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Theorem fourierdlem46 44383
Description: The function 𝐹 has a limit at the bounds of every interval induced by the partition 𝑄. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem46.cn (𝜑𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
fourierdlem46.rlim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem46.llim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem46.qiso (𝜑𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
fourierdlem46.qf (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻)
fourierdlem46.i (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
fourierdlem46.10 (𝜑 → (𝑄𝐼) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
fourierdlem46.qiss (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (-π(,)π))
fourierdlem46.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem46.h 𝐻 = ({-π, π, 𝐶} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹))
fourierdlem46.ranq (𝜑 → ran 𝑄 = 𝐻)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem46 (𝜑 → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅ ∧ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem46
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem46.h . . . . . . . . 9 𝐻 = ({-π, π, 𝐶} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹))
2 pire 25815 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ
32a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → π ∈ ℝ)
43renegcld 11582 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
5 fourierdlem46.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6 tpssi 4796 . . . . . . . . . . 11 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {-π, π, 𝐶} ⊆ ℝ)
74, 3, 5, 6syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {-π, π, 𝐶} ⊆ ℝ)
84, 3iccssred 13351 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
98ssdifssd 4102 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹) ⊆ ℝ)
107, 9unssd 4146 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ({-π, π, 𝐶} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹)) ⊆ ℝ)
111, 10eqsstrid 3992 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ⊆ ℝ)
12 fourierdlem46.qf . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻)
13 fourierdlem46.i . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
14 elfzofz 13588 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝑀))
1612, 15ffvelcdmd 7036 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ 𝐻)
1711, 16sseldd 3945 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ)
1817adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ)
19 fzofzp1 13669 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
2013, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
2112, 20ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ 𝐻)
2211, 21sseldd 3945 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
2322rexrd 11205 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
2423adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
25 fourierdlem46.10 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄𝐼) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
2625adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
27 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 = (𝑄𝐼))
28 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹𝑥 = (𝑄𝐼)) → (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹)
2927, 28eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
3029adantll 712 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
3130adantlr 713 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
32 ssun2 4133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹) ⊆ ({-π, π, 𝐶} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹))
3332, 1sseqtrri 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹) ⊆ 𝐻
34 fourierdlem46.qiss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (-π(,)π))
35 ioossicc 13350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π)
3634, 35sstrdi 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
3736sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ (-π[,]π))
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑥 ∈ (-π[,]π))
39 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹)
4038, 39eldifd 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑥 ∈ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹))
4133, 40sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑥𝐻)
42 fourierdlem46.ranq . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ran 𝑄 = 𝐻)
4342eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐻 = ran 𝑄)
4443ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝐻 = ran 𝑄)
4541, 44eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑥 ∈ ran 𝑄)
46 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝑄) → 𝑥 ∈ ran 𝑄)
47 ffn 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻𝑄 Fn (0...𝑀))
4812, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑄 Fn (0...𝑀))
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝑄) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
50 fvelrnb 6903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑄 Fn (0...𝑀) → (𝑥 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = 𝑥))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝑄) → (𝑥 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = 𝑥))
5246, 51mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝑄) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = 𝑥)
5352adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝑄) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = 𝑥)
54 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
5554ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → 𝑗 ∈ ℤ)
56 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → 𝜑)
57 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
58 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → (𝑄𝑗) = 𝑥)
59 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
6058, 59eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
6160adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
62 elfzoelz 13572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
6313, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
6463ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ∈ ℤ)
6517rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
6665ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
6723ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
68 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
69 ioogtlb 43723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) < (𝑄𝑗))
7066, 67, 68, 69syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) < (𝑄𝑗))
71 fourierdlem46.qiso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
7271ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
7315ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
74 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
75 isorel 7271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (𝐼 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀))) → (𝐼 < 𝑗 ↔ (𝑄𝐼) < (𝑄𝑗)))
7672, 73, 74, 75syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝐼 < 𝑗 ↔ (𝑄𝐼) < (𝑄𝑗)))
7770, 76mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐼 < 𝑗)
78 iooltub 43738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝑗) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
7966, 67, 68, 78syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝑗) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
8020ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
81 isorel 7271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))) → (𝑗 < (𝐼 + 1) ↔ (𝑄𝑗) < (𝑄‘(𝐼 + 1))))
8272, 74, 80, 81syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑗 < (𝐼 + 1) ↔ (𝑄𝑗) < (𝑄‘(𝐼 + 1))))
8379, 82mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑗 < (𝐼 + 1))
84 btwnnz 12579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝑗𝑗 < (𝐼 + 1)) → ¬ 𝑗 ∈ ℤ)
8564, 77, 83, 84syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑗 ∈ ℤ)
8656, 57, 61, 85syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → ¬ 𝑗 ∈ ℤ)
8786adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → ¬ 𝑗 ∈ ℤ)
8855, 87pm2.65da 815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ¬ (𝑄𝑗) = 𝑥)
8988nrexdv 3146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝑄) → ¬ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = 𝑥)
9053, 89pm2.65da 815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑥 ∈ ran 𝑄)
9190adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → ¬ 𝑥 ∈ ran 𝑄)
9245, 91condan 816 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
9392ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ dom 𝐹)
94 dfss3 3932 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ dom 𝐹)
9593, 94sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
9695ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
9765ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
9823ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
99 icossre 13345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ℝ)
10017, 23, 99syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ℝ)
101100sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
102101adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10317ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ)
10465adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
10523adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
106 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
107 icogelb 13315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) ≤ 𝑥)
108104, 105, 106, 107syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) ≤ 𝑥)
109108adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → (𝑄𝐼) ≤ 𝑥)
110 neqne 2951 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 = (𝑄𝐼) → 𝑥 ≠ (𝑄𝐼))
111110adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ≠ (𝑄𝐼))
112103, 102, 109, 111leneltd 11309 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → (𝑄𝐼) < 𝑥)
113 icoltub 43736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
114104, 105, 106, 113syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
115114adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
11697, 98, 102, 112, 115eliood 43726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
11796, 116sseldd 3945 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
118117adantllr 717 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
11931, 118pm2.61dan 811 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
120119ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ dom 𝐹)
121 dfss3 3932 . . . . . . . 8 (((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ dom 𝐹)
122120, 121sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
123 fourierdlem46.cn . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
124123adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → 𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
125 rescncf 24260 . . . . . . 7 (((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹 → (𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∈ (((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))–cn→ℂ)))
126122, 124, 125sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∈ (((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))–cn→ℂ))
12718, 24, 26, 126icocncflimc 44120 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄𝐼)) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)))
12817leidd 11721 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄𝐼) ≤ (𝑄𝐼))
12965, 23, 65, 128, 25elicod 13314 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
130 fvres 6861 . . . . . . . 8 ((𝑄𝐼) ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄𝐼)) = (𝐹‘(𝑄𝐼)))
131129, 130syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄𝐼)) = (𝐹‘(𝑄𝐼)))
132131eqcomd 2742 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘(𝑄𝐼)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄𝐼)))
133132adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘(𝑄𝐼)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄𝐼)))
134 ioossico 13355 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))
135134a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
136135resabs1d 5968 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
137136eqcomd 2742 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
138137oveq1d 7372 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) = (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)))
139127, 133, 1383eltr4d 2853 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘(𝑄𝐼)) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)))
140139ne0d 4295 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)
141 pnfxr 11209 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
142141a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
14322ltpnfd 13042 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < +∞)
14423, 142, 143xrltled 13069 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ +∞)
145 iooss2 13300 . . . . . . . . 9 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ +∞) → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,)+∞))
146141, 144, 145sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,)+∞))
147146resabs1d 5968 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
148147oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)))
149148eqcomd 2742 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) = (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)))
150149adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) = (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)))
151 limcresi 25249 . . . . 5 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ⊆ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼))
15217adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ)
153 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → 𝜑)
1542renegcli 11462 . . . . . . . . . . . 12 -π ∈ ℝ
155154rexri 11213 . . . . . . . . . . 11 -π ∈ ℝ*
156155a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π ∈ ℝ*)
1572rexri 11213 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ*
158157a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → π ∈ ℝ*)
1594, 3, 17, 22, 25, 34fourierdlem10 44348 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-π ≤ (𝑄𝐼) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ π))
160159simpld 495 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π ≤ (𝑄𝐼))
161159simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ π)
16217, 22, 3, 25, 161ltletrd 11315 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄𝐼) < π)
163156, 158, 65, 160, 162elicod 13314 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ (-π[,)π))
164163adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) ∈ (-π[,)π))
165 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹)
166164, 165eldifd 3921 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹))
167153, 166jca 512 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)))
168 eleq1 2825 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑄𝐼) → (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹) ↔ (𝑄𝐼) ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)))
169168anbi2d 629 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑄𝐼) → ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹))))
170 oveq1 7364 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑄𝐼) → (𝑥(,)+∞) = ((𝑄𝐼)(,)+∞))
171170reseq2d 5937 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑄𝐼) → (𝐹 ↾ (𝑥(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)))
172 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑄𝐼) → 𝑥 = (𝑄𝐼))
173171, 172oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑄𝐼) → ((𝐹 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)))
174173neeq1d 3003 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑄𝐼) → (((𝐹 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅ ↔ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅))
175169, 174imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑄𝐼) → (((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)))
176 fourierdlem46.rlim . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
177175, 176vtoclg 3525 . . . . . 6 ((𝑄𝐼) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅))
178152, 167, 177sylc 65 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)
179 ssn0 4360 . . . . 5 ((((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ⊆ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ∧ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅) → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)
180151, 178, 179sylancr 587 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)
181150, 180eqnetrd 3011 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)
182140, 181pm2.61dan 811 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)
18365adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
18422adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
18525adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
186 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
187 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹)
188186, 187eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
189188adantll 712 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
190189adantlr 713 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
19195ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
19265ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
19323ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
19465adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
19522adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
196 iocssre 13344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) → ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ℝ)
197194, 195, 196syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ℝ)
198 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))
199197, 198sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
200199adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
20123adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
202 iocgtlb 43730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) < 𝑥)
203194, 201, 198, 202syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) < 𝑥)
204203adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄𝐼) < 𝑥)
20522ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
206 iocleub 43731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
207194, 201, 198, 206syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
208207adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
209 neqne 2951 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → 𝑥 ≠ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
210209necomd 2999 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ 𝑥)
211210adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ 𝑥)
212200, 205, 208, 211leneltd 11309 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
213192, 193, 200, 204, 212eliood 43726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
214191, 213sseldd 3945 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
215214adantllr 717 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
216190, 215pm2.61dan 811 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
217216ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ dom 𝐹)
218 dfss3 3932 . . . . . . . 8 (((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ dom 𝐹)
219217, 218sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
220123adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → 𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
221 rescncf 24260 . . . . . . 7 (((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹 → (𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∈ (((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))–cn→ℂ)))
222219, 220, 221sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∈ (((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))–cn→ℂ))
223183, 184, 185, 222ioccncflimc 44116 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))))
22422leidd 11721 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
22565, 23, 23, 25, 224eliocd 43735 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))
226 fvres 6861 . . . . . . . . 9 ((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) = (𝐹‘(𝑄‘(𝐼 + 1))))
227225, 226syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) = (𝐹‘(𝑄‘(𝐼 + 1))))
228227eqcomd 2742 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄‘(𝐼 + 1))))
229 ioossioc 43720 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))
230 resabs1 5967 . . . . . . . . . . 11 (((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
231229, 230ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
232231eqcomi 2745 . . . . . . . . 9 (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
233232oveq1i 7367 . . . . . . . 8 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) = (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1)))
234233a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) = (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))))
235228, 234eleq12d 2832 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ↔ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1)))))
236235adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ↔ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1)))))
237223, 236mpbird 256 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))))
238237ne0d 4295 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)
239 mnfxr 11212 . . . . . . . . 9 -∞ ∈ ℝ*
240239a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
24117mnfltd 13045 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -∞ < (𝑄𝐼))
242240, 65, 241xrltled 13069 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -∞ ≤ (𝑄𝐼))
243 iooss1 13299 . . . . . . . . 9 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝑄𝐼)) → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
244239, 242, 243sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
245244resabs1d 5968 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
246245eqcomd 2742 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
247246adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
248247oveq1d 7372 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) = (((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))))
249 limcresi 25249 . . . . 5 ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1)))
25022adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
251 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → 𝜑)
252155a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → -π ∈ ℝ*)
253157a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → π ∈ ℝ*)
25423adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
2554, 17, 22, 160, 25lelttrd 11313 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
256255adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → -π < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
257161adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ π)
258252, 253, 254, 256, 257eliocd 43735 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (-π(,]π))
259 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹)
260258, 259eldifd 3921 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹))
261251, 260jca 512 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)))
262 eleq1 2825 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹) ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)))
263262anbi2d 629 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹))))
264 oveq2 7365 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
265264reseq2d 5937 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑥)) = (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
266 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
267265, 266oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))))
268267neeq1d 3003 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅ ↔ ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅))
269263, 268imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → (((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)))
270 fourierdlem46.llim . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
271269, 270vtoclg 3525 . . . . . 6 ((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅))
272250, 261, 271sylc 65 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)
273 ssn0 4360 . . . . 5 ((((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ∧ ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅) → (((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)
274249, 272, 273sylancr 587 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)
275248, 274eqnetrd 3011 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)
276238, 275pm2.61dan 811 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)
277182, 276jca 512 1 (𝜑 → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅ ∧ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  cdif 3907  cun 3908  wss 3910  c0 4282  {ctp 4590   class class class wbr 5105  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496   Isom wiso 6497  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  +∞cpnf 11186  -∞cmnf 11187  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  -cneg 11386  cz 12499  (,)cioo 13264  (,]cioc 13265  [,)cico 13266  [,]cicc 13267  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567  πcpi 15949  cnccncf 24239   lim climc 25226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231
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