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Theorem fourierdlem46 46167
Description: The function 𝐹 has a limit at the bounds of every interval induced by the partition 𝑄. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem46.cn (𝜑𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
fourierdlem46.rlim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem46.llim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem46.qiso (𝜑𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
fourierdlem46.qf (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻)
fourierdlem46.i (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
fourierdlem46.10 (𝜑 → (𝑄𝐼) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
fourierdlem46.qiss (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (-π(,)π))
fourierdlem46.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem46.h 𝐻 = ({-π, π, 𝐶} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹))
fourierdlem46.ranq (𝜑 → ran 𝑄 = 𝐻)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem46 (𝜑 → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅ ∧ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem46
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem46.h . . . . . . . . 9 𝐻 = ({-π, π, 𝐶} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹))
2 pire 26500 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ
32a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → π ∈ ℝ)
43renegcld 11690 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
5 fourierdlem46.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6 tpssi 4838 . . . . . . . . . . 11 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {-π, π, 𝐶} ⊆ ℝ)
74, 3, 5, 6syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {-π, π, 𝐶} ⊆ ℝ)
84, 3iccssred 13474 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
98ssdifssd 4147 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹) ⊆ ℝ)
107, 9unssd 4192 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ({-π, π, 𝐶} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹)) ⊆ ℝ)
111, 10eqsstrid 4022 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ⊆ ℝ)
12 fourierdlem46.qf . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻)
13 fourierdlem46.i . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
14 elfzofz 13715 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝑀))
1612, 15ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ 𝐻)
1711, 16sseldd 3984 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ)
1817adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ)
19 fzofzp1 13803 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
2013, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
2112, 20ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ 𝐻)
2211, 21sseldd 3984 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
2322rexrd 11311 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
2423adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
25 fourierdlem46.10 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄𝐼) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
2625adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
27 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 = (𝑄𝐼))
28 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹𝑥 = (𝑄𝐼)) → (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹)
2927, 28eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
3029adantll 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
3130adantlr 715 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
32 ssun2 4179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹) ⊆ ({-π, π, 𝐶} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹))
3332, 1sseqtrri 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹) ⊆ 𝐻
34 fourierdlem46.qiss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (-π(,)π))
35 ioossicc 13473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π)
3634, 35sstrdi 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
3736sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ (-π[,]π))
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑥 ∈ (-π[,]π))
39 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹)
4038, 39eldifd 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑥 ∈ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹))
4133, 40sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑥𝐻)
42 fourierdlem46.ranq . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ran 𝑄 = 𝐻)
4342eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐻 = ran 𝑄)
4443ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝐻 = ran 𝑄)
4541, 44eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑥 ∈ ran 𝑄)
46 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝑄) → 𝑥 ∈ ran 𝑄)
47 ffn 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻𝑄 Fn (0...𝑀))
4812, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑄 Fn (0...𝑀))
4948adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝑄) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
50 fvelrnb 6969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑄 Fn (0...𝑀) → (𝑥 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = 𝑥))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝑄) → (𝑥 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = 𝑥))
5246, 51mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝑄) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = 𝑥)
5352adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝑄) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = 𝑥)
54 elfzelz 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
5554ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → 𝑗 ∈ ℤ)
56 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → 𝜑)
57 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
58 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → (𝑄𝑗) = 𝑥)
59 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
6058, 59eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
6160adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
62 elfzoelz 13699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
6313, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
6463ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ∈ ℤ)
6517rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
6665ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
6723ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
68 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
69 ioogtlb 45508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) < (𝑄𝑗))
7066, 67, 68, 69syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) < (𝑄𝑗))
71 fourierdlem46.qiso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
7271ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
7315ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
74 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
75 isorel 7346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (𝐼 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀))) → (𝐼 < 𝑗 ↔ (𝑄𝐼) < (𝑄𝑗)))
7672, 73, 74, 75syl12anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝐼 < 𝑗 ↔ (𝑄𝐼) < (𝑄𝑗)))
7770, 76mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐼 < 𝑗)
78 iooltub 45523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝑗) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
7966, 67, 68, 78syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝑗) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
8020ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
81 isorel 7346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))) → (𝑗 < (𝐼 + 1) ↔ (𝑄𝑗) < (𝑄‘(𝐼 + 1))))
8272, 74, 80, 81syl12anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑗 < (𝐼 + 1) ↔ (𝑄𝑗) < (𝑄‘(𝐼 + 1))))
8379, 82mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑗 < (𝐼 + 1))
84 btwnnz 12694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝑗𝑗 < (𝐼 + 1)) → ¬ 𝑗 ∈ ℤ)
8564, 77, 83, 84syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑗 ∈ ℤ)
8656, 57, 61, 85syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → ¬ 𝑗 ∈ ℤ)
8786adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → ¬ 𝑗 ∈ ℤ)
8855, 87pm2.65da 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ¬ (𝑄𝑗) = 𝑥)
8988nrexdv 3149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝑄) → ¬ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = 𝑥)
9053, 89pm2.65da 817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑥 ∈ ran 𝑄)
9190adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → ¬ 𝑥 ∈ ran 𝑄)
9245, 91condan 818 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
9392ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ dom 𝐹)
94 dfss3 3972 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ dom 𝐹)
9593, 94sylibr 234 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
9695ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
9765ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
9823ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
99 icossre 13468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ℝ)
10017, 23, 99syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ℝ)
101100sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
102101adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10317ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ)
10465adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
10523adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
106 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
107 icogelb 13438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) ≤ 𝑥)
108104, 105, 106, 107syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) ≤ 𝑥)
109108adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → (𝑄𝐼) ≤ 𝑥)
110 neqne 2948 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 = (𝑄𝐼) → 𝑥 ≠ (𝑄𝐼))
111110adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ≠ (𝑄𝐼))
112103, 102, 109, 111leneltd 11415 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → (𝑄𝐼) < 𝑥)
113 icoltub 45521 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
114104, 105, 106, 113syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
115114adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
11697, 98, 102, 112, 115eliood 45511 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
11796, 116sseldd 3984 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
118117adantllr 719 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
11931, 118pm2.61dan 813 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
120119ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ dom 𝐹)
121 dfss3 3972 . . . . . . . 8 (((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ dom 𝐹)
122120, 121sylibr 234 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
123 fourierdlem46.cn . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
124123adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → 𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
125 rescncf 24923 . . . . . . 7 (((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹 → (𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∈ (((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))–cn→ℂ)))
126122, 124, 125sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∈ (((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))–cn→ℂ))
12718, 24, 26, 126icocncflimc 45904 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄𝐼)) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)))
12817leidd 11829 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄𝐼) ≤ (𝑄𝐼))
12965, 23, 65, 128, 25elicod 13437 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
130 fvres 6925 . . . . . . . 8 ((𝑄𝐼) ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄𝐼)) = (𝐹‘(𝑄𝐼)))
131129, 130syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄𝐼)) = (𝐹‘(𝑄𝐼)))
132131eqcomd 2743 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘(𝑄𝐼)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄𝐼)))
133132adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘(𝑄𝐼)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄𝐼)))
134 ioossico 13478 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))
135134a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
136135resabs1d 6026 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
137136eqcomd 2743 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
138137oveq1d 7446 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) = (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)))
139127, 133, 1383eltr4d 2856 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘(𝑄𝐼)) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)))
140139ne0d 4342 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)
141 pnfxr 11315 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
142141a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
14322ltpnfd 13163 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < +∞)
14423, 142, 143xrltled 13192 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ +∞)
145 iooss2 13423 . . . . . . . . 9 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ +∞) → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,)+∞))
146141, 144, 145sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,)+∞))
147146resabs1d 6026 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
148147oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)))
149148eqcomd 2743 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) = (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)))
150149adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) = (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)))
151 limcresi 25920 . . . . 5 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ⊆ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼))
15217adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ)
153 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → 𝜑)
1542renegcli 11570 . . . . . . . . . . . 12 -π ∈ ℝ
155154rexri 11319 . . . . . . . . . . 11 -π ∈ ℝ*
156155a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π ∈ ℝ*)
1572rexri 11319 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ*
158157a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → π ∈ ℝ*)
1594, 3, 17, 22, 25, 34fourierdlem10 46132 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-π ≤ (𝑄𝐼) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ π))
160159simpld 494 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π ≤ (𝑄𝐼))
161159simprd 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ π)
16217, 22, 3, 25, 161ltletrd 11421 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄𝐼) < π)
163156, 158, 65, 160, 162elicod 13437 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ (-π[,)π))
164163adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) ∈ (-π[,)π))
165 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹)
166164, 165eldifd 3962 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹))
167153, 166jca 511 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)))
168 eleq1 2829 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑄𝐼) → (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹) ↔ (𝑄𝐼) ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)))
169168anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑄𝐼) → ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹))))
170 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑄𝐼) → (𝑥(,)+∞) = ((𝑄𝐼)(,)+∞))
171170reseq2d 5997 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑄𝐼) → (𝐹 ↾ (𝑥(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)))
172 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑄𝐼) → 𝑥 = (𝑄𝐼))
173171, 172oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑄𝐼) → ((𝐹 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)))
174173neeq1d 3000 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑄𝐼) → (((𝐹 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅ ↔ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅))
175169, 174imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑄𝐼) → (((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)))
176 fourierdlem46.rlim . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
177175, 176vtoclg 3554 . . . . . 6 ((𝑄𝐼) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅))
178152, 167, 177sylc 65 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)
179 ssn0 4404 . . . . 5 ((((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ⊆ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ∧ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅) → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)
180151, 178, 179sylancr 587 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)
181150, 180eqnetrd 3008 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)
182140, 181pm2.61dan 813 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)
18365adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
18422adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
18525adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
186 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
187 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹)
188186, 187eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
189188adantll 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
190189adantlr 715 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
19195ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
19265ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
19323ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
19465adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
19522adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
196 iocssre 13467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) → ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ℝ)
197194, 195, 196syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ℝ)
198 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))
199197, 198sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
200199adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
20123adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
202 iocgtlb 45515 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) < 𝑥)
203194, 201, 198, 202syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) < 𝑥)
204203adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄𝐼) < 𝑥)
20522ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
206 iocleub 45516 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
207194, 201, 198, 206syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
208207adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
209 neqne 2948 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → 𝑥 ≠ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
210209necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ 𝑥)
211210adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ 𝑥)
212200, 205, 208, 211leneltd 11415 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
213192, 193, 200, 204, 212eliood 45511 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
214191, 213sseldd 3984 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
215214adantllr 719 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
216190, 215pm2.61dan 813 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
217216ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ dom 𝐹)
218 dfss3 3972 . . . . . . . 8 (((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ dom 𝐹)
219217, 218sylibr 234 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
220123adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → 𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
221 rescncf 24923 . . . . . . 7 (((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹 → (𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∈ (((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))–cn→ℂ)))
222219, 220, 221sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∈ (((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))–cn→ℂ))
223183, 184, 185, 222ioccncflimc 45900 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))))
22422leidd 11829 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
22565, 23, 23, 25, 224eliocd 45520 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))
226 fvres 6925 . . . . . . . . 9 ((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) = (𝐹‘(𝑄‘(𝐼 + 1))))
227225, 226syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) = (𝐹‘(𝑄‘(𝐼 + 1))))
228227eqcomd 2743 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄‘(𝐼 + 1))))
229 ioossioc 45505 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))
230 resabs1 6024 . . . . . . . . . . 11 (((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
231229, 230ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
232231eqcomi 2746 . . . . . . . . 9 (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
233232oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) = (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1)))
234233a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) = (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))))
235228, 234eleq12d 2835 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ↔ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1)))))
236235adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ↔ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1)))))
237223, 236mpbird 257 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))))
238237ne0d 4342 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)
239 mnfxr 11318 . . . . . . . . 9 -∞ ∈ ℝ*
240239a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
24117mnfltd 13166 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -∞ < (𝑄𝐼))
242240, 65, 241xrltled 13192 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -∞ ≤ (𝑄𝐼))
243 iooss1 13422 . . . . . . . . 9 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝑄𝐼)) → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
244239, 242, 243sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
245244resabs1d 6026 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
246245eqcomd 2743 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
247246adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
248247oveq1d 7446 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) = (((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))))
249 limcresi 25920 . . . . 5 ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1)))
25022adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
251 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → 𝜑)
252155a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → -π ∈ ℝ*)
253157a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → π ∈ ℝ*)
25423adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
2554, 17, 22, 160, 25lelttrd 11419 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
256255adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → -π < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
257161adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ π)
258252, 253, 254, 256, 257eliocd 45520 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (-π(,]π))
259 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹)
260258, 259eldifd 3962 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹))
261251, 260jca 511 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)))
262 eleq1 2829 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹) ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)))
263262anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹))))
264 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
265264reseq2d 5997 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑥)) = (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
266 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
267265, 266oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))))
268267neeq1d 3000 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅ ↔ ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅))
269263, 268imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → (((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)))
270 fourierdlem46.llim . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
271269, 270vtoclg 3554 . . . . . 6 ((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅))
272250, 261, 271sylc 65 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)
273 ssn0 4404 . . . . 5 ((((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ∧ ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅) → (((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)
274249, 272, 273sylancr 587 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)
275248, 274eqnetrd 3008 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)
276238, 275pm2.61dan 813 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)
277182, 276jca 511 1 (𝜑 → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅ ∧ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  cdif 3948  cun 3949  wss 3951  c0 4333  {ctp 4630   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561   Isom wiso 6562  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  -cneg 11493  cz 12613  (,)cioo 13387  (,]cioc 13388  [,)cico 13389  [,]cicc 13390  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  πcpi 16102  cnccncf 24902   lim climc 25897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902
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