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Theorem fourierdlem46 45330
Description: The function 𝐹 has a limit at the bounds of every interval induced by the partition 𝑄. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem46.cn (𝜑𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
fourierdlem46.rlim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem46.llim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem46.qiso (𝜑𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
fourierdlem46.qf (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻)
fourierdlem46.i (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
fourierdlem46.10 (𝜑 → (𝑄𝐼) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
fourierdlem46.qiss (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (-π(,)π))
fourierdlem46.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem46.h 𝐻 = ({-π, π, 𝐶} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹))
fourierdlem46.ranq (𝜑 → ran 𝑄 = 𝐻)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem46 (𝜑 → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅ ∧ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem46
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem46.h . . . . . . . . 9 𝐻 = ({-π, π, 𝐶} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹))
2 pire 26309 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ
32a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → π ∈ ℝ)
43renegcld 11648 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
5 fourierdlem46.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6 tpssi 4839 . . . . . . . . . . 11 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {-π, π, 𝐶} ⊆ ℝ)
74, 3, 5, 6syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {-π, π, 𝐶} ⊆ ℝ)
84, 3iccssred 13418 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
98ssdifssd 4142 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹) ⊆ ℝ)
107, 9unssd 4186 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ({-π, π, 𝐶} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹)) ⊆ ℝ)
111, 10eqsstrid 4030 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ⊆ ℝ)
12 fourierdlem46.qf . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻)
13 fourierdlem46.i . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
14 elfzofz 13655 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝑀))
1612, 15ffvelcdmd 7087 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ 𝐻)
1711, 16sseldd 3983 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ)
1817adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ)
19 fzofzp1 13736 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
2013, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
2112, 20ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ 𝐻)
2211, 21sseldd 3983 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
2322rexrd 11271 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
2423adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
25 fourierdlem46.10 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄𝐼) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
2625adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
27 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 = (𝑄𝐼))
28 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹𝑥 = (𝑄𝐼)) → (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹)
2927, 28eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
3029adantll 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
3130adantlr 712 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
32 ssun2 4173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹) ⊆ ({-π, π, 𝐶} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹))
3332, 1sseqtrri 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹) ⊆ 𝐻
34 fourierdlem46.qiss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (-π(,)π))
35 ioossicc 13417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π)
3634, 35sstrdi 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
3736sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ (-π[,]π))
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑥 ∈ (-π[,]π))
39 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹)
4038, 39eldifd 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑥 ∈ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹))
4133, 40sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑥𝐻)
42 fourierdlem46.ranq . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ran 𝑄 = 𝐻)
4342eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐻 = ran 𝑄)
4443ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝐻 = ran 𝑄)
4541, 44eleqtrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑥 ∈ ran 𝑄)
46 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝑄) → 𝑥 ∈ ran 𝑄)
47 ffn 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻𝑄 Fn (0...𝑀))
4812, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑄 Fn (0...𝑀))
4948adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝑄) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
50 fvelrnb 6952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑄 Fn (0...𝑀) → (𝑥 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = 𝑥))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝑄) → (𝑥 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = 𝑥))
5246, 51mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝑄) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = 𝑥)
5352adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝑄) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = 𝑥)
54 elfzelz 13508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
5554ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → 𝑗 ∈ ℤ)
56 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → 𝜑)
57 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
58 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → (𝑄𝑗) = 𝑥)
59 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
6058, 59eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
6160adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
62 elfzoelz 13639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
6313, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
6463ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ∈ ℤ)
6517rexrd 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
6665ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
6723ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
68 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
69 ioogtlb 44670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) < (𝑄𝑗))
7066, 67, 68, 69syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) < (𝑄𝑗))
71 fourierdlem46.qiso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
7271ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
7315ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
74 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
75 isorel 7326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (𝐼 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀))) → (𝐼 < 𝑗 ↔ (𝑄𝐼) < (𝑄𝑗)))
7672, 73, 74, 75syl12anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝐼 < 𝑗 ↔ (𝑄𝐼) < (𝑄𝑗)))
7770, 76mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐼 < 𝑗)
78 iooltub 44685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝑗) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
7966, 67, 68, 78syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝑗) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
8020ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
81 isorel 7326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))) → (𝑗 < (𝐼 + 1) ↔ (𝑄𝑗) < (𝑄‘(𝐼 + 1))))
8272, 74, 80, 81syl12anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑗 < (𝐼 + 1) ↔ (𝑄𝑗) < (𝑄‘(𝐼 + 1))))
8379, 82mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑗 < (𝐼 + 1))
84 btwnnz 12645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝑗𝑗 < (𝐼 + 1)) → ¬ 𝑗 ∈ ℤ)
8564, 77, 83, 84syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑗 ∈ ℤ)
8656, 57, 61, 85syl21anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → ¬ 𝑗 ∈ ℤ)
8786adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → ¬ 𝑗 ∈ ℤ)
8855, 87pm2.65da 814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ¬ (𝑄𝑗) = 𝑥)
8988nrexdv 3148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝑄) → ¬ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = 𝑥)
9053, 89pm2.65da 814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑥 ∈ ran 𝑄)
9190adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → ¬ 𝑥 ∈ ran 𝑄)
9245, 91condan 815 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
9392ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ dom 𝐹)
94 dfss3 3970 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ dom 𝐹)
9593, 94sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
9695ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
9765ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
9823ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
99 icossre 13412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ℝ)
10017, 23, 99syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ℝ)
101100sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
102101adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10317ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ)
10465adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
10523adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
106 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
107 icogelb 13382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) ≤ 𝑥)
108104, 105, 106, 107syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) ≤ 𝑥)
109108adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → (𝑄𝐼) ≤ 𝑥)
110 neqne 2947 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 = (𝑄𝐼) → 𝑥 ≠ (𝑄𝐼))
111110adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ≠ (𝑄𝐼))
112103, 102, 109, 111leneltd 11375 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → (𝑄𝐼) < 𝑥)
113 icoltub 44683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
114104, 105, 106, 113syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
115114adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
11697, 98, 102, 112, 115eliood 44673 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
11796, 116sseldd 3983 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
118117adantllr 716 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
11931, 118pm2.61dan 810 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
120119ralrimiva 3145 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ dom 𝐹)
121 dfss3 3970 . . . . . . . 8 (((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ dom 𝐹)
122120, 121sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
123 fourierdlem46.cn . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
124123adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → 𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
125 rescncf 24738 . . . . . . 7 (((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹 → (𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∈ (((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))–cn→ℂ)))
126122, 124, 125sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∈ (((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))–cn→ℂ))
12718, 24, 26, 126icocncflimc 45067 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄𝐼)) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)))
12817leidd 11787 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄𝐼) ≤ (𝑄𝐼))
12965, 23, 65, 128, 25elicod 13381 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
130 fvres 6910 . . . . . . . 8 ((𝑄𝐼) ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄𝐼)) = (𝐹‘(𝑄𝐼)))
131129, 130syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄𝐼)) = (𝐹‘(𝑄𝐼)))
132131eqcomd 2737 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘(𝑄𝐼)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄𝐼)))
133132adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘(𝑄𝐼)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄𝐼)))
134 ioossico 13422 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))
135134a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
136135resabs1d 6012 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
137136eqcomd 2737 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
138137oveq1d 7427 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) = (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)))
139127, 133, 1383eltr4d 2847 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘(𝑄𝐼)) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)))
140139ne0d 4335 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)
141 pnfxr 11275 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
142141a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
14322ltpnfd 13108 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < +∞)
14423, 142, 143xrltled 13136 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ +∞)
145 iooss2 13367 . . . . . . . . 9 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ +∞) → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,)+∞))
146141, 144, 145sylancr 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,)+∞))
147146resabs1d 6012 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
148147oveq1d 7427 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)))
149148eqcomd 2737 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) = (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)))
150149adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) = (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)))
151 limcresi 25735 . . . . 5 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ⊆ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼))
15217adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ)
153 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → 𝜑)
1542renegcli 11528 . . . . . . . . . . . 12 -π ∈ ℝ
155154rexri 11279 . . . . . . . . . . 11 -π ∈ ℝ*
156155a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π ∈ ℝ*)
1572rexri 11279 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ*
158157a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → π ∈ ℝ*)
1594, 3, 17, 22, 25, 34fourierdlem10 45295 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-π ≤ (𝑄𝐼) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ π))
160159simpld 494 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π ≤ (𝑄𝐼))
161159simprd 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ π)
16217, 22, 3, 25, 161ltletrd 11381 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄𝐼) < π)
163156, 158, 65, 160, 162elicod 13381 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ (-π[,)π))
164163adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) ∈ (-π[,)π))
165 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹)
166164, 165eldifd 3959 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹))
167153, 166jca 511 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)))
168 eleq1 2820 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑄𝐼) → (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹) ↔ (𝑄𝐼) ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)))
169168anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑄𝐼) → ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹))))
170 oveq1 7419 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑄𝐼) → (𝑥(,)+∞) = ((𝑄𝐼)(,)+∞))
171170reseq2d 5981 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑄𝐼) → (𝐹 ↾ (𝑥(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)))
172 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑄𝐼) → 𝑥 = (𝑄𝐼))
173171, 172oveq12d 7430 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑄𝐼) → ((𝐹 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)))
174173neeq1d 2999 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑄𝐼) → (((𝐹 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅ ↔ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅))
175169, 174imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑄𝐼) → (((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)))
176 fourierdlem46.rlim . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
177175, 176vtoclg 3542 . . . . . 6 ((𝑄𝐼) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅))
178152, 167, 177sylc 65 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)
179 ssn0 4400 . . . . 5 ((((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ⊆ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ∧ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅) → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)
180151, 178, 179sylancr 586 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)
181150, 180eqnetrd 3007 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)
182140, 181pm2.61dan 810 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)
18365adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
18422adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
18525adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
186 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
187 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹)
188186, 187eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
189188adantll 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
190189adantlr 712 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
19195ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
19265ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
19323ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
19465adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
19522adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
196 iocssre 13411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) → ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ℝ)
197194, 195, 196syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ℝ)
198 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))
199197, 198sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
200199adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
20123adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
202 iocgtlb 44677 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) < 𝑥)
203194, 201, 198, 202syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) < 𝑥)
204203adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄𝐼) < 𝑥)
20522ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
206 iocleub 44678 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
207194, 201, 198, 206syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
208207adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
209 neqne 2947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → 𝑥 ≠ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
210209necomd 2995 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ 𝑥)
211210adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ 𝑥)
212200, 205, 208, 211leneltd 11375 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
213192, 193, 200, 204, 212eliood 44673 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
214191, 213sseldd 3983 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
215214adantllr 716 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
216190, 215pm2.61dan 810 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
217216ralrimiva 3145 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ dom 𝐹)
218 dfss3 3970 . . . . . . . 8 (((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ dom 𝐹)
219217, 218sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
220123adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → 𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
221 rescncf 24738 . . . . . . 7 (((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹 → (𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∈ (((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))–cn→ℂ)))
222219, 220, 221sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∈ (((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))–cn→ℂ))
223183, 184, 185, 222ioccncflimc 45063 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))))
22422leidd 11787 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
22565, 23, 23, 25, 224eliocd 44682 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))
226 fvres 6910 . . . . . . . . 9 ((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) = (𝐹‘(𝑄‘(𝐼 + 1))))
227225, 226syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) = (𝐹‘(𝑄‘(𝐼 + 1))))
228227eqcomd 2737 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄‘(𝐼 + 1))))
229 ioossioc 44667 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))
230 resabs1 6011 . . . . . . . . . . 11 (((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
231229, 230ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
232231eqcomi 2740 . . . . . . . . 9 (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
233232oveq1i 7422 . . . . . . . 8 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) = (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1)))
234233a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) = (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))))
235228, 234eleq12d 2826 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ↔ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1)))))
236235adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ↔ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1)))))
237223, 236mpbird 257 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))))
238237ne0d 4335 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)
239 mnfxr 11278 . . . . . . . . 9 -∞ ∈ ℝ*
240239a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
24117mnfltd 13111 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -∞ < (𝑄𝐼))
242240, 65, 241xrltled 13136 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -∞ ≤ (𝑄𝐼))
243 iooss1 13366 . . . . . . . . 9 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝑄𝐼)) → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
244239, 242, 243sylancr 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
245244resabs1d 6012 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
246245eqcomd 2737 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
247246adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
248247oveq1d 7427 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) = (((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))))
249 limcresi 25735 . . . . 5 ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1)))
25022adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
251 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → 𝜑)
252155a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → -π ∈ ℝ*)
253157a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → π ∈ ℝ*)
25423adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
2554, 17, 22, 160, 25lelttrd 11379 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
256255adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → -π < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
257161adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ π)
258252, 253, 254, 256, 257eliocd 44682 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (-π(,]π))
259 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹)
260258, 259eldifd 3959 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹))
261251, 260jca 511 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)))
262 eleq1 2820 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹) ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)))
263262anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹))))
264 oveq2 7420 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
265264reseq2d 5981 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑥)) = (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
266 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
267265, 266oveq12d 7430 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))))
268267neeq1d 2999 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅ ↔ ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅))
269263, 268imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → (((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)))
270 fourierdlem46.llim . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
271269, 270vtoclg 3542 . . . . . 6 ((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅))
272250, 261, 271sylc 65 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)
273 ssn0 4400 . . . . 5 ((((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ∧ ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅) → (((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)
274249, 272, 273sylancr 586 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)
275248, 274eqnetrd 3007 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)
276238, 275pm2.61dan 810 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)
277182, 276jca 511 1 (𝜑 → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅ ∧ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  cdif 3945  cun 3946  wss 3948  c0 4322  {ctp 4632   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ran crn 5677  cres 5678   Fn wfn 6538  wf 6539  cfv 6543   Isom wiso 6544  (class class class)co 7412  cc 11114  cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119  +∞cpnf 11252  -∞cmnf 11253  *cxr 11254   < clt 11255  cle 11256  -cneg 11452  cz 12565  (,)cioo 13331  (,]cioc 13332  [,)cico 13333  [,]cicc 13334  ...cfz 13491  ..^cfzo 13634  πcpi 16017  cnccncf 24717   lim climc 25712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-bc 14270  df-hash 14298  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-ef 16018  df-sin 16020  df-cos 16021  df-pi 16023  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-cnfld 21235  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-nei 22923  df-lp 22961  df-perf 22962  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-haus 23140  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-fil 23671  df-fm 23763  df-flim 23764  df-flf 23765  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-cncf 24719  df-limc 25716  df-dv 25717
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