Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iocopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iocopn 43690
Description: A left-open right-closed interval is an open set of the standard topology restricted to an interval that contains the original interval and has the same upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iocopn.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
iocopn.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
iocopn.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
iocopn.k 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
iocopn.j 𝐽 = (𝐾 β†Ύt (𝐴(,]𝐡))
iocopn.alec (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐢)
iocopn.6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iocopn (πœ‘ β†’ (𝐢(,]𝐡) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem iocopn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iocopn.k . . . . 5 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
2 retop 24109 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
31, 2eqeltri 2834 . . . 4 𝐾 ∈ Top
43a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
5 ovexd 7388 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴(,]𝐡) ∈ V)
6 iooretop 24113 . . . . 5 (𝐢(,)+∞) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
76, 1eleqtrri 2837 . . . 4 (𝐢(,)+∞) ∈ 𝐾
87a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢(,)+∞) ∈ 𝐾)
9 elrestr 17302 . . 3 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴(,]𝐡) ∈ V ∧ (𝐢(,)+∞) ∈ 𝐾) β†’ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)) ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴(,]𝐡)))
104, 5, 8, 9syl3anc 1371 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)) ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴(,]𝐡)))
11 iocopn.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
1211adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
13 iocopn.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1413rexrd 11201 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
1514adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
16 elinel1 4153 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐢(,)+∞))
17 elioore 13286 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐢(,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1918rexrd 11201 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
2019adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
21 pnfxr 11205 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
2221a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
2316adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐢(,)+∞))
24 ioogtlb 43665 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,)+∞)) β†’ 𝐢 < π‘₯)
2512, 22, 23, 24syl3anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ 𝐢 < π‘₯)
26 iocopn.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
2726adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
28 elinel2 4154 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡))
2928adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡))
30 iocleub 43673 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
3127, 15, 29, 30syl3anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
3212, 15, 20, 25, 31eliocd 43677 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡))
3311adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
3421a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
35 iocopn.6 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
36 iocssre 13336 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐢(,]𝐡) βŠ† ℝ)
3711, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐢(,]𝐡) βŠ† ℝ)
3837sselda 3942 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3914adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
40 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡))
41 iocgtlb 43672 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ 𝐢 < π‘₯)
4233, 39, 40, 41syl3anc 1371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ 𝐢 < π‘₯)
4338ltpnfd 13034 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ < +∞)
4433, 34, 38, 42, 43eliood 43668 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐢(,)+∞))
4526adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4638rexrd 11201 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
47 iocopn.alec . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐢)
4847adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ 𝐢)
4945, 33, 46, 48, 42xrlelttrd 13071 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ 𝐴 < π‘₯)
50 iocleub 43673 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
5133, 39, 40, 50syl3anc 1371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
5245, 39, 46, 49, 51eliocd 43677 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡))
5344, 52elind 4152 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)))
5432, 53impbida 799 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)) ↔ π‘₯ ∈ (𝐢(,]𝐡)))
5554eqrdv 2734 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐢(,)+∞) ∩ (𝐴(,]𝐡)) = (𝐢(,]𝐡))
56 iocopn.j . . . 4 𝐽 = (𝐾 β†Ύt (𝐴(,]𝐡))
5756eqcomi 2745 . . 3 (𝐾 β†Ύt (𝐴(,]𝐡)) = 𝐽
5857a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴(,]𝐡)) = 𝐽)
5910, 55, 583eltr3d 2852 1 (πœ‘ β†’ (𝐢(,]𝐡) ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3443   ∩ cin 3907   βŠ† wss 3908   class class class wbr 5103  ran crn 5632  β€˜cfv 6493  (class class class)co 7353  β„cr 11046  +∞cpnf 11182  β„*cxr 11184   < clt 11185   ≀ cle 11186  (,)cioo 13256  (,]cioc 13257   β†Ύt crest 17294  topGenctg 17311  Topctop 22226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9374  df-inf 9375  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-q 12866  df-ioo 13260  df-ioc 13261  df-rest 17296  df-topgen 17317  df-top 22227  df-bases 22280
This theorem is referenced by:  fouriersw  44404
  Copyright terms: Public domain W3C validator