| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | simpl 482 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → 𝜑) | 
| 2 |  | 0zd 12627 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℤ) | 
| 3 |  | fourierdlem48.m | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ) | 
| 4 | 3 | nnzd 12642 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ) | 
| 5 | 3 | nngt0d 12316 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀) | 
| 6 |  | fzolb 13706 | . . . . . 6
⊢ (0 ∈
(0..^𝑀) ↔ (0 ∈
ℤ ∧ 𝑀 ∈
ℤ ∧ 0 < 𝑀)) | 
| 7 | 2, 4, 5, 6 | syl3anbrc 1343 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀)) | 
| 8 | 7 | adantr 480 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → 0 ∈ (0..^𝑀)) | 
| 9 |  | fourierdlem48.b | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) | 
| 10 |  | fourierdlem48.x | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ) | 
| 11 | 9, 10 | resubcld 11692 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℝ) | 
| 12 |  | fourierdlem48.t | . . . . . . . . . 10
⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴) | 
| 13 |  | fourierdlem48.a | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) | 
| 14 | 9, 13 | resubcld 11692 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ) | 
| 15 | 12, 14 | eqeltrid 2844 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ) | 
| 16 |  | fourierdlem48.altb | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵) | 
| 17 | 13, 9 | posdifd 11851 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴))) | 
| 18 | 16, 17 | mpbid 232 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴)) | 
| 19 | 18, 12 | breqtrrdi 5184 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇) | 
| 20 | 19 | gt0ne0d 11828 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0) | 
| 21 | 11, 15, 20 | redivcld 12096 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ) | 
| 22 | 21 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ) | 
| 23 | 22 | flcld 13839 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) | 
| 24 |  | 1zzd 12650 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → 1 ∈ ℤ) | 
| 25 | 23, 24 | zsubcld 12729 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) ∈
ℤ) | 
| 26 |  | id 22 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐸‘𝑋) = 𝐵 → (𝐸‘𝑋) = 𝐵) | 
| 27 | 12 | a1i 11 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐸‘𝑋) = 𝐵 → 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)) | 
| 28 | 26, 27 | oveq12d 7450 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐸‘𝑋) = 𝐵 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝐵 − (𝐵 − 𝐴))) | 
| 29 | 9 | recnd 11290 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) | 
| 30 | 13 | recnd 11290 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) | 
| 31 | 29, 30 | nncand 11626 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐵 − (𝐵 − 𝐴)) = 𝐴) | 
| 32 | 28, 31 | sylan9eqr 2798 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = 𝐴) | 
| 33 |  | fourierdlem48.q | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀)) | 
| 34 |  | fourierdlem48.p | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m
(0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) | 
| 35 | 34 | fourierdlem2 46129 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m
(0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))) | 
| 36 | 3, 35 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m
(0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))) | 
| 37 | 33, 36 | mpbid 232 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m
(0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))) | 
| 38 | 37 | simpld 494 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (ℝ ↑m
(0...𝑀))) | 
| 39 |  | elmapi 8890 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑄 ∈ (ℝ
↑m (0...𝑀))
→ 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ) | 
| 40 | 38, 39 | syl 17 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ) | 
| 41 | 3 | nnnn0d 12589 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈
ℕ0) | 
| 42 |  | nn0uz 12921 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
ℕ0 = (ℤ≥‘0) | 
| 43 | 41, 42 | eleqtrdi 2850 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈
(ℤ≥‘0)) | 
| 44 |  | eluzfz1 13572 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑀 ∈
(ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...𝑀)) | 
| 45 | 43, 44 | syl 17 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀)) | 
| 46 | 40, 45 | ffvelcdmd 7104 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ) | 
| 47 | 46 | rexrd 11312 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ∈
ℝ*) | 
| 48 |  | 1zzd 12650 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℤ) | 
| 49 |  | 0le1 11787 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ 0 ≤
1 | 
| 50 | 49 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1) | 
| 51 | 3 | nnge1d 12315 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑀) | 
| 52 | 2, 4, 48, 50, 51 | elfzd 13556 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 1 ∈ (0...𝑀)) | 
| 53 | 40, 52 | ffvelcdmd 7104 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑄‘1) ∈ ℝ) | 
| 54 | 53 | rexrd 11312 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑄‘1) ∈
ℝ*) | 
| 55 | 13 | rexrd 11312 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈
ℝ*) | 
| 56 | 37 | simprd 495 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 57 | 56 | simplld 767 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴) | 
| 58 | 13 | leidd 11830 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴) | 
| 59 | 57, 58 | eqbrtrd 5164 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐴) | 
| 60 | 57 | eqcomd 2742 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑄‘0)) | 
| 61 |  | 0re 11264 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ 0 ∈
ℝ | 
| 62 |  | eleq1 2828 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑖 = 0 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 0 ∈ (0..^𝑀))) | 
| 63 | 62 | anbi2d 630 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑖 = 0 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)))) | 
| 64 |  | fveq2 6905 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑖 = 0 → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘0)) | 
| 65 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑖 = 0 → (𝑖 + 1) = (0 + 1)) | 
| 66 | 65 | fveq2d 6909 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑖 = 0 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(0 + 1))) | 
| 67 | 64, 66 | breq12d 5155 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑖 = 0 → ((𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))) | 
| 68 | 63, 67 | imbi12d 344 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑖 = 0 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))))) | 
| 69 | 37 | simprrd 773 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) | 
| 70 | 69 | r19.21bi 3250 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) | 
| 71 | 68, 70 | vtoclg 3553 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (0 ∈
ℝ → ((𝜑 ∧ 0
∈ (0..^𝑀)) →
(𝑄‘0) < (𝑄‘(0 +
1)))) | 
| 72 | 61, 71 | ax-mp 5 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))) | 
| 73 | 7, 72 | mpdan 687 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))) | 
| 74 |  | 1e0p1 12777 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ 1 = (0 +
1) | 
| 75 | 74 | fveq2i 6908 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑄‘1) = (𝑄‘(0 + 1)) | 
| 76 | 73, 75 | breqtrrdi 5184 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) < (𝑄‘1)) | 
| 77 | 60, 76 | eqbrtrd 5164 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑄‘1)) | 
| 78 | 47, 54, 55, 59, 77 | elicod 13438 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘1))) | 
| 79 | 75 | oveq2i 7443 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘1)) = ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) | 
| 80 | 78, 79 | eleqtrdi 2850 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1)))) | 
| 81 | 80 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1)))) | 
| 82 | 32, 81 | eqeltrd 2840 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1)))) | 
| 83 |  | fourierdlem48.e | . . . . . . . . . . 11
⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥))) | 
| 84 | 83 | a1i 11 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥)))) | 
| 85 |  | id 22 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋) | 
| 86 |  | fveq2 6905 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑍‘𝑥) = (𝑍‘𝑋)) | 
| 87 | 85, 86 | oveq12d 7450 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑍‘𝑥)) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋))) | 
| 88 | 87 | adantl 481 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (𝑍‘𝑥)) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋))) | 
| 89 |  | fourierdlem48.z | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦
((⌊‘((𝐵 −
𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) | 
| 90 | 89 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦
((⌊‘((𝐵 −
𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))) | 
| 91 |  | oveq2 7440 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 𝑋)) | 
| 92 | 91 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) | 
| 93 | 92 | fveq2d 6909 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))) | 
| 94 | 93 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) | 
| 95 | 94 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) | 
| 96 | 21 | flcld 13839 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) | 
| 97 | 96 | zred 12724 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ) | 
| 98 | 97, 15 | remulcld 11292 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ) | 
| 99 | 90, 95, 10, 98 | fvmptd 7022 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑍‘𝑋) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) | 
| 100 | 99, 98 | eqeltrd 2840 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑍‘𝑋) ∈ ℝ) | 
| 101 | 10, 100 | readdcld 11291 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ) | 
| 102 | 84, 88, 10, 101 | fvmptd 7022 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋))) | 
| 103 | 99 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑍‘𝑋)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) | 
| 104 | 102, 103 | eqtrd 2776 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) | 
| 105 | 104 | oveq1d 7447 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑇)) | 
| 106 | 10 | recnd 11290 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ) | 
| 107 | 98 | recnd 11290 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ) | 
| 108 | 15 | recnd 11290 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ) | 
| 109 | 106, 107,
108 | addsubassd 11641 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇))) | 
| 110 | 96 | zcnd 12725 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℂ) | 
| 111 | 110, 108 | mulsubfacd 11725 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)) | 
| 112 | 111 | oveq2d 7448 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇)) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))) | 
| 113 | 105, 109,
112 | 3eqtrd 2780 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))) | 
| 114 | 113 | adantr 480 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))) | 
| 115 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑘 = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) → (𝑘 · 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)) | 
| 116 | 115 | oveq2d 7448 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑘 = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))) | 
| 117 | 116 | eqeq2d 2747 | . . . . . . 7
⊢ (𝑘 = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) → (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))) | 
| 118 | 117 | anbi2d 630 | . . . . . 6
⊢ (𝑘 = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) → ((((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))))) | 
| 119 | 118 | rspcev 3621 | . . . . 5
⊢
((((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) ∈ ℤ ∧ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 120 | 25, 82, 114, 119 | syl12anc 836 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 121 | 64, 66 | oveq12d 7450 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑖 = 0 → ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1)))) | 
| 122 | 121 | eleq2d 2826 | . . . . . . 7
⊢ (𝑖 = 0 → (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))) | 
| 123 | 122 | anbi1d 631 | . . . . . 6
⊢ (𝑖 = 0 → ((((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))) | 
| 124 | 123 | rexbidv 3178 | . . . . 5
⊢ (𝑖 = 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))) | 
| 125 | 124 | rspcev 3621 | . . . 4
⊢ ((0
∈ (0..^𝑀) ∧
∃𝑘 ∈ ℤ
(((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 126 | 8, 120, 125 | syl2anc 584 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 127 |  | ovex 7465 | . . . 4
⊢ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ V | 
| 128 |  | eleq1 2828 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) | 
| 129 |  | eqeq1 2740 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → (𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 130 | 128, 129 | anbi12d 632 | . . . . . . 7
⊢ (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → ((𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))) | 
| 131 | 130 | 2rexbidv 3221 | . . . . . 6
⊢ (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))) | 
| 132 | 131 | anbi2d 630 | . . . . 5
⊢ (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))) | 
| 133 | 132 | imbi1d 341 | . . . 4
⊢ (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠
∅))) | 
| 134 |  | simpr 484 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 135 |  | nfv 1913 | . . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑖𝜑 | 
| 136 |  | nfre1 3284 | . . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑖∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) | 
| 137 | 135, 136 | nfan 1898 | . . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 138 |  | nfv 1913 | . . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑘𝜑 | 
| 139 |  | nfcv 2904 | . . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑘(0..^𝑀) | 
| 140 |  | nfre1 3284 | . . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑘∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) | 
| 141 | 139, 140 | nfrexw 3312 | . . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑘∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) | 
| 142 | 138, 141 | nfan 1898 | . . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 143 |  | simp1 1136 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑) | 
| 144 |  | simp2l 1199 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) | 
| 145 |  | simp3l 1201 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 146 | 143, 144,
145 | jca31 514 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) | 
| 147 |  | simp2r 1200 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ) | 
| 148 |  | simp3r 1202 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) | 
| 149 |  | fourierdlem48.ch | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜒 ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 150 | 149 | biimpi 216 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 → ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 151 | 150 | simplld 767 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) | 
| 152 | 151 | simplld 767 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → 𝜑) | 
| 153 |  | fourierdlem48.f | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ) | 
| 154 |  | frel 6740 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐹:𝐷⟶ℝ → Rel 𝐹) | 
| 155 |  | resindm 6047 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (Rel
𝐹 → (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞))) | 
| 156 | 155 | eqcomd 2742 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (Rel
𝐹 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹))) | 
| 157 | 152, 153,
154, 156 | 4syl 19 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹))) | 
| 158 |  | fdm 6744 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐹:𝐷⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐷) | 
| 159 | 152, 153,
158 | 3syl 18 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → dom 𝐹 = 𝐷) | 
| 160 | 159 | ineq2d 4219 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹) = ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) | 
| 161 | 160 | reseq2d 5996 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))) | 
| 162 | 157, 161 | eqtrd 2776 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜒 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))) | 
| 163 | 162 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) limℂ 𝑋)) | 
| 164 | 152, 153 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → 𝐹:𝐷⟶ℝ) | 
| 165 |  | ax-resscn 11213 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ℝ
⊆ ℂ | 
| 166 | 165 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → ℝ ⊆
ℂ) | 
| 167 | 164, 166 | fssd 6752 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → 𝐹:𝐷⟶ℂ) | 
| 168 |  | inss2 4237 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷 | 
| 169 | 168 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷) | 
| 170 | 167, 169 | fssresd 6774 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)):((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)⟶ℂ) | 
| 171 |  | pnfxr 11316 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ +∞
∈ ℝ* | 
| 172 | 171 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → +∞ ∈
ℝ*) | 
| 173 | 151 | simplrd 769 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) | 
| 174 | 40 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ) | 
| 175 |  | fzofzp1 13804 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀)) | 
| 176 | 175 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀)) | 
| 177 | 174, 176 | ffvelcdmd 7104 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ) | 
| 178 | 152, 173,
177 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ) | 
| 179 | 150 | simplrd 769 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜒 → 𝑘 ∈ ℤ) | 
| 180 | 179 | zred 12724 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → 𝑘 ∈ ℝ) | 
| 181 | 152, 15 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → 𝑇 ∈ ℝ) | 
| 182 | 180, 181 | remulcld 11292 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ) | 
| 183 | 178, 182 | resubcld 11692 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) | 
| 184 | 183 | rexrd 11312 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈
ℝ*) | 
| 185 | 183 | ltpnfd 13164 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) < +∞) | 
| 186 | 184, 172,
185 | xrltled 13193 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ≤ +∞) | 
| 187 |  | iooss2 13424 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((+∞ ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ≤ +∞) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ (𝑋(,)+∞)) | 
| 188 | 172, 186,
187 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ (𝑋(,)+∞)) | 
| 189 | 179 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ) | 
| 190 | 189 | zcnd 12725 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℂ) | 
| 191 | 181 | recnd 11290 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜒 → 𝑇 ∈ ℂ) | 
| 192 | 191 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℂ) | 
| 193 | 190, 192 | mulneg1d 11717 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (-𝑘 · 𝑇) = -(𝑘 · 𝑇)) | 
| 194 | 193 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇))) | 
| 195 |  | elioore 13418 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℝ) | 
| 196 | 195 | recnd 11290 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℂ) | 
| 197 | 196 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℂ) | 
| 198 | 190, 192 | mulcld 11282 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ) | 
| 199 | 197, 198 | addcld 11281 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ) | 
| 200 | 199, 198 | negsubd 11627 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇))) | 
| 201 | 197, 198 | pncand 11622 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑤) | 
| 202 | 194, 200,
201 | 3eqtrrd 2781 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇))) | 
| 203 | 152 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑) | 
| 204 | 151 | simpld 494 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜒 → (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))) | 
| 205 |  | fourierdlem48.cn | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) | 
| 206 |  | cncff 24920 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ) | 
| 207 |  | fdm 6744 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 208 | 205, 206,
207 | 3syl 18 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 209 |  | ssdmres 6030 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 210 | 208, 209 | sylibr 234 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹) | 
| 211 | 153, 158 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷) | 
| 212 | 211 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom 𝐹 = 𝐷) | 
| 213 | 210, 212 | sseqtrd 4019 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷) | 
| 214 | 204, 213 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜒 → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷) | 
| 215 | 214 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷) | 
| 216 |  | elfzofz 13716 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀)) | 
| 217 | 216 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀)) | 
| 218 | 174, 217 | ffvelcdmd 7104 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ) | 
| 219 | 152, 173,
218 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ) | 
| 220 | 219 | rexrd 11312 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑖) ∈
ℝ*) | 
| 221 | 220 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘𝑖) ∈
ℝ*) | 
| 222 | 178 | rexrd 11312 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈
ℝ*) | 
| 223 | 222 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈
ℝ*) | 
| 224 | 195 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℝ) | 
| 225 | 189 | zred 12724 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℝ) | 
| 226 | 203, 15 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ) | 
| 227 | 225, 226 | remulcld 11292 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ) | 
| 228 | 224, 227 | readdcld 11291 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) | 
| 229 | 219 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ) | 
| 230 | 152, 10 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜒 → 𝑋 ∈ ℝ) | 
| 231 | 230, 182 | readdcld 11291 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) | 
| 232 | 231 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) | 
| 233 | 149 | simprbi 496 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜒 → 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) | 
| 234 | 233 | eqcomd 2742 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝑦) | 
| 235 | 151 | simprd 495 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜒 → 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 236 | 234, 235 | eqeltrd 2840 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 237 |  | icogelb 13439 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧
(𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) | 
| 238 | 220, 222,
236, 237 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) | 
| 239 | 238 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) | 
| 240 | 203, 10 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ) | 
| 241 | 240 | rexrd 11312 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈
ℝ*) | 
| 242 | 178 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ) | 
| 243 | 242, 227 | resubcld 11692 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) | 
| 244 | 243 | rexrd 11312 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈
ℝ*) | 
| 245 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 246 |  | ioogtlb 45513 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ*
∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑤) | 
| 247 | 241, 244,
245, 246 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑤) | 
| 248 | 240, 224,
227, 247 | ltadd1dd 11875 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑤 + (𝑘 · 𝑇))) | 
| 249 | 229, 232,
228, 239, 248 | lelttrd 11420 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘𝑖) < (𝑤 + (𝑘 · 𝑇))) | 
| 250 |  | iooltub 45528 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ*
∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) | 
| 251 | 241, 244,
245, 250 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) | 
| 252 | 224, 243,
227, 251 | ltadd1dd 11875 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) < (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇))) | 
| 253 | 178 | recnd 11290 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ) | 
| 254 | 182 | recnd 11290 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜒 → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ) | 
| 255 | 253, 254 | npcand 11625 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜒 → (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑄‘(𝑖 + 1))) | 
| 256 | 255 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑄‘(𝑖 + 1))) | 
| 257 | 252, 256 | breqtrd 5168 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) | 
| 258 | 221, 223,
228, 249, 257 | eliood 45516 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 259 | 215, 258 | sseldd 3983 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) | 
| 260 | 189 | znegcld 12726 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -𝑘 ∈ ℤ) | 
| 261 |  | ovex 7465 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ V | 
| 262 |  | eleq1 2828 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)) | 
| 263 | 262 | 3anbi2d 1442 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ))) | 
| 264 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇))) | 
| 265 | 264 | eleq1d 2825 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)) | 
| 266 | 263, 265 | imbi12d 344 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))) | 
| 267 |  | negex 11507 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ -𝑘 ∈ V | 
| 268 |  | eleq1 2828 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑗 = -𝑘 → (𝑗 ∈ ℤ ↔ -𝑘 ∈ ℤ)) | 
| 269 | 268 | 3anbi3d 1443 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑗 = -𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ))) | 
| 270 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑗 = -𝑘 → (𝑗 · 𝑇) = (-𝑘 · 𝑇)) | 
| 271 | 270 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑗 = -𝑘 → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) | 
| 272 | 271 | eleq1d 2825 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑗 = -𝑘 → ((𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)) | 
| 273 | 269, 272 | imbi12d 344 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))) | 
| 274 |  | eleq1 2828 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ ℤ ↔ 𝑗 ∈ ℤ)) | 
| 275 | 274 | 3anbi3d 1443 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ))) | 
| 276 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 · 𝑇) = (𝑗 · 𝑇)) | 
| 277 | 276 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) | 
| 278 | 277 | eleq1d 2825 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)) | 
| 279 | 275, 278 | imbi12d 344 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷))) | 
| 280 |  | fourierdlem48.dper | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) | 
| 281 | 279, 280 | chvarvv 1997 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) | 
| 282 | 267, 273,
281 | vtocl 3557 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) | 
| 283 | 261, 266,
282 | vtocl 3557 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) | 
| 284 | 203, 259,
260, 283 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) | 
| 285 | 202, 284 | eqeltrd 2840 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ 𝐷) | 
| 286 | 285 | ralrimiva 3145 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → ∀𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 ∈ 𝐷) | 
| 287 |  | dfss3 3971 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 ∈ 𝐷) | 
| 288 | 286, 287 | sylibr 234 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷) | 
| 289 | 188, 288 | ssind 4240 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) | 
| 290 |  | ioosscn 13450 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑋(,)+∞) ⊆
ℂ | 
| 291 |  | ssinss1 4245 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ
→ ((𝑋(,)+∞)
∩ 𝐷) ⊆
ℂ) | 
| 292 | 290, 291 | mp1i 13 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ) | 
| 293 |  | eqid 2736 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(TopOpen‘ℂfld) =
(TopOpen‘ℂfld) | 
| 294 |  | eqid 2736 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((TopOpen‘ℂfld)
↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) | 
| 295 | 230 | rexrd 11312 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → 𝑋 ∈
ℝ*) | 
| 296 | 230 | leidd 11830 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → 𝑋 ≤ 𝑋) | 
| 297 | 233 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇))) | 
| 298 | 230 | recnd 11290 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → 𝑋 ∈ ℂ) | 
| 299 | 298, 254 | pncand 11622 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 → ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑋) | 
| 300 | 297, 299 | eqtr2d 2777 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → 𝑋 = (𝑦 − (𝑘 · 𝑇))) | 
| 301 |  | icossre 13469 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*) →
((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ) | 
| 302 | 219, 222,
301 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ) | 
| 303 | 302, 235 | sseldd 3983 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 → 𝑦 ∈ ℝ) | 
| 304 |  | icoltub 45526 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑦 < (𝑄‘(𝑖 + 1))) | 
| 305 | 220, 222,
235, 304 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 → 𝑦 < (𝑄‘(𝑖 + 1))) | 
| 306 | 303, 178,
182, 305 | ltsub1dd 11876 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) | 
| 307 | 300, 306 | eqbrtrd 5164 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → 𝑋 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) | 
| 308 | 295, 184,
295, 296, 307 | elicod 13438 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → 𝑋 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 309 |  | snunioo1 45530 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ*
∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋}) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 310 | 295, 184,
307, 309 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → ((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋}) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 311 | 310 | fveq2d 6909 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 →
((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋})) =
((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))) | 
| 312 | 293 | cnfldtop 24805 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(TopOpen‘ℂfld) ∈ Top | 
| 313 |  | ovex 7465 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑋(,)+∞) ∈
V | 
| 314 | 313 | inex1 5316 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∈ V | 
| 315 |  | snex 5435 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ {𝑋} ∈ V | 
| 316 | 314, 315 | unex 7765 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V | 
| 317 |  | resttop 23169 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V) →
((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top) | 
| 318 | 312, 316,
317 | mp2an 692 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top | 
| 319 | 318 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 →
((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top) | 
| 320 |  | retop 24783 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(topGen‘ran (,)) ∈ Top | 
| 321 | 320 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (topGen‘ran (,))
∈ Top) | 
| 322 | 316 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V) | 
| 323 |  | iooretop 24787 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran
(,)) | 
| 324 | 323 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran
(,))) | 
| 325 |  | elrestr 17474 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V ∧ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran (,))) →
((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,))
↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) | 
| 326 | 321, 322,
324, 325 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 → ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,))
↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) | 
| 327 |  | mnfxr 11319 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ -∞
∈ ℝ* | 
| 328 | 327 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -∞ ∈
ℝ*) | 
| 329 | 184 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈
ℝ*) | 
| 330 |  | icossre 13469 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*) → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℝ) | 
| 331 | 230, 184,
330 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℝ) | 
| 332 | 331 | sselda 3982 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℝ) | 
| 333 | 332 | mnfltd 13167 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -∞ < 𝑥) | 
| 334 | 295 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈
ℝ*) | 
| 335 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 336 |  | icoltub 45526 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ*
∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) | 
| 337 | 334, 329,
335, 336 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) | 
| 338 | 328, 329,
332, 333, 337 | eliood 45516 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 339 |  | vsnid 4662 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ 𝑥 ∈ {𝑥} | 
| 340 | 339 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ {𝑥}) | 
| 341 |  | sneq 4635 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋}) | 
| 342 | 340, 341 | eleqtrd 2842 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ {𝑋}) | 
| 343 |  | elun2 4182 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 ∈ {𝑋} → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) | 
| 344 | 342, 343 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) | 
| 345 | 344 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) | 
| 346 | 295 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈
ℝ*) | 
| 347 | 171 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → +∞ ∈
ℝ*) | 
| 348 | 332 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ) | 
| 349 | 230 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ) | 
| 350 |  | icogelb 13439 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ*
∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ≤ 𝑥) | 
| 351 | 334, 329,
335, 350 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ≤ 𝑥) | 
| 352 | 351 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ≤ 𝑥) | 
| 353 |  | neqne 2947 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (¬
𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ≠ 𝑋) | 
| 354 | 353 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ≠ 𝑋) | 
| 355 | 349, 348,
352, 354 | leneltd 11416 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 < 𝑥) | 
| 356 | 348 | ltpnfd 13164 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < +∞) | 
| 357 | 346, 347,
348, 355, 356 | eliood 45516 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) | 
| 358 | 179 | zcnd 12725 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝜒 → 𝑘 ∈ ℂ) | 
| 359 | 358, 191 | mulneg1d 11717 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) = -(𝑘 · 𝑇)) | 
| 360 | 359 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝜒 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇))) | 
| 361 | 360 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇))) | 
| 362 |  | ioosscn 13450 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℂ | 
| 363 | 362 | sseli 3978 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℂ) | 
| 364 | 363 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℂ) | 
| 365 | 254 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ) | 
| 366 | 364, 365 | addcld 11281 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ) | 
| 367 | 366, 365 | negsubd 11627 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇))) | 
| 368 | 364, 365 | pncand 11622 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑤) | 
| 369 | 361, 367,
368 | 3eqtrrd 2781 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇))) | 
| 370 | 182 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ) | 
| 371 | 224, 370 | readdcld 11291 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) | 
| 372 | 221, 223,
371, 249, 257 | eliood 45516 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 373 | 215, 372 | sseldd 3983 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) | 
| 374 | 268 | 3anbi3d 1443 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑗 = -𝑘 → ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ))) | 
| 375 | 270 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑗 = -𝑘 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇))) | 
| 376 | 375 | eleq1d 2825 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑗 = -𝑘 → (((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)) | 
| 377 | 374, 376 | imbi12d 344 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))) | 
| 378 | 262 | 3anbi2d 1442 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ))) | 
| 379 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇))) | 
| 380 | 379 | eleq1d 2825 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)) | 
| 381 | 378, 380 | imbi12d 344 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷))) | 
| 382 | 261, 381,
281 | vtocl 3557 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) | 
| 383 | 267, 377,
382 | vtocl 3557 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) | 
| 384 | 203, 373,
260, 383 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) | 
| 385 | 369, 384 | eqeltrd 2840 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ 𝐷) | 
| 386 | 385 | ralrimiva 3145 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜒 → ∀𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 ∈ 𝐷) | 
| 387 | 386, 287 | sylibr 234 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷) | 
| 388 | 387 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷) | 
| 389 | 184 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈
ℝ*) | 
| 390 | 337 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) | 
| 391 | 346, 389,
348, 355, 390 | eliood 45516 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 392 | 388, 391 | sseldd 3983 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝐷) | 
| 393 | 357, 392 | elind 4199 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) | 
| 394 |  | elun1 4181 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) | 
| 395 | 393, 394 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) | 
| 396 | 345, 395 | pm2.61dan 812 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) | 
| 397 | 338, 396 | elind 4199 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) | 
| 398 | 295 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ∈
ℝ*) | 
| 399 | 184 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈
ℝ*) | 
| 400 |  | elinel1 4200 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 401 |  | elioore 13418 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ) | 
| 402 | 400, 401 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ) | 
| 403 | 402 | rexrd 11312 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ*) | 
| 404 | 403 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ ℝ*) | 
| 405 |  | elinel2 4201 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) | 
| 406 | 230 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ) | 
| 407 | 85 | eqcomd 2742 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑋 = 𝑥) | 
| 408 | 407 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 = 𝑥) | 
| 409 | 406, 408 | eqled 11365 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ≤ 𝑥) | 
| 410 | 409 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ≤ 𝑥) | 
| 411 |  | simpll 766 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝜒) | 
| 412 |  | simplr 768 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) | 
| 413 |  | id 22 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (¬
𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑥 = 𝑋) | 
| 414 |  | velsn 4641 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑥 ∈ {𝑋} ↔ 𝑥 = 𝑋) | 
| 415 | 413, 414 | sylnibr 329 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (¬
𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) | 
| 416 | 415 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) | 
| 417 |  | elunnel2 4154 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) | 
| 418 | 412, 416,
417 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) | 
| 419 |  | elinel1 4200 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) | 
| 420 | 418, 419 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) | 
| 421 | 230 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 ∈ ℝ) | 
| 422 |  | elioore 13418 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ) | 
| 423 | 422 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ) | 
| 424 | 295 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 ∈
ℝ*) | 
| 425 | 171 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → +∞ ∈
ℝ*) | 
| 426 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) | 
| 427 |  | ioogtlb 45513 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ*
∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 < 𝑥) | 
| 428 | 424, 425,
426, 427 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 < 𝑥) | 
| 429 | 421, 423,
428 | ltled 11410 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 ≤ 𝑥) | 
| 430 | 411, 420,
429 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ≤ 𝑥) | 
| 431 | 410, 430 | pm2.61dan 812 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑋 ≤ 𝑥) | 
| 432 | 405, 431 | sylan2 593 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ≤ 𝑥) | 
| 433 | 327 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -∞ ∈
ℝ*) | 
| 434 | 184 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈
ℝ*) | 
| 435 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 436 |  | iooltub 45528 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
((-∞ ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) | 
| 437 | 433, 434,
435, 436 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) | 
| 438 | 400, 437 | sylan2 593 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) | 
| 439 | 398, 399,
404, 432, 438 | elicod 13438 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 440 | 397, 439 | impbida 800 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))) | 
| 441 | 440 | eqrdv 2734 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) = ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) | 
| 442 |  | ioossre 13449 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑋(,)+∞) ⊆
ℝ | 
| 443 |  | ssinss1 4245 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
→ ((𝑋(,)+∞)
∩ 𝐷) ⊆
ℝ) | 
| 444 | 442, 443 | mp1i 13 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ) | 
| 445 | 230 | snssd 4808 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → {𝑋} ⊆ ℝ) | 
| 446 | 444, 445 | unssd 4191 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ) | 
| 447 |  | eqid 2736 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,)) | 
| 448 | 293, 447 | rerest 24826 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ →
((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,))
↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) | 
| 449 | 446, 448 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 →
((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,))
↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) | 
| 450 | 326, 441,
449 | 3eltr4d 2855 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈
((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) | 
| 451 |  | isopn3i 23091 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top ∧ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈
((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) →
((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 452 | 319, 450,
451 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 →
((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 453 | 311, 452 | eqtr2d 2777 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) =
((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋}))) | 
| 454 | 308, 453 | eleqtrd 2842 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜒 → 𝑋 ∈
((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋}))) | 
| 455 | 170, 289,
292, 293, 294, 454 | limcres 25922 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) limℂ 𝑋)) | 
| 456 | 289 | resabs1d 6025 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))) | 
| 457 | 456 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) | 
| 458 | 165 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → ℝ ⊆
ℂ) | 
| 459 | 153, 458 | fssd 6752 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ) | 
| 460 | 211 | feq2d 6721 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:𝐷⟶ℂ)) | 
| 461 | 459, 460 | mpbird 257 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) | 
| 462 | 152, 461 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) | 
| 463 | 462 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) | 
| 464 | 362 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℂ) | 
| 465 | 387, 159 | sseqtrrd 4020 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ dom 𝐹) | 
| 466 | 465 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ dom 𝐹) | 
| 467 | 254 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ) | 
| 468 |  | eqid 2736 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ {𝑧 ∈ ℂ ∣
∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} | 
| 469 |  | eqeq1 2740 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 470 | 469 | rexbidv 3178 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 471 | 470 | elrab 3691 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 472 | 471 | simprbi 496 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} → ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) | 
| 473 | 472 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) | 
| 474 |  | nfv 1913 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
Ⅎ𝑥𝜒 | 
| 475 |  | nfre1 3284 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) | 
| 476 |  | nfcv 2904 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
Ⅎ𝑥ℂ | 
| 477 | 475, 476 | nfrabw 3474 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
Ⅎ𝑥{𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} | 
| 478 | 477 | nfcri 2896 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} | 
| 479 | 474, 478 | nfan 1898 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
Ⅎ𝑥(𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) | 
| 480 |  | nfv 1913 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ 𝐷 | 
| 481 |  | simp3 1138 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) | 
| 482 |  | eleq1 2828 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))) | 
| 483 | 482 | anbi2d 630 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))) | 
| 484 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) | 
| 485 | 484 | eleq1d 2825 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)) | 
| 486 | 483, 485 | imbi12d 344 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑤 = 𝑥 → (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))) | 
| 487 | 486, 259 | chvarvv 1997 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) | 
| 488 | 487 | 3adant3 1132 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) | 
| 489 | 481, 488 | eqeltrd 2840 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ 𝐷) | 
| 490 | 489 | 3exp 1119 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → (𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷))) | 
| 491 | 490 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → (𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷))) | 
| 492 | 479, 480,
491 | rexlimd 3265 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → (∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷)) | 
| 493 | 473, 492 | mpd 15 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → 𝑤 ∈ 𝐷) | 
| 494 | 493 | ralrimiva 3145 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜒 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}𝑤 ∈ 𝐷) | 
| 495 |  | dfss3 3971 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ({𝑧 ∈ ℂ ∣
∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}𝑤 ∈ 𝐷) | 
| 496 | 494, 495 | sylibr 234 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷) | 
| 497 | 496, 159 | sseqtrrd 4020 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹) | 
| 498 | 497 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹) | 
| 499 | 152 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑) | 
| 500 | 387 | sselda 3982 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ 𝐷) | 
| 501 | 179 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ) | 
| 502 |  | fourierdlem48.per | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) | 
| 503 | 499, 500,
501, 502 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) | 
| 504 | 503 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) | 
| 505 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) | 
| 506 | 463, 464,
466, 467, 468, 498, 504, 505 | limcperiod 45648 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) limℂ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 507 | 255 | eqcomd 2742 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇))) | 
| 508 | 233, 507 | oveq12d 7450 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇))(,)(((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 509 | 230, 183,
182 | iooshift 45540 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜒 → ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇))(,)(((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) | 
| 510 | 508, 509 | eqtr2d 2777 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} = (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 511 | 510 | reseq2d 5996 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) = (𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) | 
| 512 | 511, 234 | oveq12d 7450 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) limℂ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) | 
| 513 | 512 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) limℂ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) | 
| 514 | 506, 513 | eleqtrd 2842 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) | 
| 515 | 462 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) | 
| 516 |  | ioosscn 13450 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ | 
| 517 | 516 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ) | 
| 518 |  | icogelb 13439 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ≤ 𝑦) | 
| 519 | 220, 222,
235, 518 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑖) ≤ 𝑦) | 
| 520 |  | iooss1 13423 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘𝑖) ≤ 𝑦) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 521 | 220, 519,
520 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 522 | 521, 214 | sstrd 3993 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷) | 
| 523 | 522, 159 | sseqtrrd 4020 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹) | 
| 524 | 523 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹) | 
| 525 | 358 | negcld 11608 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → -𝑘 ∈ ℂ) | 
| 526 | 525, 191 | mulcld 11282 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ) | 
| 527 | 526 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ) | 
| 528 |  | eqid 2736 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ {𝑧 ∈ ℂ ∣
∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} | 
| 529 |  | eqeq1 2740 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ↔ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))) | 
| 530 | 529 | rexbidv 3178 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))) | 
| 531 | 530 | elrab 3691 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))) | 
| 532 | 531 | simprbi 496 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} → ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) | 
| 533 | 532 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) | 
| 534 |  | nfre1 3284 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) | 
| 535 | 534, 476 | nfrabw 3474 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
Ⅎ𝑥{𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} | 
| 536 | 535 | nfcri 2896 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} | 
| 537 | 474, 536 | nfan 1898 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
Ⅎ𝑥(𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) | 
| 538 |  | simp3 1138 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) | 
| 539 | 152 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝜑) | 
| 540 | 522 | sselda 3982 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ 𝐷) | 
| 541 | 179 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℤ) | 
| 542 | 541 | znegcld 12726 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -𝑘 ∈ ℤ) | 
| 543 | 539, 540,
542, 282 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) | 
| 544 | 543 | 3adant3 1132 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) | 
| 545 | 538, 544 | eqeltrd 2840 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ 𝐷) | 
| 546 | 545 | 3exp 1119 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷))) | 
| 547 | 546 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → (𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷))) | 
| 548 | 537, 480,
547 | rexlimd 3265 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → (∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷)) | 
| 549 | 533, 548 | mpd 15 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → 𝑤 ∈ 𝐷) | 
| 550 | 549 | ralrimiva 3145 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜒 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}𝑤 ∈ 𝐷) | 
| 551 |  | dfss3 3971 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ({𝑧 ∈ ℂ ∣
∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}𝑤 ∈ 𝐷) | 
| 552 | 550, 551 | sylibr 234 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷) | 
| 553 | 552, 159 | sseqtrrd 4020 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹) | 
| 554 | 553 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹) | 
| 555 | 152 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝜑) | 
| 556 | 540 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ 𝐷) | 
| 557 | 542 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -𝑘 ∈ ℤ) | 
| 558 | 271 | fveq2d 6909 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑗 = -𝑘 → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))) | 
| 559 | 558 | eqeq1d 2738 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑗 = -𝑘 → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))) | 
| 560 | 269, 559 | imbi12d 344 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)))) | 
| 561 | 277 | fveq2d 6909 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇)))) | 
| 562 | 561 | eqeq1d 2738 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))) | 
| 563 | 275, 562 | imbi12d 344 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)))) | 
| 564 | 563, 502 | chvarvv 1997 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) | 
| 565 | 267, 560,
564 | vtocl 3557 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) | 
| 566 | 555, 556,
557, 565 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) | 
| 567 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) | 
| 568 | 515, 517,
524, 527, 528, 554, 566, 567 | limcperiod 45648 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) limℂ (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)))) | 
| 569 | 359 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜒 → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + -(𝑘 · 𝑇))) | 
| 570 | 303 | recnd 11290 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜒 → 𝑦 ∈ ℂ) | 
| 571 | 570, 254 | negsubd 11627 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜒 → (𝑦 + -(𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 − (𝑘 · 𝑇))) | 
| 572 | 300 | eqcomd 2742 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑋) | 
| 573 | 569, 571,
572 | 3eqtrd 2780 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜒 → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = 𝑋) | 
| 574 | 573 | eqcomd 2742 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜒 → 𝑋 = (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))) | 
| 575 | 359 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + -(𝑘 · 𝑇))) | 
| 576 | 253, 254 | negsubd 11627 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) | 
| 577 | 575, 576 | eqtr2d 2777 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇))) | 
| 578 | 574, 577 | oveq12d 7450 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) = ((𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇)))) | 
| 579 | 180 | renegcld 11691 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜒 → -𝑘 ∈ ℝ) | 
| 580 | 579, 181 | remulcld 11292 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ) | 
| 581 | 303, 178,
580 | iooshift 45540 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜒 → ((𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) | 
| 582 | 578, 581 | eqtr2d 2777 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 583 | 582 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 584 | 583 | reseq2d 5996 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))) | 
| 585 | 573 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = 𝑋) | 
| 586 | 584, 585 | oveq12d 7450 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) limℂ (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) | 
| 587 | 568, 586 | eleqtrd 2842 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) | 
| 588 | 514, 587 | impbida 800 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → (𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋) ↔ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))) | 
| 589 | 588 | eqrdv 2734 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) | 
| 590 | 457, 589 | eqtrd 2776 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) | 
| 591 | 163, 455,
590 | 3eqtr2d 2782 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) | 
| 592 | 152, 173,
70 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) | 
| 593 | 152, 173,
205 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) | 
| 594 |  | fourierdlem48.r | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖))) | 
| 595 | 152, 173,
594 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖))) | 
| 596 |  | eqid 2736 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ if(𝑦 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) = if(𝑦 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) | 
| 597 |  | eqid 2736 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) =
((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 598 | 219, 178,
592, 593, 595, 303, 178, 305, 521, 596, 597 | fourierdlem32 46159 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜒 → if(𝑦 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) | 
| 599 | 521 | resabs1d 6025 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) | 
| 600 | 599 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) | 
| 601 | 598, 600 | eleqtrd 2842 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜒 → if(𝑦 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) | 
| 602 |  | ne0i 4340 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (if(𝑦 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦) → ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦) ≠ ∅) | 
| 603 | 601, 602 | syl 17 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦) ≠ ∅) | 
| 604 | 591, 603 | eqnetrd 3007 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) | 
| 605 | 149, 604 | sylbir 235 | . . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) | 
| 606 | 146, 147,
148, 605 | syl21anc 837 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) | 
| 607 | 606 | 3exp 1119 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠
∅))) | 
| 608 | 607 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠
∅))) | 
| 609 | 137, 142,
608 | rexlim2d 45645 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠
∅)) | 
| 610 | 134, 609 | mpd 15 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) | 
| 611 | 127, 133,
610 | vtocl 3557 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) | 
| 612 | 1, 126, 611 | syl2anc 584 | . 2
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) | 
| 613 |  | iocssre 13468 | . . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈ ℝ)
→ (𝐴(,]𝐵) ⊆
ℝ) | 
| 614 | 55, 9, 613 | syl2anc 584 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ) | 
| 615 |  | ovex 7465 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((⌊‘((𝐵
− 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V | 
| 616 | 89 | fvmpt2 7026 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧
((⌊‘((𝐵 −
𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V) → (𝑍‘𝑥) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) | 
| 617 | 615, 616 | mpan2 691 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑍‘𝑥) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) | 
| 618 | 617 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (𝑍‘𝑥)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))) | 
| 619 | 618 | mpteq2ia 5244 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))) | 
| 620 | 83, 619 | eqtri 2764 | . . . . . . 7
⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))) | 
| 621 | 13, 9, 16, 12, 620 | fourierdlem4 46131 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵)) | 
| 622 | 621, 10 | ffvelcdmd 7104 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) | 
| 623 | 614, 622 | sseldd 3983 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ) | 
| 624 | 623 | adantr 480 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ) | 
| 625 |  | simpl 482 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → 𝜑) | 
| 626 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) | 
| 627 |  | ffn 6735 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ → 𝑄 Fn (0...𝑀)) | 
| 628 | 40, 627 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑄 Fn (0...𝑀)) | 
| 629 | 628 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄 Fn (0...𝑀)) | 
| 630 |  | fvelrnb 6968 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑄 Fn (0...𝑀) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋))) | 
| 631 | 629, 630 | syl 17 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋))) | 
| 632 | 626, 631 | mpbid 232 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) | 
| 633 |  | 1zzd 12650 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 1 ∈ ℤ) | 
| 634 |  | elfzelz 13565 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ) | 
| 635 | 634 | ad2antlr 727 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ ℤ) | 
| 636 | 635 | zred 12724 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ ℝ) | 
| 637 |  | elfzle1 13568 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 0 ≤ 𝑗) | 
| 638 | 637 | ad2antlr 727 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 ≤ 𝑗) | 
| 639 |  | id 22 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) | 
| 640 | 639 | eqcomd 2742 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘𝑗)) | 
| 641 | 640 | ad2antlr 727 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘𝑗)) | 
| 642 |  | fveq2 6905 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑗 = 0 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘0)) | 
| 643 | 642 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘0)) | 
| 644 | 37 | simprld 771 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝜑 → ((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵)) | 
| 645 | 644 | simpld 494 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴) | 
| 646 | 645 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄‘0) = 𝐴) | 
| 647 | 641, 643,
646 | 3eqtrd 2780 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = 𝐴) | 
| 648 | 647 | adantllr 719 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = 𝐴) | 
| 649 | 648 | adantllr 719 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = 𝐴) | 
| 650 | 13 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ) | 
| 651 | 55 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈
ℝ*) | 
| 652 | 9 | rexrd 11312 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈
ℝ*) | 
| 653 | 652 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈
ℝ*) | 
| 654 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) | 
| 655 |  | iocgtlb 45520 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸‘𝑋)) | 
| 656 | 651, 653,
654, 655 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸‘𝑋)) | 
| 657 | 650, 656 | gtned 11397 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐴) | 
| 658 | 657 | neneqd 2944 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ¬ (𝐸‘𝑋) = 𝐴) | 
| 659 | 658 | ad3antrrr 730 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → ¬ (𝐸‘𝑋) = 𝐴) | 
| 660 | 649, 659 | pm2.65da 816 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ¬ 𝑗 = 0) | 
| 661 | 660 | neqned 2946 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ≠ 0) | 
| 662 | 636, 638,
661 | ne0gt0d 11399 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 < 𝑗) | 
| 663 |  | 0zd 12627 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 ∈ ℤ) | 
| 664 |  | zltp1le 12669 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((0
∈ ℤ ∧ 𝑗
∈ ℤ) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗)) | 
| 665 | 663, 635,
664 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗)) | 
| 666 | 662, 665 | mpbid 232 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (0 + 1) ≤ 𝑗) | 
| 667 | 74, 666 | eqbrtrid 5177 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 1 ≤ 𝑗) | 
| 668 |  | eluz2 12885 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑗 ∈
(ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤
𝑗)) | 
| 669 | 633, 635,
667, 668 | syl3anbrc 1343 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈
(ℤ≥‘1)) | 
| 670 |  | nnuz 12922 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ℕ =
(ℤ≥‘1) | 
| 671 | 669, 670 | eleqtrrdi 2851 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ ℕ) | 
| 672 |  | nnm1nn0 12569 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈
ℕ0) | 
| 673 | 671, 672 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈
ℕ0) | 
| 674 | 673, 42 | eleqtrdi 2850 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈
(ℤ≥‘0)) | 
| 675 | 4 | ad3antrrr 730 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑀 ∈ ℤ) | 
| 676 |  | peano2zm 12662 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈
ℤ) | 
| 677 | 634, 676 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ) | 
| 678 | 677 | zred 12724 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ) | 
| 679 | 634 | zred 12724 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ) | 
| 680 |  | elfzel2 13563 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ) | 
| 681 | 680 | zred 12724 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ) | 
| 682 | 679 | ltm1d 12201 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑗) | 
| 683 |  | elfzle2 13569 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ≤ 𝑀) | 
| 684 | 678, 679,
681, 682, 683 | ltletrd 11422 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑀) | 
| 685 | 684 | ad2antlr 727 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) < 𝑀) | 
| 686 |  | elfzo2 13703 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝑗 − 1) ∈
(ℤ≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) < 𝑀)) | 
| 687 | 674, 675,
685, 686 | syl3anbrc 1343 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) | 
| 688 | 40 | ad3antrrr 730 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ) | 
| 689 | 635, 676 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ) | 
| 690 | 673 | nn0ge0d 12592 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 ≤ (𝑗 − 1)) | 
| 691 | 678, 681,
684 | ltled 11410 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀) | 
| 692 | 691 | ad2antlr 727 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀) | 
| 693 | 663, 675,
689, 690, 692 | elfzd 13556 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0...𝑀)) | 
| 694 | 688, 693 | ffvelcdmd 7104 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ) | 
| 695 | 694 | rexrd 11312 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈
ℝ*) | 
| 696 | 40 | ffvelcdmda 7103 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ) | 
| 697 | 696 | rexrd 11312 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈
ℝ*) | 
| 698 | 697 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈
ℝ*) | 
| 699 | 698 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘𝑗) ∈
ℝ*) | 
| 700 | 614 | sselda 3982 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ) | 
| 701 | 700 | rexrd 11312 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈
ℝ*) | 
| 702 | 701 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈
ℝ*) | 
| 703 |  | simplll 774 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝜑) | 
| 704 |  | ovex 7465 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑗 − 1) ∈
V | 
| 705 |  | eleq1 2828 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))) | 
| 706 | 705 | anbi2d 630 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)))) | 
| 707 |  | fveq2 6905 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘(𝑗 − 1))) | 
| 708 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑗 − 1) + 1)) | 
| 709 | 708 | fveq2d 6909 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))) | 
| 710 | 707, 709 | breq12d 5155 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) | 
| 711 | 706, 710 | imbi12d 344 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))) | 
| 712 | 704, 711,
70 | vtocl 3557 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))) | 
| 713 | 703, 687,
712 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))) | 
| 714 | 634 | zcnd 12725 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ) | 
| 715 |  | 1cnd 11257 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 1 ∈ ℂ) | 
| 716 | 714, 715 | npcand 11625 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗) | 
| 717 | 716 | eqcomd 2742 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 = ((𝑗 − 1) + 1)) | 
| 718 | 717 | fveq2d 6909 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))) | 
| 719 | 718 | eqcomd 2742 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄‘𝑗)) | 
| 720 | 719 | ad2antlr 727 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄‘𝑗)) | 
| 721 | 713, 720 | breqtrd 5168 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘𝑗)) | 
| 722 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) | 
| 723 | 721, 722 | breqtrd 5168 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝐸‘𝑋)) | 
| 724 | 623 | leidd 11830 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝐸‘𝑋)) | 
| 725 | 724 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝐸‘𝑋)) | 
| 726 | 640 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘𝑗)) | 
| 727 | 725, 726 | breqtrd 5168 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘𝑗)) | 
| 728 | 727 | adantllr 719 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘𝑗)) | 
| 729 | 695, 699,
702, 723, 728 | eliocd 45525 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘𝑗))) | 
| 730 | 718 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) | 
| 731 | 730 | ad2antlr 727 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) | 
| 732 | 729, 731 | eleqtrd 2842 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) | 
| 733 | 707, 709 | oveq12d 7450 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) | 
| 734 | 733 | eleq2d 2826 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))) | 
| 735 | 734 | rspcev 3621 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 736 | 687, 732,
735 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 737 | 736 | ex 412 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))) | 
| 738 | 737 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))) | 
| 739 | 738 | rexlimdva 3154 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))) | 
| 740 | 632, 739 | mpd 15 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 741 | 3 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑀 ∈ ℕ) | 
| 742 | 40 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ) | 
| 743 |  | iocssicc 13478 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) | 
| 744 | 645 | eqcomd 2742 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑄‘0)) | 
| 745 | 644 | simprd 495 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = 𝐵) | 
| 746 | 745 | eqcomd 2742 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑄‘𝑀)) | 
| 747 | 744, 746 | oveq12d 7450 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) | 
| 748 | 743, 747 | sseqtrid 4025 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) | 
| 749 | 748 | sselda 3982 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) | 
| 750 | 749 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) | 
| 751 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) | 
| 752 |  | fveq2 6905 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘𝑗)) | 
| 753 | 752 | breq1d 5152 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝑄‘𝑘) < (𝐸‘𝑋) ↔ (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋))) | 
| 754 | 753 | cbvrabv 3446 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < (𝐸‘𝑋)} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)} | 
| 755 | 754 | supeq1i 9488 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
sup({𝑘 ∈
(0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < (𝐸‘𝑋)}, ℝ, < ) = sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)}, ℝ, < ) | 
| 756 | 741, 742,
750, 751, 755 | fourierdlem25 46152 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 757 |  | ioossioc 45510 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) | 
| 758 | 757 | sseli 3978 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 759 | 758 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))) | 
| 760 | 759 | reximdva 3167 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))) | 
| 761 | 756, 760 | mpd 15 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 762 | 740, 761 | pm2.61dan 812 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 763 | 622, 762 | mpdan 687 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 764 |  | fveq2 6905 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘𝑗)) | 
| 765 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1)) | 
| 766 | 765 | fveq2d 6909 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) | 
| 767 | 764, 766 | oveq12d 7450 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) | 
| 768 | 767 | eleq2d 2826 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))) | 
| 769 | 768 | cbvrexvw 3237 | . . . . . . . 8
⊢
(∃𝑖 ∈
(0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) | 
| 770 | 763, 769 | sylib 218 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) | 
| 771 | 770 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) | 
| 772 |  | elfzonn0 13748 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0) | 
| 773 |  | 1nn0 12544 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 1 ∈
ℕ0 | 
| 774 | 773 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 1 ∈
ℕ0) | 
| 775 | 772, 774 | nn0addcld 12593 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈
ℕ0) | 
| 776 | 775, 42 | eleqtrdi 2850 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈
(ℤ≥‘0)) | 
| 777 | 776 | adantr 480 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈
(ℤ≥‘0)) | 
| 778 | 777 | 3ad2antl2 1186 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈
(ℤ≥‘0)) | 
| 779 | 4 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ) | 
| 780 | 779 | 3ad2antl1 1185 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ) | 
| 781 | 772 | nn0red 12590 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ) | 
| 782 | 781 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ) | 
| 783 | 782 | 3ad2antl2 1186 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ) | 
| 784 |  | 1red 11263 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 1 ∈
ℝ) | 
| 785 | 783, 784 | readdcld 11291 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℝ) | 
| 786 | 780 | zred 12724 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℝ) | 
| 787 |  | elfzop1le2 13713 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀) | 
| 788 | 787 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀) | 
| 789 | 788 | 3ad2antl2 1186 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀) | 
| 790 |  | simplr 768 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) | 
| 791 |  | fveq2 6905 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑀 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘𝑀) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) | 
| 792 | 791 | eqcomd 2742 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑀 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘𝑀)) | 
| 793 | 792 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘𝑀)) | 
| 794 | 745 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝑄‘𝑀) = 𝐵) | 
| 795 | 790, 793,
794 | 3eqtrd 2780 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) = 𝐵) | 
| 796 | 795 | adantllr 719 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) = 𝐵) | 
| 797 |  | simpllr 775 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) | 
| 798 | 797 | neneqd 2944 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → ¬ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) | 
| 799 | 796, 798 | pm2.65da 816 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ¬ 𝑀 = (𝑗 + 1)) | 
| 800 | 799 | neqned 2946 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ≠ (𝑗 + 1)) | 
| 801 | 800 | 3ad2antl1 1185 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ≠ (𝑗 + 1)) | 
| 802 | 785, 786,
789, 801 | leneltd 11416 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) < 𝑀) | 
| 803 |  | elfzo2 13703 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
∧ 𝑀 ∈ ℤ
∧ (𝑗 + 1) < 𝑀)) | 
| 804 | 778, 780,
802, 803 | syl3anbrc 1343 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) | 
| 805 | 40 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ) | 
| 806 |  | fzofzp1 13804 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈ (0...𝑀)) | 
| 807 | 806 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑗 + 1) ∈ (0...𝑀)) | 
| 808 | 805, 807 | ffvelcdmd 7104 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ) | 
| 809 | 808 | rexrd 11312 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈
ℝ*) | 
| 810 | 809 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈
ℝ*) | 
| 811 | 810 | 3adant3 1132 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈
ℝ*) | 
| 812 | 811 | adantr 480 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈
ℝ*) | 
| 813 |  | simpl1l 1224 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝜑) | 
| 814 | 813, 40 | syl 17 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ) | 
| 815 |  | fzofzp1 13804 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀) → ((𝑗 + 1) + 1) ∈ (0...𝑀)) | 
| 816 | 804, 815 | syl 17 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ((𝑗 + 1) + 1) ∈ (0...𝑀)) | 
| 817 | 814, 816 | ffvelcdmd 7104 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)) ∈ ℝ) | 
| 818 | 817 | rexrd 11312 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)) ∈
ℝ*) | 
| 819 | 623 | rexrd 11312 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈
ℝ*) | 
| 820 | 819 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈
ℝ*) | 
| 821 | 820 | 3ad2antl1 1185 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈
ℝ*) | 
| 822 | 808 | leidd 11830 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1))) | 
| 823 | 822 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1))) | 
| 824 |  | id 22 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) | 
| 825 | 824 | eqcomd 2742 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝐸‘𝑋)) | 
| 826 | 825 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝐸‘𝑋)) | 
| 827 | 823, 826 | breqtrd 5168 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸‘𝑋)) | 
| 828 | 827 | adantllr 719 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸‘𝑋)) | 
| 829 | 828 | 3adantl3 1168 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸‘𝑋)) | 
| 830 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) | 
| 831 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) | 
| 832 |  | ovex 7465 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑗 + 1) ∈ V | 
| 833 |  | eleq1 2828 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀))) | 
| 834 | 833 | anbi2d 630 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)))) | 
| 835 |  | fveq2 6905 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) | 
| 836 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑗 + 1) + 1)) | 
| 837 | 836 | fveq2d 6909 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))) | 
| 838 | 835, 837 | breq12d 5155 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))) | 
| 839 | 834, 838 | imbi12d 344 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))))) | 
| 840 | 832, 839,
70 | vtocl 3557 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))) | 
| 841 | 840 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))) | 
| 842 | 831, 841 | eqbrtrd 5164 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))) | 
| 843 | 813, 804,
830, 842 | syl21anc 837 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))) | 
| 844 | 812, 818,
821, 829, 843 | elicod 13438 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))) | 
| 845 | 835, 837 | oveq12d 7450 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))) | 
| 846 | 845 | eleq2d 2826 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))))) | 
| 847 | 846 | rspcev 3621 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 848 | 804, 844,
847 | syl2anc 584 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 849 |  | simpl2 1192 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) | 
| 850 |  | id 22 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))) | 
| 851 | 850 | 3adant1r 1177 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))) | 
| 852 |  | elfzofz 13716 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀)) | 
| 853 | 852 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀)) | 
| 854 | 805, 853 | ffvelcdmd 7104 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ) | 
| 855 | 854 | rexrd 11312 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈
ℝ*) | 
| 856 | 855 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘𝑗) ∈
ℝ*) | 
| 857 | 856 | 3adantl3 1168 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘𝑗) ∈
ℝ*) | 
| 858 | 809 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈
ℝ*) | 
| 859 | 858 | 3adantl3 1168 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈
ℝ*) | 
| 860 | 819 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈
ℝ*) | 
| 861 | 860 | 3ad2antl1 1185 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈
ℝ*) | 
| 862 | 854 | 3adant3 1132 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ) | 
| 863 | 623 | 3ad2ant1 1133 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ) | 
| 864 | 855 | 3adant3 1132 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘𝑗) ∈
ℝ*) | 
| 865 | 809 | 3adant3 1132 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈
ℝ*) | 
| 866 |  | simp3 1138 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) | 
| 867 |  | iocgtlb 45520 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑄‘𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ* ∧
(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)) | 
| 868 | 864, 865,
866, 867 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)) | 
| 869 | 862, 863,
868 | ltled 11410 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘𝑗) ≤ (𝐸‘𝑋)) | 
| 870 | 869 | adantr 480 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘𝑗) ≤ (𝐸‘𝑋)) | 
| 871 | 863 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ) | 
| 872 | 808 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ) | 
| 873 | 872 | 3adantl3 1168 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ) | 
| 874 |  | iocleub 45521 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑄‘𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ* ∧
(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1))) | 
| 875 | 864, 865,
866, 874 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1))) | 
| 876 | 875 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1))) | 
| 877 |  | neqne 2947 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (¬
(𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) ≠ (𝑄‘(𝑗 + 1))) | 
| 878 | 877 | necomd 2995 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (¬
(𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≠ (𝐸‘𝑋)) | 
| 879 | 878 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≠ (𝐸‘𝑋)) | 
| 880 | 871, 873,
876, 879 | leneltd 11416 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) < (𝑄‘(𝑗 + 1))) | 
| 881 | 857, 859,
861, 870, 880 | elicod 13438 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) | 
| 882 | 851, 881 | sylan 580 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) | 
| 883 | 764, 766 | oveq12d 7450 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) | 
| 884 | 883 | eleq2d 2826 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))) | 
| 885 | 884 | rspcev 3621 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 886 | 849, 882,
885 | syl2anc 584 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 887 | 848, 886 | pm2.61dan 812 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 888 | 887 | rexlimdv3a 3158 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → (∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) | 
| 889 | 771, 888 | mpd 15 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 890 |  | simpr 484 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) | 
| 891 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) | 
| 892 | 891 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) | 
| 893 | 892 | eqeq2d 2747 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → ((𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))) | 
| 894 | 893 | rspcev 3621 | . . . . . . . . . 10
⊢
(((⌊‘((𝐵
− 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) | 
| 895 | 96, 104, 894 | syl2anc 584 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) | 
| 896 | 895 | ad2antrr 726 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) | 
| 897 |  | r19.42v 3190 | . . . . . . . 8
⊢
(∃𝑘 ∈
ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 898 | 890, 896,
897 | sylanbrc 583 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 899 | 898 | ex 412 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))) | 
| 900 | 899 | reximdv 3169 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))) | 
| 901 | 889, 900 | mpd 15 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 902 | 625, 901 | jca 511 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))) | 
| 903 |  | eleq1 2828 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) | 
| 904 |  | eqeq1 2740 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → (𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) | 
| 905 | 903, 904 | anbi12d 632 | . . . . . . 7
⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → ((𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))) | 
| 906 | 905 | 2rexbidv 3221 | . . . . . 6
⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))) | 
| 907 | 906 | anbi2d 630 | . . . . 5
⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))) | 
| 908 | 907 | imbi1d 341 | . . . 4
⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠
∅))) | 
| 909 | 908, 610 | vtoclg 3553 | . . 3
⊢ ((𝐸‘𝑋) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠
∅)) | 
| 910 | 624, 902,
909 | sylc 65 | . 2
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) | 
| 911 | 612, 910 | pm2.61dane 3028 | 1
⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) |