Theorem eliccelioc 45804

Description: Membership in a closed interval and in a left-open right-closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliccelioc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
eliccelioc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
eliccelioc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
eliccelioc	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)))

Proof of Theorem eliccelioc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iocssicc 13355	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2	1	sseli 3928	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4		eliccelioc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	4	rexrd 11184	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		eliccelioc.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11184	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
12		iocgtlb 45785	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
13	7, 10, 11, 12	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
14	5, 13	gtned 11270	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ≠ 𝐴)
15	3, 14	jca 511	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴))
16	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
17	8	rexrd 11184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
19		eliccelioc.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
20	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
21	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
22	4, 8	iccssred 13352	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
23	22	sselda 3932	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
24	23	adantrr 718	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ)
25	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
26	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
27		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
28		iccgelb 13320	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
30	29	adantrr 718	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
31		simprr 773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐶 ≠ 𝐴)
32	21, 24, 30, 31	leneltd 11289	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐴 < 𝐶)
33		iccleub 13319	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
34	25, 26, 27, 33	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
35	34	adantrr 718	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
36	16, 18, 20, 32, 35	eliocd 45790	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
37	15, 36	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931   class class class wbr 5097  (class class class)co 7358  ℝcr 11027  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169  (,]cioc 13264  [,]cicc 13266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-ioc 13268  df-icc 13270

This theorem is referenced by:  fourierdlem51  46438