Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierswlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierswlem 42392
Description: The Fourier series for the square wave 𝐹 converges to 𝑌, a simpler expression for this special case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierswlem.t 𝑇 = (2 · π)
fourierswlem.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
fourierswlem.x 𝑋 ∈ ℝ
fourierswlem.y 𝑌 = if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋))
Assertion
Ref Expression
fourierswlem 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem fourierswlem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → 2 ∥ (𝑋 / π))
2 2z 12002 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
32a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → 2 ∈ ℤ)
4 fourierswlem.x . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 ∈ ℝ
5 pirp 24974 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℝ+
6 mod0 13232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → ((𝑋 mod π) = 0 ↔ (𝑋 / π) ∈ ℤ))
74, 5, 6mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 mod π) = 0 ↔ (𝑋 / π) ∈ ℤ)
87biimpi 217 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 mod π) = 0 → (𝑋 / π) ∈ ℤ)
98adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (𝑋 / π) ∈ ℤ)
10 divides 15597 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑋 / π) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑋 / π) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)))
113, 9, 10syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (2 ∥ (𝑋 / π) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)))
121, 11mpbid 233 . . . . . . . . 9 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π))
13 2cnd 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
14 picn 24972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 π ∈ ℂ
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → π ∈ ℂ)
16 zcn 11974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
1713, 15, 16mulassd 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℤ → ((2 · π) · 𝑘) = (2 · (π · 𝑘)))
1815, 16mulcld 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → (π · 𝑘) ∈ ℂ)
1913, 18mulcomd 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℤ → (2 · (π · 𝑘)) = ((π · 𝑘) · 2))
2017, 19eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → ((2 · π) · 𝑘) = ((π · 𝑘) · 2))
2120adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → ((2 · π) · 𝑘) = ((π · 𝑘) · 2))
2215, 16, 13mulassd 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → ((π · 𝑘) · 2) = (π · (𝑘 · 2)))
2322adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → ((π · 𝑘) · 2) = (π · (𝑘 · 2)))
24 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 · 2) = (𝑋 / π) → (𝑘 · 2) = (𝑋 / π))
2524eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 · 2) = (𝑋 / π) → (𝑋 / π) = (𝑘 · 2))
2625adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → (𝑋 / π) = (𝑘 · 2))
274recni 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑋 ∈ ℂ
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → 𝑋 ∈ ℂ)
2914a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → π ∈ ℂ)
3016adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → 𝑘 ∈ ℂ)
31 2cnd 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → 2 ∈ ℂ)
3230, 31mulcld 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
33 pire 24971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 π ∈ ℝ
34 pipos 24973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < π
3533, 34gt0ne0ii 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 π ≠ 0
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → π ≠ 0)
3728, 29, 32, 36divmuld 11426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → ((𝑋 / π) = (𝑘 · 2) ↔ (π · (𝑘 · 2)) = 𝑋))
3826, 37mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → (π · (𝑘 · 2)) = 𝑋)
3921, 23, 383eqtrrd 2858 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → 𝑋 = ((2 · π) · 𝑘))
40 fourierswlem.t . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇 = (2 · π)
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → 𝑇 = (2 · π))
4239, 41oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → (𝑋 / 𝑇) = (((2 · π) · 𝑘) / (2 · π)))
4313, 15mulcld 10649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → (2 · π) ∈ ℂ)
44 2ne0 11729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ≠ 0
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
4635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → π ≠ 0)
4713, 15, 45, 46mulne0d 11280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → (2 · π) ≠ 0)
4816, 43, 47divcan3d 11409 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℤ → (((2 · π) · 𝑘) / (2 · π)) = 𝑘)
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → (((2 · π) · 𝑘) / (2 · π)) = 𝑘)
5042, 49eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → (𝑋 / 𝑇) = 𝑘)
51 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → 𝑘 ∈ ℤ)
5250, 51eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → (𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ)
5352ex 413 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 · 2) = (𝑋 / π) → (𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ))
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 · 2) = (𝑋 / π) → (𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ)))
5554rexlimdv 3280 . . . . . . . . 9 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π) → (𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ))
5612, 55mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ)
57 2re 11699 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
5857, 33remulcli 10645 . . . . . . . . . . 11 (2 · π) ∈ ℝ
5940, 58eqeltri 2906 . . . . . . . . . 10 𝑇 ∈ ℝ
60 2pos 11728 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
6157, 33, 60, 34mulgt0ii 10761 . . . . . . . . . . 11 0 < (2 · π)
6261, 40breqtrri 5084 . . . . . . . . . 10 0 < 𝑇
6359, 62elrpii 12380 . . . . . . . . 9 𝑇 ∈ ℝ+
64 mod0 13232 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → ((𝑋 mod 𝑇) = 0 ↔ (𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ))
654, 63, 64mp2an 688 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 ↔ (𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ)
6656, 65sylibr 235 . . . . . . 7 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (𝑋 mod 𝑇) = 0)
6766orcd 869 . . . . . 6 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → ((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∨ (𝑋 mod 𝑇) = π))
68 odd2np1 15678 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 / π) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (𝑋 / π) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)))
697, 68sylbi 218 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod π) = 0 → (¬ 2 ∥ (𝑋 / π) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)))
7069biimpa 477 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ ¬ 2 ∥ (𝑋 / π)) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π))
7113, 16mulcld 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
7271adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
73 1cnd 10624 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → 1 ∈ ℂ)
7414a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → π ∈ ℂ)
7572, 73, 74adddird 10654 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (((2 · 𝑘) + 1) · π) = (((2 · 𝑘) · π) + (1 · π)))
7613, 16mulcomd 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → (2 · 𝑘) = (𝑘 · 2))
7776oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℤ → ((2 · 𝑘) · π) = ((𝑘 · 2) · π))
7816, 13, 15mulassd 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 · 2) · π) = (𝑘 · (2 · π)))
7940eqcomi 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 · π) = 𝑇
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → (2 · π) = 𝑇)
8180oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · (2 · π)) = (𝑘 · 𝑇))
8277, 78, 813eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → ((2 · 𝑘) · π) = (𝑘 · 𝑇))
8314mulid2i 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 · π) = π
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → (1 · π) = π)
8582, 84oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → (((2 · 𝑘) · π) + (1 · π)) = ((𝑘 · 𝑇) + π))
8685adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (((2 · 𝑘) · π) + (1 · π)) = ((𝑘 · 𝑇) + π))
8740, 43eqeltrid 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑇 ∈ ℂ)
8816, 87mulcld 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
8988, 15addcomd 10830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 · 𝑇) + π) = (π + (𝑘 · 𝑇)))
9089adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → ((𝑘 · 𝑇) + π) = (π + (𝑘 · 𝑇)))
9175, 86, 903eqtrrd 2858 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (π + (𝑘 · 𝑇)) = (((2 · 𝑘) + 1) · π))
92 peano2cn 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · 𝑘) ∈ ℂ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
9371, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
9493, 15mulcomd 10650 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℤ → (((2 · 𝑘) + 1) · π) = (π · ((2 · 𝑘) + 1)))
9594adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (((2 · 𝑘) + 1) · π) = (π · ((2 · 𝑘) + 1)))
96 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π) → ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π))
9796eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π) → (𝑋 / π) = ((2 · 𝑘) + 1))
9897adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (𝑋 / π) = ((2 · 𝑘) + 1))
9927a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → 𝑋 ∈ ℂ)
10093adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
10135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → π ≠ 0)
10299, 74, 100, 101divmuld 11426 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → ((𝑋 / π) = ((2 · 𝑘) + 1) ↔ (π · ((2 · 𝑘) + 1)) = 𝑋))
10398, 102mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (π · ((2 · 𝑘) + 1)) = 𝑋)
10491, 95, 1033eqtrrd 2858 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → 𝑋 = (π + (𝑘 · 𝑇)))
105104oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (𝑋 mod 𝑇) = ((π + (𝑘 · 𝑇)) mod 𝑇))
106 modcyc 13262 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → ((π + (𝑘 · 𝑇)) mod 𝑇) = (π mod 𝑇))
10733, 63, 106mp3an12 1442 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → ((π + (𝑘 · 𝑇)) mod 𝑇) = (π mod 𝑇))
108107adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → ((π + (𝑘 · 𝑇)) mod 𝑇) = (π mod 𝑇))
10933a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → π ∈ ℝ)
11063a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
111 0re 10631 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
112111, 33, 34ltleii 10751 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ π
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → 0 ≤ π)
114 2timesgt 41430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
1155, 114ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 π < (2 · π)
116115, 40breqtrri 5084 . . . . . . . . . . . . . 14 π < 𝑇
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → π < 𝑇)
118 modid 13252 . . . . . . . . . . . . 13 (((π ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ π ∧ π < 𝑇)) → (π mod 𝑇) = π)
119109, 110, 113, 117, 118syl22anc 834 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (π mod 𝑇) = π)
120105, 108, 1193eqtrd 2857 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (𝑋 mod 𝑇) = π)
121120ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ → (((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π) → (𝑋 mod 𝑇) = π))
122121a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ ¬ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (𝑘 ∈ ℤ → (((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π) → (𝑋 mod 𝑇) = π)))
123122rexlimdv 3280 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ ¬ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π) → (𝑋 mod 𝑇) = π))
12470, 123mpd 15 . . . . . . 7 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ ¬ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (𝑋 mod 𝑇) = π)
125124olcd 870 . . . . . 6 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ ¬ 2 ∥ (𝑋 / π)) → ((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∨ (𝑋 mod 𝑇) = π))
12667, 125pm2.61dan 809 . . . . 5 ((𝑋 mod π) = 0 → ((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∨ (𝑋 mod 𝑇) = π))
127 0xr 10676 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
12833rexri 10687 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ*
129 iocgtlb 41653 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π)) → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
130127, 128, 129mp3an12 1442 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
131130gt0ne0d 11192 . . . . . 6 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) → (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0)
132131neneqd 3018 . . . . 5 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0)
133 pm2.53 845 . . . . . 6 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∨ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) = π))
134133imp 407 . . . . 5 ((((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∨ (𝑋 mod 𝑇) = π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) = π)
135126, 132, 134syl2anr 596 . . . 4 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ (𝑋 mod π) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) = π)
136127a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 mod 𝑇) = π → 0 ∈ ℝ*)
137128a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 mod 𝑇) = π → π ∈ ℝ*)
138 modcl 13229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1394, 63, 138mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ
140139rexri 10687 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*
141140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
142 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) = π)
14334, 142breqtrrid 5095 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 mod 𝑇) = π → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
14433eqlei2 10739 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
145136, 137, 141, 143, 144eliocd 41659 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
146145iftrued 4471 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 mod 𝑇) = π → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = 1)
147146adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = 1)
148 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 mod 𝑇) = (𝑋 mod 𝑇))
149148breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 mod 𝑇) < π ↔ (𝑋 mod 𝑇) < π))
150149ifbid 4485 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑋 → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
151 fourierswlem.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
152 1ex 10625 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
153 negex 10872 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 ∈ V
154152, 153ifex 4511 . . . . . . . . . . . . 13 if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ V
155150, 151, 154fvmpt 6761 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℝ → (𝐹𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1564, 155ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1)
157139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
158 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝑋 mod 𝑇) < π)
159157, 158ltned 10764 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝑋 mod 𝑇) ≠ π)
160159necon2bi 3043 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 mod 𝑇) = π → ¬ (𝑋 mod 𝑇) < π)
161160iffalsed 4474 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 mod 𝑇) = π → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
162156, 161syl5eq 2865 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝐹𝑋) = -1)
163162adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (𝐹𝑋) = -1)
164147, 163oveq12d 7163 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) = (1 + -1))
165 1pneg1e0 11744 . . . . . . . 8 (1 + -1) = 0
166164, 165syl6eq 2869 . . . . . . 7 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) = 0)
167166oveq1d 7160 . . . . . 6 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) = (0 / 2))
168167adantll 710 . . . . 5 ((((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ (𝑋 mod π) = 0) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) = (0 / 2))
169 2cn 11700 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
170169, 44div0i 11362 . . . . . 6 (0 / 2) = 0
171170a1i 11 . . . . 5 ((((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ (𝑋 mod π) = 0) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (0 / 2) = 0)
172 fourierswlem.y . . . . . . 7 𝑌 = if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋))
173 iftrue 4469 . . . . . . 7 ((𝑋 mod π) = 0 → if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋)) = 0)
174172, 173syl5req 2866 . . . . . 6 ((𝑋 mod π) = 0 → 0 = 𝑌)
175174ad2antlr 723 . . . . 5 ((((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ (𝑋 mod π) = 0) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → 0 = 𝑌)
176168, 171, 1753eqtrrd 2858 . . . 4 ((((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ (𝑋 mod π) = 0) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
177135, 176mpdan 683 . . 3 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ (𝑋 mod π) = 0) → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
178 iftrue 4469 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = 1)
179178adantr 481 . . . . . 6 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = 1)
180139a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
18133a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → π ∈ ℝ)
182 iocleub 41654 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π)) → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
183127, 128, 182mp3an12 1442 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
184183adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
185 ax-1cn 10583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℂ
186185, 14mulcomi 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 · π) = (π · 1)
18783, 186eqtr3i 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π = (π · 1)
188187oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π + (π · (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))) = ((π · 1) + (π · (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))))
189169, 14mulcomi 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · π) = (π · 2)
19040, 189eqtri 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑇 = (π · 2)
191190oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) = ((π · 2) · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))
192111, 62gtneii 10740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑇 ≠ 0
1934, 59, 192redivcli 11395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 / 𝑇) ∈ ℝ
194 flcl 13153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 / 𝑇) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑋 / 𝑇)) ∈ ℤ)
195193, 194ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⌊‘(𝑋 / 𝑇)) ∈ ℤ
196 zcn 11974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((⌊‘(𝑋 / 𝑇)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝑋 / 𝑇)) ∈ ℂ)
197195, 196ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (⌊‘(𝑋 / 𝑇)) ∈ ℂ
19814, 169, 197mulassi 10640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π · 2) · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) = (π · (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))
199191, 198eqtri 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) = (π · (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))
200199oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π + (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) = (π + (π · (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))))
201169, 197mulcli 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) ∈ ℂ
20214, 185, 201adddii 10641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π · (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))) = ((π · 1) + (π · (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))))
203188, 200, 2023eqtr4ri 2852 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π · (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))) = (π + (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))
204203a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π = (𝑋 mod 𝑇) → (π · (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))) = (π + (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))))
205 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π = (𝑋 mod 𝑇) → π = (𝑋 mod 𝑇))
206 modval 13227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝑇) = (𝑋 − (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))))
2074, 63, 206mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 mod 𝑇) = (𝑋 − (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))
208205, 207syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π = (𝑋 mod 𝑇) → π = (𝑋 − (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))))
209208oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π = (𝑋 mod 𝑇) → (π + (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) = ((𝑋 − (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) + (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))))
21027a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π = (𝑋 mod 𝑇) → 𝑋 ∈ ℂ)
21159recni 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑇 ∈ ℂ
212211, 197mulcli 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) ∈ ℂ
213212a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π = (𝑋 mod 𝑇) → (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) ∈ ℂ)
214210, 213npcand 10989 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π = (𝑋 mod 𝑇) → ((𝑋 − (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) + (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) = 𝑋)
215204, 209, 2143eqtrrd 2858 . . . . . . . . . . . . . 14 (π = (𝑋 mod 𝑇) → 𝑋 = (π · (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))))
216215oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . 13 (π = (𝑋 mod 𝑇) → (𝑋 / π) = ((π · (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))) / π))
217185, 201addcli 10635 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) ∈ ℂ
218217, 14, 35divcan3i 11374 . . . . . . . . . . . . 13 ((π · (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))) / π) = (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))
219216, 218syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . 12 (π = (𝑋 mod 𝑇) → (𝑋 / π) = (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))))
220 1z 12000 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
221 zmulcl 12019 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑋 / 𝑇)) ∈ ℤ) → (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) ∈ ℤ)
2222, 195, 221mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) ∈ ℤ
223 zaddcl 12010 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) ∈ ℤ) → (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) ∈ ℤ)
224220, 222, 223mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) ∈ ℤ
225224a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (π = (𝑋 mod 𝑇) → (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) ∈ ℤ)
226219, 225eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . 11 (π = (𝑋 mod 𝑇) → (𝑋 / π) ∈ ℤ)
227226, 7sylibr 235 . . . . . . . . . 10 (π = (𝑋 mod 𝑇) → (𝑋 mod π) = 0)
228227necon3bi 3039 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑋 mod π) = 0 → π ≠ (𝑋 mod 𝑇))
229228adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → π ≠ (𝑋 mod 𝑇))
230180, 181, 184, 229leneltd 10782 . . . . . . 7 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
231 iftrue 4469 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod 𝑇) < π → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
232156, 231syl5eq 2865 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝐹𝑋) = 1)
233230, 232syl 17 . . . . . 6 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → (𝐹𝑋) = 1)
234179, 233oveq12d 7163 . . . . 5 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → (if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) = (1 + 1))
235234oveq1d 7160 . . . 4 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) = ((1 + 1) / 2))
236 1p1e2 11750 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
237236oveq1i 7155 . . . . . 6 ((1 + 1) / 2) = (2 / 2)
238 2div2e1 11766 . . . . . 6 (2 / 2) = 1
239237, 238eqtr2i 2842 . . . . 5 1 = ((1 + 1) / 2)
240233, 239syl6req 2870 . . . 4 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → ((1 + 1) / 2) = (𝐹𝑋))
241 iffalse 4472 . . . . . 6 (¬ (𝑋 mod π) = 0 → if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋)) = (𝐹𝑋))
242172, 241syl5req 2866 . . . . 5 (¬ (𝑋 mod π) = 0 → (𝐹𝑋) = 𝑌)
243242adantl 482 . . . 4 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → (𝐹𝑋) = 𝑌)
244235, 240, 2433eqtrrd 2858 . . 3 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
245177, 244pm2.61dan 809 . 2 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
246131necon2bi 3043 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
247246iffalsed 4474 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = -1)
248 id 22 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) = 0)
249248, 34eqbrtrdi 5096 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) < π)
250249iftrued 4471 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
251156, 250syl5eq 2865 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝐹𝑋) = 1)
252247, 251oveq12d 7163 . . . . . 6 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) = (-1 + 1))
253252oveq1d 7160 . . . . 5 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) = ((-1 + 1) / 2))
254 neg1cn 11739 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
255185, 254, 165addcomli 10820 . . . . . . . 8 (-1 + 1) = 0
256255oveq1i 7155 . . . . . . 7 ((-1 + 1) / 2) = (0 / 2)
257256, 170eqtri 2841 . . . . . 6 ((-1 + 1) / 2) = 0
258257a1i 11 . . . . 5 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((-1 + 1) / 2) = 0)
25940oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 / 𝑇) = (𝑋 / (2 · π))
260 2cnne0 11835 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
26114, 35pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . 14 (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)
262 divdiv1 11339 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → ((𝑋 / 2) / π) = (𝑋 / (2 · π)))
26327, 260, 261, 262mp3an 1452 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 / 2) / π) = (𝑋 / (2 · π))
26427, 169, 14, 44, 35divdiv32i 11383 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 / 2) / π) = ((𝑋 / π) / 2)
265259, 263, 2643eqtr2i 2847 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 / 𝑇) = ((𝑋 / π) / 2)
266265oveq2i 7156 . . . . . . . . . . 11 (2 · (𝑋 / 𝑇)) = (2 · ((𝑋 / π) / 2))
26727, 14, 35divcli 11370 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 / π) ∈ ℂ
268267, 169, 44divcan2i 11371 . . . . . . . . . . 11 (2 · ((𝑋 / π) / 2)) = (𝑋 / π)
269266, 268eqtr2i 2842 . . . . . . . . . 10 (𝑋 / π) = (2 · (𝑋 / 𝑇))
2702a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
271 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ → (𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ)
272270, 271zmulcld 12081 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ → (2 · (𝑋 / 𝑇)) ∈ ℤ)
273269, 272eqeltrid 2914 . . . . . . . . 9 ((𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ → (𝑋 / π) ∈ ℤ)
27465, 273sylbi 218 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 / π) ∈ ℤ)
275274, 7sylibr 235 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod π) = 0)
276275iftrued 4471 . . . . . 6 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋)) = 0)
277172, 276syl5req 2866 . . . . 5 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → 0 = 𝑌)
278253, 258, 2773eqtrrd 2858 . . . 4 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
279278adantl 482 . . 3 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
280128a1i 11 . . . . 5 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ∈ ℝ*)
28159rexri 10687 . . . . . 6 𝑇 ∈ ℝ*
282281a1i 11 . . . . 5 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → 𝑇 ∈ ℝ*)
283139a1i 11 . . . . 5 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
284 pm4.56 982 . . . . . . . 8 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) ↔ ¬ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
285284biimpi 217 . . . . . . 7 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ¬ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
286 olc 862 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
287286adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod 𝑇) ≤ π ∧ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
288127a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod 𝑇) ≤ π ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → 0 ∈ ℝ*)
289128a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod 𝑇) ≤ π ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ∈ ℝ*)
290140a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod 𝑇) ≤ π ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
291 0red 10632 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0 → 0 ∈ ℝ)
292139a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
293 modge0 13235 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇))
2944, 63, 293mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇)
295294a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0 → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇))
296 neqne 3021 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0)
297291, 292, 295, 296leneltd 10782 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0 → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
298297adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod 𝑇) ≤ π ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
299 simpl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod 𝑇) ≤ π ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
300288, 289, 290, 298, 299eliocd 41659 . . . . . . . . 9 (((𝑋 mod 𝑇) ≤ π ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
301300orcd 869 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod 𝑇) ≤ π ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
302287, 301pm2.61dan 809 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) ≤ π → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
303285, 302nsyl 142 . . . . . 6 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
30433a1i 11 . . . . . . 7 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ∈ ℝ)
305304, 283ltnled 10775 . . . . . 6 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (π < (𝑋 mod 𝑇) ↔ ¬ (𝑋 mod 𝑇) ≤ π))
306303, 305mpbird 258 . . . . 5 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π < (𝑋 mod 𝑇))
307 modlt 13236 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
3084, 63, 307mp2an 688 . . . . . 6 (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇
309308a1i 11 . . . . 5 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
310280, 282, 283, 306, 309eliood 41649 . . . 4 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇))
311127a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 0 ∈ ℝ*)
31233a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → π ∈ ℝ)
313140a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
314 ioogtlb 41646 . . . . . . . . . 10 ((π ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇)) → π < (𝑋 mod 𝑇))
315128, 281, 314mp3an12 1442 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → π < (𝑋 mod 𝑇))
316311, 312, 313, 315gtnelioc 41641 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
317316iffalsed 4474 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = -1)
318139a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
319312, 318, 315ltnsymd 10777 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) < π)
320319iffalsed 4474 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
321156, 320syl5eq 2865 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝐹𝑋) = -1)
322317, 321oveq12d 7163 . . . . . 6 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) = (-1 + -1))
323322oveq1d 7160 . . . . 5 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) = ((-1 + -1) / 2))
324 df-2 11688 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
325324negeqi 10867 . . . . . . . . 9 -2 = -(1 + 1)
326185, 185negdii 10958 . . . . . . . . 9 -(1 + 1) = (-1 + -1)
327325, 326eqtr2i 2842 . . . . . . . 8 (-1 + -1) = -2
328327oveq1i 7155 . . . . . . 7 ((-1 + -1) / 2) = (-2 / 2)
329 divneg 11320 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(2 / 2) = (-2 / 2))
330169, 169, 44, 329mp3an 1452 . . . . . . 7 -(2 / 2) = (-2 / 2)
331238negeqi 10867 . . . . . . 7 -(2 / 2) = -1
332328, 330, 3313eqtr2i 2847 . . . . . 6 ((-1 + -1) / 2) = -1
333332a1i 11 . . . . 5 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((-1 + -1) / 2) = -1)
334172a1i 11 . . . . . 6 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 𝑌 = if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋)))
335312, 318ltnled 10775 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (π < (𝑋 mod 𝑇) ↔ ¬ (𝑋 mod 𝑇) ≤ π))
336315, 335mpbid 233 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
337248, 112eqbrtrdi 5096 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
338337adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
339126orcanai 996 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) = π)
340339, 144syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
341338, 340pm2.61dan 809 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod π) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
342336, 341nsyl 142 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ¬ (𝑋 mod π) = 0)
343342iffalsed 4474 . . . . . 6 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋)) = (𝐹𝑋))
344334, 343, 3213eqtrrd 2858 . . . . 5 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → -1 = 𝑌)
345323, 333, 3443eqtrrd 2858 . . . 4 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
346310, 345syl 17 . . 3 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
347279, 346pm2.61dan 809 . 2 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
348245, 347pm2.61i 183 1 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  ifcif 4463   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  -cneg 10859   / cdiv 11285  2c2 11680  cz 11969  +crp 12377  (,)cioo 12726  (,]cioc 12727  cfl 13148   mod cmo 13225  πcpi 15408  cdvds 15595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-dvds 15596  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392
This theorem is referenced by:  fouriersw  42393
  Copyright terms: Public domain W3C validator