Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliccelioc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliccelioc 44532
Description: Membership in a closed interval and in a left-open right-closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eliccelioc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
eliccelioc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
eliccelioc.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
eliccelioc (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)))

Proof of Theorem eliccelioc
StepHypRef Expression
1 iocssicc 13418 . . . . 5 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
21sseli 3977 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
32adantl 480 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4 eliccelioc.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
54adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
64rexrd 11268 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
76adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8 eliccelioc.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
98adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
109rexrd 11268 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11 simpr 483 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
12 iocgtlb 44513 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
137, 10, 11, 12syl3anc 1369 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
145, 13gtned 11353 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶𝐴)
153, 14jca 510 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴))
166adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
178rexrd 11268 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1817adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
19 eliccelioc.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
2019adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
214adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
224, 8iccssred 13415 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
2322sselda 3981 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
2423adantrr 713 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ)
256adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2617adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
27 simpr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
28 iccgelb 13384 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝐶)
2925, 26, 27, 28syl3anc 1369 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝐶)
3029adantrr 713 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐴𝐶)
31 simprr 769 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐶𝐴)
3221, 24, 30, 31leneltd 11372 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐴 < 𝐶)
33 iccleub 13383 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶𝐵)
3425, 26, 27, 33syl3anc 1369 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶𝐵)
3534adantrr 713 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐶𝐵)
3616, 18, 20, 32, 35eliocd 44518 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)) → 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
3715, 36impbida 797 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wcel 2104  wne 2938   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  cr 11111  *cxr 11251   < clt 11252  cle 11253  (,]cioc 13329  [,]cicc 13331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-ioc 13333  df-icc 13335
This theorem is referenced by:  fourierdlem51  45171
  Copyright terms: Public domain W3C validator