Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl 486 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → 𝜑) |
2 | | 0zd 12077 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℤ) |
3 | | fourierdlem48.m |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ) |
4 | 3 | nnzd 12170 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ) |
5 | 3 | nngt0d 11768 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀) |
6 | | fzolb 13138 |
. . . . . 6
⊢ (0 ∈
(0..^𝑀) ↔ (0 ∈
ℤ ∧ 𝑀 ∈
ℤ ∧ 0 < 𝑀)) |
7 | 2, 4, 5, 6 | syl3anbrc 1344 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀)) |
8 | 7 | adantr 484 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → 0 ∈ (0..^𝑀)) |
9 | | fourierdlem48.b |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) |
10 | | fourierdlem48.x |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ) |
11 | 9, 10 | resubcld 11149 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℝ) |
12 | | fourierdlem48.t |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴) |
13 | | fourierdlem48.a |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) |
14 | 9, 13 | resubcld 11149 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ) |
15 | 12, 14 | eqeltrid 2838 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ) |
16 | | fourierdlem48.altb |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵) |
17 | 13, 9 | posdifd 11308 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴))) |
18 | 16, 17 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴)) |
19 | 18, 12 | breqtrrdi 5073 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇) |
20 | 19 | gt0ne0d 11285 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0) |
21 | 11, 15, 20 | redivcld 11549 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ) |
22 | 21 | adantr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ) |
23 | 22 | flcld 13262 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) |
24 | | 1zzd 12097 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → 1 ∈ ℤ) |
25 | 23, 24 | zsubcld 12176 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) ∈
ℤ) |
26 | | id 22 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐸‘𝑋) = 𝐵 → (𝐸‘𝑋) = 𝐵) |
27 | 12 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐸‘𝑋) = 𝐵 → 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)) |
28 | 26, 27 | oveq12d 7191 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐸‘𝑋) = 𝐵 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝐵 − (𝐵 − 𝐴))) |
29 | 9 | recnd 10750 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) |
30 | 13 | recnd 10750 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
31 | 29, 30 | nncand 11083 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐵 − (𝐵 − 𝐴)) = 𝐴) |
32 | 28, 31 | sylan9eqr 2796 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = 𝐴) |
33 | | fourierdlem48.q |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀)) |
34 | | fourierdlem48.p |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m
(0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) |
35 | 34 | fourierdlem2 43215 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m
(0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))) |
36 | 3, 35 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m
(0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))) |
37 | 33, 36 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m
(0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))) |
38 | 37 | simpld 498 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (ℝ ↑m
(0...𝑀))) |
39 | | elmapi 8462 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑄 ∈ (ℝ
↑m (0...𝑀))
→ 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ) |
40 | 38, 39 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ) |
41 | 3 | nnnn0d 12039 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈
ℕ0) |
42 | | nn0uz 12365 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
ℕ0 = (ℤ≥‘0) |
43 | 41, 42 | eleqtrdi 2844 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈
(ℤ≥‘0)) |
44 | | eluzfz1 13008 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑀 ∈
(ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...𝑀)) |
45 | 43, 44 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀)) |
46 | 40, 45 | ffvelrnd 6865 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ) |
47 | 46 | rexrd 10772 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ∈
ℝ*) |
48 | | 1zzd 12097 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℤ) |
49 | | 0le1 11244 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 0 ≤
1 |
50 | 49 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1) |
51 | 3 | nnge1d 11767 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑀) |
52 | 2, 4, 48, 50, 51 | elfzd 12992 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 1 ∈ (0...𝑀)) |
53 | 40, 52 | ffvelrnd 6865 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑄‘1) ∈ ℝ) |
54 | 53 | rexrd 10772 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑄‘1) ∈
ℝ*) |
55 | 13 | rexrd 10772 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈
ℝ*) |
56 | 37 | simprd 499 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
57 | 56 | simplld 768 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴) |
58 | 13 | leidd 11287 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴) |
59 | 57, 58 | eqbrtrd 5053 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐴) |
60 | 57 | eqcomd 2745 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑄‘0)) |
61 | | 0re 10724 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 0 ∈
ℝ |
62 | | eleq1 2821 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑖 = 0 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 0 ∈ (0..^𝑀))) |
63 | 62 | anbi2d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑖 = 0 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)))) |
64 | | fveq2 6677 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑖 = 0 → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘0)) |
65 | | oveq1 7180 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑖 = 0 → (𝑖 + 1) = (0 + 1)) |
66 | 65 | fveq2d 6681 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑖 = 0 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(0 + 1))) |
67 | 64, 66 | breq12d 5044 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑖 = 0 → ((𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))) |
68 | 63, 67 | imbi12d 348 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑖 = 0 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))))) |
69 | 37 | simprrd 774 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) |
70 | 69 | r19.21bi 3122 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) |
71 | 68, 70 | vtoclg 3471 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (0 ∈
ℝ → ((𝜑 ∧ 0
∈ (0..^𝑀)) →
(𝑄‘0) < (𝑄‘(0 +
1)))) |
72 | 61, 71 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))) |
73 | 7, 72 | mpdan 687 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))) |
74 | | 1e0p1 12224 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 1 = (0 +
1) |
75 | 74 | fveq2i 6680 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑄‘1) = (𝑄‘(0 + 1)) |
76 | 73, 75 | breqtrrdi 5073 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) < (𝑄‘1)) |
77 | 60, 76 | eqbrtrd 5053 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑄‘1)) |
78 | 47, 54, 55, 59, 77 | elicod 12874 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘1))) |
79 | 75 | oveq2i 7184 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘1)) = ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) |
80 | 78, 79 | eleqtrdi 2844 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1)))) |
81 | 80 | adantr 484 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1)))) |
82 | 32, 81 | eqeltrd 2834 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1)))) |
83 | | fourierdlem48.e |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥))) |
84 | 83 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥)))) |
85 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋) |
86 | | fveq2 6677 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑍‘𝑥) = (𝑍‘𝑋)) |
87 | 85, 86 | oveq12d 7191 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑍‘𝑥)) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋))) |
88 | 87 | adantl 485 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (𝑍‘𝑥)) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋))) |
89 | | fourierdlem48.z |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦
((⌊‘((𝐵 −
𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) |
90 | 89 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦
((⌊‘((𝐵 −
𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))) |
91 | | oveq2 7181 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 𝑋)) |
92 | 91 | oveq1d 7188 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) |
93 | 92 | fveq2d 6681 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))) |
94 | 93 | oveq1d 7188 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) |
95 | 94 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) |
96 | 21 | flcld 13262 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) |
97 | 96 | zred 12171 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ) |
98 | 97, 15 | remulcld 10752 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ) |
99 | 90, 95, 10, 98 | fvmptd 6785 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑍‘𝑋) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) |
100 | 99, 98 | eqeltrd 2834 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑍‘𝑋) ∈ ℝ) |
101 | 10, 100 | readdcld 10751 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ) |
102 | 84, 88, 10, 101 | fvmptd 6785 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋))) |
103 | 99 | oveq2d 7189 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑍‘𝑋)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) |
104 | 102, 103 | eqtrd 2774 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) |
105 | 104 | oveq1d 7188 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑇)) |
106 | 10 | recnd 10750 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ) |
107 | 98 | recnd 10750 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ) |
108 | 15 | recnd 10750 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ) |
109 | 106, 107,
108 | addsubassd 11098 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇))) |
110 | 96 | zcnd 12172 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℂ) |
111 | 110, 108 | mulsubfacd 11182 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)) |
112 | 111 | oveq2d 7189 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇)) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))) |
113 | 105, 109,
112 | 3eqtrd 2778 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))) |
114 | 113 | adantr 484 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))) |
115 | | oveq1 7180 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑘 = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) → (𝑘 · 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)) |
116 | 115 | oveq2d 7189 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑘 = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))) |
117 | 116 | eqeq2d 2750 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑘 = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) → (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))) |
118 | 117 | anbi2d 632 |
. . . . . 6
⊢ (𝑘 = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) → ((((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))))) |
119 | 118 | rspcev 3527 |
. . . . 5
⊢
((((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) ∈ ℤ ∧ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) |
120 | 25, 82, 114, 119 | syl12anc 836 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) |
121 | 64, 66 | oveq12d 7191 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑖 = 0 → ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1)))) |
122 | 121 | eleq2d 2819 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑖 = 0 → (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))) |
123 | 122 | anbi1d 633 |
. . . . . 6
⊢ (𝑖 = 0 → ((((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))) |
124 | 123 | rexbidv 3208 |
. . . . 5
⊢ (𝑖 = 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))) |
125 | 124 | rspcev 3527 |
. . . 4
⊢ ((0
∈ (0..^𝑀) ∧
∃𝑘 ∈ ℤ
(((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) |
126 | 8, 120, 125 | syl2anc 587 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) |
127 | | ovex 7206 |
. . . 4
⊢ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ V |
128 | | eleq1 2821 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) |
129 | | eqeq1 2743 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → (𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) |
130 | 128, 129 | anbi12d 634 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → ((𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))) |
131 | 130 | 2rexbidv 3211 |
. . . . . 6
⊢ (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))) |
132 | 131 | anbi2d 632 |
. . . . 5
⊢ (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))) |
133 | 132 | imbi1d 345 |
. . . 4
⊢ (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠
∅))) |
134 | | simpr 488 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) |
135 | | nfv 1921 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑖𝜑 |
136 | | nfre1 3217 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑖∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) |
137 | 135, 136 | nfan 1906 |
. . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) |
138 | | nfv 1921 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑘𝜑 |
139 | | nfcv 2900 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑘(0..^𝑀) |
140 | | nfre1 3217 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑘∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) |
141 | 139, 140 | nfrex 3220 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑘∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) |
142 | 138, 141 | nfan 1906 |
. . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) |
143 | | simp1 1137 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑) |
144 | | simp2l 1200 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) |
145 | | simp3l 1202 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
146 | 143, 144,
145 | jca31 518 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) |
147 | | simp2r 1201 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ) |
148 | | simp3r 1203 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) |
149 | | fourierdlem48.ch |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜒 ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) |
150 | 149 | biimpi 219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) |
151 | 150 | simplld 768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) |
152 | 151 | simplld 768 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → 𝜑) |
153 | | fourierdlem48.f |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ) |
154 | | frel 6510 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐹:𝐷⟶ℝ → Rel 𝐹) |
155 | 152, 153,
154 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → Rel 𝐹) |
156 | | resindm 5875 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (Rel
𝐹 → (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞))) |
157 | 156 | eqcomd 2745 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (Rel
𝐹 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹))) |
158 | 155, 157 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹))) |
159 | | fdm 6514 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐹:𝐷⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐷) |
160 | 152, 153,
159 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → dom 𝐹 = 𝐷) |
161 | 160 | ineq2d 4104 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹) = ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) |
162 | 161 | reseq2d 5826 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))) |
163 | 158, 162 | eqtrd 2774 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜒 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))) |
164 | 163 | oveq1d 7188 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) limℂ 𝑋)) |
165 | 152, 153 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → 𝐹:𝐷⟶ℝ) |
166 | | ax-resscn 10675 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ℝ
⊆ ℂ |
167 | 166 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → ℝ ⊆
ℂ) |
168 | 165, 167 | fssd 6523 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → 𝐹:𝐷⟶ℂ) |
169 | | inss2 4121 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷 |
170 | 169 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷) |
171 | 168, 170 | fssresd 6546 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)):((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)⟶ℂ) |
172 | | pnfxr 10776 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ +∞
∈ ℝ* |
173 | 172 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → +∞ ∈
ℝ*) |
174 | 151 | simplrd 770 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) |
175 | 40 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ) |
176 | | fzofzp1 13228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀)) |
177 | 176 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀)) |
178 | 175, 177 | ffvelrnd 6865 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ) |
179 | 152, 174,
178 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ) |
180 | 150 | simplrd 770 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜒 → 𝑘 ∈ ℤ) |
181 | 180 | zred 12171 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → 𝑘 ∈ ℝ) |
182 | 152, 15 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → 𝑇 ∈ ℝ) |
183 | 181, 182 | remulcld 10752 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ) |
184 | 179, 183 | resubcld 11149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
185 | 184 | rexrd 10772 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈
ℝ*) |
186 | 184 | ltpnfd 12602 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) < +∞) |
187 | 185, 173,
186 | xrltled 12629 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ≤ +∞) |
188 | | iooss2 12860 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((+∞ ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ≤ +∞) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ (𝑋(,)+∞)) |
189 | 173, 187,
188 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ (𝑋(,)+∞)) |
190 | 180 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ) |
191 | 190 | zcnd 12172 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℂ) |
192 | 182 | recnd 10750 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜒 → 𝑇 ∈ ℂ) |
193 | 192 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℂ) |
194 | 191, 193 | mulneg1d 11174 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (-𝑘 · 𝑇) = -(𝑘 · 𝑇)) |
195 | 194 | oveq2d 7189 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇))) |
196 | | elioore 12854 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℝ) |
197 | 196 | recnd 10750 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℂ) |
198 | 197 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℂ) |
199 | 191, 193 | mulcld 10742 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ) |
200 | 198, 199 | addcld 10741 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ) |
201 | 200, 199 | negsubd 11084 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇))) |
202 | 198, 199 | pncand 11079 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑤) |
203 | 195, 201,
202 | 3eqtrrd 2779 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇))) |
204 | 152 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑) |
205 | 151 | simpld 498 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜒 → (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))) |
206 | | fourierdlem48.cn |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) |
207 | | cncff 23648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ) |
208 | | fdm 6514 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
209 | 206, 207,
208 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
210 | | ssdmres 5849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
211 | 209, 210 | sylibr 237 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹) |
212 | 153, 159 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷) |
213 | 212 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom 𝐹 = 𝐷) |
214 | 211, 213 | sseqtrd 3918 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷) |
215 | 205, 214 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜒 → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷) |
216 | 215 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷) |
217 | | elfzofz 13147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀)) |
218 | 217 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀)) |
219 | 175, 218 | ffvelrnd 6865 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ) |
220 | 152, 174,
219 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ) |
221 | 220 | rexrd 10772 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑖) ∈
ℝ*) |
222 | 221 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘𝑖) ∈
ℝ*) |
223 | 179 | rexrd 10772 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈
ℝ*) |
224 | 223 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈
ℝ*) |
225 | 196 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℝ) |
226 | 190 | zred 12171 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℝ) |
227 | 204, 15 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ) |
228 | 226, 227 | remulcld 10752 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ) |
229 | 225, 228 | readdcld 10751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
230 | 220 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ) |
231 | 152, 10 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜒 → 𝑋 ∈ ℝ) |
232 | 231, 183 | readdcld 10751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
233 | 232 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
234 | 149 | simprbi 500 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜒 → 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) |
235 | 234 | eqcomd 2745 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝑦) |
236 | 151 | simprd 499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜒 → 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
237 | 235, 236 | eqeltrd 2834 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
238 | | icogelb 12875 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧
(𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) |
239 | 221, 223,
237, 238 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) |
240 | 239 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) |
241 | 204, 10 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ) |
242 | 241 | rexrd 10772 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈
ℝ*) |
243 | 179 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ) |
244 | 243, 228 | resubcld 11149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
245 | 244 | rexrd 10772 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈
ℝ*) |
246 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) |
247 | | ioogtlb 42596 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ*
∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑤) |
248 | 242, 245,
246, 247 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑤) |
249 | 241, 225,
228, 248 | ltadd1dd 11332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑤 + (𝑘 · 𝑇))) |
250 | 230, 233,
229, 240, 249 | lelttrd 10879 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘𝑖) < (𝑤 + (𝑘 · 𝑇))) |
251 | | iooltub 42611 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ*
∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) |
252 | 242, 245,
246, 251 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) |
253 | 225, 244,
228, 252 | ltadd1dd 11332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) < (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇))) |
254 | 179 | recnd 10750 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ) |
255 | 183 | recnd 10750 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜒 → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ) |
256 | 254, 255 | npcand 11082 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜒 → (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑄‘(𝑖 + 1))) |
257 | 256 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑄‘(𝑖 + 1))) |
258 | 253, 257 | breqtrd 5057 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) |
259 | 222, 224,
229, 250, 258 | eliood 42599 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
260 | 216, 259 | sseldd 3879 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) |
261 | 190 | znegcld 12173 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -𝑘 ∈ ℤ) |
262 | | ovex 7206 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ V |
263 | | eleq1 2821 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)) |
264 | 263 | 3anbi2d 1442 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ))) |
265 | | oveq1 7180 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇))) |
266 | 265 | eleq1d 2818 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)) |
267 | 264, 266 | imbi12d 348 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))) |
268 | | negex 10965 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ -𝑘 ∈ V |
269 | | eleq1 2821 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑗 = -𝑘 → (𝑗 ∈ ℤ ↔ -𝑘 ∈ ℤ)) |
270 | 269 | 3anbi3d 1443 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑗 = -𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ))) |
271 | | oveq1 7180 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑗 = -𝑘 → (𝑗 · 𝑇) = (-𝑘 · 𝑇)) |
272 | 271 | oveq2d 7189 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑗 = -𝑘 → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) |
273 | 272 | eleq1d 2818 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑗 = -𝑘 → ((𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)) |
274 | 270, 273 | imbi12d 348 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))) |
275 | | eleq1 2821 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ ℤ ↔ 𝑗 ∈ ℤ)) |
276 | 275 | 3anbi3d 1443 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ))) |
277 | | oveq1 7180 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 · 𝑇) = (𝑗 · 𝑇)) |
278 | 277 | oveq2d 7189 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) |
279 | 278 | eleq1d 2818 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)) |
280 | 276, 279 | imbi12d 348 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷))) |
281 | | fourierdlem48.dper |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) |
282 | 280, 281 | chvarvv 2010 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) |
283 | 268, 274,
282 | vtocl 3464 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) |
284 | 262, 267,
283 | vtocl 3464 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) |
285 | 204, 260,
261, 284 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) |
286 | 203, 285 | eqeltrd 2834 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ 𝐷) |
287 | 286 | ralrimiva 3097 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → ∀𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 ∈ 𝐷) |
288 | | dfss3 3866 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 ∈ 𝐷) |
289 | 287, 288 | sylibr 237 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷) |
290 | 189, 289 | ssind 4124 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) |
291 | | ioosscn 12886 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑋(,)+∞) ⊆
ℂ |
292 | | ssinss1 4129 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ
→ ((𝑋(,)+∞)
∩ 𝐷) ⊆
ℂ) |
293 | 291, 292 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ) |
294 | | eqid 2739 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(TopOpen‘ℂfld) =
(TopOpen‘ℂfld) |
295 | | eqid 2739 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((TopOpen‘ℂfld)
↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) |
296 | 231 | rexrd 10772 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → 𝑋 ∈
ℝ*) |
297 | 231 | leidd 11287 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → 𝑋 ≤ 𝑋) |
298 | 234 | oveq1d 7188 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇))) |
299 | 231 | recnd 10750 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → 𝑋 ∈ ℂ) |
300 | 299, 255 | pncand 11079 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 → ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑋) |
301 | 298, 300 | eqtr2d 2775 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → 𝑋 = (𝑦 − (𝑘 · 𝑇))) |
302 | | icossre 12905 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*) →
((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ) |
303 | 220, 223,
302 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ) |
304 | 303, 236 | sseldd 3879 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 → 𝑦 ∈ ℝ) |
305 | | icoltub 42609 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑦 < (𝑄‘(𝑖 + 1))) |
306 | 221, 223,
236, 305 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 → 𝑦 < (𝑄‘(𝑖 + 1))) |
307 | 304, 179,
183, 306 | ltsub1dd 11333 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) |
308 | 301, 307 | eqbrtrd 5053 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → 𝑋 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) |
309 | 296, 185,
296, 297, 308 | elicod 12874 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → 𝑋 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) |
310 | | snunioo1 42613 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ*
∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋}) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) |
311 | 296, 185,
308, 310 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → ((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋}) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) |
312 | 311 | fveq2d 6681 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 →
((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋})) =
((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))) |
313 | 294 | cnfldtop 23539 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(TopOpen‘ℂfld) ∈ Top |
314 | | ovex 7206 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑋(,)+∞) ∈
V |
315 | 314 | inex1 5186 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∈ V |
316 | | snex 5299 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ {𝑋} ∈ V |
317 | 315, 316 | unex 7490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V |
318 | | resttop 21914 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V) →
((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top) |
319 | 313, 317,
318 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top |
320 | 319 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 →
((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top) |
321 | | retop 23517 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(topGen‘ran (,)) ∈ Top |
322 | 321 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (topGen‘ran (,))
∈ Top) |
323 | 317 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V) |
324 | | iooretop 23521 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran
(,)) |
325 | 324 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran
(,))) |
326 | | elrestr 16808 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V ∧ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran (,))) →
((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,))
↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) |
327 | 322, 323,
325, 326 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 → ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,))
↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) |
328 | | mnfxr 10779 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ -∞
∈ ℝ* |
329 | 328 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -∞ ∈
ℝ*) |
330 | 185 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈
ℝ*) |
331 | | icossre 12905 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*) → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℝ) |
332 | 231, 185,
331 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℝ) |
333 | 332 | sselda 3878 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℝ) |
334 | 333 | mnfltd 12605 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -∞ < 𝑥) |
335 | 296 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈
ℝ*) |
336 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) |
337 | | icoltub 42609 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ*
∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) |
338 | 335, 330,
336, 337 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) |
339 | 329, 330,
333, 334, 338 | eliood 42599 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) |
340 | | vsnid 4554 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ 𝑥 ∈ {𝑥} |
341 | 340 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ {𝑥}) |
342 | | sneq 4527 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋}) |
343 | 341, 342 | eleqtrd 2836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ {𝑋}) |
344 | | elun2 4068 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 ∈ {𝑋} → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) |
345 | 343, 344 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) |
346 | 345 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) |
347 | 296 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈
ℝ*) |
348 | 172 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → +∞ ∈
ℝ*) |
349 | 333 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ) |
350 | 231 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ) |
351 | | icogelb 12875 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ*
∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ≤ 𝑥) |
352 | 335, 330,
336, 351 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ≤ 𝑥) |
353 | 352 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ≤ 𝑥) |
354 | | neqne 2943 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (¬
𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ≠ 𝑋) |
355 | 354 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ≠ 𝑋) |
356 | 350, 349,
353, 355 | leneltd 10875 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 < 𝑥) |
357 | 349 | ltpnfd 12602 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < +∞) |
358 | 347, 348,
349, 356, 357 | eliood 42599 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) |
359 | 180 | zcnd 12172 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝜒 → 𝑘 ∈ ℂ) |
360 | 359, 192 | mulneg1d 11174 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) = -(𝑘 · 𝑇)) |
361 | 360 | oveq2d 7189 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝜒 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇))) |
362 | 361 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇))) |
363 | | ioosscn 12886 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℂ |
364 | 363 | sseli 3874 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℂ) |
365 | 364 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℂ) |
366 | 255 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ) |
367 | 365, 366 | addcld 10741 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ) |
368 | 367, 366 | negsubd 11084 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇))) |
369 | 365, 366 | pncand 11079 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑤) |
370 | 362, 368,
369 | 3eqtrrd 2779 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇))) |
371 | 183 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ) |
372 | 225, 371 | readdcld 10751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
373 | 222, 224,
372, 250, 258 | eliood 42599 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
374 | 216, 373 | sseldd 3879 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) |
375 | 269 | 3anbi3d 1443 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑗 = -𝑘 → ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ))) |
376 | 271 | oveq2d 7189 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑗 = -𝑘 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇))) |
377 | 376 | eleq1d 2818 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑗 = -𝑘 → (((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)) |
378 | 375, 377 | imbi12d 348 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))) |
379 | 263 | 3anbi2d 1442 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ))) |
380 | | oveq1 7180 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇))) |
381 | 380 | eleq1d 2818 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)) |
382 | 379, 381 | imbi12d 348 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷))) |
383 | 262, 382,
282 | vtocl 3464 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) |
384 | 268, 378,
383 | vtocl 3464 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) |
385 | 204, 374,
261, 384 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) |
386 | 370, 385 | eqeltrd 2834 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ 𝐷) |
387 | 386 | ralrimiva 3097 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜒 → ∀𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 ∈ 𝐷) |
388 | 387, 288 | sylibr 237 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷) |
389 | 388 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷) |
390 | 185 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈
ℝ*) |
391 | 338 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) |
392 | 347, 390,
349, 356, 391 | eliood 42599 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) |
393 | 389, 392 | sseldd 3879 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝐷) |
394 | 358, 393 | elind 4085 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) |
395 | | elun1 4067 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) |
396 | 394, 395 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) |
397 | 346, 396 | pm2.61dan 813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) |
398 | 339, 397 | elind 4085 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) |
399 | 296 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ∈
ℝ*) |
400 | 185 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈
ℝ*) |
401 | | elinel1 4086 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) |
402 | | elioore 12854 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ) |
403 | 401, 402 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ) |
404 | 403 | rexrd 10772 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ*) |
405 | 404 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ ℝ*) |
406 | | elinel2 4087 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) |
407 | 231 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ) |
408 | 85 | eqcomd 2745 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑋 = 𝑥) |
409 | 408 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 = 𝑥) |
410 | 407, 409 | eqled 10824 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ≤ 𝑥) |
411 | 410 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ≤ 𝑥) |
412 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝜒) |
413 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) |
414 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (¬
𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑥 = 𝑋) |
415 | | velsn 4533 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑥 ∈ {𝑋} ↔ 𝑥 = 𝑋) |
416 | 414, 415 | sylnibr 332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (¬
𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) |
417 | 416 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) |
418 | | elunnel2 42143 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) |
419 | 413, 417,
418 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) |
420 | | elinel1 4086 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) |
421 | 419, 420 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) |
422 | 231 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 ∈ ℝ) |
423 | | elioore 12854 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ) |
424 | 423 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ) |
425 | 296 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 ∈
ℝ*) |
426 | 172 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → +∞ ∈
ℝ*) |
427 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) |
428 | | ioogtlb 42596 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ*
∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 < 𝑥) |
429 | 425, 426,
427, 428 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 < 𝑥) |
430 | 422, 424,
429 | ltled 10869 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 ≤ 𝑥) |
431 | 412, 421,
430 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ≤ 𝑥) |
432 | 411, 431 | pm2.61dan 813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑋 ≤ 𝑥) |
433 | 406, 432 | sylan2 596 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ≤ 𝑥) |
434 | 328 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -∞ ∈
ℝ*) |
435 | 185 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈
ℝ*) |
436 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) |
437 | | iooltub 42611 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
((-∞ ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) |
438 | 434, 435,
436, 437 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) |
439 | 401, 438 | sylan2 596 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) |
440 | 399, 400,
405, 433, 439 | elicod 12874 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) |
441 | 398, 440 | impbida 801 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))) |
442 | 441 | eqrdv 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) = ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) |
443 | | ioossre 12885 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑋(,)+∞) ⊆
ℝ |
444 | | ssinss1 4129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
→ ((𝑋(,)+∞)
∩ 𝐷) ⊆
ℝ) |
445 | 443, 444 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ) |
446 | 231 | snssd 4698 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → {𝑋} ⊆ ℝ) |
447 | 445, 446 | unssd 4077 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ) |
448 | | eqid 2739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,)) |
449 | 294, 448 | rerest 23559 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ →
((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,))
↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) |
450 | 447, 449 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 →
((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,))
↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) |
451 | 327, 442,
450 | 3eltr4d 2849 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈
((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) |
452 | | isopn3i 21836 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top ∧ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈
((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) →
((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) |
453 | 320, 451,
452 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 →
((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) |
454 | 312, 453 | eqtr2d 2775 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) =
((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋}))) |
455 | 309, 454 | eleqtrd 2836 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜒 → 𝑋 ∈
((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋}))) |
456 | 171, 290,
293, 294, 295, 455 | limcres 24641 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) limℂ 𝑋)) |
457 | 290 | resabs1d 5857 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))) |
458 | 457 | oveq1d 7188 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) |
459 | 166 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → ℝ ⊆
ℂ) |
460 | 153, 459 | fssd 6523 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ) |
461 | 212 | feq2d 6491 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:𝐷⟶ℂ)) |
462 | 460, 461 | mpbird 260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) |
463 | 152, 462 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) |
464 | 463 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) |
465 | 363 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℂ) |
466 | 388, 160 | sseqtrrd 3919 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ dom 𝐹) |
467 | 466 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ dom 𝐹) |
468 | 255 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ) |
469 | | eqid 2739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ {𝑧 ∈ ℂ ∣
∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} |
470 | | eqeq1 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))) |
471 | 470 | rexbidv 3208 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))) |
472 | 471 | elrab 3589 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))) |
473 | 472 | simprbi 500 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} → ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) |
474 | 473 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) |
475 | | nfv 1921 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
Ⅎ𝑥𝜒 |
476 | | nfre1 3217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) |
477 | | nfcv 2900 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
Ⅎ𝑥ℂ |
478 | 476, 477 | nfrabw 3289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
Ⅎ𝑥{𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} |
479 | 478 | nfcri 2887 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} |
480 | 475, 479 | nfan 1906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
Ⅎ𝑥(𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) |
481 | | nfv 1921 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ 𝐷 |
482 | | simp3 1139 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) |
483 | | eleq1 2821 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))) |
484 | 483 | anbi2d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))) |
485 | | oveq1 7180 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) |
486 | 485 | eleq1d 2818 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)) |
487 | 484, 486 | imbi12d 348 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑤 = 𝑥 → (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))) |
488 | 487, 260 | chvarvv 2010 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) |
489 | 488 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) |
490 | 482, 489 | eqeltrd 2834 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ 𝐷) |
491 | 490 | 3exp 1120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → (𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷))) |
492 | 491 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → (𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷))) |
493 | 480, 481,
492 | rexlimd 3228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → (∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷)) |
494 | 474, 493 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → 𝑤 ∈ 𝐷) |
495 | 494 | ralrimiva 3097 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜒 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}𝑤 ∈ 𝐷) |
496 | | dfss3 3866 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ({𝑧 ∈ ℂ ∣
∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}𝑤 ∈ 𝐷) |
497 | 495, 496 | sylibr 237 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷) |
498 | 497, 160 | sseqtrrd 3919 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹) |
499 | 498 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹) |
500 | 152 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑) |
501 | 388 | sselda 3878 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ 𝐷) |
502 | 180 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ) |
503 | | fourierdlem48.per |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) |
504 | 500, 501,
502, 503 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) |
505 | 504 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) |
506 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) |
507 | 464, 465,
467, 468, 469, 499, 505, 506 | limcperiod 42734 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) limℂ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) |
508 | 256 | eqcomd 2745 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇))) |
509 | 234, 508 | oveq12d 7191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇))(,)(((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)))) |
510 | 231, 184,
183 | iooshift 42623 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜒 → ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇))(,)(((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) |
511 | 509, 510 | eqtr2d 2775 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} = (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
512 | 511 | reseq2d 5826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) = (𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) |
513 | 512, 235 | oveq12d 7191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) limℂ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) |
514 | 513 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) limℂ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) |
515 | 507, 514 | eleqtrd 2836 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) |
516 | 463 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) |
517 | | ioosscn 12886 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ |
518 | 517 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ) |
519 | | icogelb 12875 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ≤ 𝑦) |
520 | 221, 223,
236, 519 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑖) ≤ 𝑦) |
521 | | iooss1 12859 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘𝑖) ≤ 𝑦) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
522 | 221, 520,
521 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
523 | 522, 215 | sstrd 3888 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷) |
524 | 523, 160 | sseqtrrd 3919 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹) |
525 | 524 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹) |
526 | 359 | negcld 11065 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → -𝑘 ∈ ℂ) |
527 | 526, 192 | mulcld 10742 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ) |
528 | 527 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ) |
529 | | eqid 2739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ {𝑧 ∈ ℂ ∣
∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} |
530 | | eqeq1 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ↔ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))) |
531 | 530 | rexbidv 3208 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))) |
532 | 531 | elrab 3589 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))) |
533 | 532 | simprbi 500 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} → ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) |
534 | 533 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) |
535 | | nfre1 3217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) |
536 | 535, 477 | nfrabw 3289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
Ⅎ𝑥{𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} |
537 | 536 | nfcri 2887 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} |
538 | 475, 537 | nfan 1906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
Ⅎ𝑥(𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) |
539 | | simp3 1139 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) |
540 | 152 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝜑) |
541 | 523 | sselda 3878 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ 𝐷) |
542 | 180 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℤ) |
543 | 542 | znegcld 12173 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -𝑘 ∈ ℤ) |
544 | 540, 541,
543, 283 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) |
545 | 544 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) |
546 | 539, 545 | eqeltrd 2834 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ 𝐷) |
547 | 546 | 3exp 1120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷))) |
548 | 547 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → (𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷))) |
549 | 538, 481,
548 | rexlimd 3228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → (∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷)) |
550 | 534, 549 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → 𝑤 ∈ 𝐷) |
551 | 550 | ralrimiva 3097 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜒 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}𝑤 ∈ 𝐷) |
552 | | dfss3 3866 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ({𝑧 ∈ ℂ ∣
∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}𝑤 ∈ 𝐷) |
553 | 551, 552 | sylibr 237 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷) |
554 | 553, 160 | sseqtrrd 3919 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹) |
555 | 554 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹) |
556 | 152 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝜑) |
557 | 541 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ 𝐷) |
558 | 543 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -𝑘 ∈ ℤ) |
559 | 272 | fveq2d 6681 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑗 = -𝑘 → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))) |
560 | 559 | eqeq1d 2741 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑗 = -𝑘 → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))) |
561 | 270, 560 | imbi12d 348 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)))) |
562 | 278 | fveq2d 6681 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇)))) |
563 | 562 | eqeq1d 2741 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))) |
564 | 276, 563 | imbi12d 348 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)))) |
565 | 564, 503 | chvarvv 2010 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) |
566 | 268, 561,
565 | vtocl 3464 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) |
567 | 556, 557,
558, 566 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) |
568 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) |
569 | 516, 518,
525, 528, 529, 555, 567, 568 | limcperiod 42734 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) limℂ (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)))) |
570 | 360 | oveq2d 7189 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜒 → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + -(𝑘 · 𝑇))) |
571 | 304 | recnd 10750 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜒 → 𝑦 ∈ ℂ) |
572 | 571, 255 | negsubd 11084 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜒 → (𝑦 + -(𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 − (𝑘 · 𝑇))) |
573 | 301 | eqcomd 2745 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑋) |
574 | 570, 572,
573 | 3eqtrd 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜒 → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = 𝑋) |
575 | 574 | eqcomd 2745 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜒 → 𝑋 = (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))) |
576 | 360 | oveq2d 7189 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + -(𝑘 · 𝑇))) |
577 | 254, 255 | negsubd 11084 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) |
578 | 576, 577 | eqtr2d 2775 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇))) |
579 | 575, 578 | oveq12d 7191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) = ((𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇)))) |
580 | 181 | renegcld 11148 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜒 → -𝑘 ∈ ℝ) |
581 | 580, 182 | remulcld 10752 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ) |
582 | 304, 179,
581 | iooshift 42623 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜒 → ((𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) |
583 | 579, 582 | eqtr2d 2775 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) |
584 | 583 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) |
585 | 584 | reseq2d 5826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))) |
586 | 574 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = 𝑋) |
587 | 585, 586 | oveq12d 7191 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) limℂ (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) |
588 | 569, 587 | eleqtrd 2836 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) |
589 | 515, 588 | impbida 801 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → (𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋) ↔ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))) |
590 | 589 | eqrdv 2737 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) |
591 | 458, 590 | eqtrd 2774 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) |
592 | 164, 456,
591 | 3eqtr2d 2780 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) |
593 | 152, 174,
70 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) |
594 | 152, 174,
206 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) |
595 | | fourierdlem48.r |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖))) |
596 | 152, 174,
595 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖))) |
597 | | eqid 2739 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ if(𝑦 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) = if(𝑦 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) |
598 | | eqid 2739 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) =
((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
599 | 220, 179,
593, 594, 596, 304, 179, 306, 522, 597, 598 | fourierdlem32 43245 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜒 → if(𝑦 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) |
600 | 522 | resabs1d 5857 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) |
601 | 600 | oveq1d 7188 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) |
602 | 599, 601 | eleqtrd 2836 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜒 → if(𝑦 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) |
603 | | ne0i 4224 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (if(𝑦 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦) → ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦) ≠ ∅) |
604 | 602, 603 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦) ≠ ∅) |
605 | 592, 604 | eqnetrd 3002 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) |
606 | 149, 605 | sylbir 238 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) |
607 | 146, 147,
148, 606 | syl21anc 837 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) |
608 | 607 | 3exp 1120 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠
∅))) |
609 | 608 | adantr 484 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠
∅))) |
610 | 137, 142,
609 | rexlim2d 42731 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠
∅)) |
611 | 134, 610 | mpd 15 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) |
612 | 127, 133,
611 | vtocl 3464 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) |
613 | 1, 126, 612 | syl2anc 587 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) |
614 | | iocssre 12904 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈ ℝ)
→ (𝐴(,]𝐵) ⊆
ℝ) |
615 | 55, 9, 614 | syl2anc 587 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ) |
616 | | ovex 7206 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((⌊‘((𝐵
− 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V |
617 | 89 | fvmpt2 6789 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧
((⌊‘((𝐵 −
𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V) → (𝑍‘𝑥) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) |
618 | 616, 617 | mpan2 691 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑍‘𝑥) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) |
619 | 618 | oveq2d 7189 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (𝑍‘𝑥)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))) |
620 | 619 | mpteq2ia 5122 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))) |
621 | 83, 620 | eqtri 2762 |
. . . . . . 7
⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))) |
622 | 13, 9, 16, 12, 621 | fourierdlem4 43217 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵)) |
623 | 622, 10 | ffvelrnd 6865 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) |
624 | 615, 623 | sseldd 3879 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ) |
625 | 624 | adantr 484 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ) |
626 | | simpl 486 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → 𝜑) |
627 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) |
628 | | ffn 6505 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ → 𝑄 Fn (0...𝑀)) |
629 | 40, 628 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑄 Fn (0...𝑀)) |
630 | 629 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄 Fn (0...𝑀)) |
631 | | fvelrnb 6733 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑄 Fn (0...𝑀) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋))) |
632 | 630, 631 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋))) |
633 | 627, 632 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) |
634 | | 1zzd 12097 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 1 ∈ ℤ) |
635 | | elfzelz 13001 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ) |
636 | 635 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ ℤ) |
637 | 636 | zred 12171 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ ℝ) |
638 | | elfzle1 13004 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 0 ≤ 𝑗) |
639 | 638 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 ≤ 𝑗) |
640 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) |
641 | 640 | eqcomd 2745 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘𝑗)) |
642 | 641 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘𝑗)) |
643 | | fveq2 6677 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑗 = 0 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘0)) |
644 | 643 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘0)) |
645 | 37 | simprld 772 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝜑 → ((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵)) |
646 | 645 | simpld 498 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴) |
647 | 646 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄‘0) = 𝐴) |
648 | 642, 644,
647 | 3eqtrd 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = 𝐴) |
649 | 648 | adantllr 719 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = 𝐴) |
650 | 649 | adantllr 719 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = 𝐴) |
651 | 13 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ) |
652 | 55 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈
ℝ*) |
653 | 9 | rexrd 10772 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈
ℝ*) |
654 | 653 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈
ℝ*) |
655 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) |
656 | | iocgtlb 42603 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸‘𝑋)) |
657 | 652, 654,
655, 656 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸‘𝑋)) |
658 | 651, 657 | gtned 10856 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐴) |
659 | 658 | neneqd 2940 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ¬ (𝐸‘𝑋) = 𝐴) |
660 | 659 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → ¬ (𝐸‘𝑋) = 𝐴) |
661 | 650, 660 | pm2.65da 817 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ¬ 𝑗 = 0) |
662 | 661 | neqned 2942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ≠ 0) |
663 | 637, 639,
662 | ne0gt0d 10858 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 < 𝑗) |
664 | | 0zd 12077 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 ∈ ℤ) |
665 | | zltp1le 12116 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((0
∈ ℤ ∧ 𝑗
∈ ℤ) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗)) |
666 | 664, 636,
665 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗)) |
667 | 663, 666 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (0 + 1) ≤ 𝑗) |
668 | 74, 667 | eqbrtrid 5066 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 1 ≤ 𝑗) |
669 | | eluz2 12333 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑗 ∈
(ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤
𝑗)) |
670 | 634, 636,
668, 669 | syl3anbrc 1344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈
(ℤ≥‘1)) |
671 | | nnuz 12366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ℕ =
(ℤ≥‘1) |
672 | 670, 671 | eleqtrrdi 2845 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ ℕ) |
673 | | nnm1nn0 12020 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈
ℕ0) |
674 | 672, 673 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈
ℕ0) |
675 | 674, 42 | eleqtrdi 2844 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈
(ℤ≥‘0)) |
676 | 4 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑀 ∈ ℤ) |
677 | | peano2zm 12109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈
ℤ) |
678 | 635, 677 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ) |
679 | 678 | zred 12171 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ) |
680 | 635 | zred 12171 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ) |
681 | | elfzel2 12999 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ) |
682 | 681 | zred 12171 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ) |
683 | 680 | ltm1d 11653 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑗) |
684 | | elfzle2 13005 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ≤ 𝑀) |
685 | 679, 680,
682, 683, 684 | ltletrd 10881 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑀) |
686 | 685 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) < 𝑀) |
687 | | elfzo2 13135 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝑗 − 1) ∈
(ℤ≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) < 𝑀)) |
688 | 675, 676,
686, 687 | syl3anbrc 1344 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) |
689 | 40 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ) |
690 | 636, 677 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ) |
691 | 674 | nn0ge0d 12042 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 ≤ (𝑗 − 1)) |
692 | 679, 682,
685 | ltled 10869 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀) |
693 | 692 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀) |
694 | 664, 676,
690, 691, 693 | elfzd 12992 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0...𝑀)) |
695 | 689, 694 | ffvelrnd 6865 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ) |
696 | 695 | rexrd 10772 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈
ℝ*) |
697 | 40 | ffvelrnda 6864 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ) |
698 | 697 | rexrd 10772 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈
ℝ*) |
699 | 698 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈
ℝ*) |
700 | 699 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘𝑗) ∈
ℝ*) |
701 | 615 | sselda 3878 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ) |
702 | 701 | rexrd 10772 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈
ℝ*) |
703 | 702 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈
ℝ*) |
704 | | simplll 775 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝜑) |
705 | | ovex 7206 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑗 − 1) ∈
V |
706 | | eleq1 2821 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))) |
707 | 706 | anbi2d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)))) |
708 | | fveq2 6677 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘(𝑗 − 1))) |
709 | | oveq1 7180 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑗 − 1) + 1)) |
710 | 709 | fveq2d 6681 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))) |
711 | 708, 710 | breq12d 5044 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) |
712 | 707, 711 | imbi12d 348 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))) |
713 | 705, 712,
70 | vtocl 3464 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))) |
714 | 704, 688,
713 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))) |
715 | 635 | zcnd 12172 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ) |
716 | | 1cnd 10717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 1 ∈ ℂ) |
717 | 715, 716 | npcand 11082 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗) |
718 | 717 | eqcomd 2745 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 = ((𝑗 − 1) + 1)) |
719 | 718 | fveq2d 6681 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))) |
720 | 719 | eqcomd 2745 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄‘𝑗)) |
721 | 720 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄‘𝑗)) |
722 | 714, 721 | breqtrd 5057 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘𝑗)) |
723 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) |
724 | 722, 723 | breqtrd 5057 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝐸‘𝑋)) |
725 | 624 | leidd 11287 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝐸‘𝑋)) |
726 | 725 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝐸‘𝑋)) |
727 | 641 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘𝑗)) |
728 | 726, 727 | breqtrd 5057 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘𝑗)) |
729 | 728 | adantllr 719 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘𝑗)) |
730 | 696, 700,
703, 724, 729 | eliocd 42608 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘𝑗))) |
731 | 719 | oveq2d 7189 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) |
732 | 731 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) |
733 | 730, 732 | eleqtrd 2836 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) |
734 | 708, 710 | oveq12d 7191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) |
735 | 734 | eleq2d 2819 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))) |
736 | 735 | rspcev 3527 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
737 | 688, 733,
736 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
738 | 737 | ex 416 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))) |
739 | 738 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))) |
740 | 739 | rexlimdva 3195 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))) |
741 | 633, 740 | mpd 15 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
742 | 3 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑀 ∈ ℕ) |
743 | 40 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ) |
744 | | iocssicc 12914 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) |
745 | 646 | eqcomd 2745 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑄‘0)) |
746 | 645 | simprd 499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = 𝐵) |
747 | 746 | eqcomd 2745 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑄‘𝑀)) |
748 | 745, 747 | oveq12d 7191 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) |
749 | 744, 748 | sseqtrid 3930 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) |
750 | 749 | sselda 3878 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) |
751 | 750 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) |
752 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) |
753 | | fveq2 6677 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘𝑗)) |
754 | 753 | breq1d 5041 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝑄‘𝑘) < (𝐸‘𝑋) ↔ (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋))) |
755 | 754 | cbvrabv 3394 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < (𝐸‘𝑋)} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)} |
756 | 755 | supeq1i 8987 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
sup({𝑘 ∈
(0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < (𝐸‘𝑋)}, ℝ, < ) = sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)}, ℝ, < ) |
757 | 742, 743,
751, 752, 756 | fourierdlem25 43238 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
758 | | ioossioc 42593 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) |
759 | 758 | sseli 3874 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
760 | 759 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))) |
761 | 760 | reximdva 3185 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))) |
762 | 757, 761 | mpd 15 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
763 | 741, 762 | pm2.61dan 813 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
764 | 623, 763 | mpdan 687 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
765 | | fveq2 6677 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘𝑗)) |
766 | | oveq1 7180 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1)) |
767 | 766 | fveq2d 6681 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) |
768 | 765, 767 | oveq12d 7191 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) |
769 | 768 | eleq2d 2819 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))) |
770 | 769 | cbvrexvw 3351 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑖 ∈
(0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) |
771 | 764, 770 | sylib 221 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) |
772 | 771 | adantr 484 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) |
773 | | elfzonn0 13176 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0) |
774 | | 1nn0 11995 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 1 ∈
ℕ0 |
775 | 774 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 1 ∈
ℕ0) |
776 | 773, 775 | nn0addcld 12043 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈
ℕ0) |
777 | 776, 42 | eleqtrdi 2844 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈
(ℤ≥‘0)) |
778 | 777 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈
(ℤ≥‘0)) |
779 | 778 | 3ad2antl2 1187 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈
(ℤ≥‘0)) |
780 | 4 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ) |
781 | 780 | 3ad2antl1 1186 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ) |
782 | 773 | nn0red 12040 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ) |
783 | 782 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ) |
784 | 783 | 3ad2antl2 1187 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ) |
785 | | 1red 10723 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 1 ∈
ℝ) |
786 | 784, 785 | readdcld 10751 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℝ) |
787 | 781 | zred 12171 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℝ) |
788 | | elfzop1le2 42389 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀) |
789 | 788 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀) |
790 | 789 | 3ad2antl2 1187 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀) |
791 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) |
792 | | fveq2 6677 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑀 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘𝑀) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) |
793 | 792 | eqcomd 2745 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑀 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘𝑀)) |
794 | 793 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘𝑀)) |
795 | 746 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝑄‘𝑀) = 𝐵) |
796 | 791, 794,
795 | 3eqtrd 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) = 𝐵) |
797 | 796 | adantllr 719 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) = 𝐵) |
798 | | simpllr 776 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) |
799 | 798 | neneqd 2940 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → ¬ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) |
800 | 797, 799 | pm2.65da 817 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ¬ 𝑀 = (𝑗 + 1)) |
801 | 800 | neqned 2942 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ≠ (𝑗 + 1)) |
802 | 801 | 3ad2antl1 1186 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ≠ (𝑗 + 1)) |
803 | 786, 787,
790, 802 | leneltd 10875 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) < 𝑀) |
804 | | elfzo2 13135 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
∧ 𝑀 ∈ ℤ
∧ (𝑗 + 1) < 𝑀)) |
805 | 779, 781,
803, 804 | syl3anbrc 1344 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) |
806 | 40 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ) |
807 | | fzofzp1 13228 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈ (0...𝑀)) |
808 | 807 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑗 + 1) ∈ (0...𝑀)) |
809 | 806, 808 | ffvelrnd 6865 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ) |
810 | 809 | rexrd 10772 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈
ℝ*) |
811 | 810 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈
ℝ*) |
812 | 811 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈
ℝ*) |
813 | 812 | adantr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈
ℝ*) |
814 | | simpl1l 1225 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝜑) |
815 | 814, 40 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ) |
816 | | fzofzp1 13228 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀) → ((𝑗 + 1) + 1) ∈ (0...𝑀)) |
817 | 805, 816 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ((𝑗 + 1) + 1) ∈ (0...𝑀)) |
818 | 815, 817 | ffvelrnd 6865 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)) ∈ ℝ) |
819 | 818 | rexrd 10772 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)) ∈
ℝ*) |
820 | 624 | rexrd 10772 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈
ℝ*) |
821 | 820 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈
ℝ*) |
822 | 821 | 3ad2antl1 1186 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈
ℝ*) |
823 | 809 | leidd 11287 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1))) |
824 | 823 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1))) |
825 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) |
826 | 825 | eqcomd 2745 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝐸‘𝑋)) |
827 | 826 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝐸‘𝑋)) |
828 | 824, 827 | breqtrd 5057 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸‘𝑋)) |
829 | 828 | adantllr 719 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸‘𝑋)) |
830 | 829 | 3adantl3 1169 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸‘𝑋)) |
831 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) |
832 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) |
833 | | ovex 7206 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑗 + 1) ∈ V |
834 | | eleq1 2821 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀))) |
835 | 834 | anbi2d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)))) |
836 | | fveq2 6677 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) |
837 | | oveq1 7180 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑗 + 1) + 1)) |
838 | 837 | fveq2d 6681 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))) |
839 | 836, 838 | breq12d 5044 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))) |
840 | 835, 839 | imbi12d 348 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))))) |
841 | 833, 840,
70 | vtocl 3464 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))) |
842 | 841 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))) |
843 | 832, 842 | eqbrtrd 5053 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))) |
844 | 814, 805,
831, 843 | syl21anc 837 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))) |
845 | 813, 819,
822, 830, 844 | elicod 12874 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))) |
846 | 836, 838 | oveq12d 7191 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))) |
847 | 846 | eleq2d 2819 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))))) |
848 | 847 | rspcev 3527 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
849 | 805, 845,
848 | syl2anc 587 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
850 | | simpl2 1193 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) |
851 | | id 22 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))) |
852 | 851 | 3adant1r 1178 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))) |
853 | | elfzofz 13147 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀)) |
854 | 853 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀)) |
855 | 806, 854 | ffvelrnd 6865 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ) |
856 | 855 | rexrd 10772 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈
ℝ*) |
857 | 856 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘𝑗) ∈
ℝ*) |
858 | 857 | 3adantl3 1169 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘𝑗) ∈
ℝ*) |
859 | 810 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈
ℝ*) |
860 | 859 | 3adantl3 1169 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈
ℝ*) |
861 | 820 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈
ℝ*) |
862 | 861 | 3ad2antl1 1186 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈
ℝ*) |
863 | 855 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ) |
864 | 624 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ) |
865 | 856 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘𝑗) ∈
ℝ*) |
866 | 810 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈
ℝ*) |
867 | | simp3 1139 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) |
868 | | iocgtlb 42603 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑄‘𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ* ∧
(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)) |
869 | 865, 866,
867, 868 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)) |
870 | 863, 864,
869 | ltled 10869 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘𝑗) ≤ (𝐸‘𝑋)) |
871 | 870 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘𝑗) ≤ (𝐸‘𝑋)) |
872 | 864 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ) |
873 | 809 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ) |
874 | 873 | 3adantl3 1169 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ) |
875 | | iocleub 42604 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑄‘𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ* ∧
(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1))) |
876 | 865, 866,
867, 875 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1))) |
877 | 876 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1))) |
878 | | neqne 2943 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (¬
(𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) ≠ (𝑄‘(𝑗 + 1))) |
879 | 878 | necomd 2990 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (¬
(𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≠ (𝐸‘𝑋)) |
880 | 879 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≠ (𝐸‘𝑋)) |
881 | 872, 874,
877, 880 | leneltd 10875 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) < (𝑄‘(𝑗 + 1))) |
882 | 858, 860,
862, 871, 881 | elicod 12874 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) |
883 | 852, 882 | sylan 583 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) |
884 | 765, 767 | oveq12d 7191 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) |
885 | 884 | eleq2d 2819 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))) |
886 | 885 | rspcev 3527 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
887 | 850, 883,
886 | syl2anc 587 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
888 | 849, 887 | pm2.61dan 813 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
889 | 888 | rexlimdv3a 3197 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → (∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) |
890 | 772, 889 | mpd 15 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
891 | | simpr 488 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
892 | | oveq1 7180 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) |
893 | 892 | oveq2d 7189 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) |
894 | 893 | eqeq2d 2750 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → ((𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))) |
895 | 894 | rspcev 3527 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((⌊‘((𝐵
− 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) |
896 | 96, 104, 895 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) |
897 | 896 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) |
898 | | r19.42v 3255 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑘 ∈
ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) |
899 | 891, 897,
898 | sylanbrc 586 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) |
900 | 899 | ex 416 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))) |
901 | 900 | reximdv 3184 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))) |
902 | 890, 901 | mpd 15 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) |
903 | 626, 902 | jca 515 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))) |
904 | | eleq1 2821 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) |
905 | | eqeq1 2743 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → (𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) |
906 | 904, 905 | anbi12d 634 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → ((𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))) |
907 | 906 | 2rexbidv 3211 |
. . . . . 6
⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))) |
908 | 907 | anbi2d 632 |
. . . . 5
⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))) |
909 | 908 | imbi1d 345 |
. . . 4
⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠
∅))) |
910 | 909, 611 | vtoclg 3471 |
. . 3
⊢ ((𝐸‘𝑋) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠
∅)) |
911 | 625, 903,
910 | sylc 65 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) |
912 | 613, 911 | pm2.61dane 3022 |
1
⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) |