Theorem eliccelioc 43030

Description: Membership in a closed interval and in a left-open right-closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliccelioc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
eliccelioc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
eliccelioc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
eliccelioc	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)))

Proof of Theorem eliccelioc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iocssicc 13168	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2	1	sseli 3922	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3	2	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4		eliccelioc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	4	rexrd 11026	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
7	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		eliccelioc.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11026	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
12		iocgtlb 43011	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
13	7, 10, 11, 12	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
14	5, 13	gtned 11110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ≠ 𝐴)
15	3, 14	jca 512	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴))
16	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
17	8	rexrd 11026	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
18	17	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
19		eliccelioc.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
20	19	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
21	4	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
22	4, 8	iccssred 13165	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
23	22	sselda 3926	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
24	23	adantrr 714	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ)
25	6	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
26	17	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
27		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
28		iccgelb 13134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
30	29	adantrr 714	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
31		simprr 770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐶 ≠ 𝐴)
32	21, 24, 30, 31	leneltd 11129	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐴 < 𝐶)
33		iccleub 13133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
34	25, 26, 27, 33	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
35	34	adantrr 714	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
36	16, 18, 20, 32, 35	eliocd 43016	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
37	15, 36	impbida 798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945   class class class wbr 5079  (class class class)co 7271  ℝcr 10871  ℝ^*cxr 11009   < clt 11010   ≤ cle 11011  (,]cioc 13079  [,]cicc 13081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-ioc 13083  df-icc 13085

This theorem is referenced by:  fourierdlem51  43669