Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iocopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iocopn 44786
Description: A left-open right-closed interval is an open set of the standard topology restricted to an interval that contains the original interval and has the same upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iocopn.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
iocopn.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
iocopn.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
iocopn.k 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
iocopn.j 𝐽 = (𝐾 β†Ύt (𝐴(,]𝐡))
iocopn.alec (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐢)
iocopn.6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iocopn (πœ‘ β†’ (𝐢(,]𝐡) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem iocopn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iocopn.k . . . . 5 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
2 retop 24629 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
31, 2eqeltri 2823 . . . 4 𝐾 ∈ Top
43a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
5 ovexd 7439 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴(,]𝐡) ∈ V)
6 iooretop 24633 . . . . 5 (𝐢(,)+∞) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
76, 1eleqtrri 2826 . . . 4 (𝐢(,)+∞) ∈ 𝐾
87a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢(,)+∞) ∈ 𝐾)
9 elrestr 17381 . . 3 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴(,]𝐡) ∈ V ∧ (𝐢(,)+∞) ∈ 𝐾) β†’ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)) ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴(,]𝐡)))
104, 5, 8, 9syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)) ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴(,]𝐡)))
11 iocopn.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
1211adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
13 iocopn.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1413rexrd 11265 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
1514adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
16 elinel1 4190 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐢(,)+∞))
17 elioore 13357 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐢(,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1918rexrd 11265 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
2019adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
21 pnfxr 11269 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
2221a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
2316adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐢(,)+∞))
24 ioogtlb 44761 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)+∞)) β†’ 𝐢 < π‘₯)
2512, 22, 23, 24syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ 𝐢 < π‘₯)
26 iocopn.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
2726adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
28 elinel2 4191 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡))
2928adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡))
30 iocleub 44769 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
3127, 15, 29, 30syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
3212, 15, 20, 25, 31eliocd 44773 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡))
3311adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
3421a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
35 iocopn.6 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
36 iocssre 13407 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐢(,]𝐡) βŠ† ℝ)
3711, 35, 36syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐢(,]𝐡) βŠ† ℝ)
3837sselda 3977 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3914adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
40 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡))
41 iocgtlb 44768 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ 𝐢 < π‘₯)
4233, 39, 40, 41syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ 𝐢 < π‘₯)
4338ltpnfd 13104 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ < +∞)
4433, 34, 38, 42, 43eliood 44764 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐢(,)+∞))
4526adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4638rexrd 11265 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
47 iocopn.alec . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐢)
4847adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ 𝐢)
4945, 33, 46, 48, 42xrlelttrd 13142 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ 𝐴 < π‘₯)
50 iocleub 44769 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
5133, 39, 40, 50syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
5245, 39, 46, 49, 51eliocd 44773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡))
5344, 52elind 4189 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)))
5432, 53impbida 798 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)) ↔ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)))
5554eqrdv 2724 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)) = (𝐢(,]𝐡))
56 iocopn.j . . . 4 𝐽 = (𝐾 β†Ύt (𝐴(,]𝐡))
5756eqcomi 2735 . . 3 (𝐾 β†Ύt (𝐴(,]𝐡)) = 𝐽
5857a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴(,]𝐡)) = 𝐽)
5910, 55, 583eltr3d 2841 1 (πœ‘ β†’ (𝐢(,]𝐡) ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  ran crn 5670  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„cr 11108  +∞cpnf 11246  β„*cxr 11248   < clt 11249   ≀ cle 11250  (,)cioo 13327  (,]cioc 13328   β†Ύt crest 17373  topGenctg 17390  Topctop 22746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-rest 17375  df-topgen 17396  df-top 22747  df-bases 22800
This theorem is referenced by:  fouriersw  45500
  Copyright terms: Public domain W3C validator