Theorem iocopn 45644

Description: A left-open right-closed interval is an open set of the standard topology restricted to an interval that contains the original interval and has the same upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iocopn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
iocopn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
iocopn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
iocopn.k	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
iocopn.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴(,]𝐵))
iocopn.alec	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
iocopn.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iocopn	⊢ (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem iocopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iocopn.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2		retop 24677	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
3	1, 2	eqeltri 2829	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ Top
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
5		ovexd 7387	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ∈ V)
6		iooretop 24681	. . . . 5 ⊢ (𝐶(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
7	6, 1	eleqtrri 2832	. . . 4 ⊢ (𝐶(,)+∞) ∈ 𝐾
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶(,)+∞) ∈ 𝐾)
9		elrestr 17334	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴(,]𝐵) ∈ V ∧ (𝐶(,)+∞) ∈ 𝐾) → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ∈ (𝐾 ↾t (𝐴(,]𝐵)))
10	4, 5, 8, 9	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ∈ (𝐾 ↾t (𝐴(,]𝐵)))
11		iocopn.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
13		iocopn.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	rexrd 11169	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16		elinel1 4150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
17		elioore 13277	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
19	18	rexrd 11169	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
21		pnfxr 11173	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → +∞ ∈ ℝ*)
23	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
24		ioogtlb 45619	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞)) → 𝐶 < 𝑥)
25	12, 22, 23, 24	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐶 < 𝑥)
26		iocopn.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
27	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
28		elinel2 4151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
29	28	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
30		iocleub 45627	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
31	27, 15, 29, 30	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ≤ 𝐵)
32	12, 15, 20, 25, 31	eliocd 45631	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵))
33	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
34	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → +∞ ∈ ℝ*)
35		iocopn.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
36		iocssre 13329	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶(,]𝐵) ⊆ ℝ)
37	11, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) ⊆ ℝ)
38	37	sselda 3930	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
39	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
40		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵))
41		iocgtlb 45626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 < 𝑥)
42	33, 39, 40, 41	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐶 < 𝑥)
43	38	ltpnfd 13022	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 < +∞)
44	33, 34, 38, 42, 43	eliood 45622	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐶(,)+∞))
45	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
46	38	rexrd 11169	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
47		iocopn.alec	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
48	47	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
49	45, 33, 46, 48, 42	xrlelttrd 13061	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
50		iocleub 45627	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
51	33, 39, 40, 50	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
52	45, 39, 46, 49, 51	eliocd 45631	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
53	44, 52	elind 4149	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
54	32, 53	impbida 800	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐶(,]𝐵)))
55	54	eqrdv 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐵)) = (𝐶(,]𝐵))
56		iocopn.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴(,]𝐵))
57	56	eqcomi 2742	. . 3 ⊢ (𝐾 ↾t (𝐴(,]𝐵)) = 𝐽
58	57	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t (𝐴(,]𝐵)) = 𝐽)
59	10, 55, 58	3eltr3d 2847	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶(,]𝐵) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5093  ran crn 5620  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℝcr 11012  +∞cpnf 11150  ℝ^*cxr 11152   < clt 11153   ≤ cle 11154  (,)cioo 13247  (,]cioc 13248   ↾_t crest 17326  topGenctg 17343  Topctop 22809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9333  df-inf 9334  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-q 12849  df-ioo 13251  df-ioc 13252  df-rest 17328  df-topgen 17349  df-top 22810  df-bases 22862

This theorem is referenced by:  fouriersw  46353