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Theorem fourierdlem48 43695
Description: The given periodic function 𝐹 has a right limit at every point in the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem48.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem48.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem48.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem48.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem48.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem48.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem48.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem48.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
fourierdlem48.dper ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
fourierdlem48.per ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
fourierdlem48.cn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem48.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem48.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem48.z 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
fourierdlem48.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥)))
fourierdlem48.ch (𝜒 ↔ ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem48 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑖,𝑘,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝐷,𝑘,𝑥   𝑖,𝐸,𝑘,𝑦   𝑖,𝐹,𝑘,𝑥,𝑦   𝑖,𝑀,𝑘   𝑚,𝑀,𝑝   𝑦,𝑀   𝑄,𝑖,𝑘,𝑥   𝑄,𝑝   𝑦,𝑄   𝑇,𝑖,𝑘,𝑥,𝑦   𝑖,𝑋,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑍   𝜒,𝑥   𝜑,𝑖,𝑘,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝜒(𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐴(𝑦,𝑘)   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑦,𝑖,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑇(𝑚,𝑝)   𝐸(𝑥,𝑚,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝑀(𝑥)   𝑋(𝑚,𝑝)   𝑍(𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem48
Dummy variables 𝑗 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → 𝜑)
2 0zd 12331 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 fourierdlem48.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
43nnzd 12425 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
53nngt0d 12022 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝑀)
6 fzolb 13393 . . . . . 6 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
72, 4, 5, 6syl3anbrc 1342 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
87adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → 0 ∈ (0..^𝑀))
9 fourierdlem48.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
10 fourierdlem48.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
119, 10resubcld 11403 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
12 fourierdlem48.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝐵𝐴)
13 fourierdlem48.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
149, 13resubcld 11403 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
1512, 14eqeltrid 2843 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
16 fourierdlem48.altb . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 < 𝐵)
1713, 9posdifd 11562 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
1816, 17mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
1918, 12breqtrrdi 5116 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝑇)
2019gt0ne0d 11539 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ≠ 0)
2111, 15, 20redivcld 11803 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
2221adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ((𝐵𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
2322flcld 13518 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
24 1zzd 12351 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
2523, 24zsubcld 12431 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) ∈ ℤ)
26 id 22 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑋) = 𝐵 → (𝐸𝑋) = 𝐵)
2712a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑋) = 𝐵𝑇 = (𝐵𝐴))
2826, 27oveq12d 7293 . . . . . . 7 ((𝐸𝑋) = 𝐵 → ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝐵 − (𝐵𝐴)))
299recnd 11003 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3013recnd 11003 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3129, 30nncand 11337 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 − (𝐵𝐴)) = 𝐴)
3228, 31sylan9eqr 2800 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ((𝐸𝑋) − 𝑇) = 𝐴)
33 fourierdlem48.q . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
34 fourierdlem48.p . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
3534fourierdlem2 43650 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
363, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
3733, 36mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
3837simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
39 elmapi 8637 . . . . . . . . . . . 12 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
413nnnn0d 12293 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
42 nn0uz 12620 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
4341, 42eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
44 eluzfz1 13263 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
4640, 45ffvelrnd 6962 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
4746rexrd 11025 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ*)
48 1zzd 12351 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
49 0le1 11498 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 1
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ 1)
513nnge1d 12021 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
522, 4, 48, 50, 51elfzd 13247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ (0...𝑀))
5340, 52ffvelrnd 6962 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘1) ∈ ℝ)
5453rexrd 11025 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘1) ∈ ℝ*)
5513rexrd 11025 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5637simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
5756simplld 765 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
5813leidd 11541 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝐴)
5957, 58eqbrtrd 5096 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐴)
6057eqcomd 2744 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 = (𝑄‘0))
61 0re 10977 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
62 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 0 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 0 ∈ (0..^𝑀)))
6362anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 0 → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀))))
64 fveq2 6774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 0 → (𝑄𝑖) = (𝑄‘0))
65 oveq1 7282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 0 → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
6665fveq2d 6778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 0 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(0 + 1)))
6764, 66breq12d 5087 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 0 → ((𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))))
6863, 67imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 0 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))))
6937simprrd 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
7069r19.21bi 3134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
7168, 70vtoclg 3505 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))))
7261, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))
737, 72mpdan 684 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))
74 1e0p1 12479 . . . . . . . . . . . 12 1 = (0 + 1)
7574fveq2i 6777 . . . . . . . . . . 11 (𝑄‘1) = (𝑄‘(0 + 1))
7673, 75breqtrrdi 5116 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘0) < (𝑄‘1))
7760, 76eqbrtrd 5096 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 < (𝑄‘1))
7847, 54, 55, 59, 77elicod 13129 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘1)))
7975oveq2i 7286 . . . . . . . 8 ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘1)) = ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1)))
8078, 79eleqtrdi 2849 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))
8180adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))
8232, 81eqeltrd 2839 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))
83 fourierdlem48.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥)))
8483a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥))))
85 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
86 fveq2 6774 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → (𝑍𝑥) = (𝑍𝑋))
8785, 86oveq12d 7293 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑍𝑥)) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
8887adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (𝑍𝑥)) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
89 fourierdlem48.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
91 oveq2 7283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑋 → (𝐵𝑥) = (𝐵𝑋))
9291oveq1d 7290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = ((𝐵𝑋) / 𝑇))
9392fveq2d 6778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)))
9493oveq1d 7290 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
9594adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
9621flcld 13518 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
9796zred 12426 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ)
9897, 15remulcld 11005 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
9990, 95, 10, 98fvmptd 6882 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑍𝑋) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
10099, 98eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑍𝑋) ∈ ℝ)
10110, 100readdcld 11004 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍𝑋)) ∈ ℝ)
10284, 88, 10, 101fvmptd 6882 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
10399oveq2d 7291 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍𝑋)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
104102, 103eqtrd 2778 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
105104oveq1d 7290 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸𝑋) − 𝑇) = ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑇))
10610recnd 11003 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
10798recnd 11003 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
10815recnd 11003 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
109106, 107, 108addsubassd 11352 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇)))
11096zcnd 12427 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℂ)
111110, 108mulsubfacd 11436 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇) = (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))
112111oveq2d 7291 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇)) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
113105, 109, 1123eqtrd 2782 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
114113adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
115 oveq1 7282 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) → (𝑘 · 𝑇) = (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))
116115oveq2d 7291 . . . . . . . 8 (𝑘 = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
117116eqeq2d 2749 . . . . . . 7 (𝑘 = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) → (((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))))
118117anbi2d 629 . . . . . 6 (𝑘 = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) → ((((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))))
119118rspcev 3561 . . . . 5 ((((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) ∈ ℤ ∧ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
12025, 82, 114, 119syl12anc 834 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
12164, 66oveq12d 7293 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))
122121eleq2d 2824 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 → (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1)))))
123122anbi1d 630 . . . . . 6 (𝑖 = 0 → ((((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
124123rexbidv 3226 . . . . 5 (𝑖 = 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
125124rspcev 3561 . . . 4 ((0 ∈ (0..^𝑀) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
1268, 120, 125syl2anc 584 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
127 ovex 7308 . . . 4 ((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ V
128 eleq1 2826 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝐸𝑋) − 𝑇) → (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
129 eqeq1 2742 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝐸𝑋) − 𝑇) → (𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
130128, 129anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑦 = ((𝐸𝑋) − 𝑇) → ((𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
1311302rexbidv 3229 . . . . . 6 (𝑦 = ((𝐸𝑋) − 𝑇) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
132131anbi2d 629 . . . . 5 (𝑦 = ((𝐸𝑋) − 𝑇) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))))
133132imbi1d 342 . . . 4 (𝑦 = ((𝐸𝑋) − 𝑇) → (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)))
134 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
135 nfv 1917 . . . . . . 7 𝑖𝜑
136 nfre1 3239 . . . . . . 7 𝑖𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
137135, 136nfan 1902 . . . . . 6 𝑖(𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
138 nfv 1917 . . . . . . 7 𝑘𝜑
139 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑘(0..^𝑀)
140 nfre1 3239 . . . . . . . 8 𝑘𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
141139, 140nfrex 3242 . . . . . . 7 𝑘𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
142138, 141nfan 1902 . . . . . 6 𝑘(𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
143 simp1 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑)
144 simp2l 1198 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
145 simp3l 1200 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
146143, 144, 145jca31 515 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
147 simp2r 1199 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
148 simp3r 1201 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
149 fourierdlem48.ch . . . . . . . . . 10 (𝜒 ↔ ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
150149biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
151150simplld 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
152151simplld 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝜑)
153 fourierdlem48.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
154 frel 6605 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:𝐷⟶ℝ → Rel 𝐹)
155152, 153, 1543syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → Rel 𝐹)
156 resindm 5940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)))
157156eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)))
158155, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)))
159 fdm 6609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:𝐷⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐷)
160152, 153, 1593syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → dom 𝐹 = 𝐷)
161160ineq2d 4146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹) = ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
162161reseq2d 5891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)))
163158, 162eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)))
164163oveq1d 7290 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) lim 𝑋))
165152, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝐹:𝐷⟶ℝ)
166 ax-resscn 10928 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ⊆ ℂ
167166a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ℝ ⊆ ℂ)
168165, 167fssd 6618 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒𝐹:𝐷⟶ℂ)
169 inss2 4163 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
170169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷)
171168, 170fssresd 6641 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)):((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)⟶ℂ)
172 pnfxr 11029 . . . . . . . . . . . . . . . 16 +∞ ∈ ℝ*
173172a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → +∞ ∈ ℝ*)
174151simplrd 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒𝑖 ∈ (0..^𝑀))
17540adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
176 fzofzp1 13484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
177176adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
178175, 177ffvelrnd 6962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
179152, 174, 178syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
180150simplrd 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒𝑘 ∈ ℤ)
181180zred 12426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒𝑘 ∈ ℝ)
182152, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒𝑇 ∈ ℝ)
183181, 182remulcld 11005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
184179, 183resubcld 11403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
185184rexrd 11025 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
186184ltpnfd 12857 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) < +∞)
187185, 173, 186xrltled 12884 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ≤ +∞)
188 iooss2 13115 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ≤ +∞) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ (𝑋(,)+∞))
189173, 187, 188syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ (𝑋(,)+∞))
190180adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
191190zcnd 12427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
192182recnd 11003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒𝑇 ∈ ℂ)
193192adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℂ)
194191, 193mulneg1d 11428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (-𝑘 · 𝑇) = -(𝑘 · 𝑇))
195194oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)))
196 elioore 13109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℝ)
197196recnd 11003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℂ)
198197adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℂ)
199191, 193mulcld 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
200198, 199addcld 10994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ)
201200, 199negsubd 11338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)))
202198, 199pncand 11333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑤)
203195, 201, 2023eqtrrd 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)))
204152adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑)
205151simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
206 fourierdlem48.cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
207 cncff 24056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
208 fdm 6609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
209206, 207, 2083syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
210 ssdmres 5914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
211209, 210sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
212153, 159syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
213212adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom 𝐹 = 𝐷)
214211, 213sseqtrd 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
215205, 214syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
216215adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
217 elfzofz 13403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
218217adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
219175, 218ffvelrnd 6962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
220152, 174, 219syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
221220rexrd 11025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
222221adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
223179rexrd 11025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
224223adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
225196adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℝ)
226190zred 12426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℝ)
227204, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
228226, 227remulcld 11005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
229225, 228readdcld 11004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
230220adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
231152, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒𝑋 ∈ ℝ)
232231, 183readdcld 11004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
233232adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
234149simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
235234eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝑦)
236151simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
237235, 236eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
238 icogelb 13130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
239221, 223, 237, 238syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑄𝑖) ≤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
240239adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
241204, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
242241rexrd 11025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
243179adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
244243, 228resubcld 11403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
245244rexrd 11025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
246 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
247 ioogtlb 43033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑤)
248242, 245, 246, 247syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑤)
249241, 225, 228, 248ltadd1dd 11586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)))
250230, 233, 229, 240, 249lelttrd 11133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄𝑖) < (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)))
251 iooltub 43048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
252242, 245, 246, 251syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
253225, 244, 228, 252ltadd1dd 11586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) < (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)))
254179recnd 11003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
255183recnd 11003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
256254, 255npcand 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
257256adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
258253, 257breqtrd 5100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
259222, 224, 229, 250, 258eliood 43036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
260216, 259sseldd 3922 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
261190znegcld 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -𝑘 ∈ ℤ)
262 ovex 7308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ V
263 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥𝐷 ↔ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
2642633anbi2d 1440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ)))
265 oveq1 7282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)))
266265eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
267264, 266imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
268 negex 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -𝑘 ∈ V
269 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = -𝑘 → (𝑗 ∈ ℤ ↔ -𝑘 ∈ ℤ))
2702693anbi3d 1441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = -𝑘 → ((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ)))
271 oveq1 7282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 = -𝑘 → (𝑗 · 𝑇) = (-𝑘 · 𝑇))
272271oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = -𝑘 → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))
273272eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = -𝑘 → ((𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
274270, 273imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
275 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ ℤ ↔ 𝑗 ∈ ℤ))
2762753anbi3d 1441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ)))
277 oveq1 7282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 · 𝑇) = (𝑗 · 𝑇))
278277oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑗 → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)))
279278eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
280276, 279imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
281 fourierdlem48.dper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
282280, 281chvarvv 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
283268, 274, 282vtocl 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
284262, 267, 283vtocl 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
285204, 260, 261, 284syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
286203, 285eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤𝐷)
287286ralrimiva 3103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ∀𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤𝐷)
288 dfss3 3909 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤𝐷)
289287, 288sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷)
290189, 289ssind 4166 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
291 ioosscn 13141 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ
292 ssinss1 4171 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ)
293291, 292mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ)
294 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
295 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
296231rexrd 11025 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑋 ∈ ℝ*)
297231leidd 11541 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑋𝑋)
298234oveq1d 7290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)))
299231recnd 11003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝑋 ∈ ℂ)
300299, 255pncand 11333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑋)
301298, 300eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝑋 = (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)))
302 icossre 13160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
303220, 223, 302syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
304303, 236sseldd 3922 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑦 ∈ ℝ)
305 icoltub 43046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑦 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
306221, 223, 236, 305syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑦 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
307304, 179, 183, 306ltsub1dd 11587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
308301, 307eqbrtrd 5096 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑋 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
309296, 185, 296, 297, 308elicod 13129 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒𝑋 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
310 snunioo1 43050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑋 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋}) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
311296, 185, 308, 310syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋}) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
312311fveq2d 6778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))
313294cnfldtop 23947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
314 ovex 7308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋(,)+∞) ∈ V
315314inex1 5241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∈ V
316 snex 5354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑋} ∈ V
317315, 316unex 7596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V
318 resttop 22311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top)
319313, 317, 318mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top
320319a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top)
321 retop 23925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
322321a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
323317a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V)
324 iooretop 23929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran (,))
325324a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran (,)))
326 elrestr 17139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V ∧ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
327322, 323, 325, 326syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
328 mnfxr 11032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -∞ ∈ ℝ*
329328a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -∞ ∈ ℝ*)
330185adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
331 icossre 13160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*) → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℝ)
332231, 185, 331syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℝ)
333332sselda 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
334333mnfltd 12860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -∞ < 𝑥)
335296adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
336 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
337 icoltub 43046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
338335, 330, 336, 337syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
339329, 330, 333, 334, 338eliood 43036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
340 vsnid 4598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥 ∈ {𝑥}
341340a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ {𝑥})
342 sneq 4571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
343341, 342eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ {𝑋})
344 elun2 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ {𝑋} → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
345343, 344syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
346345adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
347296ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ*)
348172a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
349333adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
350231ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
351 icogelb 13130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋𝑥)
352335, 330, 336, 351syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋𝑥)
353352adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋𝑥)
354 neqne 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑥 = 𝑋𝑥𝑋)
355354adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥𝑋)
356350, 349, 353, 355leneltd 11129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 < 𝑥)
357349ltpnfd 12857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < +∞)
358347, 348, 349, 356, 357eliood 43036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞))
359180zcnd 12427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜒𝑘 ∈ ℂ)
360359, 192mulneg1d 11428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) = -(𝑘 · 𝑇))
361360oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜒 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)))
362361adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)))
363 ioosscn 13141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℂ
364363sseli 3917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℂ)
365364adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℂ)
366255adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
367365, 366addcld 10994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ)
368367, 366negsubd 11338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)))
369365, 366pncand 11333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑤)
370362, 368, 3693eqtrrd 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)))
371183adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
372225, 371readdcld 11004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
373222, 224, 372, 250, 258eliood 43036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
374216, 373sseldd 3922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
3752693anbi3d 1441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑗 = -𝑘 → ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ)))
376271oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑗 = -𝑘 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)))
377376eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑗 = -𝑘 → (((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
378375, 377imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
3792633anbi2d 1440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ)))
380 oveq1 7282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)))
381380eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
382379, 381imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
383262, 382, 282vtocl 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
384268, 378, 383vtocl 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
385204, 374, 261, 384syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
386370, 385eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤𝐷)
387386ralrimiva 3103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒 → ∀𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤𝐷)
388387, 288sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷)
389388ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷)
390185ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
391338adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
392347, 390, 349, 356, 391eliood 43036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
393389, 392sseldd 3922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥𝐷)
394358, 393elind 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
395 elun1 4110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
396394, 395syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
397346, 396pm2.61dan 810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
398339, 397elind 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
399296adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
400185adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
401 elinel1 4129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
402 elioore 13109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
403401, 402syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ)
404403rexrd 11025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
405404adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
406 elinel2 4130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
407231adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
40885eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 𝑋𝑋 = 𝑥)
409408adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒𝑥 = 𝑋) → 𝑋 = 𝑥)
410407, 409eqled 11078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑥 = 𝑋) → 𝑋𝑥)
411410adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋𝑥)
412 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝜒)
413 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
414 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑥 = 𝑋)
415 velsn 4577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ {𝑋} ↔ 𝑥 = 𝑋)
416414, 415sylnibr 329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑥 ∈ {𝑋})
417416adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑋})
418 elunnel2 42582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
419413, 417, 418syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
420 elinel1 4129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞))
421419, 420syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞))
422231adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 ∈ ℝ)
423 elioore 13109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
424423adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
425296adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
426172a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
427 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞))
428 ioogtlb 43033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 < 𝑥)
429425, 426, 427, 428syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 < 𝑥)
430422, 424, 429ltled 11123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋𝑥)
431412, 421, 430syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋𝑥)
432411, 431pm2.61dan 810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑋𝑥)
433406, 432sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑋𝑥)
434328a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -∞ ∈ ℝ*)
435185adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
436 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
437 iooltub 43048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
438434, 435, 436, 437syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
439401, 438sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
440399, 400, 405, 433, 439elicod 13129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
441398, 440impbida 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))))
442441eqrdv 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) = ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
443 ioossre 13140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
444 ssinss1 4171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
445443, 444mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
446231snssd 4742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑋} ⊆ ℝ)
447445, 446unssd 4120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ)
448 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
449294, 448rerest 23967 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
450447, 449syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
451327, 442, 4503eltr4d 2854 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
452 isopn3i 22233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top ∧ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
453320, 451, 452syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
454312, 453eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋})))
455309, 454eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒𝑋 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋})))
456171, 290, 293, 294, 295, 455limcres 25050 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) lim 𝑋))
457290resabs1d 5922 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))
458457oveq1d 7290 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋))
459166a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
460153, 459fssd 6618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
461212feq2d 6586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:𝐷⟶ℂ))
462460, 461mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
463152, 462syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
464463adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
465363a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℂ)
466388, 160sseqtrrd 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ dom 𝐹)
467466adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ dom 𝐹)
468255adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
469 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}
470 eqeq1 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))))
471470rexbidv 3226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))))
472471elrab 3624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))))
473472simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} → ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
474473adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
475 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥𝜒
476 nfre1 3239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑥𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))
477 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑥
478476, 477nfrabw 3318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥{𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}
479478nfcri 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}
480475, 479nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥(𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))})
481 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥 𝑤𝐷
482 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
483 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))
484483anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 = 𝑥 → ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))))
485 oveq1 7282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
486485eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
487484, 486imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑥 → (((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
488487, 260chvarvv 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
4894883adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
490482, 489eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤𝐷)
4914903exp 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → (𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤𝐷)))
492491adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → (𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤𝐷)))
493480, 481, 492rexlimd 3250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → (∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤𝐷))
494474, 493mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → 𝑤𝐷)
495494ralrimiva 3103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}𝑤𝐷)
496 dfss3 3909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}𝑤𝐷)
497495, 496sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷)
498497, 160sseqtrrd 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹)
499498adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹)
500152adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑)
501388sselda 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥𝐷)
502180adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
503 fourierdlem48.per . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
504500, 501, 502, 503syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
505504adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
506 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋))
507464, 465, 467, 468, 469, 499, 505, 506limcperiod 43169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) lim (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
508256eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)))
509234, 508oveq12d 7293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇))(,)(((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇))))
510231, 184, 183iooshift 43060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇))(,)(((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))})
511509, 510eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} = (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
512511reseq2d 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) = (𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
513512, 235oveq12d 7293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) lim (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
514513adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) lim (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
515507, 514eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
516463adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
517 ioosscn 13141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
518517a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
519 icogelb 13130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ≤ 𝑦)
520221, 223, 236, 519syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑄𝑖) ≤ 𝑦)
521 iooss1 13114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑖) ≤ 𝑦) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
522221, 520, 521syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
523522, 215sstrd 3931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
524523, 160sseqtrrd 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
525524adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
526359negcld 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → -𝑘 ∈ ℂ)
527526, 192mulcld 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
528527adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
529 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}
530 eqeq1 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ↔ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))))
531530rexbidv 3226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))))
532531elrab 3624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))))
533532simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} → ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))
534533adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))
535 nfre1 3239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑥𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))
536535, 477nfrabw 3318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥{𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}
537536nfcri 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}
538475, 537nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥(𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))})
539 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))
540152adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝜑)
541523sselda 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥𝐷)
542180adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
543542znegcld 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -𝑘 ∈ ℤ)
544540, 541, 543, 283syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
5455443adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
546539, 545eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → 𝑤𝐷)
5475463exp 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤𝐷)))
548547adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → (𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤𝐷)))
549538, 481, 548rexlimd 3250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → (∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤𝐷))
550534, 549mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → 𝑤𝐷)
551550ralrimiva 3103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}𝑤𝐷)
552 dfss3 3909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}𝑤𝐷)
553551, 552sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷)
554553, 160sseqtrrd 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹)
555554adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹)
556152ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝜑)
557541adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥𝐷)
558543adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -𝑘 ∈ ℤ)
559272fveq2d 6778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = -𝑘 → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))))
560559eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = -𝑘 → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥)))
561270, 560imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))))
562278fveq2d 6778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))))
563562eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹𝑥)))
564276, 563imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))))
565564, 503chvarvv 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
566268, 561, 565vtocl 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
567556, 557, 558, 566syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
568 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
569516, 518, 525, 528, 529, 555, 567, 568limcperiod 43169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) lim (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))))
570360oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + -(𝑘 · 𝑇)))
571304recnd 11003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒𝑦 ∈ ℂ)
572571, 255negsubd 11338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑦 + -(𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)))
573301eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑋)
574570, 572, 5733eqtrd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = 𝑋)
575574eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒𝑋 = (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)))
576360oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + -(𝑘 · 𝑇)))
577254, 255negsubd 11338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
578576, 577eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇)))
579575, 578oveq12d 7293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) = ((𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇))))
580181renegcld 11402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → -𝑘 ∈ ℝ)
581580, 182remulcld 11005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
582304, 179, 581iooshift 43060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ((𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))})
583579, 582eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
584583adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
585584reseq2d 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))
586574adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = 𝑋)
587585, 586oveq12d 7293 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) lim (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋))
588569, 587eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋))
589515, 588impbida 798 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋) ↔ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)))
590589eqrdv 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
591458, 590eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
592164, 456, 5913eqtr2d 2784 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
593152, 174, 70syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
594152, 174, 206syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
595 fourierdlem48.r . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
596152, 174, 595syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
597 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 if(𝑦 = (𝑄𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) = if(𝑦 = (𝑄𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦))
598 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
599220, 179, 593, 594, 596, 304, 179, 306, 522, 597, 598fourierdlem32 43680 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → if(𝑦 = (𝑄𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
600522resabs1d 5922 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
601600oveq1d 7290 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
602599, 601eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → if(𝑦 = (𝑄𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
603 ne0i 4268 . . . . . . . . . . . 12 (if(𝑦 = (𝑄𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦) → ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦) ≠ ∅)
604602, 603syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦) ≠ ∅)
605592, 604eqnetrd 3011 . . . . . . . . . 10 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
606149, 605sylbir 234 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
607146, 147, 148, 606syl21anc 835 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
6086073exp 1118 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)))
609608adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)))
610137, 142, 609rexlim2d 43166 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅))
611134, 610mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
612127, 133, 611vtocl 3498 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
6131, 126, 612syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
614 iocssre 13159 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
61555, 9, 614syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
616 ovex 7308 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V
61789fvmpt2 6886 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V) → (𝑍𝑥) = ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
618616, 617mpan2 688 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑍𝑥) = ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
619618oveq2d 7291 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (𝑍𝑥)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
620619mpteq2ia 5177 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
62183, 620eqtri 2766 . . . . . . 7 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
62213, 9, 16, 12, 621fourierdlem4 43652 . . . . . 6 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
623622, 10ffvelrnd 6962 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵))
624615, 623sseldd 3922 . . . 4 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
625624adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
626 simpl 483 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → 𝜑)
627 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄)
628 ffn 6600 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ → 𝑄 Fn (0...𝑀))
62940, 628syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑄 Fn (0...𝑀))
630629ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
631 fvelrnb 6830 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄 Fn (0...𝑀) → ((𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)))
632630, 631syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ((𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)))
633627, 632mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋))
634 1zzd 12351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
635 elfzelz 13256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
636635ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ ℤ)
637636zred 12426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ ℝ)
638 elfzle1 13259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 0 ≤ 𝑗)
639638ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 ≤ 𝑗)
640 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋))
641640eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → (𝐸𝑋) = (𝑄𝑗))
642641ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = (𝑄𝑗))
643 fveq2 6774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑗 = 0 → (𝑄𝑗) = (𝑄‘0))
644643adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄𝑗) = (𝑄‘0))
64537simprld 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → ((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵))
646645simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
647646ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄‘0) = 𝐴)
648642, 644, 6473eqtrd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = 𝐴)
649648adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = 𝐴)
650649adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = 𝐴)
65113adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
65255adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6539rexrd 11025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
654653adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
655 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵))
656 iocgtlb 43040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸𝑋))
657652, 654, 655, 656syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸𝑋))
658651, 657gtned 11110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ≠ 𝐴)
659658neneqd 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ¬ (𝐸𝑋) = 𝐴)
660659ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → ¬ (𝐸𝑋) = 𝐴)
661650, 660pm2.65da 814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ¬ 𝑗 = 0)
662661neqned 2950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ≠ 0)
663637, 639, 662ne0gt0d 11112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 < 𝑗)
664 0zd 12331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 ∈ ℤ)
665 zltp1le 12370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗))
666664, 636, 665syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗))
667663, 666mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (0 + 1) ≤ 𝑗)
66874, 667eqbrtrid 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 1 ≤ 𝑗)
669 eluz2 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗))
670634, 636, 668, 669syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
671 nnuz 12621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℕ = (ℤ‘1)
672670, 671eleqtrrdi 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ ℕ)
673 nnm1nn0 12274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
674672, 673syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
675674, 42eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0))
6764ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑀 ∈ ℤ)
677 peano2zm 12363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
678635, 677syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
679678zred 12426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
680635zred 12426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
681 elfzel2 13254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
682681zred 12426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
683680ltm1d 11907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑗)
684 elfzle2 13260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗𝑀)
685679, 680, 682, 683, 684ltletrd 11135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑀)
686685ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) < 𝑀)
687 elfzo2 13390 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) < 𝑀))
688675, 676, 686, 687syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))
68940ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
690636, 677syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
691674nn0ge0d 12296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 ≤ (𝑗 − 1))
692679, 682, 685ltled 11123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)
693692ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)
694664, 676, 690, 691, 693elfzd 13247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0...𝑀))
695689, 694ffvelrnd 6962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ)
696695rexrd 11025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ*)
69740ffvelrnda 6961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ)
698697rexrd 11025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
699698adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
700699adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
701615sselda 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
702701rexrd 11025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
703702ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
704 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝜑)
705 ovex 7308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 − 1) ∈ V
706 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)))
707706anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))))
708 fveq2 6774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄𝑖) = (𝑄‘(𝑗 − 1)))
709 oveq1 7282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑗 − 1) + 1))
710709fveq2d 6778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
711708, 710breq12d 5087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
712707, 711imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))))
713705, 712, 70vtocl 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
714704, 688, 713syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
715635zcnd 12427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
716 1cnd 10970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 1 ∈ ℂ)
717715, 716npcand 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
718717eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 = ((𝑗 − 1) + 1))
719718fveq2d 6778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄𝑗) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
720719eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄𝑗))
721720ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄𝑗))
722714, 721breqtrd 5100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄𝑗))
723 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋))
724722, 723breqtrd 5100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝐸𝑋))
725624leidd 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐸𝑋) ≤ (𝐸𝑋))
726725ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≤ (𝐸𝑋))
727641adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) = (𝑄𝑗))
728726, 727breqtrd 5100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄𝑗))
729728adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄𝑗))
730696, 700, 703, 724, 729eliocd 43045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄𝑗)))
731719oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
732731ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
733730, 732eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
734708, 710oveq12d 7293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
735734eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))))
736735rspcev 3561 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
737688, 733, 736syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
738737ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
739738adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
740739rexlimdva 3213 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
741633, 740mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
7423ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑀 ∈ ℕ)
74340ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
744 iocssicc 13169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
745646eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 = (𝑄‘0))
746645simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑄𝑀) = 𝐵)
747746eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 = (𝑄𝑀))
748745, 747oveq12d 7293 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
749744, 748sseqtrid 3973 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
750749sselda 3921 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
751750adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
752 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄)
753 fveq2 6774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → (𝑄𝑘) = (𝑄𝑗))
754753breq1d 5084 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑄𝑘) < (𝐸𝑋) ↔ (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋)))
755754cbvrabv 3426 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < (𝐸𝑋)} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋)}
756755supeq1i 9206 . . . . . . . . . . . 12 sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < (𝐸𝑋)}, ℝ, < ) = sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋)}, ℝ, < )
757742, 743, 751, 752, 756fourierdlem25 43673 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
758 ioossioc 43030 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
759758sseli 3917 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
760759a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
761760reximdva 3203 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
762757, 761mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
763741, 762pm2.61dan 810 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
764623, 763mpdan 684 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
765 fveq2 6774 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑗))
766 oveq1 7282 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
767766fveq2d 6778 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
768765, 767oveq12d 7293 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
769768eleq2d 2824 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))))
770769cbvrexvw 3384 . . . . . . . 8 (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
771764, 770sylib 217 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
772771adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
773 elfzonn0 13432 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0)
774 1nn0 12249 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℕ0
775774a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 1 ∈ ℕ0)
776773, 775nn0addcld 12297 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
777776, 42eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘0))
778777adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘0))
7797783ad2antl2 1185 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘0))
7804ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
7817803ad2antl1 1184 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
782773nn0red 12294 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
783782adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
7847833ad2antl2 1185 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
785 1red 10976 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
786784, 785readdcld 11004 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℝ)
787781zred 12426 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
788 elfzop1le2 13400 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀)
789788adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀)
7907893ad2antl2 1185 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀)
791 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
792 fveq2 6774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 = (𝑗 + 1) → (𝑄𝑀) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
793792eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄𝑀))
794793adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄𝑀))
795746ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝑄𝑀) = 𝐵)
796791, 794, 7953eqtrd 2782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸𝑋) = 𝐵)
797796adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸𝑋) = 𝐵)
798 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸𝑋) ≠ 𝐵)
799798neneqd 2948 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → ¬ (𝐸𝑋) = 𝐵)
800797, 799pm2.65da 814 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ¬ 𝑀 = (𝑗 + 1))
801800neqned 2950 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ≠ (𝑗 + 1))
8028013ad2antl1 1184 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ≠ (𝑗 + 1))
803786, 787, 790, 802leneltd 11129 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) < 𝑀)
804 elfzo2 13390 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 + 1) < 𝑀))
805779, 781, 803, 804syl3anbrc 1342 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀))
80640adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
807 fzofzp1 13484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈ (0...𝑀))
808807adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑗 + 1) ∈ (0...𝑀))
809806, 808ffvelrnd 6962 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
810809rexrd 11025 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
811810adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
8128113adant3 1131 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
813812adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
814 simpl1l 1223 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝜑)
815814, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
816 fzofzp1 13484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀) → ((𝑗 + 1) + 1) ∈ (0...𝑀))
817805, 816syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ((𝑗 + 1) + 1) ∈ (0...𝑀))
818815, 817ffvelrnd 6962 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
819818rexrd 11025 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)) ∈ ℝ*)
820624rexrd 11025 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
821820ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
8228213ad2antl1 1184 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
823809leidd 11541 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
824823adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
825 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
826825eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝐸𝑋))
827826adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝐸𝑋))
828824, 827breqtrd 5100 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸𝑋))
829828adantllr 716 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸𝑋))
8308293adantl3 1167 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸𝑋))
831 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
832 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
833 ovex 7308 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 + 1) ∈ V
834 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
835834anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀))))
836 fveq2 6774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑄𝑖) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
837 oveq1 7282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑗 + 1) + 1))
838837fveq2d 6778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
839836, 838breq12d 5087 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))))
840835, 839imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))))
841833, 840, 70vtocl 3498 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
842841adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
843832, 842eqbrtrd 5096 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
844814, 805, 831, 843syl21anc 835 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
845813, 819, 822, 830, 844elicod 13129 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))))
846836, 838oveq12d 7293 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))))
847846eleq2d 2824 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))))
848847rspcev 3561 . . . . . . . . 9 (((𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
849805, 845, 848syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
850 simpl2 1191 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ (0..^𝑀))
851 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))))
8528513adant1r 1176 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))))
853 elfzofz 13403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
854853adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
855806, 854ffvelrnd 6962 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ)
856855rexrd 11025 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
857856adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
8588573adantl3 1167 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
859810adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
8608593adantl3 1167 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
861820adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
8628613ad2antl1 1184 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
8638553adant3 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ)
8646243ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
8658563adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
8668103adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
867 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
868 iocgtlb 43040 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋))
869865, 866, 867, 868syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋))
870863, 864, 869ltled 11123 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄𝑗) ≤ (𝐸𝑋))
871870adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄𝑗) ≤ (𝐸𝑋))
872864adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
873809adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
8748733adantl3 1167 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
875 iocleub 43041 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
876865, 866, 867, 875syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
877876adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
878 neqne 2951 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝐸𝑋) ≠ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
879878necomd 2999 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≠ (𝐸𝑋))
880879adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≠ (𝐸𝑋))
881872, 874, 877, 880leneltd 11129 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) < (𝑄‘(𝑗 + 1)))
882858, 860, 862, 871, 881elicod 13129 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
883852, 882sylan 580 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
884765, 767oveq12d 7293 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
885884eleq2d 2824 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))))
886885rspcev 3561 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
887850, 883, 886syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
888849, 887pm2.61dan 810 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
889888rexlimdv3a 3215 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → (∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
890772, 889mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
891 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
892 oveq1 7282 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
893892oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
894893eqeq2d 2749 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → ((𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝐸𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
895894rspcev 3561 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
89696, 104, 895syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
897896ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
898 r19.42v 3279 . . . . . . . 8 (∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
899891, 897, 898sylanbrc 583 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
900899ex 413 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
901900reximdv 3202 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
902890, 901mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
903626, 902jca 512 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
904 eleq1 2826 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐸𝑋) → (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
905 eqeq1 2742 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐸𝑋) → (𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
906904, 905anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐸𝑋) → ((𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
9079062rexbidv 3229 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐸𝑋) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
908907anbi2d 629 . . . . 5 (𝑦 = (𝐸𝑋) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))))
909908imbi1d 342 . . . 4 (𝑦 = (𝐸𝑋) → (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)))
910909, 611vtoclg 3505 . . 3 ((𝐸𝑋) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅))
911625, 903, 910sylc 65 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
912613, 911pm2.61dane 3032 1 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3065  {crab 3068  Vcvv 3432  cun 3885  cin 3886  wss 3887  c0 4256  ifcif 4459  {csn 4561   class class class wbr 5074  cmpt 5157  dom cdm 5589  ran crn 5590  cres 5591  Rel wrel 5594   Fn wfn 6428  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  m cmap 8615  supcsup 9199  cc 10869  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  +∞cpnf 11006  -∞cmnf 11007  *cxr 11008   < clt 11009  cle 11010  cmin 11205  -cneg 11206   / cdiv 11632  cn 11973  0cn0 12233  cz 12319  cuz 12582  (,)cioo 13079  (,]cioc 13080  [,)cico 13081  [,]cicc 13082  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382  cfl 13510  t crest 17131  TopOpenctopn 17132  topGenctg 17148  fldccnfld 20597  Topctop 22042  intcnt 22168  cnccncf 24039   lim climc 25026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-rest 17133  df-topn 17134  df-topgen 17154  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-ntr 22171  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-xms 23473  df-ms 23474  df-cncf 24041  df-limc 25030
This theorem is referenced by:  fourierdlem94  43741  fourierdlem113  43760
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