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Theorem fourierdlem46 41979
Description: The function 𝐹 has a limit at the bounds of every interval induced by the partition 𝑄. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem46.cn (𝜑𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
fourierdlem46.rlim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem46.llim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem46.qiso (𝜑𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
fourierdlem46.qf (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻)
fourierdlem46.i (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
fourierdlem46.10 (𝜑 → (𝑄𝐼) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
fourierdlem46.qiss (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (-π(,)π))
fourierdlem46.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem46.h 𝐻 = ({-π, π, 𝐶} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹))
fourierdlem46.ranq (𝜑 → ran 𝑄 = 𝐻)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem46 (𝜑 → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅ ∧ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem46
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem46.h . . . . . . . . 9 𝐻 = ({-π, π, 𝐶} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹))
2 pire 24727 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ
32a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → π ∈ ℝ)
43renegcld 10915 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
5 fourierdlem46.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6 tpssi 4676 . . . . . . . . . . 11 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {-π, π, 𝐶} ⊆ ℝ)
74, 3, 5, 6syl3anc 1364 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {-π, π, 𝐶} ⊆ ℝ)
84, 3iccssred 41322 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
98ssdifssd 4040 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹) ⊆ ℝ)
107, 9unssd 4083 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ({-π, π, 𝐶} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹)) ⊆ ℝ)
111, 10syl5eqss 3936 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ⊆ ℝ)
12 fourierdlem46.qf . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻)
13 fourierdlem46.i . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
14 elfzofz 12903 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝑀))
1612, 15ffvelrnd 6717 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ 𝐻)
1711, 16sseldd 3890 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ)
1817adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ)
19 fzofzp1 12984 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
2013, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
2112, 20ffvelrnd 6717 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ 𝐻)
2211, 21sseldd 3890 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
2322rexrd 10537 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
2423adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
25 fourierdlem46.10 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄𝐼) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
2625adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
27 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 = (𝑄𝐼))
28 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹𝑥 = (𝑄𝐼)) → (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹)
2927, 28eqeltrd 2883 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
3029adantll 710 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
3130adantlr 711 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
32 ssun2 4070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹) ⊆ ({-π, π, 𝐶} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹))
3332, 1sseqtr4i 3925 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹) ⊆ 𝐻
34 fourierdlem46.qiss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (-π(,)π))
35 ioossicc 12672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π)
3634, 35syl6ss 3901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
3736sselda 3889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ (-π[,]π))
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑥 ∈ (-π[,]π))
39 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹)
4038, 39eldifd 3870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑥 ∈ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹))
4133, 40sseldi 3887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑥𝐻)
42 fourierdlem46.ranq . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ran 𝑄 = 𝐻)
4342eqcomd 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐻 = ran 𝑄)
4443ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝐻 = ran 𝑄)
4541, 44eleqtrd 2885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑥 ∈ ran 𝑄)
46 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝑄) → 𝑥 ∈ ran 𝑄)
47 ffn 6382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻𝑄 Fn (0...𝑀))
4812, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑄 Fn (0...𝑀))
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝑄) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
50 fvelrnb 6594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑄 Fn (0...𝑀) → (𝑥 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = 𝑥))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝑄) → (𝑥 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = 𝑥))
5246, 51mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝑄) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = 𝑥)
5352adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝑄) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = 𝑥)
54 elfzelz 12758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
5554ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → 𝑗 ∈ ℤ)
56 simplll 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → 𝜑)
57 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
58 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → (𝑄𝑗) = 𝑥)
59 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
6058, 59eqeltrd 2883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
6160adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
62 elfzoelz 12888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
6313, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
6463ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ∈ ℤ)
6517rexrd 10537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
6665ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
6723ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
68 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
69 ioogtlb 41312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) < (𝑄𝑗))
7066, 67, 68, 69syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) < (𝑄𝑗))
71 fourierdlem46.qiso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
7271ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
7315ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
74 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
75 isorel 6942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (𝐼 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀))) → (𝐼 < 𝑗 ↔ (𝑄𝐼) < (𝑄𝑗)))
7672, 73, 74, 75syl12anc 833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝐼 < 𝑗 ↔ (𝑄𝐼) < (𝑄𝑗)))
7770, 76mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐼 < 𝑗)
78 iooltub 41328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝑗) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
7966, 67, 68, 78syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝑗) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
8020ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
81 isorel 6942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))) → (𝑗 < (𝐼 + 1) ↔ (𝑄𝑗) < (𝑄‘(𝐼 + 1))))
8272, 74, 80, 81syl12anc 833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑗 < (𝐼 + 1) ↔ (𝑄𝑗) < (𝑄‘(𝐼 + 1))))
8379, 82mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑗 < (𝐼 + 1))
84 btwnnz 11907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝑗𝑗 < (𝐼 + 1)) → ¬ 𝑗 ∈ ℤ)
8564, 77, 83, 84syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑗 ∈ ℤ)
8656, 57, 61, 85syl21anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → ¬ 𝑗 ∈ ℤ)
8786adantllr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → ¬ 𝑗 ∈ ℤ)
8855, 87pm2.65da 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ¬ (𝑄𝑗) = 𝑥)
8988nrexdv 3233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝑄) → ¬ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = 𝑥)
9053, 89pm2.65da 813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑥 ∈ ran 𝑄)
9190adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → ¬ 𝑥 ∈ ran 𝑄)
9245, 91condan 814 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
9392ralrimiva 3149 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ dom 𝐹)
94 dfss3 3878 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ dom 𝐹)
9593, 94sylibr 235 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
9695ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
9765ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
9823ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
99 icossre 12667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ℝ)
10017, 23, 99syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ℝ)
101100sselda 3889 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
102101adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10317ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ)
10465adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
10523adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
106 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
107 icogelb 12638 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) ≤ 𝑥)
108104, 105, 106, 107syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) ≤ 𝑥)
109108adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → (𝑄𝐼) ≤ 𝑥)
110 neqne 2992 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 = (𝑄𝐼) → 𝑥 ≠ (𝑄𝐼))
111110adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ≠ (𝑄𝐼))
112103, 102, 109, 111leneltd 10641 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → (𝑄𝐼) < 𝑥)
113 icoltub 41326 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
114104, 105, 106, 113syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
115114adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
11697, 98, 102, 112, 115eliood 41315 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
11796, 116sseldd 3890 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
118117adantllr 715 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
11931, 118pm2.61dan 809 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
120119ralrimiva 3149 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ dom 𝐹)
121 dfss3 3878 . . . . . . . 8 (((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ dom 𝐹)
122120, 121sylibr 235 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
123 fourierdlem46.cn . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
124123adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → 𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
125 rescncf 23188 . . . . . . 7 (((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹 → (𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∈ (((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))–cn→ℂ)))
126122, 124, 125sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∈ (((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))–cn→ℂ))
12718, 24, 26, 126icocncflimc 41713 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄𝐼)) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)))
12817leidd 11054 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄𝐼) ≤ (𝑄𝐼))
12965, 23, 65, 128, 25elicod 12637 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
130 fvres 6557 . . . . . . . 8 ((𝑄𝐼) ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄𝐼)) = (𝐹‘(𝑄𝐼)))
131129, 130syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄𝐼)) = (𝐹‘(𝑄𝐼)))
132131eqcomd 2801 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘(𝑄𝐼)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄𝐼)))
133132adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘(𝑄𝐼)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄𝐼)))
134 ioossico 12676 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))
135134a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
136135resabs1d 5765 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
137136eqcomd 2801 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
138137oveq1d 7031 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) = (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)))
139127, 133, 1383eltr4d 2898 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘(𝑄𝐼)) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)))
140139ne0d 4221 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)
141 pnfxr 10541 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
142141a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
14322ltpnfd 12366 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < +∞)
14423, 142, 143xrltled 12393 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ +∞)
145 iooss2 12624 . . . . . . . . 9 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ +∞) → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,)+∞))
146141, 144, 145sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,)+∞))
147146resabs1d 5765 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
148147oveq1d 7031 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)))
149148eqcomd 2801 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) = (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)))
150149adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) = (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)))
151 limcresi 24166 . . . . 5 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ⊆ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼))
15217adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ)
153 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → 𝜑)
1542renegcli 10795 . . . . . . . . . . . 12 -π ∈ ℝ
155154rexri 10546 . . . . . . . . . . 11 -π ∈ ℝ*
156155a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π ∈ ℝ*)
1572rexri 10546 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ*
158157a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → π ∈ ℝ*)
1594, 3, 17, 22, 25, 34fourierdlem10 41944 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-π ≤ (𝑄𝐼) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ π))
160159simpld 495 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π ≤ (𝑄𝐼))
161159simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ π)
16217, 22, 3, 25, 161ltletrd 10647 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄𝐼) < π)
163156, 158, 65, 160, 162elicod 12637 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ (-π[,)π))
164163adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) ∈ (-π[,)π))
165 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹)
166164, 165eldifd 3870 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹))
167153, 166jca 512 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)))
168 eleq1 2870 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑄𝐼) → (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹) ↔ (𝑄𝐼) ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)))
169168anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑄𝐼) → ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹))))
170 oveq1 7023 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑄𝐼) → (𝑥(,)+∞) = ((𝑄𝐼)(,)+∞))
171170reseq2d 5734 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑄𝐼) → (𝐹 ↾ (𝑥(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)))
172 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑄𝐼) → 𝑥 = (𝑄𝐼))
173171, 172oveq12d 7034 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑄𝐼) → ((𝐹 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)))
174173neeq1d 3043 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑄𝐼) → (((𝐹 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅ ↔ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅))
175169, 174imbi12d 346 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑄𝐼) → (((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)))
176 fourierdlem46.rlim . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
177175, 176vtoclg 3510 . . . . . 6 ((𝑄𝐼) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅))
178152, 167, 177sylc 65 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)
179 ssn0 4274 . . . . 5 ((((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ⊆ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ∧ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅) → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)
180151, 178, 179sylancr 587 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)
181150, 180eqnetrd 3051 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)
182140, 181pm2.61dan 809 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)
18365adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
18422adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
18525adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
186 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
187 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹)
188186, 187eqeltrd 2883 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
189188adantll 710 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
190189adantlr 711 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
19195ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
19265ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
19323ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
19465adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
19522adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
196 iocssre 12666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) → ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ℝ)
197194, 195, 196syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ℝ)
198 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))
199197, 198sseldd 3890 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
200199adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
20123adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
202 iocgtlb 41319 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) < 𝑥)
203194, 201, 198, 202syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) < 𝑥)
204203adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄𝐼) < 𝑥)
20522ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
206 iocleub 41320 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
207194, 201, 198, 206syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
208207adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
209 neqne 2992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → 𝑥 ≠ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
210209necomd 3039 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ 𝑥)
211210adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ 𝑥)
212200, 205, 208, 211leneltd 10641 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
213192, 193, 200, 204, 212eliood 41315 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
214191, 213sseldd 3890 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
215214adantllr 715 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
216190, 215pm2.61dan 809 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
217216ralrimiva 3149 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ dom 𝐹)
218 dfss3 3878 . . . . . . . 8 (((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ dom 𝐹)
219217, 218sylibr 235 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
220123adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → 𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
221 rescncf 23188 . . . . . . 7 (((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹 → (𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∈ (((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))–cn→ℂ)))
222219, 220, 221sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∈ (((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))–cn→ℂ))
223183, 184, 185, 222ioccncflimc 41709 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))))
22422leidd 11054 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
22565, 23, 23, 25, 224eliocd 41325 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))
226 fvres 6557 . . . . . . . . 9 ((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) = (𝐹‘(𝑄‘(𝐼 + 1))))
227225, 226syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) = (𝐹‘(𝑄‘(𝐼 + 1))))
228227eqcomd 2801 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄‘(𝐼 + 1))))
229 ioossioc 41308 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))
230 resabs1 5764 . . . . . . . . . . 11 (((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
231229, 230ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
232231eqcomi 2804 . . . . . . . . 9 (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
233232oveq1i 7026 . . . . . . . 8 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) = (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1)))
234233a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) = (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))))
235228, 234eleq12d 2877 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ↔ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1)))))
236235adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ↔ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1)))))
237223, 236mpbird 258 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))))
238237ne0d 4221 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)
239 mnfxr 10545 . . . . . . . . 9 -∞ ∈ ℝ*
240239a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
24117mnfltd 12369 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -∞ < (𝑄𝐼))
242240, 65, 241xrltled 12393 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -∞ ≤ (𝑄𝐼))
243 iooss1 12623 . . . . . . . . 9 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝑄𝐼)) → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
244239, 242, 243sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
245244resabs1d 5765 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
246245eqcomd 2801 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
247246adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
248247oveq1d 7031 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) = (((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))))
249 limcresi 24166 . . . . 5 ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1)))
25022adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
251 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → 𝜑)
252155a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → -π ∈ ℝ*)
253157a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → π ∈ ℝ*)
25423adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
2554, 17, 22, 160, 25lelttrd 10645 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
256255adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → -π < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
257161adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ π)
258252, 253, 254, 256, 257eliocd 41325 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (-π(,]π))
259 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹)
260258, 259eldifd 3870 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹))
261251, 260jca 512 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)))
262 eleq1 2870 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹) ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)))
263262anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹))))
264 oveq2 7024 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
265264reseq2d 5734 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑥)) = (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
266 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
267265, 266oveq12d 7034 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))))
268267neeq1d 3043 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅ ↔ ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅))
269263, 268imbi12d 346 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → (((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)))
270 fourierdlem46.llim . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
271269, 270vtoclg 3510 . . . . . 6 ((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅))
272250, 261, 271sylc 65 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)
273 ssn0 4274 . . . . 5 ((((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ∧ ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅) → (((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)
274249, 272, 273sylancr 587 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)
275248, 274eqnetrd 3051 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)
276238, 275pm2.61dan 809 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)
277182, 276jca 512 1 (𝜑 → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅ ∧ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  wral 3105  wrex 3106  cdif 3856  cun 3857  wss 3859  c0 4211  {ctp 4476   class class class wbr 4962  dom cdm 5443  ran crn 5444  cres 5445   Fn wfn 6220  wf 6221  cfv 6225   Isom wiso 6226  (class class class)co 7016  cc 10381  cr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386  +∞cpnf 10518  -∞cmnf 10519  *cxr 10520   < clt 10521  cle 10522  -cneg 10718  cz 11829  (,)cioo 12588  (,]cioc 12589  [,)cico 12590  [,]cicc 12591  ...cfz 12742  ..^cfzo 12883  πcpi 15253  cnccncf 23167   lim climc 24143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462  ax-mulf 10463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-fi 8721  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ioo 12592  df-ioc 12593  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-seq 13220  df-exp 13280  df-fac 13484  df-bc 13513  df-hash 13541  df-shft 14260  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-limsup 14662  df-clim 14679  df-rlim 14680  df-sum 14877  df-ef 15254  df-sin 15256  df-cos 15257  df-pi 15259  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-hom 16418  df-cco 16419  df-rest 16525  df-topn 16526  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-topgen 16546  df-pt 16547  df-prds 16550  df-xrs 16604  df-qtop 16609  df-imas 16610  df-xps 16612  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-mulg 17982  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-fbas 20224  df-fg 20225  df-cnfld 20228  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-bases 21238  df-cld 21311  df-ntr 21312  df-cls 21313  df-nei 21390  df-lp 21428  df-perf 21429  df-cn 21519  df-cnp 21520  df-haus 21607  df-tx 21854  df-hmeo 22047  df-fil 22138  df-fm 22230  df-flim 22231  df-flf 22232  df-xms 22613  df-ms 22614  df-tms 22615  df-cncf 23169  df-limc 24147  df-dv 24148
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