Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iocopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iocopn 44905
Description: A left-open right-closed interval is an open set of the standard topology restricted to an interval that contains the original interval and has the same upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iocopn.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
iocopn.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
iocopn.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
iocopn.k 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
iocopn.j 𝐽 = (𝐾 β†Ύt (𝐴(,]𝐡))
iocopn.alec (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐢)
iocopn.6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iocopn (πœ‘ β†’ (𝐢(,]𝐡) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem iocopn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iocopn.k . . . . 5 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
2 retop 24691 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
31, 2eqeltri 2825 . . . 4 𝐾 ∈ Top
43a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
5 ovexd 7455 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴(,]𝐡) ∈ V)
6 iooretop 24695 . . . . 5 (𝐢(,)+∞) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
76, 1eleqtrri 2828 . . . 4 (𝐢(,)+∞) ∈ 𝐾
87a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢(,)+∞) ∈ 𝐾)
9 elrestr 17410 . . 3 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴(,]𝐡) ∈ V ∧ (𝐢(,)+∞) ∈ 𝐾) β†’ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)) ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴(,]𝐡)))
104, 5, 8, 9syl3anc 1369 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)) ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴(,]𝐡)))
11 iocopn.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
1211adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
13 iocopn.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1413rexrd 11295 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
1514adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
16 elinel1 4195 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐢(,)+∞))
17 elioore 13387 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐢(,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1918rexrd 11295 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
2019adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
21 pnfxr 11299 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
2221a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
2316adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐢(,)+∞))
24 ioogtlb 44880 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)+∞)) β†’ 𝐢 < π‘₯)
2512, 22, 23, 24syl3anc 1369 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ 𝐢 < π‘₯)
26 iocopn.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
2726adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
28 elinel2 4196 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡))
2928adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡))
30 iocleub 44888 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
3127, 15, 29, 30syl3anc 1369 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
3212, 15, 20, 25, 31eliocd 44892 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡))
3311adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
3421a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
35 iocopn.6 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
36 iocssre 13437 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐢(,]𝐡) βŠ† ℝ)
3711, 35, 36syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐢(,]𝐡) βŠ† ℝ)
3837sselda 3980 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3914adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
40 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡))
41 iocgtlb 44887 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ 𝐢 < π‘₯)
4233, 39, 40, 41syl3anc 1369 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ 𝐢 < π‘₯)
4338ltpnfd 13134 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ < +∞)
4433, 34, 38, 42, 43eliood 44883 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐢(,)+∞))
4526adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4638rexrd 11295 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
47 iocopn.alec . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐢)
4847adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ 𝐢)
4945, 33, 46, 48, 42xrlelttrd 13172 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ 𝐴 < π‘₯)
50 iocleub 44888 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
5133, 39, 40, 50syl3anc 1369 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
5245, 39, 46, 49, 51eliocd 44892 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡))
5344, 52elind 4194 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)))
5432, 53impbida 800 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)) ↔ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)))
5554eqrdv 2726 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)) = (𝐢(,]𝐡))
56 iocopn.j . . . 4 𝐽 = (𝐾 β†Ύt (𝐴(,]𝐡))
5756eqcomi 2737 . . 3 (𝐾 β†Ύt (𝐴(,]𝐡)) = 𝐽
5857a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴(,]𝐡)) = 𝐽)
5910, 55, 583eltr3d 2843 1 (πœ‘ β†’ (𝐢(,]𝐡) ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5148  ran crn 5679  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„cr 11138  +∞cpnf 11276  β„*cxr 11278   < clt 11279   ≀ cle 11280  (,)cioo 13357  (,]cioc 13358   β†Ύt crest 17402  topGenctg 17419  Topctop 22808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-ioo 13361  df-ioc 13362  df-rest 17404  df-topgen 17425  df-top 22809  df-bases 22862
This theorem is referenced by:  fouriersw  45619
  Copyright terms: Public domain W3C validator