 425negsubd 11584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + -((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
427404zcnd 12674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℂ)
428396recnd 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
429427, 428mulneg1d 11674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) = -((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
430429eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → -((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) = (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
431430oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + -((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
432431adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + -((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
433422, 426, 4323eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
4344333ad2antl1 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
435404znegcld 12675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
436435adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
4374363ad2antl1 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
438 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝜑)
439227adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ 𝐷)
440200adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
441133rexrd 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
442441ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
443 elioore 13361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) → 𝑦 ∈ ℝ)
444443adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ ℝ)
445408adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℝ)
446444, 445readdcld 11250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ)
447446adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ)
448408adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℝ)
449199, 448resubcld 11649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ)
450449rexrd 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ*)
451450adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ*)
45214rexrd 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
453452ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
454 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋))
455 ioogtlb 44519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑦)
456451, 453, 454, 455syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑦)
457199adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
458448adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℝ)
459443adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ ℝ)
460457, 458, 459ltsubaddd 11817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑦 ↔ (𝑄‘𝑖) < (𝑦 + (𝑍‘𝑋))))
461456, 460mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑦 + (𝑍‘𝑋)))
46214ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
463 iooltub 44534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 < 𝑋)
464451, 453, 454, 463syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 < 𝑋)
465459, 462, 458, 464ltadd1dd 11832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) < (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
4665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥))))
467 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
468 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 𝑋 → (𝑍‘𝑥) = (𝑍‘𝑋))
469467, 468oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑍‘𝑥)) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
470469adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (𝑍‘𝑥)) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
47114, 408readdcld 11250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ)
472466, 470, 14, 471fvmptd 7005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
473472eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍‘𝑋)) = (𝐸‘𝑋))
474473ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑋 + (𝑍‘𝑋)) = (𝐸‘𝑋))
475465, 474breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) < (𝐸‘𝑋))
476440, 442, 447, 461, 475eliood 44522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)))
4774763adantl3 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)))
478439, 477sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷)
479438, 478, 4373jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
480 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 ∈ ℤ ↔ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
4814803anbi3d 1441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)))
482 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 · 𝑇) = (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
483482oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
484483eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐷))
485481, 484imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
486 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ V
487 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) → (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷))
4884873anbi2d 1440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ)))
489 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)))
490489eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
491488, 490imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
492 fourierdlem49.dper . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
493486, 491, 492vtocl 3545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
494485, 493vtoclg 3542 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ → ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐷))
495437, 479, 494sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐷)
496434, 495eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷)
497420, 496eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ 𝐷)
498497ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∀𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑦 ∈ 𝐷)
499 dfss3 3970 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑦 ∈ 𝐷)
500498, 499sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ 𝐷)
501199recnd 11249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℂ)
502409adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℂ)
503501, 502negsubd 11584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖) + -(𝑍‘𝑋)) = ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)))
504503eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) = ((𝑄‘𝑖) + -(𝑍‘𝑋)))
505472oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋)) = ((𝑋 + (𝑍‘𝑋)) + -(𝑍‘𝑋)))
506471recnd 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ℂ)
507506, 409negsubd 11584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑍‘𝑋)) + -(𝑍‘𝑋)) = ((𝑋 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)))
50814recnd 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
509508, 409pncand 11579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)) = 𝑋)
510505, 507, 5093eqtrrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 𝑋 = ((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋)))
511510adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 = ((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋)))
512504, 511oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) = (((𝑄‘𝑖) + -(𝑍‘𝑋))(,)((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋))))
513448renegcld 11648 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -(𝑍‘𝑋) ∈ ℝ)
514199, 275, 513iooshift 44546 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄‘𝑖) + -(𝑍‘𝑋))(,)((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))})
515512, 514eqtr2d 2772 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))} = (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋))
5165153adant3 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))} = (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋))
5171813ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → dom 𝐹 = 𝐷)
518500, 516, 5173sstr4d 4029 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))} ⊆ dom 𝐹)
519518adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))} ⊆ dom 𝐹)
520407negeqd 11461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -(𝑍‘𝑋) = -((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
521520, 430eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -(𝑍‘𝑋) = (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
522521oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 + -(𝑍‘𝑋)) = (𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
523522fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
524523adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
5255243ad2antl1 1184 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
526435adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
5275263ad2antl1 1184 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
528 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → 𝜑)
529227sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ∈ 𝐷)
530528, 529, 5273jca 1127 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
5314803anbi3d 1441 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)))
532482oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
533532fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
534533eqeq1d 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)))
535531, 534imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))))
536 fourierdlem49.per . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
537535, 536vtoclg 3542 . . . . . . . . . . . 12 (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)))
538527, 530, 537sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
539525, 538eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘𝑥))
540539adantlr 712 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘𝑥))
541 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
542381, 383, 387, 412, 413, 519, 540, 541limcperiod 44655 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))}) limℂ ((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋))))
543515reseq2d 5981 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))}) = (𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)))
544511eqcomd 2737 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋)) = 𝑋)
545543, 544oveq12d 7430 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))}) limℂ ((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋))) = ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
5465453adant3 1131 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))}) limℂ ((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋))) = ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
547546adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))}) limℂ ((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋))) = ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
548542, 547eleqtrd 2834 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
549379adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
5505493ad2antl1 1184 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
551414a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ ℂ)
552500, 517sseqtrrd 4023 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ dom 𝐹)
553552adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ dom 𝐹)
554409adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℂ)
5555543ad2antl1 1184 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℂ)
556 eqid 2731 . . . . . . . . 9 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))}
557501, 502npcand 11582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) + (𝑍‘𝑋)) = (𝑄‘𝑖))
558557eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) = (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) + (𝑍‘𝑋)))
559472adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
560558, 559oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) = ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) + (𝑍‘𝑋))(,)(𝑋 + (𝑍‘𝑋))))
56114adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
562449, 561, 448iooshift 44546 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) + (𝑍‘𝑋))(,)(𝑋 + (𝑍‘𝑋))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))})
563560, 562eqtr2d 2772 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))} = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)))
5645633adant3 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))} = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)))
565227, 564, 5173sstr4d 4029 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))} ⊆ dom 𝐹)
566565adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))} ⊆ dom 𝐹)
567407oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 + (𝑍‘𝑋)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
568567fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
569568adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
5705693ad2antl1 1184 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
571404adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
5725713ad2antl1 1184 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
573 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝜑)
574500sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
575573, 574, 5723jca 1127 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
576 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 ∈ ℤ ↔ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
5775763anbi3d 1441 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)))
578 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
579578oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
580579fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
581580eqeq1d 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)))
582577, 581imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))))
583582, 536vtoclg 3542 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)))
584572, 575, 583sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
585570, 584eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘𝑥))
586585adantlr 712 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘𝑥))
587 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
588550, 551, 553, 555, 556, 566, 586, 587limcperiod 44655 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))}) limℂ (𝑋 + (𝑍‘𝑋))))
589563reseq2d 5981 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))}) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))))
590473adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑍‘𝑋)) = (𝐸‘𝑋))
591589, 590oveq12d 7430 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))}) limℂ (𝑋 + (𝑍‘𝑋))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
5925913adant3 1131 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))}) limℂ (𝑋 + (𝑍‘𝑋))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
593592adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))}) limℂ (𝑋 + (𝑍‘𝑋))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
594588, 593eleqtrd 2834 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
595548, 594impbida 798 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) ↔ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)))
596595eqrdv 2729 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) = ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
597 resindm 6030 . . . . . . . . . . 11 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)))
598597eqcomd 2737 . . . . . . . . . 10 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹)))
599176, 598syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹)))
600181ineq2d 4212 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹) = ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
601600reseq2d 5981 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)))
602599, 601eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)))
603602oveq1d 7427 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) limℂ 𝑋))
6046033ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) limℂ 𝑋))
605 inss2 4229 . . . . . . . . . 10 ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
606605a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷)
607190, 606fssresd 6758 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)):((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)⟶ℂ)
608449mnfltd 13111 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ < ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)))
609195, 450, 608xrltled 13136 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ ≤ ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)))
610 iooss1 13366 . . . . . . . . . . 11 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ (-∞(,)𝑋))
611194, 609, 610sylancr 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ (-∞(,)𝑋))
6126113adant3 1131 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ (-∞(,)𝑋))
613612, 500ssind 4232 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
614605, 231sstrid 3993 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ)
615 eqid 2731 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
6164503adant3 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ*)
6174523ad2ant1 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
6184723ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
619238, 618breqtrd 5174 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) < (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
6204083ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℝ)
621143ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
622211, 620, 621ltsubaddd 11817 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑋 ↔ (𝑄‘𝑖) < (𝑋 + (𝑍‘𝑋))))
623619, 622mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑋)
62414leidd 11787 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑋)
6256243ad2ant1 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ≤ 𝑋)
626616, 617, 617, 623, 625eliocd 44531 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋))
627 ioounsn 13461 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑋) → ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋}) = (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋))
628616, 617, 623, 627syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋}) = (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋))
629628fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)))
630 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . . 14 (-∞(,)𝑋) ∈ V
631630inex1 5317 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∈ V
632 snex 5431 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑋} ∈ V
633631, 632unex 7737 . . . . . . . . . . . 12 (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V
634 resttop 22897 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top)
635244, 633, 634mp2an 689 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top
636633a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V)
637 iooretop 24515 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
638637a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
639 elrestr 17381 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V ∧ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
640252, 636, 638, 639syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
641450adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ*)
642259a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → +∞ ∈ ℝ*)
64314ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
644 iocssre 13411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋) ⊆ ℝ)
645641, 643, 644syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋) ⊆ ℝ)
646 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋))
647645, 646sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
648452ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
649 iocgtlb 44526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑥)
650641, 648, 646, 649syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑥)
651647ltpnfd 13108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 < +∞)
652641, 642, 647, 650, 651eliood 44522 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞))
6536523adantl3 1167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞))
654 eqvisset 3491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑋 → 𝑋 ∈ V)
655 snidg 4662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋 ∈ V → 𝑋 ∈ {𝑋})
656654, 655syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑋 → 𝑋 ∈ {𝑋})
657467, 656eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ {𝑋})
658 elun2 4177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ {𝑋} → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
659657, 658syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
660659adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
661 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
662641adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ*)
663452ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ*)
664647adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
665650adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑥)
66614ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
667 iocleub 44527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ≤ 𝑋)
668641, 648, 646, 667syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ≤ 𝑋)
669668adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ≤ 𝑋)
670467eqcoms 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 = 𝑥 → 𝑥 = 𝑋)
671670necon3bi 2966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ 𝑥 = 𝑋 → 𝑋 ≠ 𝑥)
672671adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ≠ 𝑥)
673664, 666, 669, 672leneltd 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < 𝑋)
674662, 663, 664, 665, 673eliood 44522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋))
6756743adantll3 44041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋))
676613sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
677 elun1 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
678676, 677syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
679661, 675, 678syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
680660, 679pm2.61dan 810 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
681653, 680elind 4194 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
682616adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ*)
683617adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
684 elinel1 4195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞))
685 elioore 13361 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
686684, 685syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ)
687686rexrd 11271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
688687adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
689450adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ*)
690259a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → +∞ ∈ ℝ*)
691684adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞))
692 ioogtlb 44519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑥)
693689, 690, 691, 692syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑥)
6946933adantl3 1167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑥)
695 elinel2 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
696 elsni 4645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ {𝑋} → 𝑥 = 𝑋)
697696adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 = 𝑋)
698624adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑋 ≤ 𝑋)
699697, 698eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ≤ 𝑋)
700699adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ≤ 𝑋)
701 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝜑)
702 elunnel2 4150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
703702adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
704 elinel1 4195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋))
705703, 704syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋))
706 elioore 13361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
707706adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
70814adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
709194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → -∞ ∈ ℝ*)
710452adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
711 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋))
712 iooltub 44534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 < 𝑋)
713709, 710, 711, 712syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 < 𝑋)
714707, 708, 713ltled 11369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 ≤ 𝑋)
715701, 705, 714syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ≤ 𝑋)
716700, 715pm2.61dan 810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ≤ 𝑋)
717695, 716sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ≤ 𝑋)
7187173ad2antl1 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ≤ 𝑋)
719682, 683, 688, 694, 718eliocd 44531 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋))
720681, 719impbida 798 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋) ↔ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))))
721720eqrdv 2729 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋) = ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
722605, 229sstrid 3993 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
72314snssd 4812 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → {𝑋} ⊆ ℝ)
724722, 723unssd 4186 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ)
7257243ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ)
726233, 366rerest 24553 . . . . . . . . . . . . 13 ((((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
727725, 726syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
728640, 721, 7273eltr4d 2847 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
729 isopn3i 22819 . . . . . . . . . . 11 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top ∧ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) = (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋))
730635, 728, 729sylancr 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) = (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋))
731629, 730eqtr2d 2772 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋})))
732626, 731eleqtrd 2834 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋})))
733607, 613, 614, 233, 615, 732limcres 25648 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) limℂ 𝑋))
734733eqcomd 2737 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) limℂ 𝑋) = (((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
735613resabs1d 6012 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) = (𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)))
736735oveq1d 7427 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
737604, 734, 7363eqtrrd 2776 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
738377, 596, 7373eqtrrd 2776 . . . 4 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
739738rexlimdv3a 3158 . . 3 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))))
740173, 739mpd 15 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
7411203adant3 1131 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
7422183adant3 1131 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
743 fourierdlem49.l . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
7447433adant3 1131 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
745 eqid 2731 . . . . . . . 8 if((𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸‘𝑋))) = if((𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸‘𝑋)))
746 eqid 2731 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
747211, 209, 741, 742, 744, 211, 235, 238, 217, 745, 746fourierdlem33 45167 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if((𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸‘𝑋))) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
748217resabs1d 6012 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))))
749748oveq1d 7427 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
750747, 749eleqtrd 2834 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if((𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸‘𝑋))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
751 ne0i 4334 . . . . . 6 (if((𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸‘𝑋))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) ≠ ∅)
752750, 751syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) ≠ ∅)
753377, 752eqnetrd 3007 . . . 4 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) ≠ ∅)
754753rexlimdv3a 3158 . . 3 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) ≠ ∅))
755173, 754mpd 15 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) ≠ ∅)
756740, 755eqnetrd 3007 1 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473   ∪ cun 3946   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677   ↾ cres 5678  Rel wrel 5681   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ↑m cmap 8826  supcsup 9441  ℂcc 11114  ℝcr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121  +∞cpnf 11252  -∞cmnf 11253  ℝ*cxr 11254   < clt 11255   ≤ cle 11256   − cmin 11451  -cneg 11452   / cdiv 11878  ℕcn 12219  ℕ0cn0 12479  ℤcz 12565  ℤ≥cuz 12829  (,)cioo 13331  (,]cioc 13332  [,]cicc 13334  ...cfz 13491  ..^cfzo 13634  ⌊cfl 13762   ↾t crest 17373  TopOpenctopn 17374  topGenctg 17390  ℂfldccnfld 21148  Topctop 22628  intcnt 22754  –cn→ccncf 24629   limℂ climc 25624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-rest 17375  df-topn 17376  df-topgen 17396  df-psmet 21140  df-xmet 21141  df-met 21142  df-bl 21143  df-mopn 21144  df-cnfld 21149  df-top 22629  df-topon 22646  df-topsp 22668  df-bases 22682  df-ntr 22757  df-cn 22964  df-cnp 22965  df-xms 24059  df-ms 24060  df-cncf 24631  df-limc 25628
This theorem is referenced by:  fourierdlem94  45227  fourierdlem113  45246
  Copyright terms: Public domain W3C validator