Theorem eliccelioc 46338

Description: Membership in a closed interval and in a left-open right-closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliccelioc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
eliccelioc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
eliccelioc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
eliccelioc	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)))

Proof of Theorem eliccelioc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iocssicc 13492	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2	1	sseli 3930	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3	2	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4		eliccelioc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	4	rexrd 11286	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		eliccelioc.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
12		iocgtlb 46319	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
13	7, 10, 11, 12	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
14	5, 13	gtned 11372	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ≠ 𝐴)
15	3, 14	jca 521	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴))
16	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
17	8	rexrd 11286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
18	17	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
19		eliccelioc.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
20	19	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
21	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
22	4, 8	iccssred 13489	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
23	22	sselda 3934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
24	23	adantrr 730	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ)
25	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
26	17	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
27		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
28		iccgelb 13457	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
30	29	adantrr 730	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
31		simprr 785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐶 ≠ 𝐴)
32	21, 24, 30, 31	leneltd 11391	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐴 < 𝐶)
33		iccleub 13456	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
34	25, 26, 27, 33	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
35	34	adantrr 730	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
36	16, 18, 20, 32, 35	eliocd 46324	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
37	15, 36	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   class class class wbr 5107  (class class class)co 7416  ℝcr 11126  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270   ≤ cle 11271  (,]cioc 13401  [,]cicc 13403

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-ioc 13405  df-icc 13407

This theorem is used by:  fourierdlem51  46972