Theorem iocopn 45533

Description: A left-open right-closed interval is an open set of the standard topology restricted to an interval that contains the original interval and has the same upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iocopn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
iocopn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
iocopn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
iocopn.k	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
iocopn.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴(,]𝐵))
iocopn.alec	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
iocopn.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iocopn	⊢ (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem iocopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iocopn.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2		retop 24782	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
3	1, 2	eqeltri 2837	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ Top
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
5		ovexd 7466	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ∈ V)
6		iooretop 24786	. . . . 5 ⊢ (𝐶(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
7	6, 1	eleqtrri 2840	. . . 4 ⊢ (𝐶(,)+∞) ∈ 𝐾
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶(,)+∞) ∈ 𝐾)
9		elrestr 17473	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴(,]𝐵) ∈ V ∧ (𝐶(,)+∞) ∈ 𝐾) → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ∈ (𝐾 ↾t (𝐴(,]𝐵)))
10	4, 5, 8, 9	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ∈ (𝐾 ↾t (𝐴(,]𝐵)))
11		iocopn.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
13		iocopn.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	rexrd 11311	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16		elinel1 4201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
17		elioore 13417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
19	18	rexrd 11311	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
21		pnfxr 11315	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → +∞ ∈ ℝ*)
23	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
24		ioogtlb 45508	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞)) → 𝐶 < 𝑥)
25	12, 22, 23, 24	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐶 < 𝑥)
26		iocopn.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
27	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
28		elinel2 4202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
29	28	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
30		iocleub 45516	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
31	27, 15, 29, 30	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ≤ 𝐵)
32	12, 15, 20, 25, 31	eliocd 45520	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵))
33	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
34	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → +∞ ∈ ℝ*)
35		iocopn.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
36		iocssre 13467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶(,]𝐵) ⊆ ℝ)
37	11, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) ⊆ ℝ)
38	37	sselda 3983	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
39	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
40		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵))
41		iocgtlb 45515	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 < 𝑥)
42	33, 39, 40, 41	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 < 𝑥)
43	38	ltpnfd 13163	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 < +∞)
44	33, 34, 38, 42, 43	eliood 45511	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
45	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
46	38	rexrd 11311	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
47		iocopn.alec	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
48	47	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
49	45, 33, 46, 48, 42	xrlelttrd 13202	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
50		iocleub 45516	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
51	33, 39, 40, 50	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
52	45, 39, 46, 49, 51	eliocd 45520	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
53	44, 52	elind 4200	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
54	32, 53	impbida 801	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)))
55	54	eqrdv 2735	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) = (𝐶(,]𝐵))
56		iocopn.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴(,]𝐵))
57	56	eqcomi 2746	. . 3 ⊢ (𝐾 ↾t (𝐴(,]𝐵)) = 𝐽
58	57	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t (𝐴(,]𝐵)) = 𝐽)
59	10, 55, 58	3eltr3d 2855	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143  ran crn 5686  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  +∞cpnf 11292  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296  (,)cioo 13387  (,]cioc 13388   ↾_t crest 17465  topGenctg 17482  Topctop 22899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-top 22900  df-bases 22953

This theorem is referenced by:  fouriersw  46246