Theorem iocopn 45473

Description: A left-open right-closed interval is an open set of the standard topology restricted to an interval that contains the original interval and has the same upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iocopn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
iocopn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
iocopn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
iocopn.k	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
iocopn.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴(,]𝐵))
iocopn.alec	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
iocopn.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iocopn	⊢ (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem iocopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iocopn.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2		retop 24798	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
3	1, 2	eqeltri 2835	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ Top
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
5		ovexd 7466	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ∈ V)
6		iooretop 24802	. . . . 5 ⊢ (𝐶(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
7	6, 1	eleqtrri 2838	. . . 4 ⊢ (𝐶(,)+∞) ∈ 𝐾
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶(,)+∞) ∈ 𝐾)
9		elrestr 17475	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴(,]𝐵) ∈ V ∧ (𝐶(,)+∞) ∈ 𝐾) → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ∈ (𝐾 ↾t (𝐴(,]𝐵)))
10	4, 5, 8, 9	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ∈ (𝐾 ↾t (𝐴(,]𝐵)))
11		iocopn.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
13		iocopn.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	rexrd 11309	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16		elinel1 4211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
17		elioore 13414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
19	18	rexrd 11309	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
21		pnfxr 11313	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → +∞ ∈ ℝ*)
23	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
24		ioogtlb 45448	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞)) → 𝐶 < 𝑥)
25	12, 22, 23, 24	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐶 < 𝑥)
26		iocopn.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
27	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
28		elinel2 4212	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
29	28	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
30		iocleub 45456	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
31	27, 15, 29, 30	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ≤ 𝐵)
32	12, 15, 20, 25, 31	eliocd 45460	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵))
33	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
34	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → +∞ ∈ ℝ*)
35		iocopn.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
36		iocssre 13464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶(,]𝐵) ⊆ ℝ)
37	11, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) ⊆ ℝ)
38	37	sselda 3995	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
39	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
40		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵))
41		iocgtlb 45455	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 < 𝑥)
42	33, 39, 40, 41	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 < 𝑥)
43	38	ltpnfd 13161	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 < +∞)
44	33, 34, 38, 42, 43	eliood 45451	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
45	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
46	38	rexrd 11309	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
47		iocopn.alec	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
48	47	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
49	45, 33, 46, 48, 42	xrlelttrd 13199	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
50		iocleub 45456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
51	33, 39, 40, 50	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
52	45, 39, 46, 49, 51	eliocd 45460	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
53	44, 52	elind 4210	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
54	32, 53	impbida 801	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)))
55	54	eqrdv 2733	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) = (𝐶(,]𝐵))
56		iocopn.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴(,]𝐵))
57	56	eqcomi 2744	. . 3 ⊢ (𝐾 ↾t (𝐴(,]𝐵)) = 𝐽
58	57	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t (𝐴(,]𝐵)) = 𝐽)
59	10, 55, 58	3eltr3d 2853	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148  ran crn 5690  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  +∞cpnf 11290  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294  (,)cioo 13384  (,]cioc 13385   ↾_t crest 17467  topGenctg 17484  Topctop 22915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-top 22916  df-bases 22969

This theorem is referenced by:  fouriersw  46187