Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliccelioc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliccelioc 44900
Description: Membership in a closed interval and in a left-open right-closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eliccelioc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
eliccelioc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
eliccelioc.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
eliccelioc (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)))

Proof of Theorem eliccelioc
StepHypRef Expression
1 iocssicc 13440 . . . . 5 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
21sseli 3974 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
32adantl 481 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4 eliccelioc.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
54adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
64rexrd 11288 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
76adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8 eliccelioc.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
109rexrd 11288 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
12 iocgtlb 44881 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
137, 10, 11, 12syl3anc 1369 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
145, 13gtned 11373 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶𝐴)
153, 14jca 511 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴))
166adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
178rexrd 11288 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1817adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
19 eliccelioc.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
2019adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
214adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
224, 8iccssred 13437 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
2322sselda 3978 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
2423adantrr 716 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ)
256adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2617adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
27 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
28 iccgelb 13406 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝐶)
2925, 26, 27, 28syl3anc 1369 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝐶)
3029adantrr 716 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐴𝐶)
31 simprr 772 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐶𝐴)
3221, 24, 30, 31leneltd 11392 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐴 < 𝐶)
33 iccleub 13405 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶𝐵)
3425, 26, 27, 33syl3anc 1369 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶𝐵)
3534adantrr 716 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐶𝐵)
3616, 18, 20, 32, 35eliocd 44886 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
3715, 36impbida 800 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wcel 2099  wne 2936   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  cr 11131  *cxr 11271   < clt 11272  cle 11273  (,]cioc 13351  [,]cicc 13353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-ioc 13355  df-icc 13357
This theorem is referenced by:  fourierdlem51  45539
  Copyright terms: Public domain W3C validator