Theorem iocopn 43027

Description: A left-open right-closed interval is an open set of the standard topology restricted to an interval that contains the original interval and has the same upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iocopn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
iocopn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
iocopn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
iocopn.k	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
iocopn.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴(,]𝐵))
iocopn.alec	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
iocopn.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iocopn	⊢ (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem iocopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iocopn.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2		retop 23921	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
3	1, 2	eqeltri 2837	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ Top
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
5		ovexd 7304	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ∈ V)
6		iooretop 23925	. . . . 5 ⊢ (𝐶(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
7	6, 1	eleqtrri 2840	. . . 4 ⊢ (𝐶(,)+∞) ∈ 𝐾
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶(,)+∞) ∈ 𝐾)
9		elrestr 17135	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴(,]𝐵) ∈ V ∧ (𝐶(,)+∞) ∈ 𝐾) → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ∈ (𝐾 ↾t (𝐴(,]𝐵)))
10	4, 5, 8, 9	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ∈ (𝐾 ↾t (𝐴(,]𝐵)))
11		iocopn.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
12	11	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
13		iocopn.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	rexrd 11024	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
15	14	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16		elinel1 4134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
17		elioore 13106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
19	18	rexrd 11024	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
20	19	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
21		pnfxr 11028	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → +∞ ∈ ℝ*)
23	16	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
24		ioogtlb 43002	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞)) → 𝐶 < 𝑥)
25	12, 22, 23, 24	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐶 < 𝑥)
26		iocopn.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
27	26	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
28		elinel2 4135	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
29	28	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
30		iocleub 43010	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
31	27, 15, 29, 30	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ≤ 𝐵)
32	12, 15, 20, 25, 31	eliocd 43014	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵))
33	11	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
34	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → +∞ ∈ ℝ*)
35		iocopn.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
36		iocssre 13156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶(,]𝐵) ⊆ ℝ)
37	11, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) ⊆ ℝ)
38	37	sselda 3926	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
39	14	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
40		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵))
41		iocgtlb 43009	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 < 𝑥)
42	33, 39, 40, 41	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 < 𝑥)
43	38	ltpnfd 12854	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 < +∞)
44	33, 34, 38, 42, 43	eliood 43005	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
45	26	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
46	38	rexrd 11024	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
47		iocopn.alec	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
48	47	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
49	45, 33, 46, 48, 42	xrlelttrd 12891	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
50		iocleub 43010	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
51	33, 39, 40, 50	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
52	45, 39, 46, 49, 51	eliocd 43014	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
53	44, 52	elind 4133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
54	32, 53	impbida 798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)))
55	54	eqrdv 2738	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) = (𝐶(,]𝐵))
56		iocopn.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴(,]𝐵))
57	56	eqcomi 2749	. . 3 ⊢ (𝐾 ↾t (𝐴(,]𝐵)) = 𝐽
58	57	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t (𝐴(,]𝐵)) = 𝐽)
59	10, 55, 58	3eltr3d 2855	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  Vcvv 3431   ∩ cin 3891   ⊆ wss 3892   class class class wbr 5079  ran crn 5590  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269  ℝcr 10869  +∞cpnf 11005  ℝ^*cxr 11007   < clt 11008   ≤ cle 11009  (,)cioo 13076  (,]cioc 13077   ↾_t crest 17127  topGenctg 17144  Topctop 22038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947  ax-pre-sup 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-sup 9177  df-inf 9178  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12580  df-q 12686  df-ioo 13080  df-ioc 13081  df-rest 17129  df-topgen 17150  df-top 22039  df-bases 22092

This theorem is referenced by:  fouriersw  43741