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Theorem fourierdlem48 46600
Description: The given periodic function 𝐹 has a right limit at every point in the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem48.a (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem48.b (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem48.altb (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem48.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem48.t 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem48.m (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem48.q (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem48.f (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
fourierdlem48.dper ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
fourierdlem48.per ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
fourierdlem48.cn ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem48.r ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
fourierdlem48.x (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem48.z 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
fourierdlem48.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥)))
fourierdlem48.ch (𝜒 ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem48 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑖,𝑘,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝐷,𝑘,𝑥   𝑖,𝐸,𝑘,𝑦   𝑖,𝐹,𝑘,𝑥,𝑦   𝑖,𝑀,𝑘   𝑚,𝑀,𝑝   𝑦,𝑀   𝑄,𝑖,𝑘,𝑥   𝑄,𝑝   𝑦,𝑄   𝑇,𝑖,𝑘,𝑥,𝑦   𝑖,𝑋,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑍   𝜒,𝑥   𝜑,𝑖,𝑘,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝜒(𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐴(𝑦,𝑘)   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑦,𝑖,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑇(𝑚,𝑝)   𝐸(𝑥,𝑚,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝑀(𝑥)   𝑋(𝑚,𝑝)   𝑍(𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)
Proof of Theorem fourierdlem48
Dummy variables 𝑗 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → 𝜑)
2 0zd 12527 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 fourierdlem48.m . . . . . . 7 (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
43nnzd 12541 . . . . . 6 (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
53nngt0d 12217 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝑀)
6 fzolb 13611 . . . . . 6 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
72, 4, 5, 6syl3anbrc 1345 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
87adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → 0 ∈ (0..^𝑀))
9 fourierdlem48.b . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
10 fourierdlem48.x . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
119, 10resubcld 11569 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℝ)
12 fourierdlem48.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
13 fourierdlem48.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
149, 13resubcld 11569 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
1512, 14eqeltrid 2841 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
16 fourierdlem48.altb . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
1713, 9posdifd 11728 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
1816, 17mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
1918, 12breqtrrdi 5128 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝑇)
2019gt0ne0d 11705 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
2111, 15, 20redivcld 11974 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
2221adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
2322flcld 13748 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
24 1zzd 12549 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
2523, 24zsubcld 12629 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) ∈ ℤ)
26 id 22 . . . . . . . 8 ((𝐸‘𝑋) = 𝐵 → (𝐸‘𝑋) = 𝐵)
2712a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐸‘𝑋) = 𝐵 → 𝑇 = (𝐵 − 𝐴))
2826, 27oveq12d 7378 . . . . . . 7 ((𝐸‘𝑋) = 𝐵 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝐵 − (𝐵 − 𝐴)))
299recnd 11164 . . . . . . . 8 (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3013recnd 11164 . . . . . . . 8 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3129, 30nncand 11501 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 − (𝐵 − 𝐴)) = 𝐴)
3228, 31sylan9eqr 2794 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = 𝐴)
33 fourierdlem48.q . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
34 fourierdlem48.p . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
3534fourierdlem2 46555 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
363, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
3733, 36mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
3837simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
39 elmapi 8789 . . . . . . . . . . . 12 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
413nnnn0d 12489 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
42 nn0uz 12817 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ0 = (ℤ≥‘0)
4341, 42eleqtrdi 2847 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
44 eluzfz1 13476 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
4640, 45ffvelcdmd 7031 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
4746rexrd 11186 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ*)
48 1zzd 12549 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
49 0le1 11664 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 1
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ 1)
513nnge1d 12216 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
522, 4, 48, 50, 51elfzd 13460 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ (0...𝑀))
5340, 52ffvelcdmd 7031 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘1) ∈ ℝ)
5453rexrd 11186 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘1) ∈ ℝ*)
5513rexrd 11186 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5637simprd 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
5756simplld 768 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
5813leidd 11707 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
5957, 58eqbrtrd 5108 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐴)
6057eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 𝐴 = (𝑄‘0))
61 0re 11137 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
62 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 0 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 0 ∈ (0..^𝑀)))
6362anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 0 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀))))
64 fveq2 6834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 0 → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘0))
65 oveq1 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 0 → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
6665fveq2d 6838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 0 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(0 + 1)))
6764, 66breq12d 5099 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 0 → ((𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))))
6863, 67imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 0 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))))
6937simprrd 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
7069r19.21bi 3230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
7168, 70vtoclg 3500 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))))
7261, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))
737, 72mpdan 688 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))
74 1e0p1 12677 . . . . . . . . . . . 12 1 = (0 + 1)
7574fveq2i 6837 . . . . . . . . . . 11 (𝑄‘1) = (𝑄‘(0 + 1))
7673, 75breqtrrdi 5128 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘0) < (𝑄‘1))
7760, 76eqbrtrd 5108 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 𝐴 < (𝑄‘1))
7847, 54, 55, 59, 77elicod 13339 . . . . . . . 8 (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘1)))
7975oveq2i 7371 . . . . . . . 8 ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘1)) = ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1)))
8078, 79eleqtrdi 2847 . . . . . . 7 (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))
8180adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))
8232, 81eqeltrd 2837 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))
83 fourierdlem48.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥)))
8483a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥))))
85 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
86 fveq2 6834 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → (𝑍‘𝑥) = (𝑍‘𝑋))
8785, 86oveq12d 7378 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑍‘𝑥)) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
8887adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (𝑍‘𝑥)) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
89 fourierdlem48.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
91 oveq2 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑋 → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 𝑋))
9291oveq1d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))
9392fveq2d 6838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)))
9493oveq1d 7375 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
9594adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
9621flcld 13748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
9796zred 12624 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ)
9897, 15remulcld 11166 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
9990, 95, 10, 98fvmptd 6949 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑍‘𝑋) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
10099, 98eqeltrd 2837 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑍‘𝑋) ∈ ℝ)
10110, 100readdcld 11165 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ)
10284, 88, 10, 101fvmptd 6949 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋)))
10399oveq2d 7376 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍‘𝑋)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
104102, 103eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
105104oveq1d 7375 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑇))
10610recnd 11164 . . . . . . . 8 (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
10798recnd 11164 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
10815recnd 11164 . . . . . . . 8 (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
109106, 107, 108addsubassd 11516 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇)))
11096zcnd 12625 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℂ)
111110, 108mulsubfacd 11602 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))
112111oveq2d 7376 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇)) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
113105, 109, 1123eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
114113adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
115 oveq1 7367 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) → (𝑘 · 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))
116115oveq2d 7376 . . . . . . . 8 (𝑘 = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
117116eqeq2d 2748 . . . . . . 7 (𝑘 = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) → (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))))
118117anbi2d 631 . . . . . 6 (𝑘 = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) → ((((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))))
119118rspcev 3565 . . . . 5 ((((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) ∈ ℤ ∧ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
12025, 82, 114, 119syl12anc 837 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
12164, 66oveq12d 7378 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))
122121eleq2d 2823 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 → (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1)))))
123122anbi1d 632 . . . . . 6 (𝑖 = 0 → ((((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
124123rexbidv 3162 . . . . 5 (𝑖 = 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
125124rspcev 3565 . . . 4 ((0 ∈ (0..^𝑀) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
1268, 120, 125syl2anc 585 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
127 ovex 7393 . . . 4 ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ V
128 eleq1 2825 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
129 eqeq1 2741 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → (𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
130128, 129anbi12d 633 . . . . . . 7 (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → ((𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
1311302rexbidv 3203 . . . . . 6 (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
132131anbi2d 631 . . . . 5 (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))))
133132imbi1d 341 . . . 4 (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)))
134 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
135 nfv 1916 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖𝜑
136 nfre1 3263 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
137135, 136nfan 1901 . . . . . 6 Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
138 nfv 1916 . . . . . . 7 Ⅎ𝑘𝜑
139 nfcv 2899 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑘(0..^𝑀)
140 nfre1 3263 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑘∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
141139, 140nfrexw 3286 . . . . . . 7 Ⅎ𝑘∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
142138, 141nfan 1901 . . . . . 6 Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
143 simp1 1137 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑)
144 simp2l 1201 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
145 simp3l 1203 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
146143, 144, 145jca31 514 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
147 simp2r 1202 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
148 simp3r 1204 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
149 fourierdlem48.ch . . . . . . . . . 10 (𝜒 ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
150149biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
151150simplld 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
152151simplld 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → 𝜑)
153 fourierdlem48.f . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
154 frel 6667 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:𝐷⟶ℝ → Rel 𝐹)
155 resindm 5989 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)))
156155eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)))
157152, 153, 154, 1564syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)))
158 fdm 6671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:𝐷⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐷)
159152, 153, 1583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → dom 𝐹 = 𝐷)
160159ineq2d 4161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹) = ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
161160reseq2d 5938 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)))
162157, 161eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)))
163162oveq1d 7375 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) limℂ 𝑋))
164152, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
165 ax-resscn 11086 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ⊆ ℂ
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ℝ ⊆ ℂ)
167164, 166fssd 6679 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
168 inss2 4179 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷)
170167, 169fssresd 6701 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)):((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)⟶ℂ)
171 pnfxr 11190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 +∞ ∈ ℝ*
172171a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → +∞ ∈ ℝ*)
173151simplrd 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
17440adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
175 fzofzp1 13710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
176175adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
177174, 176ffvelcdmd 7031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
178152, 173, 177syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
179150simplrd 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → 𝑘 ∈ ℤ)
180179zred 12624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → 𝑘 ∈ ℝ)
181152, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → 𝑇 ∈ ℝ)
182180, 181remulcld 11166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
183178, 182resubcld 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
184183rexrd 11186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
185183ltpnfd 13063 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) < +∞)
186184, 172, 185xrltled 13092 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ≤ +∞)
187 iooss2 13325 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ≤ +∞) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ (𝑋(,)+∞))
188172, 186, 187syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ (𝑋(,)+∞))
189179adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
190189zcnd 12625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
191181recnd 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → 𝑇 ∈ ℂ)
192191adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℂ)
193190, 192mulneg1d 11594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (-𝑘 · 𝑇) = -(𝑘 · 𝑇))
194193oveq2d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)))
195 elioore 13319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℝ)
196195recnd 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℂ)
197196adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℂ)
198190, 192mulcld 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
199197, 198addcld 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ)
200199, 198negsubd 11502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)))
201197, 198pncand 11497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑤)
202194, 200, 2013eqtrrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)))
203152adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑)
204151simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
205 fourierdlem48.cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
206 cncff 24870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
207 fdm 6671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
208205, 206, 2073syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
209 ssdmres 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
210208, 209sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
211153, 158syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
212211adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom 𝐹 = 𝐷)
213210, 212sseqtrd 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
214204, 213syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
215214adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
216 elfzofz 13621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
217216adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
218174, 217ffvelcdmd 7031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
219152, 173, 218syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
220219rexrd 11186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
221220adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ*)
222178rexrd 11186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
223222adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
224195adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℝ)
225189zred 12624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℝ)
226203, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
227225, 226remulcld 11166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
228224, 227readdcld 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
229219adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
230152, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → 𝑋 ∈ ℝ)
231230, 182readdcld 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
232231adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
233149simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒 → 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
234233eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝑦)
235151simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
236234, 235eqeltrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
237 icogelb 13340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
238220, 222, 236, 237syl3anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
239238adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
240203, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
241240rexrd 11186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
242178adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
243242, 227resubcld 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
244243rexrd 11186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
245 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
246 ioogtlb 45943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑤)
247241, 244, 245, 246syl3anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑤)
248240, 224, 227, 247ltadd1dd 11752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)))
249229, 232, 228, 239, 248lelttrd 11295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘𝑖) < (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)))
250 iooltub 45958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
251241, 244, 245, 250syl3anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
252224, 243, 227, 251ltadd1dd 11752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) < (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)))
253178recnd 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
254182recnd 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
255253, 254npcand 11500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
256255adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
257252, 256breqtrd 5112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
258221, 223, 228, 249, 257eliood 45946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
259215, 258sseldd 3923 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
260189znegcld 12626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -𝑘 ∈ ℤ)
261 ovex 7393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ V
262 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
2632623anbi2d 1444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ)))
264 oveq1 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)))
265264eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
266263, 265imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
267 negex 11382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -𝑘 ∈ V
268 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = -𝑘 → (𝑗 ∈ ℤ ↔ -𝑘 ∈ ℤ))
2692683anbi3d 1445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = -𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ)))
270 oveq1 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 = -𝑘 → (𝑗 · 𝑇) = (-𝑘 · 𝑇))
271270oveq2d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = -𝑘 → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))
272271eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = -𝑘 → ((𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
273269, 272imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
274 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ ℤ ↔ 𝑗 ∈ ℤ))
2752743anbi3d 1445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ)))
276 oveq1 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 · 𝑇) = (𝑗 · 𝑇))
277276oveq2d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑗 → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)))
278277eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
279275, 278imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
280 fourierdlem48.dper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
281279, 280chvarvv 1991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
282267, 273, 281vtocl 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
283261, 266, 282vtocl 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
284203, 259, 260, 283syl3anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
285202, 284eqeltrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ 𝐷)
286285ralrimiva 3130 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ∀𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 ∈ 𝐷)
287 dfss3 3911 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 ∈ 𝐷)
288286, 287sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷)
289188, 288ssind 4182 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
290 ioosscn 13352 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ
291 ssinss1 4187 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ)
292290, 291mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ)
293 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
294 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
295230rexrd 11186 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → 𝑋 ∈ ℝ*)
296230leidd 11707 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → 𝑋 ≤ 𝑋)
297233oveq1d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)))
298230recnd 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → 𝑋 ∈ ℂ)
299298, 254pncand 11497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑋)
300297, 299eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → 𝑋 = (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)))
301 icossre 13372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
302219, 222, 301syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
303302, 235sseldd 3923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → 𝑦 ∈ ℝ)
304 icoltub 45956 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑦 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
305220, 222, 235, 304syl3anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → 𝑦 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
306303, 178, 182, 305ltsub1dd 11753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
307300, 306eqbrtrd 5108 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → 𝑋 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
308295, 184, 295, 296, 307elicod 13339 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → 𝑋 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
309 snunioo1 45960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋}) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
310295, 184, 307, 309syl3anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋}) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
311310fveq2d 6838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))
312293cnfldtop 24758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
313 ovex 7393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋(,)+∞) ∈ V
314313inex1 5254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∈ V
315 snex 5376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑋} ∈ V
316314, 315unex 7691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V
317 resttop 23135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top)
318312, 316, 317mp2an 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top
319318a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top)
320 retop 24736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
321320a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
322316a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V)
323 iooretop 24740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran (,))
324323a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran (,)))
325 elrestr 17382 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V ∧ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
326321, 322, 324, 325syl3anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
327 mnfxr 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -∞ ∈ ℝ*
328327a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -∞ ∈ ℝ*)
329184adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
330 icossre 13372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*) → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℝ)
331230, 184, 330syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℝ)
332331sselda 3922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
333332mnfltd 13066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -∞ < 𝑥)
334295adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
335 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
336 icoltub 45956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
337334, 329, 335, 336syl3anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
338328, 329, 332, 333, 337eliood 45946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
339 vsnid 4608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥 ∈ {𝑥}
340339a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ {𝑥})
341 sneq 4578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
342340, 341eleqtrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ {𝑋})
343 elun2 4124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ {𝑋} → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
344342, 343syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
345344adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
346295ad2antrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ*)
347171a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
348332adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
349230ad2antrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
350 icogelb 13340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ≤ 𝑥)
351334, 329, 335, 350syl3anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ≤ 𝑥)
352351adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ≤ 𝑥)
353 neqne 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (¬ 𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ≠ 𝑋)
354353adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ≠ 𝑋)
355349, 348, 352, 354leneltd 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 < 𝑥)
356348ltpnfd 13063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < +∞)
357346, 347, 348, 355, 356eliood 45946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞))
358179zcnd 12625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜒 → 𝑘 ∈ ℂ)
359358, 191mulneg1d 11594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) = -(𝑘 · 𝑇))
360359oveq2d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜒 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)))
361360adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)))
362 ioosscn 13352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℂ
363362sseli 3918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℂ)
364363adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℂ)
365254adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
366364, 365addcld 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ)
367366, 365negsubd 11502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)))
368364, 365pncand 11497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑤)
369361, 367, 3683eqtrrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)))
370182adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
371224, 370readdcld 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
372221, 223, 371, 249, 257eliood 45946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
373215, 372sseldd 3923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
3742683anbi3d 1445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑗 = -𝑘 → ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ)))
375270oveq2d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑗 = -𝑘 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)))
376375eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑗 = -𝑘 → (((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
377374, 376imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
3782623anbi2d 1444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ)))
379 oveq1 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)))
380379eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
381378, 380imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
382261, 381, 281vtocl 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
383267, 377, 382vtocl 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
384203, 373, 260, 383syl3anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
385369, 384eqeltrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ 𝐷)
386385ralrimiva 3130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒 → ∀𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 ∈ 𝐷)
387386, 287sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷)
388387ad2antrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷)
389184ad2antrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
390337adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
391346, 389, 348, 355, 390eliood 45946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
392388, 391sseldd 3923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝐷)
393357, 392elind 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
394 elun1 4123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
395393, 394syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
396345, 395pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
397338, 396elind 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
398295adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
399184adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
400 elinel1 4142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
401 elioore 13319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
402400, 401syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ)
403402rexrd 11186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
404403adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
405 elinel2 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
406230adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
40785eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 𝑋 → 𝑋 = 𝑥)
408407adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 = 𝑥)
409406, 408eqled 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ≤ 𝑥)
410409adantlr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ≤ 𝑥)
411 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝜒)
412 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
413 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (¬ 𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑥 = 𝑋)
414 velsn 4584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ {𝑋} ↔ 𝑥 = 𝑋)
415413, 414sylnibr 329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (¬ 𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑥 ∈ {𝑋})
416415adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑋})
417 elunnel2 4096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
418412, 416, 417syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
419 elinel1 4142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞))
420418, 419syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞))
421230adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 ∈ ℝ)
422 elioore 13319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
423422adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
424295adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
425171a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
426 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞))
427 ioogtlb 45943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 < 𝑥)
428424, 425, 426, 427syl3anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 < 𝑥)
429421, 423, 428ltled 11285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 ≤ 𝑥)
430411, 420, 429syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ≤ 𝑥)
431410, 430pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑋 ≤ 𝑥)
432405, 431sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ≤ 𝑥)
433327a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -∞ ∈ ℝ*)
434184adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
435 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
436 iooltub 45958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
437433, 434, 435, 436syl3anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
438400, 437sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
439398, 399, 404, 432, 438elicod 13339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
440397, 439impbida 801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))))
441440eqrdv 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) = ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
442 ioossre 13351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
443 ssinss1 4187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
444442, 443mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
445230snssd 4753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑋} ⊆ ℝ)
446444, 445unssd 4133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ)
447 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
448293, 447rerest 24779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
449446, 448syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
450326, 441, 4493eltr4d 2852 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
451 isopn3i 23057 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top ∧ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
452319, 450, 451syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
453311, 452eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋})))
454308, 453eleqtrd 2839 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → 𝑋 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋})))
455170, 289, 292, 293, 294, 454limcres 25863 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) limℂ 𝑋))
456289resabs1d 5967 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))
457456oveq1d 7375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋))
458165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
459153, 458fssd 6679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
460211feq2d 6646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:𝐷⟶ℂ))
461459, 460mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
462152, 461syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
463462adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
464362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℂ)
465387, 159sseqtrrd 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ dom 𝐹)
466465adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ dom 𝐹)
467254adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
468 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}
469 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))))
470469rexbidv 3162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))))
471470elrab 3635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))))
472471simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} → ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
473472adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
474 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Ⅎ𝑥𝜒
475 nfre1 3263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))
476 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Ⅎ𝑥ℂ
477475, 476nfrabw 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Ⅎ𝑥{𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}
478477nfcri 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}
479474, 478nfan 1901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ⅎ𝑥(𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))})
480 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ 𝐷
481 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
482 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))
483482anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 = 𝑥 → ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))))
484 oveq1 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
485484eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
486483, 485imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑥 → (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
487486, 259chvarvv 1991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
4884873adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
489481, 488eqeltrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ 𝐷)
4904893exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → (𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷)))
491490adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → (𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷)))
492479, 480, 491rexlimd 3245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → (∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷))
493473, 492mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → 𝑤 ∈ 𝐷)
494493ralrimiva 3130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}𝑤 ∈ 𝐷)
495 dfss3 3911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}𝑤 ∈ 𝐷)
496494, 495sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷)
497496, 159sseqtrrd 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹)
498497adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹)
499152adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑)
500387sselda 3922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ 𝐷)
501179adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
502 fourierdlem48.per . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
503499, 500, 501, 502syl3anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
504503adantlr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
505 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋))
506463, 464, 466, 467, 468, 498, 504, 505limcperiod 46076 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) limℂ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
507255eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)))
508233, 507oveq12d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇))(,)(((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇))))
509230, 183, 182iooshift 45970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇))(,)(((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))})
510508, 509eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} = (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
511510reseq2d 5938 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) = (𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
512511, 234oveq12d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) limℂ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))
513512adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) limℂ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))
514506, 513eleqtrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))
515462adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
516 ioosscn 13352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
517516a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
518 icogelb 13340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ≤ 𝑦)
519220, 222, 235, 518syl3anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑄‘𝑖) ≤ 𝑦)
520 iooss1 13324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘𝑖) ≤ 𝑦) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
521220, 519, 520syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
522521, 214sstrd 3933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
523522, 159sseqtrrd 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
524523adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
525358negcld 11483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → -𝑘 ∈ ℂ)
526525, 191mulcld 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
527526adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
528 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}
529 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ↔ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))))
530529rexbidv 3162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))))
531530elrab 3635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))))
532531simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} → ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))
533532adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))
534 nfre1 3263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))
535534, 476nfrabw 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Ⅎ𝑥{𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}
536535nfcri 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}
537474, 536nfan 1901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ⅎ𝑥(𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))})
538 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))
539152adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝜑)
540522sselda 3922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ 𝐷)
541179adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
542541znegcld 12626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -𝑘 ∈ ℤ)
543539, 540, 542, 282syl3anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
5445433adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
545538, 544eqeltrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ 𝐷)
5465453exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷)))
547546adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → (𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷)))
548537, 480, 547rexlimd 3245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → (∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷))
549533, 548mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → 𝑤 ∈ 𝐷)
550549ralrimiva 3130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}𝑤 ∈ 𝐷)
551 dfss3 3911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}𝑤 ∈ 𝐷)
552550, 551sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷)
553552, 159sseqtrrd 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹)
554553adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹)
555152ad2antrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝜑)
556540adantlr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ 𝐷)
557542adantlr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -𝑘 ∈ ℤ)
558271fveq2d 6838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = -𝑘 → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))))
559558eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = -𝑘 → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)))
560269, 559imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))))
561277fveq2d 6838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))))
562561eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)))
563275, 562imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))))
564563, 502chvarvv 1991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
565267, 560, 564vtocl 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
566555, 556, 557, 565syl3anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))
567 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))
568515, 517, 524, 527, 528, 554, 566, 567limcperiod 46076 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) limℂ (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))))
569359oveq2d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + -(𝑘 · 𝑇)))
570303recnd 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → 𝑦 ∈ ℂ)
571570, 254negsubd 11502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑦 + -(𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)))
572300eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑋)
573569, 571, 5723eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = 𝑋)
574573eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → 𝑋 = (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)))
575359oveq2d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + -(𝑘 · 𝑇)))
576253, 254negsubd 11502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
577575, 576eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇)))
578574, 577oveq12d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) = ((𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇))))
579180renegcld 11568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → -𝑘 ∈ ℝ)
580579, 181remulcld 11166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
581303, 178, 580iooshift 45970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ((𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))})
582578, 581eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
583582adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
584583reseq2d 5938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))
585573adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = 𝑋)
586584, 585oveq12d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) limℂ (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋))
587568, 586eleqtrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋))
588514, 587impbida 801 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋) ↔ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)))
589588eqrdv 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))
590457, 589eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))
591163, 455, 5903eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))
592152, 173, 70syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
593152, 173, 205syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
594 fourierdlem48.r . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
595152, 173, 594syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
596 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 if(𝑦 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) = if(𝑦 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦))
597 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
598219, 178, 592, 593, 595, 303, 178, 305, 521, 596, 597fourierdlem32 46585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → if(𝑦 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))
599521resabs1d 5967 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
600599oveq1d 7375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))
601598, 600eleqtrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → if(𝑦 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))
602 ne0i 4282 . . . . . . . . . . . 12 (if(𝑦 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦) → ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦) ≠ ∅)
603601, 602syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦) ≠ ∅)
604591, 603eqnetrd 3000 . . . . . . . . . 10 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
605149, 604sylbir 235 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
606146, 147, 148, 605syl21anc 838 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
6076063exp 1120 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)))
608607adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)))
609137, 142, 608rexlim2d 46073 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅))
610134, 609mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
611127, 133, 610vtocl 3504 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
6121, 126, 611syl2anc 585 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
613 iocssre 13371 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
61455, 9, 613syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
615 ovex 7393 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V
61689fvmpt2 6953 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V) → (𝑍‘𝑥) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
617615, 616mpan2 692 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑍‘𝑥) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
618617oveq2d 7376 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (𝑍‘𝑥)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
619618mpteq2ia 5181 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
62083, 619eqtri 2760 . . . . . . 7 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
62113, 9, 16, 12, 620fourierdlem4 46557 . . . . . 6 (𝜑 → 𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
622621, 10ffvelcdmd 7031 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵))
623614, 622sseldd 3923 . . . 4 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
624623adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
625 simpl 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → 𝜑)
626 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄)
627 ffn 6662 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ → 𝑄 Fn (0...𝑀))
62840, 627syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 𝑄 Fn (0...𝑀))
629628ad2antrr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
630 fvelrnb 6894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄 Fn (0...𝑀) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)))
631629, 630syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)))
632626, 631mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋))
633 1zzd 12549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
634 elfzelz 13469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
635634ad2antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ ℤ)
636635zred 12624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ ℝ)
637 elfzle1 13472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 0 ≤ 𝑗)
638637ad2antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 ≤ 𝑗)
639 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋))
640639eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘𝑗))
641640ad2antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘𝑗))
642 fveq2 6834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑗 = 0 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘0))
643642adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘0))
64437simprld 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → ((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵))
645644simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
646645ad2antrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄‘0) = 𝐴)
647641, 643, 6463eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
648647adantllr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
649648adantllr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
65013adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
65155adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6529rexrd 11186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
653652adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
654 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵))
655 iocgtlb 45950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸‘𝑋))
656651, 653, 654, 655syl3anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸‘𝑋))
657650, 656gtned 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐴)
658657neneqd 2938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ¬ (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
659658ad3antrrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → ¬ (𝐸‘𝑋) = 𝐴)
660649, 659pm2.65da 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ¬ 𝑗 = 0)
661660neqned 2940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ≠ 0)
662636, 638, 661ne0gt0d 11274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 < 𝑗)
663 0zd 12527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 ∈ ℤ)
664 zltp1le 12568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗))
665663, 635, 664syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗))
666662, 665mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (0 + 1) ≤ 𝑗)
66774, 666eqbrtrid 5121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 1 ≤ 𝑗)
668 eluz2 12785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗))
669633, 635, 667, 668syl3anbrc 1345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1))
670 nnuz 12818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℕ = (ℤ≥‘1)
671669, 670eleqtrrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ ℕ)
672 nnm1nn0 12469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
673671, 672syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
674673, 42eleqtrdi 2847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
6754ad3antrrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑀 ∈ ℤ)
676 peano2zm 12561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
677634, 676syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
678677zred 12624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
679634zred 12624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
680 elfzel2 13467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
681680zred 12624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
682679ltm1d 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑗)
683 elfzle2 13473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ≤ 𝑀)
684678, 679, 681, 682, 683ltletrd 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑀)
685684ad2antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) < 𝑀)
686 elfzo2 13607 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝑗 − 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) < 𝑀))
687674, 675, 685, 686syl3anbrc 1345 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))
68840ad3antrrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
689635, 676syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
690673nn0ge0d 12492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 ≤ (𝑗 − 1))
691678, 681, 684ltled 11285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)
692691ad2antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)
693663, 675, 689, 690, 692elfzd 13460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0...𝑀))
694688, 693ffvelcdmd 7031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ)
695694rexrd 11186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ*)
69640ffvelcdmda 7030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ)
697696rexrd 11186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
698697adantlr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
699698adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
700614sselda 3922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
701700rexrd 11186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
702701ad2antrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
703 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝜑)
704 ovex 7393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 − 1) ∈ V
705 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)))
706705anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))))
707 fveq2 6834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘(𝑗 − 1)))
708 oveq1 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑗 − 1) + 1))
709708fveq2d 6838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
710707, 709breq12d 5099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
711706, 710imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))))
712704, 711, 70vtocl 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
713703, 687, 712syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
714634zcnd 12625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
715 1cnd 11130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 1 ∈ ℂ)
716714, 715npcand 11500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
717716eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 = ((𝑗 − 1) + 1))
718717fveq2d 6838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
719718eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄‘𝑗))
720719ad2antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄‘𝑗))
721713, 720breqtrd 5112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘𝑗))
722 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋))
723721, 722breqtrd 5112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝐸‘𝑋))
724623leidd 11707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝐸‘𝑋))
725724ad2antrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝐸‘𝑋))
726640adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘𝑗))
727725, 726breqtrd 5112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘𝑗))
728727adantllr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘𝑗))
729695, 699, 702, 723, 728eliocd 45955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘𝑗)))
730718oveq2d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
731730ad2antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
732729, 731eleqtrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
733707, 709oveq12d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
734733eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))))
735734rspcev 3565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
736687, 732, 735syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
737736ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
738737adantlr 716 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
739738rexlimdva 3139 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
740632, 739mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
7413ad2antrr 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑀 ∈ ℕ)
74240ad2antrr 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
743 iocssicc 13381 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
744645eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 𝐴 = (𝑄‘0))
745644simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = 𝐵)
746745eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 𝐵 = (𝑄‘𝑀))
747744, 746oveq12d 7378 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
748743, 747sseqtrid 3965 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
749748sselda 3922 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
750749adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
751 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄)
752 fveq2 6834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘𝑗))
753752breq1d 5096 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑄‘𝑘) < (𝐸‘𝑋) ↔ (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)))
754753cbvrabv 3400 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < (𝐸‘𝑋)} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)}
755754supeq1i 9353 . . . . . . . . . . . 12 sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < (𝐸‘𝑋)}, ℝ, < ) = sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)}, ℝ, < )
756741, 742, 750, 751, 755fourierdlem25 46578 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
757 ioossioc 45940 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
758757sseli 3918 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
759758a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
760759reximdva 3151 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
761756, 760mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
762740, 761pm2.61dan 813 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
763622, 762mpdan 688 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
764 fveq2 6834 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘𝑗))
765 oveq1 7367 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
766765fveq2d 6838 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
767764, 766oveq12d 7378 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
768767eleq2d 2823 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))))
769768cbvrexvw 3217 . . . . . . . 8 (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
770763, 769sylib 218 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
771770adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
772 elfzonn0 13653 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0)
773 1nn0 12444 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℕ0
774773a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 1 ∈ ℕ0)
775772, 774nn0addcld 12493 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
776775, 42eleqtrdi 2847 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
777776adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
7787773ad2antl2 1188 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
7794ad2antrr 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
7807793ad2antl1 1187 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
781772nn0red 12490 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
782781adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
7837823ad2antl2 1188 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
784 1red 11136 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
785783, 784readdcld 11165 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℝ)
786780zred 12624 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
787 elfzop1le2 13618 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀)
788787adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀)
7897883ad2antl2 1188 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀)
790 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
791 fveq2 6834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘𝑀) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
792791eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘𝑀))
793792adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘𝑀))
794745ad2antrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝑄‘𝑀) = 𝐵)
795790, 793, 7943eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) = 𝐵)
796795adantllr 720 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) = 𝐵)
797 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵)
798797neneqd 2938 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → ¬ (𝐸‘𝑋) = 𝐵)
799796, 798pm2.65da 817 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ¬ 𝑀 = (𝑗 + 1))
800799neqned 2940 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ≠ (𝑗 + 1))
8018003ad2antl1 1187 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ≠ (𝑗 + 1))
802785, 786, 789, 801leneltd 11291 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) < 𝑀)
803 elfzo2 13607 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 + 1) < 𝑀))
804778, 780, 802, 803syl3anbrc 1345 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀))
80540adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
806 fzofzp1 13710 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈ (0...𝑀))
807806adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑗 + 1) ∈ (0...𝑀))
808805, 807ffvelcdmd 7031 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
809808rexrd 11186 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
810809adantlr 716 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
8118103adant3 1133 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
812811adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
813 simpl1l 1226 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝜑)
814813, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
815 fzofzp1 13710 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀) → ((𝑗 + 1) + 1) ∈ (0...𝑀))
816804, 815syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ((𝑗 + 1) + 1) ∈ (0...𝑀))
817814, 816ffvelcdmd 7031 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
818817rexrd 11186 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)) ∈ ℝ*)
819623rexrd 11186 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
820819ad2antrr 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
8218203ad2antl1 1187 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
822808leidd 11707 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
823822adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
824 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
825824eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝐸‘𝑋))
826825adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝐸‘𝑋))
827823, 826breqtrd 5112 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸‘𝑋))
828827adantllr 720 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸‘𝑋))
8298283adantl3 1170 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸‘𝑋))
830 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
831 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
832 ovex 7393 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 + 1) ∈ V
833 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
834833anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀))))
835 fveq2 6834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
836 oveq1 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑗 + 1) + 1))
837836fveq2d 6838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
838835, 837breq12d 5099 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))))
839834, 838imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))))
840832, 839, 70vtocl 3504 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
841840adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
842831, 841eqbrtrd 5108 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
843813, 804, 830, 842syl21anc 838 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
844812, 818, 821, 829, 843elicod 13339 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))))
845835, 837oveq12d 7378 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))))
846845eleq2d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))))
847846rspcev 3565 . . . . . . . . 9 (((𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
848804, 844, 847syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
849 simpl2 1194 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ (0..^𝑀))
850 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))))
8518503adant1r 1179 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))))
852 elfzofz 13621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
853852adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
854805, 853ffvelcdmd 7031 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ)
855854rexrd 11186 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
856855adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
8578563adantl3 1170 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
858809adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
8598583adantl3 1170 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
860819adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
8618603ad2antl1 1187 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ*)
8628543adant3 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ)
8636233ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
8648553adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ*)
8658093adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
866 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
867 iocgtlb 45950 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄‘𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋))
868864, 865, 866, 867syl3anc 1374 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋))
869862, 863, 868ltled 11285 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘𝑗) ≤ (𝐸‘𝑋))
870869adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘𝑗) ≤ (𝐸‘𝑋))
871863adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ)
872808adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
8738723adantl3 1170 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
874 iocleub 45951 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄‘𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
875864, 865, 866, 874syl3anc 1374 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
876875adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
877 neqne 2941 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) ≠ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
878877necomd 2988 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≠ (𝐸‘𝑋))
879878adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≠ (𝐸‘𝑋))
880871, 873, 876, 879leneltd 11291 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) < (𝑄‘(𝑗 + 1)))
881857, 859, 861, 870, 880elicod 13339 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
882851, 881sylan 581 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
883764, 766oveq12d 7378 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
884883eleq2d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))))
885884rspcev 3565 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
886849, 882, 885syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
887848, 886pm2.61dan 813 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
888887rexlimdv3a 3143 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → (∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
889771, 888mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
890 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
891 oveq1 7367 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
892891oveq2d 7376 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
893892eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → ((𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
894893rspcev 3565 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
89596, 104, 894syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
896895ad2antrr 727 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
897 r19.42v 3170 . . . . . . . 8 (∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
898890, 896, 897sylanbrc 584 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
899898ex 412 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
900899reximdv 3153 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
901889, 900mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
902625, 901jca 511 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
903 eleq1 2825 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
904 eqeq1 2741 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → (𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
905903, 904anbi12d 633 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → ((𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
9069052rexbidv 3203 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
907906anbi2d 631 . . . . 5 (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))))
908907imbi1d 341 . . . 4 (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)))
909908, 610vtoclg 3500 . . 3 ((𝐸‘𝑋) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅))
910624, 902, 909sylc 65 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
911612, 910pm2.61dane 3020 1 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3390  Vcvv 3430   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ifcif 4467  {csn 4568   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5624  ran crn 5625   ↾ cres 5626  Rel wrel 5629   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ↑m cmap 8766  supcsup 9346  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034  +∞cpnf 11167  -∞cmnf 11168  ℝ*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  -cneg 11369   / cdiv 11798  ℕcn 12165  ℕ0cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ≥cuz 12779  (,)cioo 13289  (,]cioc 13290  [,)cico 13291  [,]cicc 13292  ...cfz 13452  ..^cfzo 13599  ⌊cfl 13740   ↾t crest 17374  TopOpenctopn 17375  topGenctg 17391  ℂfldccnfld 21344  Topctop 22868  intcnt 22992  –cn→ccncf 24853   limℂ climc 25839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-rest 17376  df-topn 17377  df-topgen 17397  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-ntr 22995  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-xms 24295  df-ms 24296  df-cncf 24855  df-limc 25843
This theorem is referenced by:  fourierdlem94  46646  fourierdlem113  46665
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