Theorem iocopn 45965

Description: A left-open right-closed interval is an open set of the standard topology restricted to an interval that contains the original interval and has the same upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iocopn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
iocopn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
iocopn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
iocopn.k	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
iocopn.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴(,]𝐵))
iocopn.alec	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
iocopn.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iocopn	⊢ (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem iocopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iocopn.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2		retop 24744	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
3	1, 2	eqeltri 2835	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ Top
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
5		ovexd 7391	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ∈ V)
6		iooretop 24748	. . . . 5 ⊢ (𝐶(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
7	6, 1	eleqtrri 2838	. . . 4 ⊢ (𝐶(,)+∞) ∈ 𝐾
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶(,)+∞) ∈ 𝐾)
9		elrestr 17382	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴(,]𝐵) ∈ V ∧ (𝐶(,)+∞) ∈ 𝐾) → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ∈ (𝐾 ↾t (𝐴(,]𝐵)))
10	4, 5, 8, 9	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ∈ (𝐾 ↾t (𝐴(,]𝐵)))
11		iocopn.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
12	11	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
13		iocopn.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	rexrd 11186	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
15	14	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16		elinel1 4130	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
17		elioore 13319	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
19	18	rexrd 11186	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
20	19	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
21		pnfxr 11190	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → +∞ ∈ ℝ*)
23	16	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
24		ioogtlb 45940	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞)) → 𝐶 < 𝑥)
25	12, 22, 23, 24	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐶 < 𝑥)
26		iocopn.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
27	26	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
28		elinel2 4131	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
29	28	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
30		iocleub 45948	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
31	27, 15, 29, 30	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ≤ 𝐵)
32	12, 15, 20, 25, 31	eliocd 45952	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵))
33	11	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
34	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → +∞ ∈ ℝ*)
35		iocopn.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
36		iocssre 13371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶(,]𝐵) ⊆ ℝ)
37	11, 35, 36	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) ⊆ ℝ)
38	37	sselda 3915	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
39	14	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
40		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵))
41		iocgtlb 45947	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 < 𝑥)
42	33, 39, 40, 41	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 < 𝑥)
43	38	ltpnfd 13063	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 < +∞)
44	33, 34, 38, 42, 43	eliood 45943	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
45	26	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
46	38	rexrd 11186	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
47		iocopn.alec	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
48	47	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
49	45, 33, 46, 48, 42	xrlelttrd 13102	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
50		iocleub 45948	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
51	33, 39, 40, 50	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
52	45, 39, 46, 49, 51	eliocd 45952	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
53	44, 52	elind 4129	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
54	32, 53	impbida 806	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)))
55	54	eqrdv 2737	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) = (𝐶(,]𝐵))
56		iocopn.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴(,]𝐵))
57	56	eqcomi 2748	. . 3 ⊢ (𝐾 ↾t (𝐴(,]𝐵)) = 𝐽
58	57	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t (𝐴(,]𝐵)) = 𝐽)
59	10, 55, 58	3eltr3d 2853	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5072  ran crn 5619  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  +∞cpnf 11167  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171  (,)cioo 13289  (,]cioc 13290   ↾_t crest 17374  topGenctg 17391  Topctop 22876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-rest 17376  df-topgen 17397  df-top 22877  df-bases 22929

This theorem is referenced by:  fouriersw  46674