Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliccelioc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliccelioc 42111
Description: Membership in a closed interval and in a left-open right-closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eliccelioc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
eliccelioc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
eliccelioc.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
eliccelioc (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)))

Proof of Theorem eliccelioc
StepHypRef Expression
1 iocssicc 12826 . . . . 5 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
21sseli 3949 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
32adantl 485 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4 eliccelioc.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
54adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
64rexrd 10691 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
76adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8 eliccelioc.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
98adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
109rexrd 10691 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
12 iocgtlb 42092 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
137, 10, 11, 12syl3anc 1368 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
145, 13gtned 10775 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶𝐴)
153, 14jca 515 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴))
166adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
178rexrd 10691 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1817adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
19 eliccelioc.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
2019adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
214adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
224, 8iccssred 12823 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
2322sselda 3953 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
2423adantrr 716 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ)
256adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2617adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
27 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
28 iccgelb 12792 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝐶)
2925, 26, 27, 28syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝐶)
3029adantrr 716 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐴𝐶)
31 simprr 772 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐶𝐴)
3221, 24, 30, 31leneltd 10794 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐴 < 𝐶)
33 iccleub 12791 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶𝐵)
3425, 26, 27, 33syl3anc 1368 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶𝐵)
3534adantrr 716 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐶𝐵)
3616, 18, 20, 32, 35eliocd 42097 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
3715, 36impbida 800 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wcel 2115  wne 3014   class class class wbr 5053  (class class class)co 7151  cr 10536  *cxr 10674   < clt 10675  cle 10676  (,]cioc 12738  [,]cicc 12740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-po 5462  df-so 5463  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-ioc 12742  df-icc 12744
This theorem is referenced by:  fourierdlem51  42752
  Copyright terms: Public domain W3C validator