Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliccelioc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliccelioc 44234
Description: Membership in a closed interval and in a left-open right-closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eliccelioc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
eliccelioc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
eliccelioc.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
eliccelioc (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)))

Proof of Theorem eliccelioc
StepHypRef Expression
1 iocssicc 13414 . . . . 5 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
21sseli 3979 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
32adantl 483 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4 eliccelioc.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
54adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
64rexrd 11264 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
76adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8 eliccelioc.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
98adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
109rexrd 11264 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11 simpr 486 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
12 iocgtlb 44215 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
137, 10, 11, 12syl3anc 1372 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
145, 13gtned 11349 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶𝐴)
153, 14jca 513 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴))
166adantr 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
178rexrd 11264 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1817adantr 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
19 eliccelioc.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
2019adantr 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
214adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
224, 8iccssred 13411 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
2322sselda 3983 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
2423adantrr 716 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ)
256adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2617adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
27 simpr 486 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
28 iccgelb 13380 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝐶)
2925, 26, 27, 28syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝐶)
3029adantrr 716 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐴𝐶)
31 simprr 772 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐶𝐴)
3221, 24, 30, 31leneltd 11368 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐴 < 𝐶)
33 iccleub 13379 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶𝐵)
3425, 26, 27, 33syl3anc 1372 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶𝐵)
3534adantrr 716 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐶𝐵)
3616, 18, 20, 32, 35eliocd 44220 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
3715, 36impbida 800 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wcel 2107  wne 2941   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  cr 11109  *cxr 11247   < clt 11248  cle 11249  (,]cioc 13325  [,]cicc 13327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ioc 13329  df-icc 13331
This theorem is referenced by:  fourierdlem51  44873
  Copyright terms: Public domain W3C validator