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Theorem fourierdlem48 46759
Description: The given periodic function 𝐹 has a right limit at every point in the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem48.a (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem48.b (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem48.altb (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem48.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem48.t 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem48.m (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem48.q (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem48.f (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
fourierdlem48.dper ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
fourierdlem48.per ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
fourierdlem48.cn ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem48.r ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
fourierdlem48.x (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem48.z 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
fourierdlem48.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥)))
fourierdlem48.ch (𝜒 ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem48 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑖,𝑘,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝐷,𝑘,𝑥   𝑖,𝐸,𝑘,𝑦   𝑖,𝐹,𝑘,𝑥,𝑦   𝑖,𝑀,𝑘   𝑚,𝑀,𝑝   𝑦,𝑀   𝑄,𝑖,𝑘,𝑥   𝑄,𝑝   𝑦,𝑄   𝑇,𝑖,𝑘,𝑥,𝑦   𝑖,𝑋,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑍   𝜒,𝑥   𝜑,𝑖,𝑘,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝜒(𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐴(𝑦,𝑘)   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑦,𝑖,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑇(𝑚,𝑝)   𝐸(𝑥,𝑚,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝑀(𝑥)   𝑋(𝑚,𝑝)   𝑍(𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)
Proof of Theorem fourierdlem48
Dummy variables 𝑗 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 487 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → 𝜑)
2 fveq2 6882 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘0))
3 fvoveq1 7434 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(0 + 1)))
42, 3oveq12d 7429 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 → ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))
54eleq2d 2855 . . . . . 6 (𝑖 = 0 → (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1)))))
65anbi1d 642 . . . . 5 (𝑖 = 0 → ((((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
76rexbidv 3195 . . . 4 (𝑖 = 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
8 0zd 12602 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
9 fourierdlem48.m . . . . . . 7 (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
109nnzd 12616 . . . . . 6 (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
119nngt0d 12284 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝑀)
12 fzolb 13693 . . . . . 6 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
138, 10, 11, 12syl3anbrc 1360 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
1413adantr 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → 0 ∈ (0..^𝑀))
15 fourierdlem48.b . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
16 fourierdlem48.x . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
1715, 16resubcld 11641 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℝ)
18 fourierdlem48.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
19 fourierdlem48.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2015, 19resubcld 11641 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
2118, 20eqeltrid 2873 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
22 fourierdlem48.altb . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2319, 15posdifd 11800 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
2422, 23mpbid 235 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
2524, 18breqtrrdi 5157 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝑇)
2625gt0ne0d 11777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
2717, 21, 26redivcld 12042 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
2827adantr 485 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
2928flcld 13830 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
30 1zzd 12624 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
3129, 30zsubcld 12704 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) ∈ ℤ)
32 id 23 . . . . . . . 8 ((𝐸‘𝑋) = 𝐵 → (𝐸‘𝑋) = 𝐵)
3318a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐸‘𝑋) = 𝐵 → 𝑇 = (𝐵 − 𝐴))
3432, 33oveq12d 7429 . . . . . . 7 ((𝐸‘𝑋) = 𝐵 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝐵 − (𝐵 − 𝐴)))
3515recnd 11236 . . . . . . . 8 (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3619recnd 11236 . . . . . . . 8 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3735, 36nncand 11573 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 − (𝐵 − 𝐴)) = 𝐴)
3834, 37sylan9eqr 2826 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = 𝐴)
39 fourierdlem48.q . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
40 fourierdlem48.p . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
4140fourierdlem2 46714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
429, 41syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
4339, 42mpbid 235 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
4443simpld 499 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
45 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . 12 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
4644, 45syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
479nnnn0d 12564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
48 nn0uz 12899 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ0 = (ℤ≥‘0)
4947, 48eleqtrdi 2879 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
50 eluzfz1 13558 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
5149, 50syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
5246, 51ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
5352rexrd 11258 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ*)
54 1zzd 12624 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
55 0le1 11736 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 1
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ 1)
579nnge1d 12283 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
588, 10, 54, 56, 57elfzd 13542 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ (0...𝑀))
5946, 58ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘1) ∈ ℝ)
6059rexrd 11258 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘1) ∈ ℝ*)
6119rexrd 11258 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
6243simprd 500 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
6362simplld 779 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
6419leidd 11779 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
6563, 64eqbrtrd 5137 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐴)
6663eqcomd 2775 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 𝐴 = (𝑄‘0))
672, 3breq12d 5126 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 0 → ((𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))))
6843simprrd 785 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
6967, 68, 13rspcdva 3591 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))
70 1e0p1 12757 . . . . . . . . . . . 12 1 = (0 + 1)
7170fveq2i 6885 . . . . . . . . . . 11 (𝑄‘1) = (𝑄‘(0 + 1))
7269, 71breqtrrdi 5157 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘0) < (𝑄‘1))
7366, 72eqbrtrd 5137 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 𝐴 < (𝑄‘1))
7453, 60, 61, 65, 73elicod 13421 . . . . . . . 8 (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘1)))
7571oveq2i 7422 . . . . . . . 8 ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘1)) = ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1)))
7674, 75eleqtrdi 2879 . . . . . . 7 (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))
7776adantr 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))
7838, 77eqeltrd 2869 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))
79 fourierdlem48.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥)))
80 id 23 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
81 fveq2 6882 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑍‘𝑥) = (𝑍‘𝑋))
8280, 81oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑍‘𝑥)) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
83 fourierdlem48.z . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
84 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑋 → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 𝑋))
8584fvoveq1d 7433 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)))
8685oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
8727flcld 13830 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
8887zred 12699 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ)
8988, 21remulcld 11238 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
9083, 86, 16, 89fvmptd3 7014 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑍‘𝑋) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
9190, 89eqeltrd 2869 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑍‘𝑋) ∈ ℝ)
9216, 91readdcld 11237 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ)
9379, 82, 16, 92fvmptd3 7014 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
9490oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍‘𝑋)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
9593, 94eqtrd 2804 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
9695oveq1d 7426 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑇))
9716recnd 11236 . . . . . . . 8 (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
9889recnd 11236 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
9921recnd 11236 . . . . . . . 8 (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
10097, 98, 99addsubassd 11588 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇)))
10187zcnd 12700 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℂ)
102101, 99mulsubfacd 11674 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))
103102oveq2d 7427 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇)) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
10496, 100, 1033eqtrd 2808 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
105104adantr 485 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
106 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) → (𝑘 · 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))
107106oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (𝑘 = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
108107eqeq2d 2780 . . . . . . 7 (𝑘 = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) → (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))))
109108anbi2d 641 . . . . . 6 (𝑘 = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) → ((((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))))
110109rspcev 3590 . . . . 5 ((((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) ∈ ℤ ∧ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
11131, 78, 105, 110syl12anc 849 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
1127, 14, 111rspcedvdw 3593 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
113 ovex 7444 . . . 4 ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ V
114 eleq1 2857 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
115 eqeq1 2773 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → (𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
116114, 115anbi12d 643 . . . . . . 7 (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → ((𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
1171162rexbidv 3236 . . . . . 6 (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
118117anbi2d 641 . . . . 5 (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))))
119118imbi1d 344 . . . 4 (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)))
120 simpr 489 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
121 nfv 1941 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖𝜑
122 nfre1 3296 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
123121, 122nfan 1926 . . . . . 6 Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
124 nfv 1941 . . . . . . 7 Ⅎ𝑘𝜑
125 nfcv 2931 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑘(0..^𝑀)
126 nfre1 3296 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑘∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
127125, 126nfrexw 3319 . . . . . . 7 Ⅎ𝑘∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
128124, 127nfan 1926 . . . . . 6 Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
129 simp1 1152 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑)
130 simp2l 1216 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
131 simp3l 1218 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
132129, 130, 131jca31 523 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
133 simp2r 1217 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
134 simp3r 1219 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
135 fourierdlem48.ch . . . . . . . . . 10 (𝜒 ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
136 resindm 6030 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞))
137135biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
138137simplld 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
139138simplld 779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → 𝜑)
140 fourierdlem48.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
141 fdm 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:𝐷⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐷)
142139, 140, 1413syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → dom 𝐹 = 𝐷)
143142ineq2d 4181 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹) = ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
144143reseq2d 5979 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)))
145136, 144eqtr3id 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)))
146145oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) limℂ 𝑋))
147139, 140syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
148 ax-resscn 11156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ⊆ ℂ
149148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ℝ ⊆ ℂ)
150147, 149fssd 6724 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
151 inss2 4198 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷)
153150, 152fssresd 6746 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)):((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)⟶ℂ)
154 pnfxr 11262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 +∞ ∈ ℝ*
155154a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → +∞ ∈ ℝ*)
156138simplrd 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
15746adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
158 fzofzp1 13792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
159158adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
160157, 159ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
161139, 156, 160syl2anc 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
162137simplrd 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → 𝑘 ∈ ℤ)
163162zred 12699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → 𝑘 ∈ ℝ)
164139, 21syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → 𝑇 ∈ ℝ)
165163, 164remulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
166161, 165resubcld 11641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
167166rexrd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
168167pnfged 13155 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ≤ +∞)
169 iooss2 13407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ≤ +∞) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ (𝑋(,)+∞))
170155, 168, 169syl2anc 595 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ (𝑋(,)+∞))
171162adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
172171zcnd 12700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
173164recnd 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → 𝑇 ∈ ℂ)
174173adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℂ)
175172, 174mulneg1d 11666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (-𝑘 · 𝑇) = -(𝑘 · 𝑇))
176175oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)))
177 elioore 13401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℝ)
178177recnd 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℂ)
179178adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℂ)
180172, 174mulcld 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
181179, 180addcld 11227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ)
182181, 180negsubd 11574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)))
183179, 180pncand 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑤)
184176, 182, 1833eqtrrd 2809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)))
185139adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑)
186138simpld 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
187 fourierdlem48.cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
188 cncff 25020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
189 fdm 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
190187, 188, 1893syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
191 ssdmres 6013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
192190, 191sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
193140fdmd 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
194193adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom 𝐹 = 𝐷)
195192, 194sseqtrd 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
196186, 195syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
197196adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
198 elfzofz 13703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
199198adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
200157, 199ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
201139, 156, 200syl2anc 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
202201rexrd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
203202adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
204161rexrd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
205204adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
206177adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℝ)
207171zred 12699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℝ)
208185, 21syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
209207, 208remulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
210206, 209readdcld 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
211201adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
212139, 16syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → 𝑋 ∈ ℝ)
213212, 165readdcld 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
214213adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
215135simprbi 502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
216215eqcomd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝑦)
217138simprd 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
218216, 217eqeltrd 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
219202, 204, 218icogelbd 13423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
220219adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
221185, 16syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
222221rexrd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
223161adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
224223, 209resubcld 11641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
225224rexrd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
226 simpr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
227222, 225, 226ioogtlbd 46157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑤)
228221, 206, 209, 227ltadd1dd 11824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)))
229211, 214, 210, 220, 228lelttrd 11367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘𝑖) < (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)))
230222, 225, 226iooltubd 46151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
231206, 224, 209, 230ltadd1dd 11824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) < (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)))
232161recnd 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
233165recnd 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
234232, 233npcand 11572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
235234adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
236231, 235breqtrd 5141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
237203, 205, 210, 229, 236eliood 46105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
238197, 237sseldd 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
239171znegcld 12701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -𝑘 ∈ ℤ)
240 ovex 7444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ V
241 eleq1 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
2422413anbi2d 1467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ)))
243 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)))
244243eleq1d 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
245242, 244imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
246 negex 11454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -𝑘 ∈ V
247 eleq1 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = -𝑘 → (𝑗 ∈ ℤ ↔ -𝑘 ∈ ℤ))
2482473anbi3d 1468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = -𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ)))
249 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = -𝑘 → (𝑗 · 𝑇) = (-𝑘 · 𝑇))
250249oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = -𝑘 → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))
251250eleq1d 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = -𝑘 → ((𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
252248, 251imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
253 eleq1 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ ℤ ↔ 𝑗 ∈ ℤ))
2542533anbi3d 1468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ)))
255 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 · 𝑇) = (𝑗 · 𝑇))
256255oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑗 → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)))
257256eleq1d 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
258254, 257imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
259 fourierdlem48.dper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
260258, 259chvarvv 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
261246, 252, 260vtocl 3534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
262240, 245, 261vtocl 3534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
263185, 238, 239, 262syl3anc 1396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
264184, 263eqeltrd 2869 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ 𝐷)
265264ssd 45691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷)
266170, 265ssind 4201 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
267 ioosscn 13434 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ
268 ssinss1 4206 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ)
269267, 268mp1i 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ)
270 eqid 2769 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
271 eqid 2769 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
272212rexrd 11258 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → 𝑋 ∈ ℝ*)
273212leidd 11779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → 𝑋 ≤ 𝑋)
274215oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)))
275212recnd 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → 𝑋 ∈ ℂ)
276275, 233pncand 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑋)
277274, 276eqtr2d 2805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → 𝑋 = (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)))
278 icossre 13454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
279201, 204, 278syl2anc 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
280279, 217sseldd 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → 𝑦 ∈ ℝ)
281202, 204, 217icoltubd 46152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → 𝑦 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
282280, 161, 165, 281ltsub1dd 11825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
283277, 282eqbrtrd 5137 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → 𝑋 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
284272, 167, 272, 273, 283elicod 13421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → 𝑋 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
285 snunioo1 46119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋}) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
286272, 167, 283, 285syl3anc 1396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋}) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
287286fveq2d 6886 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))
288270cnfldtop 24908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
289 ovex 7444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋(,)+∞) ∈ V
290289inex1 5288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∈ V
291 snex 5411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑋} ∈ V
292290, 291unex 7742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V
293 resttop 23285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top)
294288, 292, 293mp2an 704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top
295294a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top)
296 retop 24886 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
297 iooretop 24890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran (,))
298297a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran (,)))
299 elrestr 17480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V ∧ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
300296, 292, 298, 299mp3an12i 1491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
301 mnfxr 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -∞ ∈ ℝ*
302301a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -∞ ∈ ℝ*)
303167adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
304 icossre 13454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*) → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℝ)
305212, 167, 304syl2anc 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℝ)
306305sselda 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
307306mnfltd 13148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -∞ < 𝑥)
308272adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
309 simpr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
310308, 303, 309icoltubd 46152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
311302, 303, 306, 307, 310eliood 46105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
312 vsnid 4634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥 ∈ {𝑥}
313 sneq 4604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
314312, 313eleqtrid 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ {𝑋})
315 elun2 4144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ {𝑋} → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
316314, 315syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
317316adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
318272ad2antrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ*)
319154a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
320306adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
321212ad2antrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
322308, 303, 309icogelbd 13423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ≤ 𝑥)
323322adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ≤ 𝑥)
324 neqne 2972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (¬ 𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ≠ 𝑋)
325324adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ≠ 𝑋)
326321, 320, 323, 325leneltd 11363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 < 𝑥)
327320ltpnfd 13145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < +∞)
328318, 319, 320, 326, 327eliood 46105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞))
329162zcnd 12700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜒 → 𝑘 ∈ ℂ)
330329, 173mulneg1d 11666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) = -(𝑘 · 𝑇))
331330oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜒 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)))
332331adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)))
333 ioosscn 13434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℂ
334333sseli 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℂ)
335334adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℂ)
336233adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
337335, 336addcld 11227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ)
338337, 336negsubd 11574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)))
339335, 336pncand 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑤)
340332, 338, 3393eqtrrd 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)))
341165adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
342206, 341readdcld 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
343203, 205, 342, 229, 236eliood 46105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
344197, 343sseldd 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
3452473anbi3d 1468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑗 = -𝑘 → ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ)))
346249oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑗 = -𝑘 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)))
347346eleq1d 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑗 = -𝑘 → (((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
348345, 347imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
3492413anbi2d 1467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ)))
350 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)))
351350eleq1d 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
352349, 351imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
353240, 352, 260vtocl 3534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
354246, 348, 353vtocl 3534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
355185, 344, 239, 354syl3anc 1396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
356340, 355eqeltrd 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ 𝐷)
357356ssd 45691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷)
358357ad2antrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷)
359167ad2antrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
360310adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
361318, 359, 320, 326, 360eliood 46105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
362358, 361sseldd 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝐷)
363328, 362elind 4161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
364 elun1 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
365363, 364syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
366317, 365pm2.61dan 824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
367311, 366elind 4161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
368272adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
369167adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
370 elinel1 4162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
371370elioored 46156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ)
372371rexrd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
373372adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
374 elinel2 4163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
375212adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
37680eqcomd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 𝑋 → 𝑋 = 𝑥)
377376adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 = 𝑥)
378375, 377eqled 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ≤ 𝑥)
379378adantlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ≤ 𝑥)
380 simpll 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝜒)
381 simplr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
382 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (¬ 𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑥 = 𝑋)
383 velsn 4610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ {𝑋} ↔ 𝑥 = 𝑋)
384382, 383sylnibr 332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (¬ 𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑥 ∈ {𝑋})
385384adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑋})
386 elunnel2 4117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
387381, 385, 386syl2anc 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
388 elinel1 4162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞))
389387, 388syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞))
390212adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 ∈ ℝ)
391 elioore 13401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
392391adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
393272adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
394154a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
395 simpr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞))
396393, 394, 395ioogtlbd 46157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 < 𝑥)
397390, 392, 396ltled 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 ≤ 𝑥)
398380, 389, 397syl2anc 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ≤ 𝑥)
399379, 398pm2.61dan 824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑋 ≤ 𝑥)
400374, 399sylan2 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ≤ 𝑥)
401 iooltub 46117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
402301, 167, 370, 401mp3an3an 1493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
403368, 369, 373, 400, 402elicod 13421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
404367, 403impbida 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))))
405404eqrdv 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) = ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
406 ioossre 13433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
407 ssinss1 4206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
408406, 407mp1i 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
409212snssd 4757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑋} ⊆ ℝ)
410408, 409unssd 4153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ)
411 eqid 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
412270, 411rerest 24929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
413410, 412syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
414300, 405, 4133eltr4d 2884 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
415 isopn3i 23207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top ∧ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
416295, 414, 415syl2anc 595 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
417287, 416eqtr2d 2805 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋})))
418284, 417eleqtrd 2871 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → 𝑋 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋})))
419153, 266, 269, 270, 271, 418limcres 26013 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) limℂ 𝑋))
420266resabs1d 6008 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))
421420oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋))
422148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
423140, 422fssd 6724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
424423ffdmd 6737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
425139, 424syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
426425adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
427333a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℂ)
428357, 142sseqtrrd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ dom 𝐹)
429428adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ dom 𝐹)
430233adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
431 eqid 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}
432 eqeq1 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))))
433432rexbidv 3195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))))
434433elrab 3659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))))
435434simprbi 502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} → ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
436435adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
437 nfv 1941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ⅎ𝑥𝜒
438 nfre1 3296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))
439 nfcv 2931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Ⅎ𝑥ℂ
440438, 439nfrabw 3460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Ⅎ𝑥{𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}
441440nfcri 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}
442437, 441nfan 1926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ⅎ𝑥(𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))})
443 nfv 1941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ 𝐷
444 simp3 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
445 eleq1 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))
446445anbi2d 641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑥 → ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))))
447 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
448447eleq1d 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
449446, 448imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 = 𝑥 → (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
450449, 238chvarvv 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
4514503adant3 1148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
452444, 451eqeltrd 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ 𝐷)
4534523exp 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → (𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷)))
454453adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → (𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷)))
455442, 443, 454rexlimd 3278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → (∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷))
456436, 455mpd 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → 𝑤 ∈ 𝐷)
457456ssd 45691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷)
458457, 142sseqtrrd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹)
459458adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹)
460139adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑)
461357sselda 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ 𝐷)
462162adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
463 fourierdlem48.per . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
464460, 461, 462, 463syl3anc 1396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
465464adantlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
466 simpr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋))
467426, 427, 429, 430, 431, 459, 465, 466limcperiod 46235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) limℂ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
468234eqcomd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)))
469215, 468oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇))(,)(((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇))))
470212, 166, 165iooshift 46129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇))(,)(((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))})
471469, 470eqtr2d 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} = (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
472471reseq2d 5979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) = (𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
473472, 216oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) limℂ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))
474473adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) limℂ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))
475467, 474eleqtrd 2871 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))
476425adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
477 ioosscn 13434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
478477a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
479202, 204, 217icogelbd 13423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑄‘𝑖) ≤ 𝑦)
480 iooss1 13406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘𝑖) ≤ 𝑦) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
481202, 479, 480syl2anc 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
482481, 196sstrd 3955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
483482, 142sseqtrrd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
484483adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
485329negcld 11555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → -𝑘 ∈ ℂ)
486485, 173mulcld 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
487486adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
488 eqid 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}
489 eqeq1 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ↔ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))))
490489rexbidv 3195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))))
491490elrab 3659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))))
492491simprbi 502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} → ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))
493492adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))
494 nfre1 3296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))
495494, 439nfrabw 3460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Ⅎ𝑥{𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}
496495nfcri 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}
497437, 496nfan 1926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ⅎ𝑥(𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))})
498 simp3 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))
499139adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝜑)
500482sselda 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ 𝐷)
501162adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
502501znegcld 12701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -𝑘 ∈ ℤ)
503499, 500, 502, 261syl3anc 1396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
5045033adant3 1148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
505498, 504eqeltrd 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ 𝐷)
5065053exp 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷)))
507506adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → (𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷)))
508497, 443, 507rexlimd 3278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → (∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷))
509493, 508mpd 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → 𝑤 ∈ 𝐷)
510509ssd 45691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷)
511510, 142sseqtrrd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹)
512511adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹)
513139ad2antrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝜑)
514500adantlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ 𝐷)
515502adantlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -𝑘 ∈ ℤ)
516250fveqeq2d 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = -𝑘 → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)))
517248, 516imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))))
518256fveqeq2d 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)))
519254, 518imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))))
520519, 463chvarvv 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
521246, 517, 520vtocl 3534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
522513, 514, 515, 521syl3anc 1396 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
523 simpr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))
524476, 478, 484, 487, 488, 512, 522, 523limcperiod 46235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) limℂ (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))))
525330oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + -(𝑘 · 𝑇)))
526280recnd 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → 𝑦 ∈ ℂ)
527526, 233negsubd 11574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑦 + -(𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)))
528277eqcomd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑋)
529525, 527, 5283eqtrd 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = 𝑋)
530529eqcomd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → 𝑋 = (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)))
531330oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + -(𝑘 · 𝑇)))
532232, 233negsubd 11574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
533531, 532eqtr2d 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇)))
534530, 533oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) = ((𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇))))
535163renegcld 11640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → -𝑘 ∈ ℝ)
536535, 164remulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
537280, 161, 536iooshift 46129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ((𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))})
538534, 537eqtr2d 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
539538adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
540539reseq2d 5979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))
541529adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = 𝑋)
542540, 541oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) limℂ (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋))
543524, 542eleqtrd 2871 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋))
544475, 543impbida 812 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋) ↔ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)))
545544eqrdv 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))
546421, 545eqtrd 2804 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))
547146, 419, 5463eqtr2d 2810 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))
54868r19.21bi 3263 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
549139, 156, 548syl2anc 595 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
550139, 156, 187syl2anc 595 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
551 fourierdlem48.r . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
552139, 156, 551syl2anc 595 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
553 eqid 2769 . . . . . . . . . . . . . 14 if(𝑦 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) = if(𝑦 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦))
554 eqid 2769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
555201, 161, 549, 550, 552, 280, 161, 281, 481, 553, 554fourierdlem32 46744 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → if(𝑦 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))
556481resabs1d 6008 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
557556oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))
558555, 557eleqtrd 2871 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → if(𝑦 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))
559558ne0d 4303 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦) ≠ ∅)
560547, 559eqnetrd 3031 . . . . . . . . . 10 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
561135, 560sylbir 238 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
562132, 133, 134, 561syl21anc 850 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
5635623exp 1135 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)))
564563adantr 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)))
565123, 128, 564rexlim2d 46232 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅))
566120, 565mpd 16 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
567113, 119, 566vtocl 3534 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
5681, 112, 567syl2anc 595 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
569 iocssre 13453 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
57061, 15, 569syl2anc 595 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
571 ovex 7444 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V
57283fvmpt2 7002 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V) → (𝑍‘𝑥) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
573571, 572mpan2 703 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑍‘𝑥) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
574573oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (𝑍‘𝑥)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
575574mpteq2ia 5210 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
57679, 575eqtri 2792 . . . . . . 7 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
57719, 15, 22, 18, 576fourierdlem4 46716 . . . . . 6 (𝜑 → 𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
578577, 16ffvelcdmd 7081 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵))
579570, 578sseldd 3946 . . . 4 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
580579adantr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
581 simpl 487 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → 𝜑)
582 simpr 489 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄)
58346ffnd 6707 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 𝑄 Fn (0...𝑀))
584583ad2antrr 738 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
585 fvelrnb 6942 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄 Fn (0...𝑀) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)))
586584, 585syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)))
587582, 586mpbid 235 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋))
588 fveq2 6882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘(𝑗 − 1)))
589 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
590588, 589oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
591590eleq2d 2855 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))))
592 nnuz 12900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℕ = (ℤ≥‘1)
593 1zzd 12624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
594 elfzelz 13551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
595594ad2antlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ ℤ)
596595zred 12699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ ℝ)
597 elfzle1 13554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 0 ≤ 𝑗)
598597ad2antlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 ≤ 𝑗)
599 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋))
600599eqcomd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘𝑗))
601600ad2antlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘𝑗))
602 fveq2 6882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑗 = 0 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘0))
603602adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘0))
60443simprld 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → ((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵))
605604simpld 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
606605ad2antrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄‘0) = 𝐴)
607601, 603, 6063eqtrd 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
608607adantllr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
609608adantllr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
61019adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
61161adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
61215rexrd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
613612adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
614 simpr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵))
615611, 613, 614iocgtlbd 46176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸‘𝑋))
616610, 615gtned 11344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐴)
617616neneqd 2969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ¬ (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
618617ad3antrrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → ¬ (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
619609, 618pm2.65da 828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ¬ 𝑗 = 0)
620619neqned 2971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ≠ 0)
621596, 598, 620ne0gt0d 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 < 𝑗)
622 0zd 12602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 ∈ ℤ)
623622, 595zltp1led 12648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗))
624621, 623mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (0 + 1) ≤ 𝑗)
62570, 624eqbrtrid 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 1 ≤ 𝑗)
626592, 593, 595, 625eluzd 46014 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ ℕ)
627 nnm1nn0 12544 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
628626, 627syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
629628, 48eleqtrdi 2879 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
63010ad3antrrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑀 ∈ ℤ)
631 peano2zm 12636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
632594, 631syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
633632zred 12699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
634594zred 12699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
635 elfzel2 13549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
636635zred 12699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
637634ltm1d 12146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑗)
638 elfzle2 13555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ≤ 𝑀)
639633, 634, 636, 637, 638ltletrd 11369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑀)
640639ad2antlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) < 𝑀)
641629, 630, 640elfzod 13690 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))
64246ad3antrrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
643595, 631syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
644628nn0ge0d 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 ≤ (𝑗 − 1))
645633, 636, 639ltled 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)
646645ad2antlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)
647622, 630, 643, 644, 646elfzd 13542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0...𝑀))
648642, 647ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ)
649648rexrd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ*)
65046ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ)
651650rexrd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
652651adantlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
653652adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
654570sselda 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
655654rexrd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
656655ad2antrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
657 simplll 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝜑)
658 ovex 7444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 − 1) ∈ V
659 eleq1 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)))
660659anbi2d 641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))))
661588, 589breq12d 5126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
662660, 661imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))))
663658, 662, 548vtocl 3534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
664657, 641, 663syl2anc 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
665594zcnd 12700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
666 1cnd 11201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 1 ∈ ℂ)
667665, 666npcand 11572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
668667fveq2d 6886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄‘𝑗))
669668ad2antlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄‘𝑗))
670664, 669breqtrd 5141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘𝑗))
671 simpr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋))
672670, 671breqtrd 5141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝐸‘𝑋))
673579leidd 11779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝐸‘𝑋))
674673ad2antrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝐸‘𝑋))
675600adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘𝑗))
676674, 675breqtrd 5141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘𝑗))
677676adantllr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘𝑗))
678649, 653, 656, 672, 677eliocd 46114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘𝑗)))
679667eqcomd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 = ((𝑗 − 1) + 1))
680679fveq2d 6886 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
681680oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
682681ad2antlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
683678, 682eleqtrd 2871 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
684591, 641, 683rspcedvdw 3593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
685684ex 417 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
686685adantlr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
687686rexlimdva 3172 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
688587, 687mpd 16 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
6899ad2antrr 738 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑀 ∈ ℕ)
69046ad2antrr 738 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
691 iocssicc 13463 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
692605eqcomd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 𝐴 = (𝑄‘0))
693604simprd 500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = 𝐵)
694693eqcomd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 𝐵 = (𝑄‘𝑀))
695692, 694oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
696691, 695sseqtrid 3987 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
697696sselda 3945 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
698697adantr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
699 simpr 489 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄)
700 fveq2 6882 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘𝑗))
701700breq1d 5123 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑄‘𝑘) < (𝐸‘𝑋) ↔ (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)))
702701cbvrabv 3433 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < (𝐸‘𝑋)} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)}
703702supeq1i 9406 . . . . . . . . . . . 12 sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < (𝐸‘𝑋)}, ℝ, < ) = sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)}, ℝ, < )
704689, 690, 698, 699, 703fourierdlem25 46737 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
705 ioossioc 46099 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
706705sseli 3941 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
707706a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
708707reximdva 3184 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
709704, 708mpd 16 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
710688, 709pm2.61dan 824 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
711578, 710mpdan 699 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
712 fveq2 6882 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘𝑗))
713 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
714712, 713oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
715714eleq2d 2855 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))))
716715cbvrexvw 3250 . . . . . . . 8 (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
717711, 716sylib 221 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
718717adantr 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
719 fveq2 6882 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
720 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
721719, 720oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))))
722721eleq2d 2855 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))))
723 elfzonn0 13735 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0)
724 1nn0 12519 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℕ0
725724a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 1 ∈ ℕ0)
726723, 725nn0addcld 12568 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
727726, 48eleqtrdi 2879 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
728727adantr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
7297283ad2antl2 1203 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
73010ad2antrr 738 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
7317303ad2antl1 1202 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
732723nn0red 12565 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
733732adantr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
7347333ad2antl2 1203 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
735 1red 11208 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
736734, 735readdcld 11237 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℝ)
737731zred 12699 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
738 elfzop1le2 13700 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀)
739738adantr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀)
7407393ad2antl2 1203 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀)
741 simplr 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
742 fveq2 6882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘𝑀) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
743742eqcomd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘𝑀))
744743adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘𝑀))
745693ad2antrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝑄‘𝑀) = 𝐵)
746741, 744, 7453eqtrd 2808 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) = 𝐵)
747746adantllr 731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) = 𝐵)
748 simpllr 787 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵)
749748neneqd 2969 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → ¬ (𝐸‘𝑋) = 𝐵)
750747, 749pm2.65da 828 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ¬ 𝑀 = (𝑗 + 1))
751750neqned 2971 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ≠ (𝑗 + 1))
7527513ad2antl1 1202 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ≠ (𝑗 + 1))
753736, 737, 740, 752leneltd 11363 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) < 𝑀)
754729, 731, 753elfzod 13690 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀))
75546adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
756 fzofzp1 13792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈ (0...𝑀))
757756adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑗 + 1) ∈ (0...𝑀))
758755, 757ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
759758rexrd 11258 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
760759adantlr 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
7617603adant3 1148 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
762761adantr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
763 simpl1l 1241 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝜑)
764763, 46syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
765 fzofzp1 13792 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀) → ((𝑗 + 1) + 1) ∈ (0...𝑀))
766754, 765syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ((𝑗 + 1) + 1) ∈ (0...𝑀))
767764, 766ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
768767rexrd 11258 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)) ∈ ℝ*)
769579rexrd 11258 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
770769ad2antrr 738 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
7717703ad2antl1 1202 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
772758leidd 11779 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
773772adantr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
774 id 23 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
775774eqcomd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝐸‘𝑋))
776775adantl 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝐸‘𝑋))
777773, 776breqtrd 5141 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸‘𝑋))
778777adantllr 731 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸‘𝑋))
7797783adantl3 1185 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸‘𝑋))
780 simpr 489 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
781 simpr 489 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
782 ovex 7444 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 + 1) ∈ V
783 eleq1 2857 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
784783anbi2d 641 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀))))
785719, 720breq12d 5126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))))
786784, 785imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))))
787782, 786, 548vtocl 3534 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
788787adantr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
789781, 788eqbrtrd 5137 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
790763, 754, 780, 789syl21anc 850 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
791762, 768, 771, 779, 790elicod 13421 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))))
792722, 754, 791rspcedvdw 3593 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
793712, 713oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
794793eleq2d 2855 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))))
795 simpl2 1209 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ (0..^𝑀))
796 id 23 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))))
7977963adant1r 1194 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))))
798 elfzofz 13703 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
799798adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
800755, 799ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ)
801800rexrd 11258 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
802801adantr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
8038023adantl3 1185 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
804759adantr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
8058043adantl3 1185 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
806769adantr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
8078063ad2antl1 1202 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
8088003adant3 1148 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ)
8095793ad2ant1 1149 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
8108013adant3 1148 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
8117593adant3 1148 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
812 simp3 1154 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
813810, 811, 812iocgtlbd 46176 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋))
814808, 809, 813ltled 11357 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘𝑗) ≤ (𝐸‘𝑋))
815814adantr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘𝑗) ≤ (𝐸‘𝑋))
816809adantr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
817758adantr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
8188173adantl3 1185 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
819810, 811, 812iocleubd 46165 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
820819adantr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
821 neqne 2972 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) ≠ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
822821necomd 3019 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≠ (𝐸‘𝑋))
823822adantl 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≠ (𝐸‘𝑋))
824816, 818, 820, 823leneltd 11363 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) < (𝑄‘(𝑗 + 1)))
825803, 805, 807, 815, 824elicod 13421 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
826797, 825sylan 591 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
827794, 795, 826rspcedvdw 3593 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
828792, 827pm2.61dan 824 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
829828rexlimdv3a 3176 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → (∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
830718, 829mpd 16 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
831 simpr 489 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
832 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
833832oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
834833eqeq2d 2780 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → ((𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
835834, 87, 95rspcedvdw 3593 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
836835ad2antrr 738 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
837 r19.42v 3203 . . . . . . . 8 (∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
838831, 836, 837sylanbrc 594 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
839838ex 417 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
840839reximdv 3186 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
841830, 840mpd 16 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
842581, 841jca 520 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
843 eleq1 2857 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
844 eqeq1 2773 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → (𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
845843, 844anbi12d 643 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → ((𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
8468452rexbidv 3236 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
847846anbi2d 641 . . . . 5 (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))))
848847imbi1d 344 . . . 4 (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)))
849848, 566vtoclg 3531 . . 3 ((𝐸‘𝑋) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅))
850580, 842, 849sylc 66 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
851568, 850pm2.61dane 3051 1 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  {crab 3423  Vcvv 3463   ∪ cun 3911   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  ifcif 4492  {csn 4594   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  dom cdm 5662  ran crn 5663   ↾ cres 5664   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8823  supcsup 9399  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104  +∞cpnf 11239  -∞cmnf 11240  ℝ*cxr 11241   < clt 11242   ≤ cle 11243   − cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11870  ℕcn 12232  ℕ0cn0 12503  ℤcz 12590  ℤ≥cuz 12861  (,)cioo 13371  (,]cioc 13372  [,)cico 13373  [,]cicc 13374  ...cfz 13534  ..^cfzo 13681  ⌊cfl 13822   ↾t crest 17472  TopOpenctopn 17473  topGenctg 17489  ℂfldccnfld 21490  Topctop 23018  intcnt 23142  –cn→ccncf 25003   limℂ climc 25989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-ioc 13376  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-struct 17206  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-rest 17474  df-topn 17475  df-topgen 17495  df-psmet 21482  df-xmet 21483  df-met 21484  df-bl 21485  df-mopn 21486  df-cnfld 21491  df-top 23019  df-topon 23036  df-topsp 23058  df-bases 23071  df-ntr 23145  df-cn 23352  df-cnp 23353  df-xms 24445  df-ms 24446  df-cncf 25005  df-limc 25993
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