Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierswlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierswlem 44461
Description: The Fourier series for the square wave 𝐹 converges to 𝑌, a simpler expression for this special case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierswlem.t 𝑇 = (2 · π)
fourierswlem.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
fourierswlem.x 𝑋 ∈ ℝ
fourierswlem.y 𝑌 = if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋))
Assertion
Ref Expression
fourierswlem 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem fourierswlem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → 2 ∥ (𝑋 / π))
2 2z 12535 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
32a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → 2 ∈ ℤ)
4 fourierswlem.x . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 ∈ ℝ
5 pirp 25818 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℝ+
6 mod0 13781 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → ((𝑋 mod π) = 0 ↔ (𝑋 / π) ∈ ℤ))
74, 5, 6mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 mod π) = 0 ↔ (𝑋 / π) ∈ ℤ)
87biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 mod π) = 0 → (𝑋 / π) ∈ ℤ)
98adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (𝑋 / π) ∈ ℤ)
10 divides 16138 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑋 / π) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑋 / π) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)))
113, 9, 10syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (2 ∥ (𝑋 / π) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)))
121, 11mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π))
13 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
14 picn 25816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 π ∈ ℂ
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → π ∈ ℂ)
16 zcn 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
1713, 15, 16mulassd 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℤ → ((2 · π) · 𝑘) = (2 · (π · 𝑘)))
1815, 16mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → (π · 𝑘) ∈ ℂ)
1913, 18mulcomd 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℤ → (2 · (π · 𝑘)) = ((π · 𝑘) · 2))
2017, 19eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → ((2 · π) · 𝑘) = ((π · 𝑘) · 2))
2120adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → ((2 · π) · 𝑘) = ((π · 𝑘) · 2))
2215, 16, 13mulassd 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → ((π · 𝑘) · 2) = (π · (𝑘 · 2)))
2322adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → ((π · 𝑘) · 2) = (π · (𝑘 · 2)))
24 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 · 2) = (𝑋 / π) → (𝑘 · 2) = (𝑋 / π))
2524eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 · 2) = (𝑋 / π) → (𝑋 / π) = (𝑘 · 2))
2625adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → (𝑋 / π) = (𝑘 · 2))
274recni 11169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑋 ∈ ℂ
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → 𝑋 ∈ ℂ)
2914a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → π ∈ ℂ)
3016adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → 𝑘 ∈ ℂ)
31 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → 2 ∈ ℂ)
3230, 31mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
33 pire 25815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 π ∈ ℝ
34 pipos 25817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < π
3533, 34gt0ne0ii 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 π ≠ 0
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → π ≠ 0)
3728, 29, 32, 36divmuld 11953 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → ((𝑋 / π) = (𝑘 · 2) ↔ (π · (𝑘 · 2)) = 𝑋))
3826, 37mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → (π · (𝑘 · 2)) = 𝑋)
3921, 23, 383eqtrrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → 𝑋 = ((2 · π) · 𝑘))
40 fourierswlem.t . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇 = (2 · π)
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → 𝑇 = (2 · π))
4239, 41oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → (𝑋 / 𝑇) = (((2 · π) · 𝑘) / (2 · π)))
4313, 15mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → (2 · π) ∈ ℂ)
44 2ne0 12257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ≠ 0
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
4635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → π ≠ 0)
4713, 15, 45, 46mulne0d 11807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → (2 · π) ≠ 0)
4816, 43, 47divcan3d 11936 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℤ → (((2 · π) · 𝑘) / (2 · π)) = 𝑘)
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → (((2 · π) · 𝑘) / (2 · π)) = 𝑘)
5042, 49eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → (𝑋 / 𝑇) = 𝑘)
51 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → 𝑘 ∈ ℤ)
5250, 51eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → (𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ)
5352ex 413 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 · 2) = (𝑋 / π) → (𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ))
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 · 2) = (𝑋 / π) → (𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ)))
5554rexlimdv 3150 . . . . . . . . 9 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π) → (𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ))
5612, 55mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ)
57 2re 12227 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
5857, 33remulcli 11171 . . . . . . . . . . 11 (2 · π) ∈ ℝ
5940, 58eqeltri 2834 . . . . . . . . . 10 𝑇 ∈ ℝ
60 2pos 12256 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
6157, 33, 60, 34mulgt0ii 11288 . . . . . . . . . . 11 0 < (2 · π)
6261, 40breqtrri 5132 . . . . . . . . . 10 0 < 𝑇
6359, 62elrpii 12918 . . . . . . . . 9 𝑇 ∈ ℝ+
64 mod0 13781 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → ((𝑋 mod 𝑇) = 0 ↔ (𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ))
654, 63, 64mp2an 690 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 ↔ (𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ)
6656, 65sylibr 233 . . . . . . 7 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (𝑋 mod 𝑇) = 0)
6766orcd 871 . . . . . 6 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → ((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∨ (𝑋 mod 𝑇) = π))
68 odd2np1 16223 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 / π) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (𝑋 / π) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)))
697, 68sylbi 216 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod π) = 0 → (¬ 2 ∥ (𝑋 / π) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)))
7069biimpa 477 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ ¬ 2 ∥ (𝑋 / π)) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π))
7113, 16mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
7271adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
73 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → 1 ∈ ℂ)
7414a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → π ∈ ℂ)
7572, 73, 74adddird 11180 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (((2 · 𝑘) + 1) · π) = (((2 · 𝑘) · π) + (1 · π)))
7613, 16mulcomd 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → (2 · 𝑘) = (𝑘 · 2))
7776oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℤ → ((2 · 𝑘) · π) = ((𝑘 · 2) · π))
7816, 13, 15mulassd 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 · 2) · π) = (𝑘 · (2 · π)))
7940eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 · π) = 𝑇
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → (2 · π) = 𝑇)
8180oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · (2 · π)) = (𝑘 · 𝑇))
8277, 78, 813eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → ((2 · 𝑘) · π) = (𝑘 · 𝑇))
8314mulid2i 11160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 · π) = π
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → (1 · π) = π)
8582, 84oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → (((2 · 𝑘) · π) + (1 · π)) = ((𝑘 · 𝑇) + π))
8685adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (((2 · 𝑘) · π) + (1 · π)) = ((𝑘 · 𝑇) + π))
8740, 43eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑇 ∈ ℂ)
8816, 87mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
8988, 15addcomd 11357 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 · 𝑇) + π) = (π + (𝑘 · 𝑇)))
9089adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → ((𝑘 · 𝑇) + π) = (π + (𝑘 · 𝑇)))
9175, 86, 903eqtrrd 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (π + (𝑘 · 𝑇)) = (((2 · 𝑘) + 1) · π))
92 peano2cn 11327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · 𝑘) ∈ ℂ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
9371, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
9493, 15mulcomd 11176 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℤ → (((2 · 𝑘) + 1) · π) = (π · ((2 · 𝑘) + 1)))
9594adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (((2 · 𝑘) + 1) · π) = (π · ((2 · 𝑘) + 1)))
96 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π) → ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π))
9796eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π) → (𝑋 / π) = ((2 · 𝑘) + 1))
9897adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (𝑋 / π) = ((2 · 𝑘) + 1))
9927a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → 𝑋 ∈ ℂ)
10093adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
10135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → π ≠ 0)
10299, 74, 100, 101divmuld 11953 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → ((𝑋 / π) = ((2 · 𝑘) + 1) ↔ (π · ((2 · 𝑘) + 1)) = 𝑋))
10398, 102mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (π · ((2 · 𝑘) + 1)) = 𝑋)
10491, 95, 1033eqtrrd 2781 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → 𝑋 = (π + (𝑘 · 𝑇)))
105104oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (𝑋 mod 𝑇) = ((π + (𝑘 · 𝑇)) mod 𝑇))
106 modcyc 13811 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → ((π + (𝑘 · 𝑇)) mod 𝑇) = (π mod 𝑇))
10733, 63, 106mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → ((π + (𝑘 · 𝑇)) mod 𝑇) = (π mod 𝑇))
108107adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → ((π + (𝑘 · 𝑇)) mod 𝑇) = (π mod 𝑇))
10933a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → π ∈ ℝ)
11063a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
111 0re 11157 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
112111, 33, 34ltleii 11278 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ π
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → 0 ≤ π)
114 2timesgt 43512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
1155, 114ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 π < (2 · π)
116115, 40breqtrri 5132 . . . . . . . . . . . . . 14 π < 𝑇
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → π < 𝑇)
118 modid 13801 . . . . . . . . . . . . 13 (((π ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ π ∧ π < 𝑇)) → (π mod 𝑇) = π)
119109, 110, 113, 117, 118syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (π mod 𝑇) = π)
120105, 108, 1193eqtrd 2780 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (𝑋 mod 𝑇) = π)
121120ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ → (((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π) → (𝑋 mod 𝑇) = π))
122121a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ ¬ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (𝑘 ∈ ℤ → (((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π) → (𝑋 mod 𝑇) = π)))
123122rexlimdv 3150 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ ¬ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π) → (𝑋 mod 𝑇) = π))
12470, 123mpd 15 . . . . . . 7 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ ¬ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (𝑋 mod 𝑇) = π)
125124olcd 872 . . . . . 6 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ ¬ 2 ∥ (𝑋 / π)) → ((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∨ (𝑋 mod 𝑇) = π))
12667, 125pm2.61dan 811 . . . . 5 ((𝑋 mod π) = 0 → ((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∨ (𝑋 mod 𝑇) = π))
127 0xr 11202 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
12833rexri 11213 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ*
129 iocgtlb 43730 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π)) → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
130127, 128, 129mp3an12 1451 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
131130gt0ne0d 11719 . . . . . 6 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) → (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0)
132131neneqd 2948 . . . . 5 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0)
133 pm2.53 849 . . . . . 6 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∨ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) = π))
134133imp 407 . . . . 5 ((((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∨ (𝑋 mod 𝑇) = π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) = π)
135126, 132, 134syl2anr 597 . . . 4 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ (𝑋 mod π) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) = π)
136127a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 mod 𝑇) = π → 0 ∈ ℝ*)
137128a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 mod 𝑇) = π → π ∈ ℝ*)
138 modcl 13778 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1394, 63, 138mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ
140139rexri 11213 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*
141140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
142 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) = π)
14334, 142breqtrrid 5143 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 mod 𝑇) = π → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
14433eqlei2 11266 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
145136, 137, 141, 143, 144eliocd 43735 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
146145iftrued 4494 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 mod 𝑇) = π → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = 1)
147146adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = 1)
148 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 mod 𝑇) = (𝑋 mod 𝑇))
149148breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 mod 𝑇) < π ↔ (𝑋 mod 𝑇) < π))
150149ifbid 4509 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑋 → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
151 fourierswlem.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
152 1ex 11151 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
153 negex 11399 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 ∈ V
154152, 153ifex 4536 . . . . . . . . . . . . 13 if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ V
155150, 151, 154fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℝ → (𝐹𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1564, 155ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1)
157139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
158 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝑋 mod 𝑇) < π)
159157, 158ltned 11291 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝑋 mod 𝑇) ≠ π)
160159necon2bi 2974 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 mod 𝑇) = π → ¬ (𝑋 mod 𝑇) < π)
161160iffalsed 4497 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 mod 𝑇) = π → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
162156, 161eqtrid 2788 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝐹𝑋) = -1)
163162adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (𝐹𝑋) = -1)
164147, 163oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) = (1 + -1))
165 1pneg1e0 12272 . . . . . . . 8 (1 + -1) = 0
166164, 165eqtrdi 2792 . . . . . . 7 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) = 0)
167166oveq1d 7372 . . . . . 6 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) = (0 / 2))
168167adantll 712 . . . . 5 ((((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ (𝑋 mod π) = 0) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) = (0 / 2))
169 2cn 12228 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
170169, 44div0i 11889 . . . . . 6 (0 / 2) = 0
171170a1i 11 . . . . 5 ((((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ (𝑋 mod π) = 0) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (0 / 2) = 0)
172 fourierswlem.y . . . . . . 7 𝑌 = if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋))
173 iftrue 4492 . . . . . . 7 ((𝑋 mod π) = 0 → if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋)) = 0)
174172, 173eqtr2id 2789 . . . . . 6 ((𝑋 mod π) = 0 → 0 = 𝑌)
175174ad2antlr 725 . . . . 5 ((((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ (𝑋 mod π) = 0) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → 0 = 𝑌)
176168, 171, 1753eqtrrd 2781 . . . 4 ((((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ (𝑋 mod π) = 0) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
177135, 176mpdan 685 . . 3 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ (𝑋 mod π) = 0) → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
178 iftrue 4492 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = 1)
179178adantr 481 . . . . . 6 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = 1)
180139a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
18133a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → π ∈ ℝ)
182 iocleub 43731 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π)) → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
183127, 128, 182mp3an12 1451 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
184183adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
185 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℂ
186185, 14mulcomi 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 · π) = (π · 1)
18783, 186eqtr3i 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π = (π · 1)
188187oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π + (π · (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))) = ((π · 1) + (π · (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))))
189169, 14mulcomi 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · π) = (π · 2)
19040, 189eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑇 = (π · 2)
191190oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) = ((π · 2) · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))
192111, 62gtneii 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑇 ≠ 0
1934, 59, 192redivcli 11922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 / 𝑇) ∈ ℝ
194 flcl 13700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 / 𝑇) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑋 / 𝑇)) ∈ ℤ)
195193, 194ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⌊‘(𝑋 / 𝑇)) ∈ ℤ
196 zcn 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((⌊‘(𝑋 / 𝑇)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝑋 / 𝑇)) ∈ ℂ)
197195, 196ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (⌊‘(𝑋 / 𝑇)) ∈ ℂ
19814, 169, 197mulassi 11166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π · 2) · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) = (π · (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))
199191, 198eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) = (π · (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))
200199oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π + (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) = (π + (π · (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))))
201169, 197mulcli 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) ∈ ℂ
20214, 185, 201adddii 11167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π · (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))) = ((π · 1) + (π · (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))))
203188, 200, 2023eqtr4ri 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π · (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))) = (π + (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))
204203a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π = (𝑋 mod 𝑇) → (π · (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))) = (π + (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))))
205 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π = (𝑋 mod 𝑇) → π = (𝑋 mod 𝑇))
206 modval 13776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝑇) = (𝑋 − (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))))
2074, 63, 206mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 mod 𝑇) = (𝑋 − (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))
208205, 207eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π = (𝑋 mod 𝑇) → π = (𝑋 − (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))))
209208oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π = (𝑋 mod 𝑇) → (π + (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) = ((𝑋 − (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) + (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))))
21027a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π = (𝑋 mod 𝑇) → 𝑋 ∈ ℂ)
21159recni 11169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑇 ∈ ℂ
212211, 197mulcli 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) ∈ ℂ
213212a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π = (𝑋 mod 𝑇) → (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) ∈ ℂ)
214210, 213npcand 11516 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π = (𝑋 mod 𝑇) → ((𝑋 − (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) + (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) = 𝑋)
215204, 209, 2143eqtrrd 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 (π = (𝑋 mod 𝑇) → 𝑋 = (π · (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))))
216215oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (π = (𝑋 mod 𝑇) → (𝑋 / π) = ((π · (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))) / π))
217185, 201addcli 11161 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) ∈ ℂ
218217, 14, 35divcan3i 11901 . . . . . . . . . . . . 13 ((π · (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))) / π) = (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))
219216, 218eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 (π = (𝑋 mod 𝑇) → (𝑋 / π) = (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))))
220 1z 12533 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
221 zmulcl 12552 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑋 / 𝑇)) ∈ ℤ) → (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) ∈ ℤ)
2222, 195, 221mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) ∈ ℤ
223 zaddcl 12543 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) ∈ ℤ) → (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) ∈ ℤ)
224220, 222, 223mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) ∈ ℤ
225224a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (π = (𝑋 mod 𝑇) → (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) ∈ ℤ)
226219, 225eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 (π = (𝑋 mod 𝑇) → (𝑋 / π) ∈ ℤ)
227226, 7sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (π = (𝑋 mod 𝑇) → (𝑋 mod π) = 0)
228227necon3bi 2970 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑋 mod π) = 0 → π ≠ (𝑋 mod 𝑇))
229228adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → π ≠ (𝑋 mod 𝑇))
230180, 181, 184, 229leneltd 11309 . . . . . . 7 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
231 iftrue 4492 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod 𝑇) < π → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
232156, 231eqtrid 2788 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝐹𝑋) = 1)
233230, 232syl 17 . . . . . 6 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → (𝐹𝑋) = 1)
234179, 233oveq12d 7375 . . . . 5 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → (if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) = (1 + 1))
235234oveq1d 7372 . . . 4 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) = ((1 + 1) / 2))
236 1p1e2 12278 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
237236oveq1i 7367 . . . . . 6 ((1 + 1) / 2) = (2 / 2)
238 2div2e1 12294 . . . . . 6 (2 / 2) = 1
239237, 238eqtr2i 2765 . . . . 5 1 = ((1 + 1) / 2)
240233, 239eqtr2di 2793 . . . 4 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → ((1 + 1) / 2) = (𝐹𝑋))
241 iffalse 4495 . . . . . 6 (¬ (𝑋 mod π) = 0 → if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋)) = (𝐹𝑋))
242172, 241eqtr2id 2789 . . . . 5 (¬ (𝑋 mod π) = 0 → (𝐹𝑋) = 𝑌)
243242adantl 482 . . . 4 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → (𝐹𝑋) = 𝑌)
244235, 240, 2433eqtrrd 2781 . . 3 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
245177, 244pm2.61dan 811 . 2 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
246131necon2bi 2974 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
247246iffalsed 4497 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = -1)
248 id 22 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) = 0)
249248, 34eqbrtrdi 5144 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) < π)
250249iftrued 4494 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
251156, 250eqtrid 2788 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝐹𝑋) = 1)
252247, 251oveq12d 7375 . . . . . 6 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) = (-1 + 1))
253252oveq1d 7372 . . . . 5 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) = ((-1 + 1) / 2))
254 neg1cn 12267 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
255185, 254, 165addcomli 11347 . . . . . . . 8 (-1 + 1) = 0
256255oveq1i 7367 . . . . . . 7 ((-1 + 1) / 2) = (0 / 2)
257256, 170eqtri 2764 . . . . . 6 ((-1 + 1) / 2) = 0
258257a1i 11 . . . . 5 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((-1 + 1) / 2) = 0)
25940oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 / 𝑇) = (𝑋 / (2 · π))
260 2cnne0 12363 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
26114, 35pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . 14 (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)
262 divdiv1 11866 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → ((𝑋 / 2) / π) = (𝑋 / (2 · π)))
26327, 260, 261, 262mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 / 2) / π) = (𝑋 / (2 · π))
26427, 169, 14, 44, 35divdiv32i 11910 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 / 2) / π) = ((𝑋 / π) / 2)
265259, 263, 2643eqtr2i 2770 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 / 𝑇) = ((𝑋 / π) / 2)
266265oveq2i 7368 . . . . . . . . . . 11 (2 · (𝑋 / 𝑇)) = (2 · ((𝑋 / π) / 2))
26727, 14, 35divcli 11897 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 / π) ∈ ℂ
268267, 169, 44divcan2i 11898 . . . . . . . . . . 11 (2 · ((𝑋 / π) / 2)) = (𝑋 / π)
269266, 268eqtr2i 2765 . . . . . . . . . 10 (𝑋 / π) = (2 · (𝑋 / 𝑇))
2702a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
271 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ → (𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ)
272270, 271zmulcld 12613 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ → (2 · (𝑋 / 𝑇)) ∈ ℤ)
273269, 272eqeltrid 2842 . . . . . . . . 9 ((𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ → (𝑋 / π) ∈ ℤ)
27465, 273sylbi 216 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 / π) ∈ ℤ)
275274, 7sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod π) = 0)
276275iftrued 4494 . . . . . 6 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋)) = 0)
277172, 276eqtr2id 2789 . . . . 5 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → 0 = 𝑌)
278253, 258, 2773eqtrrd 2781 . . . 4 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
279278adantl 482 . . 3 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
280128a1i 11 . . . . 5 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ∈ ℝ*)
28159rexri 11213 . . . . . 6 𝑇 ∈ ℝ*
282281a1i 11 . . . . 5 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → 𝑇 ∈ ℝ*)
283139a1i 11 . . . . 5 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
284 pm4.56 987 . . . . . . . 8 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) ↔ ¬ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
285284biimpi 215 . . . . . . 7 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ¬ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
286 olc 866 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
287286adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod 𝑇) ≤ π ∧ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
288127a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod 𝑇) ≤ π ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → 0 ∈ ℝ*)
289128a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod 𝑇) ≤ π ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ∈ ℝ*)
290140a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod 𝑇) ≤ π ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
291 0red 11158 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0 → 0 ∈ ℝ)
292139a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
293 modge0 13784 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇))
2944, 63, 293mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇)
295294a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0 → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇))
296 neqne 2951 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0)
297291, 292, 295, 296leneltd 11309 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0 → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
298297adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod 𝑇) ≤ π ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
299 simpl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod 𝑇) ≤ π ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
300288, 289, 290, 298, 299eliocd 43735 . . . . . . . . 9 (((𝑋 mod 𝑇) ≤ π ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
301300orcd 871 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod 𝑇) ≤ π ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
302287, 301pm2.61dan 811 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) ≤ π → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
303285, 302nsyl 140 . . . . . 6 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
30433a1i 11 . . . . . . 7 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ∈ ℝ)
305304, 283ltnled 11302 . . . . . 6 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (π < (𝑋 mod 𝑇) ↔ ¬ (𝑋 mod 𝑇) ≤ π))
306303, 305mpbird 256 . . . . 5 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π < (𝑋 mod 𝑇))
307 modlt 13785 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
3084, 63, 307mp2an 690 . . . . . 6 (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇
309308a1i 11 . . . . 5 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
310280, 282, 283, 306, 309eliood 43726 . . . 4 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇))
311127a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 0 ∈ ℝ*)
31233a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → π ∈ ℝ)
313140a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
314 ioogtlb 43723 . . . . . . . . . 10 ((π ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇)) → π < (𝑋 mod 𝑇))
315128, 281, 314mp3an12 1451 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → π < (𝑋 mod 𝑇))
316311, 312, 313, 315gtnelioc 43719 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
317316iffalsed 4497 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = -1)
318139a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
319312, 318, 315ltnsymd 11304 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) < π)
320319iffalsed 4497 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
321156, 320eqtrid 2788 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝐹𝑋) = -1)
322317, 321oveq12d 7375 . . . . . 6 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) = (-1 + -1))
323322oveq1d 7372 . . . . 5 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) = ((-1 + -1) / 2))
324 df-2 12216 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
325324negeqi 11394 . . . . . . . . 9 -2 = -(1 + 1)
326185, 185negdii 11485 . . . . . . . . 9 -(1 + 1) = (-1 + -1)
327325, 326eqtr2i 2765 . . . . . . . 8 (-1 + -1) = -2
328327oveq1i 7367 . . . . . . 7 ((-1 + -1) / 2) = (-2 / 2)
329 divneg 11847 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(2 / 2) = (-2 / 2))
330169, 169, 44, 329mp3an 1461 . . . . . . 7 -(2 / 2) = (-2 / 2)
331238negeqi 11394 . . . . . . 7 -(2 / 2) = -1
332328, 330, 3313eqtr2i 2770 . . . . . 6 ((-1 + -1) / 2) = -1
333332a1i 11 . . . . 5 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((-1 + -1) / 2) = -1)
334172a1i 11 . . . . . 6 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 𝑌 = if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋)))
335312, 318ltnled 11302 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (π < (𝑋 mod 𝑇) ↔ ¬ (𝑋 mod 𝑇) ≤ π))
336315, 335mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
337248, 112eqbrtrdi 5144 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
338337adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
339126orcanai 1001 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) = π)
340339, 144syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
341338, 340pm2.61dan 811 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod π) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
342336, 341nsyl 140 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ¬ (𝑋 mod π) = 0)
343342iffalsed 4497 . . . . . 6 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋)) = (𝐹𝑋))
344334, 343, 3213eqtrrd 2781 . . . . 5 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → -1 = 𝑌)
345323, 333, 3443eqtrrd 2781 . . . 4 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
346310, 345syl 17 . . 3 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
347279, 346pm2.61dan 811 . 2 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
348245, 347pm2.61i 182 1 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  2c2 12208  cz 12499  +crp 12915  (,)cioo 13264  (,]cioc 13265  cfl 13695   mod cmo 13774  πcpi 15949  cdvds 16136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  fouriersw  44462
  Copyright terms: Public domain W3C validator