Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iocopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iocopn 40655
Description: A left-open right-closed interval is an open set of the standard topology restricted to an interval that contains the original interval and has the same upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iocopn.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
iocopn.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
iocopn.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
iocopn.k 𝐾 = (topGen‘ran (,))
iocopn.j 𝐽 = (𝐾t (𝐴(,]𝐵))
iocopn.alec (𝜑𝐴𝐶)
iocopn.6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iocopn (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem iocopn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iocopn.k . . . . 5 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2 retop 22973 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
31, 2eqeltri 2855 . . . 4 𝐾 ∈ Top
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Top)
5 ovexd 6956 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ∈ V)
6 iooretop 22977 . . . . 5 (𝐶(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
76, 1eleqtrri 2858 . . . 4 (𝐶(,)+∞) ∈ 𝐾
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐶(,)+∞) ∈ 𝐾)
9 elrestr 16475 . . 3 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴(,]𝐵) ∈ V ∧ (𝐶(,)+∞) ∈ 𝐾) → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ∈ (𝐾t (𝐴(,]𝐵)))
104, 5, 8, 9syl3anc 1439 . 2 (𝜑 → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ∈ (𝐾t (𝐴(,]𝐵)))
11 iocopn.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
1211adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
13 iocopn.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1413rexrd 10426 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1514adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16 elinel1 4022 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
17 elioore 12517 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
1918rexrd 10426 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
2019adantl 475 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
21 pnfxr 10430 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
2221a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → +∞ ∈ ℝ*)
2316adantl 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
24 ioogtlb 40629 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞)) → 𝐶 < 𝑥)
2512, 22, 23, 24syl3anc 1439 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐶 < 𝑥)
26 iocopn.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2726adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
28 elinel2 4023 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
2928adantl 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
30 iocleub 40637 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
3127, 15, 29, 30syl3anc 1439 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥𝐵)
3212, 15, 20, 25, 31eliocd 40642 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵))
3311adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
3421a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → +∞ ∈ ℝ*)
35 iocopn.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
36 iocssre 12565 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶(,]𝐵) ⊆ ℝ)
3711, 35, 36syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) ⊆ ℝ)
3837sselda 3821 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3914adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
40 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵))
41 iocgtlb 40636 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 < 𝑥)
4233, 39, 40, 41syl3anc 1439 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 < 𝑥)
4338ltpnfd 12266 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 < +∞)
4433, 34, 38, 42, 43eliood 40632 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
4526adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4638rexrd 10426 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
47 iocopn.alec . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐶)
4847adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴𝐶)
4945, 33, 46, 48, 42xrlelttrd 12303 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
50 iocleub 40637 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
5133, 39, 40, 50syl3anc 1439 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
5245, 39, 46, 49, 51eliocd 40642 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
5344, 52elind 4021 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
5432, 53impbida 791 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)))
5554eqrdv 2776 . 2 (𝜑 → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) = (𝐶(,]𝐵))
56 iocopn.j . . . 4 𝐽 = (𝐾t (𝐴(,]𝐵))
5756eqcomi 2787 . . 3 (𝐾t (𝐴(,]𝐵)) = 𝐽
5857a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐾t (𝐴(,]𝐵)) = 𝐽)
5910, 55, 583eltr3d 2873 1 (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  Vcvv 3398  cin 3791  wss 3792   class class class wbr 4886  ran crn 5356  cfv 6135  (class class class)co 6922  cr 10271  +∞cpnf 10408  *cxr 10410   < clt 10411  cle 10412  (,)cioo 12487  (,]cioc 12488  t crest 16467  topGenctg 16484  Topctop 21105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-q 12096  df-ioo 12491  df-ioc 12492  df-rest 16469  df-topgen 16490  df-top 21106  df-bases 21158
This theorem is referenced by:  fouriersw  41375
  Copyright terms: Public domain W3C validator