Theorem eliccelioc 41817

Description: Membership in a closed interval and in a left-open right-closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliccelioc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
eliccelioc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
eliccelioc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
eliccelioc	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)))

Proof of Theorem eliccelioc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iocssicc 12826	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2	1	sseli 3963	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3	2	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4		eliccelioc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	4	rexrd 10691	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
7	6	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		eliccelioc.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	rexrd 10691	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
12		iocgtlb 41797	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
13	7, 10, 11, 12	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
14	5, 13	gtned 10775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ≠ 𝐴)
15	3, 14	jca 514	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴))
16	6	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
17	8	rexrd 10691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
18	17	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
19		eliccelioc.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
20	19	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
21	4	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
22	4, 8	iccssred 41800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
23	22	sselda 3967	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
24	23	adantrr 715	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ)
25	6	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
26	17	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
27		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
28		iccgelb 12794	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
30	29	adantrr 715	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
31		simprr 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐶 ≠ 𝐴)
32	21, 24, 30, 31	leneltd 10794	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐴 < 𝐶)
33		iccleub 12793	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
34	25, 26, 27, 33	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
35	34	adantrr 715	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
36	16, 18, 20, 32, 35	eliocd 41803	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
37	15, 36	impbida 799	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  ℝ^*cxr 10674   < clt 10675   ≤ cle 10676  (,]cioc 12740  [,]cicc 12742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-ioc 12744  df-icc 12746

This theorem is referenced by:  fourierdlem51  42462