Theorem fourierdlem48 42459

Description: The given periodic function 𝐹 has a right limit at every point in the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem48.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem48.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem48.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem48.p	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem48.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem48.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem48.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem48.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
fourierdlem48.dper	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
fourierdlem48.per	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
fourierdlem48.cn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem48.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
fourierdlem48.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem48.z	⊢ 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
fourierdlem48.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥)))
fourierdlem48.ch	⊢ (𝜒 ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem48	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑖,𝑘,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝐷,𝑘,𝑥   𝑖,𝐸,𝑘,𝑦   𝑖,𝐹,𝑘,𝑥,𝑦   𝑖,𝑀,𝑘   𝑚,𝑀,𝑝   𝑦,𝑀   𝑄,𝑖,𝑘,𝑥   𝑄,𝑝   𝑦,𝑄   𝑇,𝑖,𝑘,𝑥,𝑦   𝑖,𝑋,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑍   𝜒,𝑥   𝜑,𝑖,𝑘,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝜒(𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐴(𝑦,𝑘)   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑦,𝑖,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑇(𝑚,𝑝)   𝐸(𝑥,𝑚,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝑀(𝑥)   𝑋(𝑚,𝑝)   𝑍(𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem48

Dummy variables 𝑗 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → 𝜑)
2		0zd 11994	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		fourierdlem48.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12087	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5	3	nngt0d 11687	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
6		fzolb 13045	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
7	2, 4, 5, 6	syl3anbrc 1339	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
8	7	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → 0 ∈ (0..^𝑀))
9		fourierdlem48.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
10		fourierdlem48.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
11	9, 10	resubcld 11068	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℝ)
12		fourierdlem48.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
13		fourierdlem48.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
14	9, 13	resubcld 11068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
15	12, 14	eqeltrid 2917	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
16		fourierdlem48.altb	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
17	13, 9	posdifd 11227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
18	16, 17	mpbid 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
19	18, 12	breqtrrdi 5108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
20	19	gt0ne0d 11204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
21	11, 15, 20	redivcld 11468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
22	21	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
23	22	flcld 13169	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
24		1zzd 12014	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
25	23, 24	zsubcld 12093	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) ∈ ℤ)
26		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = 𝐵 → (𝐸‘𝑋) = 𝐵)
27	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = 𝐵 → 𝑇 = (𝐵 − 𝐴))
28	26, 27	oveq12d 7174	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = 𝐵 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝐵 − (𝐵 − 𝐴)))
29	9	recnd 10669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
30	13	recnd 10669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
31	29, 30	nncand 11002	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − (𝐵 − 𝐴)) = 𝐴)
32	28, 31	sylan9eqr 2878	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = 𝐴)
33		fourierdlem48.q	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
34		fourierdlem48.p	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
35	34	fourierdlem2 42414	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
36	3, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
37	33, 36	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
38	37	simpld 497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
39		elmapi 8428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
41	3	nnnn0d 11956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
42		nn0uz 12281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
43	41, 42	eleqtrdi 2923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
44		eluzfz1 12915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
46	40, 45	ffvelrnd 6852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
47	46	rexrd 10691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ*)
48		1zzd 12014	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
49	2, 4, 48	3jca 1124	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
50		0le1 11163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ 1
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
52	3	nnge1d 11686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
53	49, 51, 52	jca32 518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑀)))
54		elfz2 12900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ (0...𝑀) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑀)))
55	53, 54	sylibr 236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (0...𝑀))
56	40, 55	ffvelrnd 6852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘1) ∈ ℝ)
57	56	rexrd 10691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘1) ∈ ℝ*)
58	13	rexrd 10691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
59	37	simprd 498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
60	59	simplld 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
61	13	leidd 11206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
62	60, 61	eqbrtrd 5088	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐴)
63	60	eqcomd 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑄‘0))
64		0re 10643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
65		eleq1 2900	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 0 ∈ (0..^𝑀)))
66	65	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 0 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀))))
67		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘0))
68		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
69	68	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(0 + 1)))
70	67, 69	breq12d 5079	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 0 → ((𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))))
71	66, 70	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 0 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))))
72	37	simprrd 772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
73	72	r19.21bi 3208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
74	71, 73	vtoclg 3567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))))
75	64, 74	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))
76	7, 75	mpdan 685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))
77		1e0p1 12141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (0 + 1)
78	77	fveq2i 6673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑄‘1) = (𝑄‘(0 + 1))
79	76, 78	breqtrrdi 5108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) < (𝑄‘1))
80	63, 79	eqbrtrd 5088	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑄‘1))
81	47, 57, 58, 62, 80	elicod 12788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘1)))
82	78	oveq2i 7167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘1)) = ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1)))
83	81, 82	eleqtrdi 2923	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))
84	83	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))
85	32, 84	eqeltrd 2913	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))
86		fourierdlem48.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥)))
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥))))
88		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
89		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑍‘𝑥) = (𝑍‘𝑋))
90	88, 89	oveq12d 7174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑍‘𝑥)) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
91	90	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (𝑍‘𝑥)) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
92		fourierdlem48.z	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
94		oveq2 7164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 𝑋))
95	94	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))
96	95	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)))
97	96	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
98	97	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
99	21	flcld 13169	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
100	99	zred 12088	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ)
101	100, 15	remulcld 10671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
102	93, 98, 10, 101	fvmptd 6775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘𝑋) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
103	102, 101	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘𝑋) ∈ ℝ)
104	10, 103	readdcld 10670	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ)
105	87, 91, 10, 104	fvmptd 6775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
106	102	oveq2d 7172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑍‘𝑋)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
107	105, 106	eqtrd 2856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
108	107	oveq1d 7171	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑇))
109	10	recnd 10669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
110	101	recnd 10669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
111	15	recnd 10669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
112	109, 110, 111	addsubassd 11017	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇)))
113	99	zcnd 12089	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℂ)
114	113, 111	mulsubfacd 11101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))
115	114	oveq2d 7172	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇)) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
116	108, 112, 115	3eqtrd 2860	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
117	116	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
118		oveq1 7163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) → (𝑘 · 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))
119	118	oveq2d 7172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
120	119	eqeq2d 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) → (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))))
121	120	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) → ((((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))))
122	121	rspcev 3623	. . . . 5 ⊢ ((((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) ∈ ℤ ∧ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
123	25, 85, 117, 122	syl12anc 834	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
124	67, 69	oveq12d 7174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 0 → ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))
125	124	eleq2d 2898	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 0 → (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1)))))
126	125	anbi1d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 0 → ((((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
127	126	rexbidv 3297	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
128	127	rspcev 3623	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑀) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
129	8, 123, 128	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
130		ovex 7189	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ V
131		eleq1 2900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
132		eqeq1 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → (𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
133	131, 132	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → ((𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
134	133	2rexbidv 3300	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
135	134	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))))
136	135	imbi1d 344	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)))
137		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
138		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
139		nfre1 3306	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
140	138, 139	nfan 1900	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
141		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
142		nfcv 2977	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(0..^𝑀)
143		nfre1 3306	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
144	142, 143	nfrex 3309	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
145	141, 144	nfan 1900	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
146		simp1 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑)
147		simp2l 1195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
148		simp3l 1197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
149	146, 147, 148	jca31 517	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
150		simp2r 1196	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
151		simp3r 1198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
152		fourierdlem48.ch	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜒 ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
153	152	biimpi 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
154	153	simplld 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
155	154	simplld 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 𝜑)
156		fourierdlem48.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
157		frel 6519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹:𝐷⟶ℝ → Rel 𝐹)
158	155, 156, 157	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → Rel 𝐹)
159		resindm 5900	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)))
160	159	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)))
161	158, 160	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)))
162		fdm 6522	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹:𝐷⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐷)
163	155, 156, 162	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → dom 𝐹 = 𝐷)
164	163	ineq2d 4189	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹) = ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
165	164	reseq2d 5853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)))
166	161, 165	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜒 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)))
167	166	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) limℂ 𝑋))
168	155, 156	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
169		ax-resscn 10594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
170	169	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → ℝ ⊆ ℂ)
171	168, 170	fssd 6528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
172		inss2 4206	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
173	172	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷)
174	171, 173	fssresd 6545	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)):((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)⟶ℂ)
175		pnfxr 10695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
176	175	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → +∞ ∈ ℝ*)
177	154	simplrd 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
178	40	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
179		fzofzp1 13135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
180	179	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
181	178, 180	ffvelrnd 6852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
182	155, 177, 181	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
183	153	simplrd 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → 𝑘 ∈ ℤ)
184	183	zred 12088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → 𝑘 ∈ ℝ)
185	155, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → 𝑇 ∈ ℝ)
186	184, 185	remulcld 10671	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
187	182, 186	resubcld 11068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
188	187	rexrd 10691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
189	187	ltpnfd 12517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) < +∞)
190	188, 176, 189	xrltled 12544	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ≤ +∞)
191		iooss2 12775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ≤ +∞) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ (𝑋(,)+∞))
192	176, 190, 191	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ (𝑋(,)+∞))
193	183	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
194	193	zcnd 12089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
195	185	recnd 10669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜒 → 𝑇 ∈ ℂ)
196	195	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℂ)
197	194, 196	mulneg1d 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (-𝑘 · 𝑇) = -(𝑘 · 𝑇))
198	197	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)))
199		elioore 12769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℝ)
200	199	recnd 10669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℂ)
201	200	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℂ)
202	194, 196	mulcld 10661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
203	201, 202	addcld 10660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ)
204	203, 202	negsubd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)))
205	201, 202	pncand 10998	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑤)
206	198, 204, 205	3eqtrrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)))
207	155	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑)
208	154	simpld 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜒 → (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
209		fourierdlem48.cn	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
210		cncff 23501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
211		fdm 6522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
212	209, 210, 211	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
213		ssdmres 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
214	212, 213	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
215	156, 162	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
216	215	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom 𝐹 = 𝐷)
217	214, 216	sseqtrd 4007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
218	208, 217	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
219	218	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
220		elfzofz 13054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
221	220	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
222	178, 221	ffvelrnd 6852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
223	155, 177, 222	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
224	223	rexrd 10691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
225	224	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
226	182	rexrd 10691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
227	226	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
228	199	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℝ)
229	193	zred 12088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℝ)
230	207, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
231	229, 230	remulcld 10671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
232	228, 231	readdcld 10670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
233	223	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
234	155, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜒 → 𝑋 ∈ ℝ)
235	234, 186	readdcld 10670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
236	235	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
237	152	simprbi 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜒 → 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
238	237	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝑦)
239	154	simprd 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜒 → 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
240	238, 239	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
241		icogelb 12789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
242	224, 226, 240, 241	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
243	242	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
244	207, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
245	244	rexrd 10691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
246	182	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
247	246, 231	resubcld 11068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
248	247	rexrd 10691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
249		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
250		ioogtlb 41790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑤)
251	245, 248, 249, 250	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑤)
252	244, 228, 231, 251	ltadd1dd 11251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)))
253	233, 236, 232, 243, 252	lelttrd 10798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘𝑖) < (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)))
254		iooltub 41806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
255	245, 248, 249, 254	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
256	228, 247, 231, 255	ltadd1dd 11251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) < (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)))
257	182	recnd 10669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
258	186	recnd 10669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜒 → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
259	257, 258	npcand 11001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜒 → (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
260	259	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
261	256, 260	breqtrd 5092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
262	225, 227, 232, 253, 261	eliood 41793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
263	219, 262	sseldd 3968	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
264	193	znegcld 12090	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -𝑘 ∈ ℤ)
265		ovex 7189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ V
266		eleq1 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
267	266	3anbi2d 1437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ)))
268		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)))
269	268	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
270	267, 269	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
271		negex 10884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -𝑘 ∈ V
272		eleq1 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 = -𝑘 → (𝑗 ∈ ℤ ↔ -𝑘 ∈ ℤ))
273	272	3anbi3d 1438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = -𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ)))
274		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 = -𝑘 → (𝑗 · 𝑇) = (-𝑘 · 𝑇))
275	274	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 = -𝑘 → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))
276	275	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = -𝑘 → ((𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
277	273, 276	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
278		eleq1 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ ℤ ↔ 𝑗 ∈ ℤ))
279	278	3anbi3d 1438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ)))
280		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 · 𝑇) = (𝑗 · 𝑇))
281	280	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)))
282	281	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
283	279, 282	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
284		fourierdlem48.dper	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
285	283, 284	chvarvv 2005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
286	271, 277, 285	vtocl 3559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
287	265, 270, 286	vtocl 3559	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
288	207, 263, 264, 287	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
289	206, 288	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ 𝐷)
290	289	ralrimiva 3182	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → ∀𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 ∈ 𝐷)
291		dfss3 3956	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 ∈ 𝐷)
292	290, 291	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷)
293	192, 292	ssind 4209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
294		ioosscn 41789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ
295		ssinss1 4214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ)
296	294, 295	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ)
297		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
298		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
299	234	rexrd 10691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → 𝑋 ∈ ℝ*)
300	234	leidd 11206	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → 𝑋 ≤ 𝑋)
301	237	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)))
302	234	recnd 10669	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → 𝑋 ∈ ℂ)
303	302, 258	pncand 10998	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑋)
304	301, 303	eqtr2d 2857	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 𝑋 = (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)))
305		icossre 12818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
306	223, 226, 305	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
307	306, 239	sseldd 3968	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → 𝑦 ∈ ℝ)
308		icoltub 41804	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑦 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
309	224, 226, 239, 308	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → 𝑦 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
310	307, 182, 186, 309	ltsub1dd 11252	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
311	304, 310	eqbrtrd 5088	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → 𝑋 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
312	299, 188, 299, 300, 311	elicod 12788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → 𝑋 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
313		snunioo1 41808	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋}) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
314	299, 188, 311, 313	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → ((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋}) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
315	314	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))
316	297	cnfldtop 23392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
317		ovex 7189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑋(,)+∞) ∈ V
318	317	inex1 5221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∈ V
319		snex 5332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {𝑋} ∈ V
320	318, 319	unex 7469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V
321		resttop 21768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top)
322	316, 320, 321	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top
323	322	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top)
324		retop 23370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
325	324	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
326	320	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V)
327		iooretop 23374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran (,))
328	327	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran (,)))
329		elrestr 16702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V ∧ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
330	325, 326, 328, 329	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
331		mnfxr 10698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
332	331	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -∞ ∈ ℝ*)
333	188	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
334		icossre 12818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*) → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℝ)
335	234, 188, 334	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℝ)
336	335	sselda 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
337	336	mnfltd 12520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -∞ < 𝑥)
338	299	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
339		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
340		icoltub 41804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
341	338, 333, 339, 340	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
342	332, 333, 336, 337, 341	eliood 41793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
343		vsnid 4602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝑥 ∈ {𝑥}
344	343	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ {𝑥})
345		sneq 4577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
346	344, 345	eleqtrd 2915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ {𝑋})
347		elun2 4153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑋} → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
348	346, 347	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
349	348	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
350	299	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ*)
351	175	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
352	336	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
353	234	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
354		icogelb 12789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ≤ 𝑥)
355	338, 333, 339, 354	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ≤ 𝑥)
356	355	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ≤ 𝑥)
357		neqne 3024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ≠ 𝑋)
358	357	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ≠ 𝑋)
359	353, 352, 356, 358	leneltd 10794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 < 𝑥)
360	352	ltpnfd 12517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < +∞)
361	350, 351, 352, 359, 360	eliood 41793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞))
362	183	zcnd 12089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝜒 → 𝑘 ∈ ℂ)
363	362, 195	mulneg1d 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) = -(𝑘 · 𝑇))
364	363	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜒 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)))
365	364	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)))
366		ioosscn 41789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℂ
367	366	sseli 3963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℂ)
368	367	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℂ)
369	258	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
370	368, 369	addcld 10660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ)
371	370, 369	negsubd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)))
372	368, 369	pncand 10998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑤)
373	365, 371, 372	3eqtrrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)))
374	186	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
375	228, 374	readdcld 10670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
376	225, 227, 375, 253, 261	eliood 41793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
377	219, 376	sseldd 3968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
378	272	3anbi3d 1438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑗 = -𝑘 → ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ)))
379	274	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑗 = -𝑘 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)))
380	379	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑗 = -𝑘 → (((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
381	378, 380	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
382	266	3anbi2d 1437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ)))
383		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)))
384	383	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
385	382, 384	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
386	265, 385, 285	vtocl 3559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
387	271, 381, 386	vtocl 3559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
388	207, 377, 264, 387	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
389	373, 388	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ 𝐷)
390	389	ralrimiva 3182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜒 → ∀𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 ∈ 𝐷)
391	390, 291	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷)
392	391	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷)
393	188	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
394	341	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
395	350, 393, 352, 359, 394	eliood 41793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
396	392, 395	sseldd 3968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝐷)
397	361, 396	elind 4171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
398		elun1 4152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
399	397, 398	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
400	349, 399	pm2.61dan 811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
401	342, 400	elind 4171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
402	299	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
403	188	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
404		elinel1 4172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
405		elioore 12769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
406	404, 405	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ)
407	406	rexrd 10691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
408	407	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
409		elinel2 4173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
410	234	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
411	88	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑋 = 𝑥)
412	411	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 = 𝑥)
413	410, 412	eqled 10743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ≤ 𝑥)
414	413	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ≤ 𝑥)
415		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝜒)
416		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
417		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑥 = 𝑋)
418		velsn 4583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑋} ↔ 𝑥 = 𝑋)
419	417, 418	sylnibr 331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑥 ∈ {𝑋})
420	419	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑋})
421		elunnel2 41316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
422	416, 420, 421	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
423		elinel1 4172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞))
424	422, 423	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞))
425	234	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 ∈ ℝ)
426		elioore 12769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
427	426	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
428	299	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
429	175	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
430		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞))
431		ioogtlb 41790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 < 𝑥)
432	428, 429, 430, 431	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 < 𝑥)
433	425, 427, 432	ltled 10788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 ≤ 𝑥)
434	415, 424, 433	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ≤ 𝑥)
435	414, 434	pm2.61dan 811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑋 ≤ 𝑥)
436	409, 435	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ≤ 𝑥)
437	331	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -∞ ∈ ℝ*)
438	188	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
439		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
440		iooltub 41806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
441	437, 438, 439, 440	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
442	404, 441	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
443	402, 403, 408, 436, 442	elicod 12788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
444	401, 443	impbida 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))))
445	444	eqrdv 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) = ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
446		ioossre 12799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
447		ssinss1 4214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
448	446, 447	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
449	234	snssd 4742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → {𝑋} ⊆ ℝ)
450	448, 449	unssd 4162	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ)
451		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
452	297, 451	rerest 23412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
453	450, 452	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
454	330, 445, 453	3eltr4d 2928	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
455		isopn3i 21690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top ∧ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
456	323, 454, 455	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
457	315, 456	eqtr2d 2857	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋})))
458	312, 457	eleqtrd 2915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜒 → 𝑋 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋})))
459	174, 293, 296, 297, 298, 458	limcres 24484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) limℂ 𝑋))
460	293	resabs1d 5884	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))
461	460	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋))
462	169	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
463	156, 462	fssd 6528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
464	215	feq2d 6500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:𝐷⟶ℂ))
465	463, 464	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
466	155, 465	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
467	466	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
468	366	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℂ)
469	391, 163	sseqtrrd 4008	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ dom 𝐹)
470	469	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ dom 𝐹)
471	258	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
472		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}
473		eqeq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))))
474	473	rexbidv 3297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))))
475	474	elrab 3680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))))
476	475	simprbi 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} → ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
477	476	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
478		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑥𝜒
479		nfre1 3306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))
480		nfcv 2977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑥ℂ
481	479, 480	nfrabw 3385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}
482	481	nfcri 2971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}
483	478, 482	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))})
484		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ 𝐷
485		simp3 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
486		eleq1 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))
487	486	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))))
488		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
489	488	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
490	487, 489	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
491	490, 263	chvarvv 2005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
492	491	3adant3 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
493	485, 492	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ 𝐷)
494	493	3exp 1115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → (𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷)))
495	494	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → (𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷)))
496	483, 484, 495	rexlimd 3317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → (∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷))
497	477, 496	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → 𝑤 ∈ 𝐷)
498	497	ralrimiva 3182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}𝑤 ∈ 𝐷)
499		dfss3 3956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}𝑤 ∈ 𝐷)
500	498, 499	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷)
501	500, 163	sseqtrrd 4008	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹)
502	501	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹)
503	155	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑)
504	391	sselda 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ 𝐷)
505	183	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
506		fourierdlem48.per	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
507	503, 504, 505, 506	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
508	507	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
509		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋))
510	467, 468, 470, 471, 472, 502, 508, 509	limcperiod 41929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) limℂ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
511	259	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)))
512	237, 511	oveq12d 7174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇))(,)(((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇))))
513	234, 187, 186	iooshift 41818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇))(,)(((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))})
514	512, 513	eqtr2d 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} = (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
515	514	reseq2d 5853	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) = (𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
516	515, 238	oveq12d 7174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) limℂ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))
517	516	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) limℂ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))
518	510, 517	eleqtrd 2915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))
519	466	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
520		ioosscn 41789	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
521	520	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
522		icogelb 12789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ≤ 𝑦)
523	224, 226, 239, 522	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑖) ≤ 𝑦)
524		iooss1 12774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘𝑖) ≤ 𝑦) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
525	224, 523, 524	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
526	525, 218	sstrd 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
527	526, 163	sseqtrrd 4008	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
528	527	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
529	362	negcld 10984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → -𝑘 ∈ ℂ)
530	529, 195	mulcld 10661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
531	530	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
532		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}
533		eqeq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ↔ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))))
534	533	rexbidv 3297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))))
535	534	elrab 3680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))))
536	535	simprbi 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} → ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))
537	536	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))
538		nfre1 3306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))
539	538, 480	nfrabw 3385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}
540	539	nfcri 2971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}
541	478, 540	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))})
542		simp3 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))
543	155	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝜑)
544	526	sselda 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ 𝐷)
545	183	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
546	545	znegcld 12090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -𝑘 ∈ ℤ)
547	543, 544, 546, 286	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
548	547	3adant3 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
549	542, 548	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ 𝐷)
550	549	3exp 1115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷)))
551	550	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → (𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷)))
552	541, 484, 551	rexlimd 3317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → (∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷))
553	537, 552	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → 𝑤 ∈ 𝐷)
554	553	ralrimiva 3182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}𝑤 ∈ 𝐷)
555		dfss3 3956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}𝑤 ∈ 𝐷)
556	554, 555	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷)
557	556, 163	sseqtrrd 4008	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹)
558	557	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹)
559	155	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝜑)
560	544	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ 𝐷)
561	546	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -𝑘 ∈ ℤ)
562	275	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = -𝑘 → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))))
563	562	eqeq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = -𝑘 → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)))
564	273, 563	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))))
565	281	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))))
566	565	eqeq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)))
567	279, 566	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))))
568	567, 506	chvarvv 2005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
569	271, 564, 568	vtocl 3559	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
570	559, 560, 561, 569	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
571		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))
572	519, 521, 528, 531, 532, 558, 570, 571	limcperiod 41929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) limℂ (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))))
573	363	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜒 → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + -(𝑘 · 𝑇)))
574	307	recnd 10669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜒 → 𝑦 ∈ ℂ)
575	574, 258	negsubd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜒 → (𝑦 + -(𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)))
576	304	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑋)
577	573, 575, 576	3eqtrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜒 → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = 𝑋)
578	577	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜒 → 𝑋 = (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)))
579	363	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + -(𝑘 · 𝑇)))
580	257, 258	negsubd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
581	579, 580	eqtr2d 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇)))
582	578, 581	oveq12d 7174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) = ((𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇))))
583	184	renegcld 11067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜒 → -𝑘 ∈ ℝ)
584	583, 185	remulcld 10671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
585	307, 182, 584	iooshift 41818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → ((𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))})
586	582, 585	eqtr2d 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
587	586	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
588	587	reseq2d 5853	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))
589	577	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = 𝑋)
590	588, 589	oveq12d 7174	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) limℂ (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋))
591	572, 590	eleqtrd 2915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋))
592	518, 591	impbida 799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → (𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋) ↔ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)))
593	592	eqrdv 2819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))
594	461, 593	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))
595	167, 459, 594	3eqtr2d 2862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))
596	155, 177, 73	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
597	155, 177, 209	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
598		fourierdlem48.r	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
599	155, 177, 598	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
600		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ if(𝑦 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) = if(𝑦 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦))
601		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
602	223, 182, 596, 597, 599, 307, 182, 309, 525, 600, 601	fourierdlem32 42444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜒 → if(𝑦 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))
603	525	resabs1d 5884	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
604	603	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))
605	602, 604	eleqtrd 2915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜒 → if(𝑦 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))
606		ne0i 4300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (if(𝑦 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦) → ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦) ≠ ∅)
607	605, 606	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦) ≠ ∅)
608	595, 607	eqnetrd 3083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
609	152, 608	sylbir 237	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
610	149, 150, 151, 609	syl21anc 835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
611	610	3exp 1115	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)))
612	611	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)))
613	140, 145, 612	rexlim2d 41926	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅))
614	137, 613	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
615	130, 136, 614	vtocl 3559	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
616	1, 129, 615	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
617		iocssre 12817	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
618	58, 9, 617	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
619		ovex 7189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V
620	92	fvmpt2 6779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V) → (𝑍‘𝑥) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
621	619, 620	mpan2 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑍‘𝑥) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
622	621	oveq2d 7172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (𝑍‘𝑥)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
623	622	mpteq2ia 5157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
624	86, 623	eqtri 2844	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
625	13, 9, 16, 12, 624	fourierdlem4 42416	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
626	625, 10	ffvelrnd 6852	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵))
627	618, 626	sseldd 3968	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
628	627	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
629		simpl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → 𝜑)
630		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄)
631		ffn 6514	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ → 𝑄 Fn (0...𝑀))
632	40, 631	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑄 Fn (0...𝑀))
633	632	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
634		fvelrnb 6726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑄 Fn (0...𝑀) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)))
635	633, 634	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)))
636	630, 635	mpbid 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋))
637		1zzd 12014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
638		elfzelz 12909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
639	638	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ ℤ)
640	639	zred 12088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ ℝ)
641		elfzle1 12911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 0 ≤ 𝑗)
642	641	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 ≤ 𝑗)
643		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋))
644	643	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘𝑗))
645	644	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘𝑗))
646		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘0))
647	646	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘0))
648	37	simprld 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵))
649	648	simpld 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
650	649	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄‘0) = 𝐴)
651	645, 647, 650	3eqtrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
652	651	adantllr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
653	652	adantllr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
654	13	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
655	58	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
656	9	rexrd 10691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
657	656	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
658		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵))
659		iocgtlb 41797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸‘𝑋))
660	655, 657, 658, 659	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸‘𝑋))
661	654, 660	gtned 10775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐴)
662	661	neneqd 3021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ¬ (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
663	662	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → ¬ (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
664	653, 663	pm2.65da 815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ¬ 𝑗 = 0)
665	664	neqned 3023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ≠ 0)
666	640, 642, 665	ne0gt0d 10777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 < 𝑗)
667		0zd 11994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 ∈ ℤ)
668		zltp1le 12033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗))
669	667, 639, 668	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗))
670	666, 669	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (0 + 1) ≤ 𝑗)
671	77, 670	eqbrtrid 5101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 1 ≤ 𝑗)
672		eluz2 12250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗))
673	637, 639, 671, 672	syl3anbrc 1339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1))
674		nnuz 12282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
675	673, 674	eleqtrrdi 2924	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ ℕ)
676		nnm1nn0 11939	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
677	675, 676	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
678	677, 42	eleqtrdi 2923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
679	4	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑀 ∈ ℤ)
680		peano2zm 12026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
681	638, 680	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
682	681	zred 12088	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
683	638	zred 12088	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
684		elfzel2 12907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
685	684	zred 12088	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
686	683	ltm1d 11572	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑗)
687		elfzle2 12912	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ≤ 𝑀)
688	682, 683, 685, 686, 687	ltletrd 10800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑀)
689	688	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) < 𝑀)
690		elfzo2 13042	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝑗 − 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) < 𝑀))
691	678, 679, 689, 690	syl3anbrc 1339	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))
692	40	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
693	639, 680	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
694	667, 679, 693	3jca 1124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ))
695	677	nn0ge0d 11959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 ≤ (𝑗 − 1))
696	682, 685, 688	ltled 10788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)
697	696	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)
698	694, 695, 697	jca32 518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑗 − 1) ∧ (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)))
699		elfz2 12900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 − 1) ∈ (0...𝑀) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑗 − 1) ∧ (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)))
700	698, 699	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0...𝑀))
701	692, 700	ffvelrnd 6852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ)
702	701	rexrd 10691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ*)
703	40	ffvelrnda 6851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ)
704	703	rexrd 10691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
705	704	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
706	705	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
707	618	sselda 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
708	707	rexrd 10691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
709	708	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
710		simplll 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝜑)
711		ovex 7189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 − 1) ∈ V
712		eleq1 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)))
713	712	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))))
714		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘(𝑗 − 1)))
715		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑗 − 1) + 1))
716	715	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
717	714, 716	breq12d 5079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
718	713, 717	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))))
719	711, 718, 73	vtocl 3559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
720	710, 691, 719	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
721	638	zcnd 12089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
722		1cnd 10636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 1 ∈ ℂ)
723	721, 722	npcand 11001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
724	723	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 = ((𝑗 − 1) + 1))
725	724	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
726	725	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄‘𝑗))
727	726	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄‘𝑗))
728	720, 727	breqtrd 5092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘𝑗))
729		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋))
730	728, 729	breqtrd 5092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝐸‘𝑋))
731	627	leidd 11206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝐸‘𝑋))
732	731	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝐸‘𝑋))
733	644	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘𝑗))
734	732, 733	breqtrd 5092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘𝑗))
735	734	adantllr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘𝑗))
736	702, 706, 709, 730, 735	eliocd 41803	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘𝑗)))
737	725	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
738	737	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
739	736, 738	eleqtrd 2915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
740	714, 716	oveq12d 7174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
741	740	eleq2d 2898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))))
742	741	rspcev 3623	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
743	691, 739, 742	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
744	743	ex 415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
745	744	adantlr 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
746	745	rexlimdva 3284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
747	636, 746	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
748	3	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑀 ∈ ℕ)
749	40	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
750		iocssicc 12826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
751	649	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑄‘0))
752	648	simprd 498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = 𝐵)
753	752	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑄‘𝑀))
754	751, 753	oveq12d 7174	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
755	750, 754	sseqtrid 4019	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
756	755	sselda 3967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
757	756	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
758		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄)
759		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘𝑗))
760	759	breq1d 5076	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝑄‘𝑘) < (𝐸‘𝑋) ↔ (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)))
761	760	cbvrabv 3491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < (𝐸‘𝑋)} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)}
762	761	supeq1i 8911	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < (𝐸‘𝑋)}, ℝ, < ) = sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)}, ℝ, < )
763	748, 749, 757, 758, 762	fourierdlem25 42437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
764		ioossioc 41786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
765	764	sseli 3963	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
766	765	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
767	766	reximdva 3274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
768	763, 767	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
769	747, 768	pm2.61dan 811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
770	626, 769	mpdan 685	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
771		fveq2 6670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘𝑗))
772		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
773	772	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
774	771, 773	oveq12d 7174	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
775	774	eleq2d 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))))
776	775	cbvrexvw 3450	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
777	770, 776	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
778	777	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
779		elfzonn0 13083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0)
780		1nn0 11914	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℕ0
781	780	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 1 ∈ ℕ0)
782	779, 781	nn0addcld 11960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
783	782, 42	eleqtrdi 2923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
784	783	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
785	784	3ad2antl2 1182	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
786	4	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
787	786	3ad2antl1 1181	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
788	779	nn0red 11957	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
789	788	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
790	789	3ad2antl2 1182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
791		1red 10642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
792	790, 791	readdcld 10670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℝ)
793	787	zred 12088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
794		elfzop1le2 41576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀)
795	794	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀)
796	795	3ad2antl2 1182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀)
797		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
798		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘𝑀) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
799	798	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘𝑀))
800	799	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘𝑀))
801	752	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝑄‘𝑀) = 𝐵)
802	797, 800, 801	3eqtrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) = 𝐵)
803	802	adantllr 717	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) = 𝐵)
804		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵)
805	804	neneqd 3021	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → ¬ (𝐸‘𝑋) = 𝐵)
806	803, 805	pm2.65da 815	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ¬ 𝑀 = (𝑗 + 1))
807	806	neqned 3023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ≠ (𝑗 + 1))
808	807	3ad2antl1 1181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ≠ (𝑗 + 1))
809	792, 793, 796, 808	leneltd 10794	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) < 𝑀)
810		elfzo2 13042	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 + 1) < 𝑀))
811	785, 787, 809, 810	syl3anbrc 1339	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀))
812	40	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
813		fzofzp1 13135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈ (0...𝑀))
814	813	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑗 + 1) ∈ (0...𝑀))
815	812, 814	ffvelrnd 6852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
816	815	rexrd 10691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
817	816	adantlr 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
818	817	3adant3 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
819	818	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
820		simpl1l 1220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝜑)
821	820, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
822		fzofzp1 13135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀) → ((𝑗 + 1) + 1) ∈ (0...𝑀))
823	811, 822	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ((𝑗 + 1) + 1) ∈ (0...𝑀))
824	821, 823	ffvelrnd 6852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
825	824	rexrd 10691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)) ∈ ℝ*)
826	627	rexrd 10691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
827	826	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
828	827	3ad2antl1 1181	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
829	815	leidd 11206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
830	829	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
831		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
832	831	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝐸‘𝑋))
833	832	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝐸‘𝑋))
834	830, 833	breqtrd 5092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸‘𝑋))
835	834	adantllr 717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸‘𝑋))
836	835	3adantl3 1164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸‘𝑋))
837		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
838		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
839		ovex 7189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 + 1) ∈ V
840		eleq1 2900	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
841	840	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀))))
842		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
843		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑗 + 1) + 1))
844	843	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
845	842, 844	breq12d 5079	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))))
846	841, 845	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))))
847	839, 846, 73	vtocl 3559	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
848	847	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
849	838, 848	eqbrtrd 5088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
850	820, 811, 837, 849	syl21anc 835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
851	819, 825, 828, 836, 850	elicod 12788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))))
852	842, 844	oveq12d 7174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))))
853	852	eleq2d 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))))
854	853	rspcev 3623	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
855	811, 851, 854	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
856		simpl2 1188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ (0..^𝑀))
857		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))))
858	857	3adant1r 1173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))))
859		elfzofz 13054	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
860	859	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
861	812, 860	ffvelrnd 6852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ)
862	861	rexrd 10691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
863	862	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
864	863	3adantl3 1164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
865	816	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
866	865	3adantl3 1164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
867	826	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
868	867	3ad2antl1 1181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
869	861	3adant3 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ)
870	627	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
871	862	3adant3 1128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
872	816	3adant3 1128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
873		simp3 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
874		iocgtlb 41797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑄‘𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋))
875	871, 872, 873, 874	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋))
876	869, 870, 875	ltled 10788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘𝑗) ≤ (𝐸‘𝑋))
877	876	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘𝑗) ≤ (𝐸‘𝑋))
878	870	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
879	815	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
880	879	3adantl3 1164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
881		iocleub 41798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑄‘𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
882	871, 872, 873, 881	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
883	882	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
884		neqne 3024	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) ≠ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
885	884	necomd 3071	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≠ (𝐸‘𝑋))
886	885	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≠ (𝐸‘𝑋))
887	878, 880, 883, 886	leneltd 10794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) < (𝑄‘(𝑗 + 1)))
888	864, 866, 868, 877, 887	elicod 12788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
889	858, 888	sylan 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
890	771, 773	oveq12d 7174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
891	890	eleq2d 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))))
892	891	rspcev 3623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
893	856, 889, 892	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
894	855, 893	pm2.61dan 811	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
895	894	rexlimdv3a 3286	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → (∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
896	778, 895	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
897		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
898		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
899	898	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
900	899	eqeq2d 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → ((𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
901	900	rspcev 3623	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
902	99, 107, 901	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
903	902	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
904		r19.42v 3350	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
905	897, 903, 904	sylanbrc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
906	905	ex 415	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
907	906	reximdv 3273	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
908	896, 907	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
909	629, 908	jca 514	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
910		eleq1 2900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
911		eqeq1 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → (𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
912	910, 911	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → ((𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
913	912	2rexbidv 3300	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
914	913	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))))
915	914	imbi1d 344	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)))
916	915, 614	vtoclg 3567	. . 3 ⊢ ((𝐸‘𝑋) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅))
917	628, 909, 916	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
918	616, 917	pm2.61dane 3104	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  {crab 3142  Vcvv 3494   ∪ cun 3934   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  ifcif 4467  {csn 4567   class class class wbr 5066   ↦ cmpt 5146  dom cdm 5555  ran crn 5556   ↾ cres 5557  Rel wrel 5560   Fn wfn 6350  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ↑_m cmap 8406  supcsup 8904  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542  +∞cpnf 10672  -∞cmnf 10673  ℝ^*cxr 10674   < clt 10675   ≤ cle 10676   − cmin 10870  -cneg 10871   / cdiv 11297  ℕcn 11638  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982  ℤ_≥cuz 12244  (,)cioo 12739  (,]cioc 12740  [,)cico 12741  [,]cicc 12742  ...cfz 12893  ..^cfzo 13034  ⌊cfl 13161   ↾_t crest 16694  TopOpenctopn 16695  topGenctg 16711  ℂ_fldccnfld 20545  Topctop 21501  intcnt 21625  –cn→ccncf 23484   lim_ℂ climc 24460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fi 8875  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-xneg 12508  df-xadd 12509  df-xmul 12510  df-ioo 12743  df-ioc 12744  df-ico 12745  df-icc 12746  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-seq 13371  df-exp 13431  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-rest 16696  df-topn 16697  df-topgen 16717  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-ntr 21628  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-xms 22930  df-ms 22931  df-cncf 23486  df-limc 24464

This theorem is referenced by:  fourierdlem94  42505  fourierdlem113  42524