Theorem eliccelioc 45491

Description: Membership in a closed interval and in a left-open right-closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliccelioc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
eliccelioc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
eliccelioc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
eliccelioc	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)))

Proof of Theorem eliccelioc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iocssicc 13459	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2	1	sseli 3959	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4		eliccelioc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	4	rexrd 11293	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		eliccelioc.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11293	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
12		iocgtlb 45472	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
13	7, 10, 11, 12	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
14	5, 13	gtned 11378	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ≠ 𝐴)
15	3, 14	jca 511	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴))
16	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
17	8	rexrd 11293	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
19		eliccelioc.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
20	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
21	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
22	4, 8	iccssred 13456	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
23	22	sselda 3963	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
24	23	adantrr 717	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ)
25	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
26	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
27		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
28		iccgelb 13425	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
30	29	adantrr 717	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
31		simprr 772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐶 ≠ 𝐴)
32	21, 24, 30, 31	leneltd 11397	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐴 < 𝐶)
33		iccleub 13424	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
34	25, 26, 27, 33	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
35	34	adantrr 717	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
36	16, 18, 20, 32, 35	eliocd 45477	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
37	15, 36	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931   class class class wbr 5123  (class class class)co 7413  ℝcr 11136  ℝ^*cxr 11276   < clt 11277   ≤ cle 11278  (,]cioc 13370  [,]cicc 13372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-ioc 13374  df-icc 13376

This theorem is referenced by:  fourierdlem51  46129