Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iocopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iocopn 41999
Description: A left-open right-closed interval is an open set of the standard topology restricted to an interval that contains the original interval and has the same upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iocopn.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
iocopn.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
iocopn.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
iocopn.k 𝐾 = (topGen‘ran (,))
iocopn.j 𝐽 = (𝐾t (𝐴(,]𝐵))
iocopn.alec (𝜑𝐴𝐶)
iocopn.6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iocopn (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem iocopn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iocopn.k . . . . 5 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2 retop 23356 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
31, 2eqeltri 2912 . . . 4 𝐾 ∈ Top
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Top)
5 ovexd 7173 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ∈ V)
6 iooretop 23360 . . . . 5 (𝐶(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
76, 1eleqtrri 2915 . . . 4 (𝐶(,)+∞) ∈ 𝐾
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐶(,)+∞) ∈ 𝐾)
9 elrestr 16691 . . 3 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴(,]𝐵) ∈ V ∧ (𝐶(,)+∞) ∈ 𝐾) → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ∈ (𝐾t (𝐴(,]𝐵)))
104, 5, 8, 9syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ∈ (𝐾t (𝐴(,]𝐵)))
11 iocopn.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
1211adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
13 iocopn.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1413rexrd 10676 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1514adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16 elinel1 4155 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
17 elioore 12754 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
1918rexrd 10676 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
2019adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
21 pnfxr 10680 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
2221a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → +∞ ∈ ℝ*)
2316adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
24 ioogtlb 41974 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞)) → 𝐶 < 𝑥)
2512, 22, 23, 24syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐶 < 𝑥)
26 iocopn.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2726adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
28 elinel2 4156 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
2928adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
30 iocleub 41982 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
3127, 15, 29, 30syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥𝐵)
3212, 15, 20, 25, 31eliocd 41986 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵))
3311adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
3421a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → +∞ ∈ ℝ*)
35 iocopn.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
36 iocssre 12803 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶(,]𝐵) ⊆ ℝ)
3711, 35, 36syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) ⊆ ℝ)
3837sselda 3951 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3914adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
40 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵))
41 iocgtlb 41981 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 < 𝑥)
4233, 39, 40, 41syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 < 𝑥)
4338ltpnfd 12502 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 < +∞)
4433, 34, 38, 42, 43eliood 41977 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
4526adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4638rexrd 10676 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
47 iocopn.alec . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐶)
4847adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴𝐶)
4945, 33, 46, 48, 42xrlelttrd 12539 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
50 iocleub 41982 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
5133, 39, 40, 50syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
5245, 39, 46, 49, 51eliocd 41986 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
5344, 52elind 4154 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
5432, 53impbida 800 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)))
5554eqrdv 2822 . 2 (𝜑 → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) = (𝐶(,]𝐵))
56 iocopn.j . . . 4 𝐽 = (𝐾t (𝐴(,]𝐵))
5756eqcomi 2833 . . 3 (𝐾t (𝐴(,]𝐵)) = 𝐽
5857a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐾t (𝐴(,]𝐵)) = 𝐽)
5910, 55, 583eltr3d 2930 1 (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3479  cin 3917  wss 3918   class class class wbr 5047  ran crn 5537  cfv 6336  (class class class)co 7138  cr 10521  +∞cpnf 10657  *cxr 10659   < clt 10660  cle 10661  (,)cioo 12724  (,]cioc 12725  t crest 16683  topGenctg 16700  Topctop 21487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-q 12335  df-ioo 12728  df-ioc 12729  df-rest 16685  df-topgen 16706  df-top 21488  df-bases 21540
This theorem is referenced by:  fouriersw  42715
  Copyright terms: Public domain W3C validator