Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem49 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fourierdlem49 42797
Description: The given periodic function 𝐹 has a left limit at every point in the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem49.a (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem49.b (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem49.altb (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem49.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem49.t 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem49.m (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem49.q (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem49.d (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
fourierdlem49.f (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
fourierdlem49.dper ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
fourierdlem49.per ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
fourierdlem49.cn ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem49.l ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem49.x (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem49.z 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
fourierdlem49.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem49 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐴,𝑖   𝐵,𝑖,𝑘   𝐵,𝑚,𝑝   𝑥,𝐵,𝑘   𝐷,𝑘,𝑥   𝑖,𝐸,𝑘,𝑥   𝑖,𝐹,𝑘,𝑥   𝑖,𝑀,𝑘   𝑚,𝑀,𝑝   𝑥,𝑀   𝑄,𝑖,𝑘   𝑄,𝑝   𝑥,𝑄   𝑇,𝑘,𝑥   𝑖,𝑋,𝑘,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥   𝜑,𝑖,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐴(𝑘)   𝐷(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑇(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐸(𝑚,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑋(𝑚,𝑝)   𝑍(𝑖,𝑚,𝑝)
Proof of Theorem fourierdlem49
Dummy variables 𝑗 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem49.a . . . . . 6 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem49.b . . . . . 6 (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3 fourierdlem49.altb . . . . . 6 (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
4 fourierdlem49.t . . . . . 6 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
5 fourierdlem49.e . . . . . . 7 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥)))
6 ovex 7168 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V
7 fourierdlem49.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
87fvmpt2 6756 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V) → (𝑍‘𝑥) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
96, 8mpan2 690 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑍‘𝑥) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
109oveq2d 7151 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (𝑍‘𝑥)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
1110mpteq2ia 5121 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
125, 11eqtri 2821 . . . . . 6 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
131, 2, 3, 4, 12fourierdlem4 42753 . . . . 5 (𝜑 → 𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
14 fourierdlem49.x . . . . 5 (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
1513, 14ffvelrnd 6829 . . . 4 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵))
16 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄)
17 fourierdlem49.q . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
18 fourierdlem49.m . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
19 fourierdlem49.p . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
2019fourierdlem2 42751 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
2118, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
2217, 21mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
2322simpld 498 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
24 elmapi 8411 . . . . . . . . . . 11 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
26 ffn 6487 . . . . . . . . . 10 (𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ → 𝑄 Fn (0...𝑀))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 𝑄 Fn (0...𝑀))
2827ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
29 fvelrnb 6701 . . . . . . . 8 (𝑄 Fn (0...𝑀) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)))
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)))
3116, 30mpbid 235 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋))
32 1zzd 12001 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
33 elfzelz 12902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
3433ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ ℤ)
35 1e0p1 12128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = (0 + 1)
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 1 = (0 + 1))
3734zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ ℝ)
38 elfzle1 12905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 0 ≤ 𝑗)
3938ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 ≤ 𝑗)
40 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋))
4140eqcomd 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘𝑗))
4241ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘𝑗))
43 fveq2 6645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 = 0 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘0))
4443adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘0))
4522simprld 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵))
4645simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄‘0) = 𝐴)
4842, 44, 473eqtrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
4948adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
5049adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
511adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
521rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5352adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
542rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5554adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
56 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵))
57 iocgtlb 42139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸‘𝑋))
5853, 55, 56, 57syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸‘𝑋))
5951, 58gtned 10764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐴)
6059neneqd 2992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ¬ (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
6160ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → ¬ (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
6250, 61pm2.65da 816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ¬ 𝑗 = 0)
6362neqned 2994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ≠ 0)
6437, 39, 63ne0gt0d 10766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 < 𝑗)
65 0zd 11981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 ∈ ℤ)
66 zltp1le 12020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗))
6765, 34, 66syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗))
6864, 67mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (0 + 1) ≤ 𝑗)
6936, 68eqbrtrd 5052 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 1 ≤ 𝑗)
70 eluz2 12237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗))
7132, 34, 69, 70syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1))
72 nnuz 12269 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ = (ℤ≥‘1)
7371, 72eleqtrrdi 2901 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ ℕ)
74 nnm1nn0 11926 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
76 nn0uz 12268 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ0 = (ℤ≥‘0)
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ℕ0 = (ℤ≥‘0))
7875, 77eleqtrd 2892 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
7918nnzd 12074 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8079ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑀 ∈ ℤ)
81 peano2zm 12013 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
8233, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
8382zred 12075 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
8433zred 12075 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
85 elfzel2 12900 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
8685zred 12075 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
8784ltm1d 11561 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑗)
88 elfzle2 12906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ≤ 𝑀)
8983, 84, 86, 87, 88ltletrd 10789 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑀)
9089ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) < 𝑀)
91 elfzo2 13036 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝑗 − 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) < 𝑀))
9278, 80, 90, 91syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))
9325ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
9434, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
9565, 80, 943jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ))
9675nn0ge0d 11946 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 ≤ (𝑗 − 1))
9783, 86, 89ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)
9897ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)
9995, 96, 98jca32 519 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑗 − 1) ∧ (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)))
100 elfz2 12892 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 − 1) ∈ (0...𝑀) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑗 − 1) ∧ (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)))
10199, 100sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0...𝑀))
10293, 101ffvelrnd 6829 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ)
103102rexrd 10680 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ*)
10425ffvelrnda 6828 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ)
105104rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
106105adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
107106adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
108 iocssre 12805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
10952, 2, 108syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
110109sselda 3915 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
111110rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
112111ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
113 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝜑)
114 ovex 7168 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 − 1) ∈ V
115 eleq1 2877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)))
116115anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))))
117 fveq2 6645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘(𝑗 − 1)))
118 oveq1 7142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑗 − 1) + 1))
119118fveq2d 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
120117, 119breq12d 5043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
121116, 120imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))))
12222simprrd 773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
123122r19.21bi 3173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
124114, 121, 123vtocl 3507 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
125113, 92, 124syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
12633zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
127 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 1 ∈ ℂ)
128126, 127npcand 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
129128eqcomd 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 = ((𝑗 − 1) + 1))
130129fveq2d 6649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
131130eqcomd 2804 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄‘𝑗))
132131ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄‘𝑗))
133125, 132breqtrd 5056 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘𝑗))
134 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋))
135133, 134breqtrd 5056 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝐸‘𝑋))
136109, 15sseldd 3916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
137136leidd 11195 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝐸‘𝑋))
138137ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝐸‘𝑋))
13941adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘𝑗))
140138, 139breqtrd 5056 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘𝑗))
141140adantllr 718 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘𝑗))
142103, 107, 112, 135, 141eliocd 42144 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘𝑗)))
143130oveq2d 7151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
144143ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
145142, 144eleqtrd 2892 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
146117, 119oveq12d 7153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
147146eleq2d 2875 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))))
148147rspcev 3571 . . . . . . . . . 10 (((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
14992, 145, 148syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
150149ex 416 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
151150adantlr 714 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
152151rexlimdva 3243 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
15331, 152mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
15418ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑀 ∈ ℕ)
15525ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
156 iocssicc 12815 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
15746eqcomd 2804 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝐴 = (𝑄‘0))
15845simprd 499 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = 𝐵)
159158eqcomd 2804 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝐵 = (𝑄‘𝑀))
160157, 159oveq12d 7153 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
161156, 160sseqtrid 3967 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
162161sselda 3915 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
163162adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
164 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄)
165 fveq2 6645 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘𝑗))
166165breq1d 5040 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑄‘𝑘) < (𝐸‘𝑋) ↔ (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)))
167166cbvrabv 3439 . . . . . . . 8 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < (𝐸‘𝑋)} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)}
168167supeq1i 8895 . . . . . . 7 sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < (𝐸‘𝑋)}, ℝ, < ) = sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)}, ℝ, < )
169154, 155, 163, 164, 168fourierdlem25 42774 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
170 ioossioc 42129 . . . . . . . . 9 ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
171170sseli 3911 . . . . . . . 8 ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
172171a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
173172reximdva 3233 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
174169, 173mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
175153, 174pm2.61dan 812 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
17615, 175mpdan 686 . . 3 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
177 fourierdlem49.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
178 frel 6492 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐷⟶ℝ → Rel 𝐹)
179177, 178syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Rel 𝐹)
180 resindm 5867 . . . . . . . . . . 11 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))))
181180eqcomd 2804 . . . . . . . . . 10 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ dom 𝐹)))
182179, 181syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ dom 𝐹)))
183 fdm 6495 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐷⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐷)
184177, 183syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
185184ineq2d 4139 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ dom 𝐹) = ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷))
186185reseq2d 5818 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)))
187182, 186eqtrd 2833 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)))
1881873ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)))
189188oveq1d 7150 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)) limℂ (𝐸‘𝑋)))
190 ax-resscn 10583 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
191190a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
192177, 191fssd 6502 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
1931923ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
194 inss2 4156 . . . . . . . . 9 ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
195194a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷)
196193, 195fssresd 6519 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)):((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)⟶ℂ)
197 mnfxr 10687 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
198197a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ ∈ ℝ*)
19925adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
200 elfzofz 13048 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
201200adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
202199, 201ffvelrnd 6829 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
203202rexrd 10680 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
204202mnfltd 12507 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ < (𝑄‘𝑖))
205198, 203, 204xrltled 12531 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ ≤ (𝑄‘𝑖))
206 iooss1 12761 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝑄‘𝑖)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ (-∞(,)(𝐸‘𝑋)))
207197, 205, 206sylancr 590 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ (-∞(,)(𝐸‘𝑋)))
2082073adant3 1129 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ (-∞(,)(𝐸‘𝑋)))
209 fzofzp1 13129 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
210209adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
211199, 210ffvelrnd 6829 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
2122113adant3 1129 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
213212rexrd 10680 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
2142023adant3 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
215214rexrd 10680 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
216 simp3 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
217 iocleub 42140 . . . . . . . . . . 11 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
218215, 213, 216, 217syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
219 iooss2 12762 . . . . . . . . . 10 (((𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
220213, 218, 219syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
221 fourierdlem49.cn . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
222 cncff 23498 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
223 fdm 6495 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
224221, 222, 2233syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
225 ssdmres 5841 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
226224, 225sylibr 237 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
227184adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom 𝐹 = 𝐷)
228226, 227sseqtrd 3955 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
2292283adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
230220, 229sstrd 3925 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ 𝐷)
231208, 230ssind 4159 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷))
232 fourierdlem49.d . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
233232, 191sstrd 3925 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
2342333ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐷 ⊆ ℂ)
235194, 234sstrid 3926 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ)
236 eqid 2798 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
237 eqid 2798 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))
2381363ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
239238rexrd 10680 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
240 iocgtlb 42139 . . . . . . . . . 10 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) < (𝐸‘𝑋))
241215, 213, 216, 240syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) < (𝐸‘𝑋))
242238leidd 11195 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝐸‘𝑋))
243215, 239, 239, 241, 242eliocd 42144 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)))
244 ioounsn 12855 . . . . . . . . . . 11 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘𝑖) < (𝐸‘𝑋)) → (((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) = ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)))
245215, 239, 241, 244syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) = ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)))
246245fveq2d 6649 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))‘(((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))‘((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))))
247236cnfldtop 23389 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
248 ovex 7168 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∈ V
249248inex1 5185 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∈ V
250 snex 5297 . . . . . . . . . . . 12 {(𝐸‘𝑋)} ∈ V
251249, 250unex 7449 . . . . . . . . . . 11 (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) ∈ V
252 resttop 21765 . . . . . . . . . . 11 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∈ Top)
253247, 251, 252mp2an 691 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∈ Top
254 retop 23367 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
255254a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
256251a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) ∈ V)
257 iooretop 23371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
258257a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
259 elrestr 16694 . . . . . . . . . . . 12 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) ∈ V ∧ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
260255, 256, 258, 259syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
261 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 = (𝐸‘𝑋))
262 pnfxr 10684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 +∞ ∈ ℝ*
263262a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → +∞ ∈ ℝ*)
264238ltpnfd 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) < +∞)
265215, 263, 238, 241, 264eliood 42135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞))
266 snidg 4559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐸‘𝑋) ∈ ℝ → (𝐸‘𝑋) ∈ {(𝐸‘𝑋)})
267 elun2 4104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐸‘𝑋) ∈ {(𝐸‘𝑋)} → (𝐸‘𝑋) ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))
268266, 267syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐸‘𝑋) ∈ ℝ → (𝐸‘𝑋) ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))
269136, 268syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))
2702693ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))
271265, 270elind 4121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
272271adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
273261, 272eqeltrd 2890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
274273adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
275215adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
276262a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → +∞ ∈ ℝ*)
277203adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
278136adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
279278adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
280 iocssre 12805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ) → ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)) ⊆ ℝ)
281277, 279, 280syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)) ⊆ ℝ)
282 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)))
283281, 282sseldd 3916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
2842833adantl3 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
285279rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
286 iocgtlb 42139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
287277, 285, 282, 286syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
2882873adantl3 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
289284ltpnfd 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → 𝑥 < +∞)
290275, 276, 284, 288, 289eliood 42135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞))
291290adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞))
292197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → -∞ ∈ ℝ*)
293285adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
294283adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
295294mnfltd 12507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → -∞ < 𝑥)
296136ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
297 iocleub 42140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
298277, 285, 282, 297syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
299298adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
300 neqne 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋) → 𝑥 ≠ (𝐸‘𝑋))
301300necomd 3042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋) → (𝐸‘𝑋) ≠ 𝑥)
302301adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≠ 𝑥)
303294, 296, 299, 302leneltd 10783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 < (𝐸‘𝑋))
304292, 293, 294, 295, 303eliood 42135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋)))
3053043adantll3 41673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋)))
306229ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
307275adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
308213ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
309284adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
310288adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
311238ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
312212ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
3133033adantll3 41673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 < (𝐸‘𝑋))
314218ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
315309, 311, 312, 313, 314ltletrd 10789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
316307, 308, 309, 310, 315eliood 42135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
317306, 316sseldd 3916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
318305, 317elind 4121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷))
319 elun1 4103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))
320318, 319syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))
321291, 320elind 4121 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
322274, 321pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
323215adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
324239adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
325 elinel1 4122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞))
326 elioore 12756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
327326rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
328325, 327syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
329328adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
330203adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
331262a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → +∞ ∈ ℝ*)
332325adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞))
333 ioogtlb 42132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)+∞)) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
334330, 331, 332, 333syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
3353343adantl3 1165 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → (𝑄‘𝑖) < 𝑥)
336 elinel2 4123 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))
337 elsni 4542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)} → 𝑥 = (𝐸‘𝑋))
338337adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)}) → 𝑥 = (𝐸‘𝑋))
339137adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)}) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝐸‘𝑋))
340338, 339eqbrtrd 5052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)}) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
341340adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)}) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
342 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)}) → 𝜑)
343 elunnel2 41668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)}) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷))
344343adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)}) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷))
345 elinel1 4122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋)))
346 elioore 12756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
347346adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
348136adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
349197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) → -∞ ∈ ℝ*)
350348rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
351 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋)))
352 iooltub 42147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) → 𝑥 < (𝐸‘𝑋))
353349, 350, 351, 352syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) → 𝑥 < (𝐸‘𝑋))
354347, 348, 353ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
355345, 354sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
356342, 344, 355syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(𝐸‘𝑋)}) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
357341, 356pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
358357adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
359336, 358sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
3603593adantl3 1165 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → 𝑥 ≤ (𝐸‘𝑋))
361323, 324, 329, 335, 360eliocd 42144 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)))
362322, 361impbida 800 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)) ↔ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))))
363362eqrdv 2796 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)) = (((𝑄‘𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
364 ioossre 12786 . . . . . . . . . . . . . 14 (-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ ℝ
365 ssinss1 4164 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ ℝ → ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
366364, 365mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
367238snssd 4702 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {(𝐸‘𝑋)} ⊆ ℝ)
368366, 367unssd 4113 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) ⊆ ℝ)
369 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
370236, 369rerest 23409 . . . . . . . . . . . 12 ((((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
371368, 370syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
372260, 363, 3713eltr4d 2905 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
373 isopn3i 21687 . . . . . . . . . 10 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})) ∈ Top ∧ ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))‘((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) = ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)))
374253, 372, 373sylancr 590 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))‘((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋))) = ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)))
375246, 374eqtr2d 2834 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,](𝐸‘𝑋)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))‘(((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
376243, 375eleqtrd 2892 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))‘(((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ∪ {(𝐸‘𝑋)})))
377196, 231, 235, 236, 237, 376limcres 24489 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)) limℂ (𝐸‘𝑋)))
378231resabs1d 5849 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))))
379378oveq1d 7150 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸‘𝑋)) ∩ 𝐷)) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
380189, 377, 3793eqtr2d 2839 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
381184feq2d 6473 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:𝐷⟶ℂ))
382192, 381mpbird 260 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
383382adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3843833ad2antl1 1182 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
385 ioosscn 12787 . . . . . . . . . 10 ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ ℂ
386385a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ ℂ)
387184eqcomd 2804 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 𝐷 = dom 𝐹)
3883873ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐷 = dom 𝐹)
389230, 388sseqtrd 3955 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ dom 𝐹)
390389adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ dom 𝐹)
3917a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
392 oveq2 7143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑋 → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 𝑋))
393392oveq1d 7150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))
394393fveq2d 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)))
395394oveq1d 7150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
396395adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
3972, 14resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℝ)
3982, 1resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
3994, 398eqeltrid 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
4001, 2posdifd 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
4013, 400mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
4024eqcomi 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵 − 𝐴) = 𝑇
403402a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = 𝑇)
404401, 403breqtrd 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 < 𝑇)
405404gt0ne0d 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
406397, 399, 405redivcld 11457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
407406flcld 13163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
408407zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ)
409408, 399remulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
410391, 396, 14, 409fvmptd 6752 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑍‘𝑋) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
411410, 409eqeltrd 2890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑍‘𝑋) ∈ ℝ)
412411recnd 10658 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑍‘𝑋) ∈ ℂ)
413412adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℂ)
4144133ad2antl1 1182 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℂ)
415414negcld 10973 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → -(𝑍‘𝑋) ∈ ℂ)
416 eqid 2798 . . . . . . . . 9 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))}
417 ioosscn 12787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ ℂ
418417sseli 3911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) → 𝑦 ∈ ℂ)
419418adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ ℂ)
420412adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℂ)
421419, 420pncand 10987 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)) = 𝑦)
422421eqcomd 2804 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)))
4234223ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)))
424410oveq2d 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
425424adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
426419, 420addcld 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ℂ)
427409recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
428427adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
429426, 428negsubd 10992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + -((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
430407zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℂ)
431399recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
432430, 431mulneg1d 11082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) = -((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
433432eqcomd 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → -((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) = (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
434433oveq2d 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + -((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
435434adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + -((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
436425, 429, 4353eqtr2d 2839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
4374363ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
438407znegcld 12077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
439438adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
4404393ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
441 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝜑)
442230adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) ⊆ 𝐷)
443203adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
444136rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
445444ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
446 elioore 12756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) → 𝑦 ∈ ℝ)
447446adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ ℝ)
448411adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℝ)
449447, 448readdcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ)
450449adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ)
451411adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℝ)
452202, 451resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ)
453452rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ*)
454453adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ*)
45514rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
456455ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
457 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋))
458 ioogtlb 42132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑦)
459454, 456, 457, 458syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑦)
460202adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
461451adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℝ)
462446adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ ℝ)
463460, 461, 462ltsubaddd 11225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑦 ↔ (𝑄‘𝑖) < (𝑦 + (𝑍‘𝑋))))
464459, 463mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑦 + (𝑍‘𝑋)))
46514ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
466 iooltub 42147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 < 𝑋)
467454, 456, 457, 466syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 < 𝑋)
468462, 465, 461, 467ltadd1dd 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) < (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
4695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥))))
470 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
471 fveq2 6645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 𝑋 → (𝑍‘𝑥) = (𝑍‘𝑋))
472470, 471oveq12d 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑍‘𝑥)) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
473472adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (𝑍‘𝑥)) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
47414, 411readdcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ)
475469, 473, 14, 474fvmptd 6752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
476475eqcomd 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍‘𝑋)) = (𝐸‘𝑋))
477476ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑋 + (𝑍‘𝑋)) = (𝐸‘𝑋))
478468, 477breqtrd 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) < (𝐸‘𝑋))
479443, 445, 450, 464, 478eliood 42135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)))
4804793adantl3 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)))
481442, 480sseldd 3916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷)
482441, 481, 4403jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
483 eleq1 2877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 ∈ ℤ ↔ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
4844833anbi3d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)))
485 oveq1 7142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 · 𝑇) = (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
486485oveq2d 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
487486eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐷))
488484, 487imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
489 ovex 7168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ V
490 eleq1 2877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) → (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷))
4914903anbi2d 1438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ)))
492 oveq1 7142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)))
493492eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
494491, 493imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
495 fourierdlem49.dper . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
496489, 494, 495vtocl 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
497488, 496vtoclg 3515 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ → ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐷))
498440, 482, 497sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐷)
499437, 498eqeltrd 2890 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)) ∈ 𝐷)
500423, 499eqeltrd 2890 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ 𝐷)
501500ralrimiva 3149 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∀𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑦 ∈ 𝐷)
502 dfss3 3903 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑦 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑦 ∈ 𝐷)
503501, 502sylibr 237 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ 𝐷)
504202recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℂ)
505412adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℂ)
506504, 505negsubd 10992 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖) + -(𝑍‘𝑋)) = ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)))
507506eqcomd 2804 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) = ((𝑄‘𝑖) + -(𝑍‘𝑋)))
508475oveq1d 7150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋)) = ((𝑋 + (𝑍‘𝑋)) + -(𝑍‘𝑋)))
509474recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ℂ)
510509, 412negsubd 10992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑍‘𝑋)) + -(𝑍‘𝑋)) = ((𝑋 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)))
51114recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
512511, 412pncand 10987 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑍‘𝑋)) − (𝑍‘𝑋)) = 𝑋)
513508, 510, 5123eqtrrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 𝑋 = ((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋)))
514513adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 = ((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋)))
515507, 514oveq12d 7153 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) = (((𝑄‘𝑖) + -(𝑍‘𝑋))(,)((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋))))
516451renegcld 11056 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -(𝑍‘𝑋) ∈ ℝ)
517202, 278, 516iooshift 42159 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄‘𝑖) + -(𝑍‘𝑋))(,)((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))})
518515, 517eqtr2d 2834 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))} = (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋))
5195183adant3 1129 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))} = (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋))
5201843ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → dom 𝐹 = 𝐷)
521503, 519, 5203sstr4d 3962 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))} ⊆ dom 𝐹)
522521adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))} ⊆ dom 𝐹)
523410negeqd 10869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -(𝑍‘𝑋) = -((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
524523, 433eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -(𝑍‘𝑋) = (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
525524oveq2d 7151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 + -(𝑍‘𝑋)) = (𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
526525fveq2d 6649 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
527526adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
5285273ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
529438adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
5305293ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
531 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → 𝜑)
532230sselda 3915 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → 𝑥 ∈ 𝐷)
533531, 532, 5303jca 1125 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
5344833anbi3d 1439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)))
535485oveq2d 7151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
536535fveq2d 6649 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
537536eqeq1d 2800 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)))
538534, 537imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))))
539 fourierdlem49.per . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
540538, 539vtoclg 3515 . . . . . . . . . . . 12 (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)))
541530, 533, 540sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
542528, 541eqtrd 2833 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘𝑥))
543542adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘𝑥))
544 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
545384, 386, 390, 415, 416, 522, 543, 544limcperiod 42270 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))}) limℂ ((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋))))
546518reseq2d 5818 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))}) = (𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)))
547514eqcomd 2804 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋)) = 𝑋)
548546, 547oveq12d 7153 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))}) limℂ ((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋))) = ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
5495483adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))}) limℂ ((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋))) = ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
550549adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍‘𝑋))}) limℂ ((𝐸‘𝑋) + -(𝑍‘𝑋))) = ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
551545, 550eleqtrd 2892 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
552382adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
5535523ad2antl1 1182 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
554417a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ ℂ)
555503, 520sseqtrrd 3956 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ dom 𝐹)
556555adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ dom 𝐹)
557412adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℂ)
5585573ad2antl1 1182 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℂ)
559 eqid 2798 . . . . . . . . 9 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))}
560504, 505npcand 10990 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) + (𝑍‘𝑋)) = (𝑄‘𝑖))
561560eqcomd 2804 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) = (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) + (𝑍‘𝑋)))
562475adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
563561, 562oveq12d 7153 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)) = ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) + (𝑍‘𝑋))(,)(𝑋 + (𝑍‘𝑋))))
56414adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
565452, 564, 451iooshift 42159 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) + (𝑍‘𝑋))(,)(𝑋 + (𝑍‘𝑋))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))})
566563, 565eqtr2d 2834 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))} = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)))
5675663adant3 1129 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))} = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋)))
568230, 567, 5203sstr4d 3962 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))} ⊆ dom 𝐹)
569568adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))} ⊆ dom 𝐹)
570410oveq2d 7151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 + (𝑍‘𝑋)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
571570fveq2d 6649 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
572571adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
5735723ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
574407adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
5755743ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
576 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝜑)
577503sselda 3915 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
578576, 577, 5753jca 1125 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
579 eleq1 2877 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 ∈ ℤ ↔ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
5805793anbi3d 1439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)))
581 oveq1 7142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
582581oveq2d 7151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
583582fveq2d 6649 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
584583eqeq1d 2800 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)))
585580, 584imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))))
586585, 539vtoclg 3515 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)))
587575, 578, 586sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
588573, 587eqtrd 2833 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘𝑥))
589588adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍‘𝑋))) = (𝐹‘𝑥))
590 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
591553, 554, 556, 558, 559, 569, 589, 590limcperiod 42270 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))}) limℂ (𝑋 + (𝑍‘𝑋))))
592566reseq2d 5818 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))}) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))))
593476adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑍‘𝑋)) = (𝐸‘𝑋))
594592, 593oveq12d 7153 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))}) limℂ (𝑋 + (𝑍‘𝑋))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
5955943adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))}) limℂ (𝑋 + (𝑍‘𝑋))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
596595adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍‘𝑋))}) limℂ (𝑋 + (𝑍‘𝑋))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
597591, 596eleqtrd 2892 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
598551, 597impbida 800 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) ↔ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)))
599598eqrdv 2796 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) = ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
600 resindm 5867 . . . . . . . . . . 11 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)))
601600eqcomd 2804 . . . . . . . . . 10 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹)))
602179, 601syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹)))
603184ineq2d 4139 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹) = ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
604603reseq2d 5818 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)))
605602, 604eqtrd 2833 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)))
606605oveq1d 7150 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) limℂ 𝑋))
6076063ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) limℂ 𝑋))
608 inss2 4156 . . . . . . . . . 10 ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
609608a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷)
610193, 609fssresd 6519 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)):((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)⟶ℂ)
611452mnfltd 12507 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ < ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)))
612198, 453, 611xrltled 12531 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ ≤ ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)))
613 iooss1 12761 . . . . . . . . . . 11 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ (-∞(,)𝑋))
614197, 612, 613sylancr 590 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ (-∞(,)𝑋))
6156143adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ (-∞(,)𝑋))
616615, 503ssind 4159 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ⊆ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
617608, 234sstrid 3926 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ)
618 eqid 2798 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
6194533adant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ*)
6204553ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
6214753ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
622241, 621breqtrd 5056 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) < (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
6234113ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑍‘𝑋) ∈ ℝ)
624143ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
625214, 623, 624ltsubaddd 11225 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑋 ↔ (𝑄‘𝑖) < (𝑋 + (𝑍‘𝑋))))
626622, 625mpbird 260 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑋)
62714leidd 11195 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑋)
6286273ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ≤ 𝑋)
629619, 620, 620, 626, 628eliocd 42144 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋))
630 ioounsn 12855 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑋) → ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋}) = (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋))
631619, 620, 626, 630syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋}) = (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋))
632631fveq2d 6649 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)))
633 ovex 7168 . . . . . . . . . . . . . 14 (-∞(,)𝑋) ∈ V
634633inex1 5185 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∈ V
635 snex 5297 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑋} ∈ V
636634, 635unex 7449 . . . . . . . . . . . 12 (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V
637 resttop 21765 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top)
638247, 636, 637mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top
639636a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V)
640 iooretop 23371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
641640a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
642 elrestr 16694 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V ∧ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
643255, 639, 641, 642syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
644453adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ*)
645262a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → +∞ ∈ ℝ*)
64614ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
647 iocssre 12805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋) ⊆ ℝ)
648644, 646, 647syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋) ⊆ ℝ)
649 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋))
650648, 649sseldd 3916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
651455ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
652 iocgtlb 42139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑥)
653644, 651, 649, 652syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑥)
654650ltpnfd 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 < +∞)
655644, 645, 650, 653, 654eliood 42135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞))
6566553adantl3 1165 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞))
657 eqvisset 3458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑋 → 𝑋 ∈ V)
658 snidg 4559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋 ∈ V → 𝑋 ∈ {𝑋})
659657, 658syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑋 → 𝑋 ∈ {𝑋})
660470, 659eqeltrd 2890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ {𝑋})
661 elun2 4104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ {𝑋} → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
662660, 661syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
663662adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
664 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
665644adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ*)
666455ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ*)
667650adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
668653adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑥)
66914ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
670 iocleub 42140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ≤ 𝑋)
671644, 651, 649, 670syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ≤ 𝑋)
672671adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ≤ 𝑋)
673470eqcoms 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 = 𝑥 → 𝑥 = 𝑋)
674673necon3bi 3013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ 𝑥 = 𝑋 → 𝑋 ≠ 𝑥)
675674adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ≠ 𝑥)
676667, 669, 672, 675leneltd 10783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < 𝑋)
677665, 666, 667, 668, 676eliood 42135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋))
6786773adantll3 41673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋))
679616sselda 3915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
680 elun1 4103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
681679, 680syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
682664, 678, 681syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
683663, 682pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
684656, 683elind 4121 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
685619adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ*)
686620adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
687 elinel1 4122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞))
688 elioore 12756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
689687, 688syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ)
690689rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
691690adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
692453adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ*)
693262a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → +∞ ∈ ℝ*)
694687adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞))
695 ioogtlb 42132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞)) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑥)
696692, 693, 694, 695syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑥)
6976963adantl3 1165 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋)) < 𝑥)
698 elinel2 4123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
699 elsni 4542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ {𝑋} → 𝑥 = 𝑋)
700699adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 = 𝑋)
701627adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑋 ≤ 𝑋)
702700, 701eqbrtrd 5052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ≤ 𝑋)
703702adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ≤ 𝑋)
704 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝜑)
705 elunnel2 41668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
706705adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
707 elinel1 4122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋))
708706, 707syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋))
709 elioore 12756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
710709adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
71114adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
712197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → -∞ ∈ ℝ*)
713455adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
714 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋))
715 iooltub 42147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 < 𝑋)
716712, 713, 714, 715syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 < 𝑋)
717710, 711, 716ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 ≤ 𝑋)
718704, 708, 717syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ≤ 𝑋)
719703, 718pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ≤ 𝑋)
720698, 719sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ≤ 𝑋)
7217203ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ≤ 𝑋)
722685, 686, 691, 697, 721eliocd 42144 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋))
723684, 722impbida 800 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋) ↔ 𝑥 ∈ ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))))
724723eqrdv 2796 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋) = ((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
725608, 232sstrid 3926 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
72614snssd 4702 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → {𝑋} ⊆ ℝ)
727725, 726unssd 4113 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ)
7287273ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ)
729236, 369rerest 23409 . . . . . . . . . . . . 13 ((((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
730728, 729syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
731643, 724, 7303eltr4d 2905 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
732 isopn3i 21687 . . . . . . . . . . 11 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top ∧ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) = (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋))
733638, 731, 732sylancr 590 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋)) = (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋))
734632, 733eqtr2d 2834 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,]𝑋) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋})))
735629, 734eleqtrd 2892 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋})))
736610, 616, 617, 236, 618, 735limcres 24489 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) limℂ 𝑋))
737736eqcomd 2804 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) limℂ 𝑋) = (((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
738616resabs1d 5849 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) = (𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)))
739738oveq1d 7150 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
740607, 737, 7393eqtrrd 2838 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (((𝑄‘𝑖) − (𝑍‘𝑋))(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
741380, 599, 7403eqtrrd 2838 . . . 4 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
742741rexlimdv3a 3245 . . 3 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋))))
743176, 742mpd 15 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
7441233adant3 1129 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
7452213adant3 1129 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
746 fourierdlem49.l . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
7477463adant3 1129 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
748 eqid 2798 . . . . . . . 8 if((𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸‘𝑋))) = if((𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸‘𝑋)))
749 eqid 2798 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
750214, 212, 744, 745, 747, 214, 238, 241, 220, 748, 749fourierdlem33 42782 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if((𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸‘𝑋))) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
751220resabs1d 5849 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))))
752751oveq1d 7150 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
753750, 752eleqtrd 2892 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if((𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸‘𝑋))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)))
754 ne0i 4250 . . . . . 6 (if((𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸‘𝑋))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) ≠ ∅)
755753, 754syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) ≠ ∅)
756380, 755eqnetrd 3054 . . . 4 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) ≠ ∅)
757756rexlimdv3a 3245 . . 3 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) ≠ ∅))
758176, 757mpd 15 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸‘𝑋))) limℂ (𝐸‘𝑋)) ≠ ∅)
759743, 758eqnetrd 3054 1 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  {crab 3110  Vcvv 3441   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  ifcif 4425  {csn 4525   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  dom cdm 5519  ran crn 5520   ↾ cres 5521  Rel wrel 5524   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑m cmap 8389  supcsup 8888  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  +∞cpnf 10661  -∞cmnf 10662  ℝ*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  ℕcn 11625  ℕ0cn0 11885  ℤcz 11969  ℤ≥cuz 12231  (,)cioo 12726  (,]cioc 12727  [,]cicc 12729  ...cfz 12885  ..^cfzo 13028  ⌊cfl 13155   ↾t crest 16686  TopOpenctopn 16687  topGenctg 16703  ℂfldccnfld 20091  Topctop 21498  intcnt 21622  –cn→ccncf 23481   limℂ climc 24465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-rest 16688  df-topn 16689  df-topgen 16709  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-ntr 21625  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-xms 22927  df-ms 22928  df-cncf 23483  df-limc 24469
This theorem is referenced by:  fourierdlem94  42842  fourierdlem113  42861
  Copyright terms: Public domain W3C validator