Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl 483 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → 𝜑) |
2 | | 0zd 11841 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℤ) |
3 | | fourierdlem48.m |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ) |
4 | 3 | nnzd 11935 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ) |
5 | 3 | nngt0d 11534 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀) |
6 | | fzolb 12894 |
. . . . . 6
⊢ (0 ∈
(0..^𝑀) ↔ (0 ∈
ℤ ∧ 𝑀 ∈
ℤ ∧ 0 < 𝑀)) |
7 | 2, 4, 5, 6 | syl3anbrc 1336 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀)) |
8 | 7 | adantr 481 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → 0 ∈ (0..^𝑀)) |
9 | | fourierdlem48.b |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) |
10 | | fourierdlem48.x |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ) |
11 | 9, 10 | resubcld 10916 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℝ) |
12 | | fourierdlem48.t |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴) |
13 | | fourierdlem48.a |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) |
14 | 9, 13 | resubcld 10916 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ) |
15 | 12, 14 | syl5eqel 2887 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ) |
16 | | fourierdlem48.altb |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵) |
17 | 13, 9 | posdifd 11075 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴))) |
18 | 16, 17 | mpbid 233 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴)) |
19 | 18, 12 | syl6breqr 5004 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇) |
20 | 19 | gt0ne0d 11052 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0) |
21 | 11, 15, 20 | redivcld 11316 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ) |
22 | 21 | adantr 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ) |
23 | 22 | flcld 13018 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) |
24 | | 1zzd 11862 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → 1 ∈ ℤ) |
25 | 23, 24 | zsubcld 11941 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) ∈
ℤ) |
26 | | id 22 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐸‘𝑋) = 𝐵 → (𝐸‘𝑋) = 𝐵) |
27 | 12 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐸‘𝑋) = 𝐵 → 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)) |
28 | 26, 27 | oveq12d 7034 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐸‘𝑋) = 𝐵 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝐵 − (𝐵 − 𝐴))) |
29 | 9 | recnd 10515 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) |
30 | 13 | recnd 10515 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
31 | 29, 30 | nncand 10850 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐵 − (𝐵 − 𝐴)) = 𝐴) |
32 | 28, 31 | sylan9eqr 2853 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = 𝐴) |
33 | | fourierdlem48.q |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀)) |
34 | | fourierdlem48.p |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚
(0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) |
35 | 34 | fourierdlem2 41936 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚
(0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))) |
36 | 3, 35 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚
(0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))) |
37 | 33, 36 | mpbid 233 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚
(0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))) |
38 | 37 | simpld 495 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚
(0...𝑀))) |
39 | | elmapi 8278 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑄 ∈ (ℝ
↑𝑚 (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ) |
40 | 38, 39 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ) |
41 | 3 | nnnn0d 11803 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈
ℕ0) |
42 | | nn0uz 12129 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
ℕ0 = (ℤ≥‘0) |
43 | 41, 42 | syl6eleq 2893 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈
(ℤ≥‘0)) |
44 | | eluzfz1 12764 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑀 ∈
(ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...𝑀)) |
45 | 43, 44 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀)) |
46 | 40, 45 | ffvelrnd 6717 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ) |
47 | 46 | rexrd 10537 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ∈
ℝ*) |
48 | | 1zzd 11862 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℤ) |
49 | 2, 4, 48 | 3jca 1121 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧
𝑀 ∈ ℤ ∧ 1
∈ ℤ)) |
50 | | 0le1 11011 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 0 ≤
1 |
51 | 50 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1) |
52 | 3 | nnge1d 11533 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑀) |
53 | 49, 51, 52 | jca32 516 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((0 ∈ ℤ ∧
𝑀 ∈ ℤ ∧ 1
∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑀))) |
54 | | elfz2 12749 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (1 ∈
(0...𝑀) ↔ ((0 ∈
ℤ ∧ 𝑀 ∈
ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑀))) |
55 | 53, 54 | sylibr 235 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 1 ∈ (0...𝑀)) |
56 | 40, 55 | ffvelrnd 6717 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑄‘1) ∈ ℝ) |
57 | 56 | rexrd 10537 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑄‘1) ∈
ℝ*) |
58 | 13 | rexrd 10537 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈
ℝ*) |
59 | 37 | simprd 496 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
60 | 59 | simplld 764 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴) |
61 | 13 | leidd 11054 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴) |
62 | 60, 61 | eqbrtrd 4984 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐴) |
63 | 60 | eqcomd 2801 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑄‘0)) |
64 | | 0re 10489 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 0 ∈
ℝ |
65 | | eleq1 2870 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑖 = 0 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 0 ∈ (0..^𝑀))) |
66 | 65 | anbi2d 628 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑖 = 0 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)))) |
67 | | fveq2 6538 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑖 = 0 → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘0)) |
68 | | oveq1 7023 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑖 = 0 → (𝑖 + 1) = (0 + 1)) |
69 | 68 | fveq2d 6542 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑖 = 0 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(0 + 1))) |
70 | 67, 69 | breq12d 4975 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑖 = 0 → ((𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))) |
71 | 66, 70 | imbi12d 346 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑖 = 0 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))))) |
72 | 37 | simprrd 770 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) |
73 | 72 | r19.21bi 3175 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) |
74 | 71, 73 | vtoclg 3510 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (0 ∈
ℝ → ((𝜑 ∧ 0
∈ (0..^𝑀)) →
(𝑄‘0) < (𝑄‘(0 +
1)))) |
75 | 64, 74 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))) |
76 | 7, 75 | mpdan 683 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))) |
77 | | 1e0p1 11989 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 1 = (0 +
1) |
78 | 77 | fveq2i 6541 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑄‘1) = (𝑄‘(0 + 1)) |
79 | 76, 78 | syl6breqr 5004 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) < (𝑄‘1)) |
80 | 63, 79 | eqbrtrd 4984 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑄‘1)) |
81 | 47, 57, 58, 62, 80 | elicod 12637 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘1))) |
82 | 78 | oveq2i 7027 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘1)) = ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) |
83 | 81, 82 | syl6eleq 2893 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1)))) |
84 | 83 | adantr 481 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1)))) |
85 | 32, 84 | eqeltrd 2883 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1)))) |
86 | | fourierdlem48.e |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥))) |
87 | 86 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥)))) |
88 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋) |
89 | | fveq2 6538 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑍‘𝑥) = (𝑍‘𝑋)) |
90 | 88, 89 | oveq12d 7034 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑍‘𝑥)) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋))) |
91 | 90 | adantl 482 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (𝑍‘𝑥)) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋))) |
92 | | fourierdlem48.z |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦
((⌊‘((𝐵 −
𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) |
93 | 92 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦
((⌊‘((𝐵 −
𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))) |
94 | | oveq2 7024 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 𝑋)) |
95 | 94 | oveq1d 7031 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) |
96 | 95 | fveq2d 6542 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))) |
97 | 96 | oveq1d 7031 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) |
98 | 97 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) |
99 | 21 | flcld 13018 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) |
100 | 99 | zred 11936 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ) |
101 | 100, 15 | remulcld 10517 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ) |
102 | 93, 98, 10, 101 | fvmptd 6641 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑍‘𝑋) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) |
103 | 102, 101 | eqeltrd 2883 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑍‘𝑋) ∈ ℝ) |
104 | 10, 103 | readdcld 10516 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑍‘𝑋)) ∈ ℝ) |
105 | 87, 91, 10, 104 | fvmptd 6641 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑍‘𝑋))) |
106 | 102 | oveq2d 7032 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑍‘𝑋)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) |
107 | 105, 106 | eqtrd 2831 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) |
108 | 107 | oveq1d 7031 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑇)) |
109 | 10 | recnd 10515 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ) |
110 | 101 | recnd 10515 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ) |
111 | 15 | recnd 10515 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ) |
112 | 109, 110,
111 | addsubassd 10865 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇))) |
113 | 99 | zcnd 11937 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℂ) |
114 | 113, 111 | mulsubfacd 10949 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)) |
115 | 114 | oveq2d 7032 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇)) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))) |
116 | 108, 112,
115 | 3eqtrd 2835 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))) |
117 | 116 | adantr 481 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))) |
118 | | oveq1 7023 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑘 = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) → (𝑘 · 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)) |
119 | 118 | oveq2d 7032 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑘 = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))) |
120 | 119 | eqeq2d 2805 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑘 = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) → (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))) |
121 | 120 | anbi2d 628 |
. . . . . 6
⊢ (𝑘 = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) → ((((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))))) |
122 | 121 | rspcev 3559 |
. . . . 5
⊢
((((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) ∈ ℤ ∧ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) |
123 | 25, 85, 117, 122 | syl12anc 833 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) |
124 | 67, 69 | oveq12d 7034 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑖 = 0 → ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1)))) |
125 | 124 | eleq2d 2868 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑖 = 0 → (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))) |
126 | 125 | anbi1d 629 |
. . . . . 6
⊢ (𝑖 = 0 → ((((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))) |
127 | 126 | rexbidv 3260 |
. . . . 5
⊢ (𝑖 = 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))) |
128 | 127 | rspcev 3559 |
. . . 4
⊢ ((0
∈ (0..^𝑀) ∧
∃𝑘 ∈ ℤ
(((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) |
129 | 8, 123, 128 | syl2anc 584 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) |
130 | | ovex 7048 |
. . . 4
⊢ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ V |
131 | | eleq1 2870 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) |
132 | | eqeq1 2799 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → (𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) |
133 | 131, 132 | anbi12d 630 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → ((𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))) |
134 | 133 | 2rexbidv 3263 |
. . . . . 6
⊢ (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))) |
135 | 134 | anbi2d 628 |
. . . . 5
⊢ (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))) |
136 | 135 | imbi1d 343 |
. . . 4
⊢ (𝑦 = ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) → (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠
∅))) |
137 | | simpr 485 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) |
138 | | nfv 1892 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑖𝜑 |
139 | | nfre1 3269 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑖∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) |
140 | 138, 139 | nfan 1881 |
. . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) |
141 | | nfv 1892 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑘𝜑 |
142 | | nfcv 2949 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑘(0..^𝑀) |
143 | | nfre1 3269 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑘∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) |
144 | 142, 143 | nfrex 3271 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑘∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) |
145 | 141, 144 | nfan 1881 |
. . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) |
146 | | simp1 1129 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑) |
147 | | simp2l 1192 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) |
148 | | simp3l 1194 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
149 | 146, 147,
148 | jca31 515 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) |
150 | | simp2r 1193 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ) |
151 | | simp3r 1195 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) |
152 | | fourierdlem48.ch |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜒 ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) |
153 | 152 | biimpi 217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) |
154 | 153 | simplld 764 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) |
155 | 154 | simplld 764 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → 𝜑) |
156 | | fourierdlem48.f |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ) |
157 | | frel 6387 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐹:𝐷⟶ℝ → Rel 𝐹) |
158 | 155, 156,
157 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → Rel 𝐹) |
159 | | resindm 5781 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (Rel
𝐹 → (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞))) |
160 | 159 | eqcomd 2801 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (Rel
𝐹 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹))) |
161 | 158, 160 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹))) |
162 | | fdm 6390 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐹:𝐷⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐷) |
163 | 155, 156,
162 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → dom 𝐹 = 𝐷) |
164 | 163 | ineq2d 4109 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹) = ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) |
165 | 164 | reseq2d 5734 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))) |
166 | 161, 165 | eqtrd 2831 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜒 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))) |
167 | 166 | oveq1d 7031 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) limℂ 𝑋)) |
168 | 155, 156 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → 𝐹:𝐷⟶ℝ) |
169 | | ax-resscn 10440 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ℝ
⊆ ℂ |
170 | 169 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → ℝ ⊆
ℂ) |
171 | 168, 170 | fssd 6396 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → 𝐹:𝐷⟶ℂ) |
172 | | inss2 4126 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷 |
173 | 172 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷) |
174 | 171, 173 | fssresd 6413 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)):((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)⟶ℂ) |
175 | | pnfxr 10541 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ +∞
∈ ℝ* |
176 | 175 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → +∞ ∈
ℝ*) |
177 | 154 | simplrd 766 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) |
178 | 40 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ) |
179 | | fzofzp1 12984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀)) |
180 | 179 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀)) |
181 | 178, 180 | ffvelrnd 6717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ) |
182 | 155, 177,
181 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ) |
183 | 153 | simplrd 766 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜒 → 𝑘 ∈ ℤ) |
184 | 183 | zred 11936 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → 𝑘 ∈ ℝ) |
185 | 155, 15 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → 𝑇 ∈ ℝ) |
186 | 184, 185 | remulcld 10517 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ) |
187 | 182, 186 | resubcld 10916 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
188 | 187 | rexrd 10537 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈
ℝ*) |
189 | 187 | ltpnfd 12366 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) < +∞) |
190 | 188, 176,
189 | xrltled 12393 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ≤ +∞) |
191 | | iooss2 12624 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((+∞ ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ≤ +∞) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ (𝑋(,)+∞)) |
192 | 176, 190,
191 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ (𝑋(,)+∞)) |
193 | 183 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ) |
194 | 193 | zcnd 11937 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℂ) |
195 | 185 | recnd 10515 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜒 → 𝑇 ∈ ℂ) |
196 | 195 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℂ) |
197 | 194, 196 | mulneg1d 10941 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (-𝑘 · 𝑇) = -(𝑘 · 𝑇)) |
198 | 197 | oveq2d 7032 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇))) |
199 | | elioore 12618 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℝ) |
200 | 199 | recnd 10515 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℂ) |
201 | 200 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℂ) |
202 | 194, 196 | mulcld 10507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ) |
203 | 201, 202 | addcld 10506 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ) |
204 | 203, 202 | negsubd 10851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇))) |
205 | 201, 202 | pncand 10846 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑤) |
206 | 198, 204,
205 | 3eqtrrd 2836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇))) |
207 | 155 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑) |
208 | 154 | simpld 495 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜒 → (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))) |
209 | | fourierdlem48.cn |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) |
210 | | cncff 23184 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ) |
211 | | fdm 6390 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
212 | 209, 210,
211 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
213 | | ssdmres 5757 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
214 | 212, 213 | sylibr 235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹) |
215 | 156, 162 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷) |
216 | 215 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom 𝐹 = 𝐷) |
217 | 214, 216 | sseqtrd 3928 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷) |
218 | 208, 217 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜒 → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷) |
219 | 218 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷) |
220 | | elfzofz 12903 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀)) |
221 | 220 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀)) |
222 | 178, 221 | ffvelrnd 6717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ) |
223 | 155, 177,
222 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ) |
224 | 223 | rexrd 10537 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑖) ∈
ℝ*) |
225 | 224 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘𝑖) ∈
ℝ*) |
226 | 182 | rexrd 10537 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈
ℝ*) |
227 | 226 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈
ℝ*) |
228 | 199 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℝ) |
229 | 193 | zred 11936 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℝ) |
230 | 207, 15 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ) |
231 | 229, 230 | remulcld 10517 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ) |
232 | 228, 231 | readdcld 10516 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
233 | 223 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ) |
234 | 155, 10 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜒 → 𝑋 ∈ ℝ) |
235 | 234, 186 | readdcld 10516 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
236 | 235 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
237 | 152 | simprbi 497 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜒 → 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) |
238 | 237 | eqcomd 2801 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝑦) |
239 | 154 | simprd 496 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜒 → 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
240 | 238, 239 | eqeltrd 2883 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
241 | | icogelb 12638 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧
(𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) |
242 | 224, 226,
240, 241 | syl3anc 1364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) |
243 | 242 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) |
244 | 207, 10 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ) |
245 | 244 | rexrd 10537 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈
ℝ*) |
246 | 182 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ) |
247 | 246, 231 | resubcld 10916 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
248 | 247 | rexrd 10537 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈
ℝ*) |
249 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) |
250 | | ioogtlb 41312 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ*
∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑤) |
251 | 245, 248,
249, 250 | syl3anc 1364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑤) |
252 | 244, 228,
231, 251 | ltadd1dd 11099 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑤 + (𝑘 · 𝑇))) |
253 | 233, 236,
232, 243, 252 | lelttrd 10645 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘𝑖) < (𝑤 + (𝑘 · 𝑇))) |
254 | | iooltub 41328 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ*
∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) |
255 | 245, 248,
249, 254 | syl3anc 1364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) |
256 | 228, 247,
231, 255 | ltadd1dd 11099 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) < (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇))) |
257 | 182 | recnd 10515 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ) |
258 | 186 | recnd 10515 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜒 → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ) |
259 | 257, 258 | npcand 10849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜒 → (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑄‘(𝑖 + 1))) |
260 | 259 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑄‘(𝑖 + 1))) |
261 | 256, 260 | breqtrd 4988 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) |
262 | 225, 227,
232, 253, 261 | eliood 41315 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
263 | 219, 262 | sseldd 3890 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) |
264 | 193 | znegcld 11938 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -𝑘 ∈ ℤ) |
265 | | ovex 7048 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ V |
266 | | eleq1 2870 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)) |
267 | 266 | 3anbi2d 1433 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ))) |
268 | | oveq1 7023 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇))) |
269 | 268 | eleq1d 2867 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)) |
270 | 267, 269 | imbi12d 346 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))) |
271 | | negex 10731 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ -𝑘 ∈ V |
272 | | eleq1 2870 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑗 = -𝑘 → (𝑗 ∈ ℤ ↔ -𝑘 ∈ ℤ)) |
273 | 272 | 3anbi3d 1434 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑗 = -𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ))) |
274 | | oveq1 7023 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑗 = -𝑘 → (𝑗 · 𝑇) = (-𝑘 · 𝑇)) |
275 | 274 | oveq2d 7032 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑗 = -𝑘 → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) |
276 | 275 | eleq1d 2867 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑗 = -𝑘 → ((𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)) |
277 | 273, 276 | imbi12d 346 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))) |
278 | | eleq1 2870 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ ℤ ↔ 𝑗 ∈ ℤ)) |
279 | 278 | 3anbi3d 1434 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ))) |
280 | | oveq1 7023 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 · 𝑇) = (𝑗 · 𝑇)) |
281 | 280 | oveq2d 7032 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) |
282 | 281 | eleq1d 2867 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)) |
283 | 279, 282 | imbi12d 346 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷))) |
284 | | fourierdlem48.dper |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) |
285 | 283, 284 | chvarv 2370 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) |
286 | 271, 277,
285 | vtocl 3502 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) |
287 | 265, 270,
286 | vtocl 3502 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) |
288 | 207, 263,
264, 287 | syl3anc 1364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) |
289 | 206, 288 | eqeltrd 2883 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ 𝐷) |
290 | 289 | ralrimiva 3149 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → ∀𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 ∈ 𝐷) |
291 | | dfss3 3878 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 ∈ 𝐷) |
292 | 290, 291 | sylibr 235 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷) |
293 | 192, 292 | ssind 4129 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) |
294 | | ioosscn 41311 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑋(,)+∞) ⊆
ℂ |
295 | | ssinss1 4134 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ
→ ((𝑋(,)+∞)
∩ 𝐷) ⊆
ℂ) |
296 | 294, 295 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ) |
297 | | eqid 2795 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(TopOpen‘ℂfld) =
(TopOpen‘ℂfld) |
298 | | eqid 2795 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((TopOpen‘ℂfld)
↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) |
299 | 234 | rexrd 10537 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → 𝑋 ∈
ℝ*) |
300 | 234 | leidd 11054 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → 𝑋 ≤ 𝑋) |
301 | 237 | oveq1d 7031 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇))) |
302 | 234 | recnd 10515 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → 𝑋 ∈ ℂ) |
303 | 302, 258 | pncand 10846 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 → ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑋) |
304 | 301, 303 | eqtr2d 2832 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → 𝑋 = (𝑦 − (𝑘 · 𝑇))) |
305 | | icossre 12667 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*) →
((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ) |
306 | 223, 226,
305 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ) |
307 | 306, 239 | sseldd 3890 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 → 𝑦 ∈ ℝ) |
308 | | icoltub 41326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑦 < (𝑄‘(𝑖 + 1))) |
309 | 224, 226,
239, 308 | syl3anc 1364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 → 𝑦 < (𝑄‘(𝑖 + 1))) |
310 | 307, 182,
186, 309 | ltsub1dd 11100 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) |
311 | 304, 310 | eqbrtrd 4984 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → 𝑋 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) |
312 | 299, 188,
299, 300, 311 | elicod 12637 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → 𝑋 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) |
313 | | snunioo1 41330 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ*
∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋}) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) |
314 | 299, 188,
311, 313 | syl3anc 1364 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → ((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋}) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) |
315 | 314 | fveq2d 6542 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 →
((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋})) =
((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))) |
316 | 297 | cnfldtop 23075 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(TopOpen‘ℂfld) ∈ Top |
317 | | ovex 7048 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑋(,)+∞) ∈
V |
318 | 317 | inex1 5112 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∈ V |
319 | | snex 5223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ {𝑋} ∈ V |
320 | 318, 319 | unex 7326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V |
321 | | resttop 21452 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V) →
((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top) |
322 | 316, 320,
321 | mp2an 688 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top |
323 | 322 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 →
((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top) |
324 | | retop 23053 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(topGen‘ran (,)) ∈ Top |
325 | 324 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (topGen‘ran (,))
∈ Top) |
326 | 320 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V) |
327 | | iooretop 23057 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran
(,)) |
328 | 327 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran
(,))) |
329 | | elrestr 16531 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V ∧ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran (,))) →
((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,))
↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) |
330 | 325, 326,
328, 329 | syl3anc 1364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 → ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,))
↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) |
331 | | mnfxr 10545 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ -∞
∈ ℝ* |
332 | 331 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -∞ ∈
ℝ*) |
333 | 188 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈
ℝ*) |
334 | | icossre 12667 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*) → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℝ) |
335 | 234, 188,
334 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℝ) |
336 | 335 | sselda 3889 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℝ) |
337 | 336 | mnfltd 12369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -∞ < 𝑥) |
338 | 299 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈
ℝ*) |
339 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) |
340 | | icoltub 41326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ*
∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) |
341 | 338, 333,
339, 340 | syl3anc 1364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) |
342 | 332, 333,
336, 337, 341 | eliood 41315 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) |
343 | | vsnid 4507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ 𝑥 ∈ {𝑥} |
344 | 343 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ {𝑥}) |
345 | | sneq 4482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋}) |
346 | 344, 345 | eleqtrd 2885 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ {𝑋}) |
347 | | elun2 4074 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 ∈ {𝑋} → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) |
348 | 346, 347 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) |
349 | 348 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) |
350 | 299 | ad2antrr 722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈
ℝ*) |
351 | 175 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → +∞ ∈
ℝ*) |
352 | 336 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ) |
353 | 234 | ad2antrr 722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ) |
354 | | icogelb 12638 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ*
∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ≤ 𝑥) |
355 | 338, 333,
339, 354 | syl3anc 1364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ≤ 𝑥) |
356 | 355 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ≤ 𝑥) |
357 | | neqne 2992 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (¬
𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ≠ 𝑋) |
358 | 357 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ≠ 𝑋) |
359 | 353, 352,
356, 358 | leneltd 10641 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 < 𝑥) |
360 | 352 | ltpnfd 12366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < +∞) |
361 | 350, 351,
352, 359, 360 | eliood 41315 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) |
362 | 183 | zcnd 11937 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝜒 → 𝑘 ∈ ℂ) |
363 | 362, 195 | mulneg1d 10941 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) = -(𝑘 · 𝑇)) |
364 | 363 | oveq2d 7032 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝜒 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇))) |
365 | 364 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇))) |
366 | | ioosscn 41311 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℂ |
367 | 366 | sseli 3885 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℂ) |
368 | 367 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℂ) |
369 | 258 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ) |
370 | 368, 369 | addcld 10506 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ) |
371 | 370, 369 | negsubd 10851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇))) |
372 | 368, 369 | pncand 10846 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑤) |
373 | 365, 371,
372 | 3eqtrrd 2836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇))) |
374 | 186 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ) |
375 | 228, 374 | readdcld 10516 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
376 | 225, 227,
375, 253, 261 | eliood 41315 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
377 | 219, 376 | sseldd 3890 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) |
378 | 272 | 3anbi3d 1434 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑗 = -𝑘 → ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ))) |
379 | 274 | oveq2d 7032 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑗 = -𝑘 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇))) |
380 | 379 | eleq1d 2867 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑗 = -𝑘 → (((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)) |
381 | 378, 380 | imbi12d 346 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))) |
382 | 266 | 3anbi2d 1433 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ))) |
383 | | oveq1 7023 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇))) |
384 | 383 | eleq1d 2867 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)) |
385 | 382, 384 | imbi12d 346 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷))) |
386 | 265, 385,
285 | vtocl 3502 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) |
387 | 271, 381,
386 | vtocl 3502 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) |
388 | 207, 377,
264, 387 | syl3anc 1364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) |
389 | 373, 388 | eqeltrd 2883 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ 𝐷) |
390 | 389 | ralrimiva 3149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜒 → ∀𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 ∈ 𝐷) |
391 | 390, 291 | sylibr 235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷) |
392 | 391 | ad2antrr 722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷) |
393 | 188 | ad2antrr 722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈
ℝ*) |
394 | 341 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) |
395 | 350, 393,
352, 359, 394 | eliood 41315 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) |
396 | 392, 395 | sseldd 3890 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝐷) |
397 | 361, 396 | elind 4092 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) |
398 | | elun1 4073 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) |
399 | 397, 398 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) |
400 | 349, 399 | pm2.61dan 809 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) |
401 | 342, 400 | elind 4092 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) |
402 | 299 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ∈
ℝ*) |
403 | 188 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈
ℝ*) |
404 | | elinel1 4093 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) |
405 | | elioore 12618 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ) |
406 | 404, 405 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ) |
407 | 406 | rexrd 10537 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ*) |
408 | 407 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ ℝ*) |
409 | | elinel2 4094 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) |
410 | 234 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ) |
411 | 88 | eqcomd 2801 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑋 = 𝑥) |
412 | 411 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 = 𝑥) |
413 | 410, 412 | eqled 10590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ≤ 𝑥) |
414 | 413 | adantlr 711 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ≤ 𝑥) |
415 | | simpll 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝜒) |
416 | | simplr 765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) |
417 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (¬
𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑥 = 𝑋) |
418 | | velsn 4488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑥 ∈ {𝑋} ↔ 𝑥 = 𝑋) |
419 | 417, 418 | sylnibr 330 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (¬
𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) |
420 | 419 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) |
421 | | elunnel2 40835 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) |
422 | 416, 420,
421 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) |
423 | | elinel1 4093 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) |
424 | 422, 423 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) |
425 | 234 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 ∈ ℝ) |
426 | | elioore 12618 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ) |
427 | 426 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ) |
428 | 299 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 ∈
ℝ*) |
429 | 175 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → +∞ ∈
ℝ*) |
430 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) |
431 | | ioogtlb 41312 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ*
∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 < 𝑥) |
432 | 428, 429,
430, 431 | syl3anc 1364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 < 𝑥) |
433 | 425, 427,
432 | ltled 10635 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 ≤ 𝑥) |
434 | 415, 424,
433 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ≤ 𝑥) |
435 | 414, 434 | pm2.61dan 809 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑋 ≤ 𝑥) |
436 | 409, 435 | sylan2 592 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ≤ 𝑥) |
437 | 331 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -∞ ∈
ℝ*) |
438 | 188 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈
ℝ*) |
439 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) |
440 | | iooltub 41328 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
((-∞ ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) |
441 | 437, 438,
439, 440 | syl3anc 1364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) |
442 | 404, 441 | sylan2 592 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) |
443 | 402, 403,
408, 436, 442 | elicod 12637 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) |
444 | 401, 443 | impbida 797 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))) |
445 | 444 | eqrdv 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) = ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) |
446 | | ioossre 12648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑋(,)+∞) ⊆
ℝ |
447 | | ssinss1 4134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
→ ((𝑋(,)+∞)
∩ 𝐷) ⊆
ℝ) |
448 | 446, 447 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ) |
449 | 234 | snssd 4649 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → {𝑋} ⊆ ℝ) |
450 | 448, 449 | unssd 4083 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ) |
451 | | eqid 2795 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,)) |
452 | 297, 451 | rerest 23095 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ →
((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,))
↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) |
453 | 450, 452 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 →
((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,))
↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) |
454 | 330, 445,
453 | 3eltr4d 2898 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈
((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) |
455 | | isopn3i 21374 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top ∧ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈
((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) →
((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) |
456 | 323, 454,
455 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 →
((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) |
457 | 315, 456 | eqtr2d 2832 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) =
((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋}))) |
458 | 312, 457 | eleqtrd 2885 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜒 → 𝑋 ∈
((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋}))) |
459 | 174, 293,
296, 297, 298, 458 | limcres 24167 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) limℂ 𝑋)) |
460 | 293 | resabs1d 5765 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))) |
461 | 460 | oveq1d 7031 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) |
462 | 169 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → ℝ ⊆
ℂ) |
463 | 156, 462 | fssd 6396 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ) |
464 | 215 | feq2d 6368 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:𝐷⟶ℂ)) |
465 | 463, 464 | mpbird 258 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) |
466 | 155, 465 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) |
467 | 466 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) |
468 | 366 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℂ) |
469 | 391, 163 | sseqtr4d 3929 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ dom 𝐹) |
470 | 469 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ dom 𝐹) |
471 | 258 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ) |
472 | | eqid 2795 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ {𝑧 ∈ ℂ ∣
∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} |
473 | | eqeq1 2799 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))) |
474 | 473 | rexbidv 3260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))) |
475 | 474 | elrab 3618 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))) |
476 | 475 | simprbi 497 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} → ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) |
477 | 476 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) |
478 | | nfv 1892 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
Ⅎ𝑥𝜒 |
479 | | nfre1 3269 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) |
480 | | nfcv 2949 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
Ⅎ𝑥ℂ |
481 | 479, 480 | nfrab 3345 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
Ⅎ𝑥{𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} |
482 | 481 | nfcri 2943 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} |
483 | 478, 482 | nfan 1881 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
Ⅎ𝑥(𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) |
484 | | nfv 1892 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ 𝐷 |
485 | | simp3 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) |
486 | | eleq1 2870 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))) |
487 | 486 | anbi2d 628 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))) |
488 | | oveq1 7023 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) |
489 | 488 | eleq1d 2867 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)) |
490 | 487, 489 | imbi12d 346 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑤 = 𝑥 → (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))) |
491 | 490, 263 | chvarv 2370 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) |
492 | 491 | 3adant3 1125 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) |
493 | 485, 492 | eqeltrd 2883 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ 𝐷) |
494 | 493 | 3exp 1112 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → (𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷))) |
495 | 494 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → (𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷))) |
496 | 483, 484,
495 | rexlimd 3278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → (∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷)) |
497 | 477, 496 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → 𝑤 ∈ 𝐷) |
498 | 497 | ralrimiva 3149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜒 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}𝑤 ∈ 𝐷) |
499 | | dfss3 3878 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ({𝑧 ∈ ℂ ∣
∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}𝑤 ∈ 𝐷) |
500 | 498, 499 | sylibr 235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷) |
501 | 500, 163 | sseqtr4d 3929 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹) |
502 | 501 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹) |
503 | 155 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑) |
504 | 391 | sselda 3889 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ 𝐷) |
505 | 183 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ) |
506 | | fourierdlem48.per |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) |
507 | 503, 504,
505, 506 | syl3anc 1364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) |
508 | 507 | adantlr 711 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) |
509 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) |
510 | 467, 468,
470, 471, 472, 502, 508, 509 | limcperiod 41451 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) limℂ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) |
511 | 259 | eqcomd 2801 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇))) |
512 | 237, 511 | oveq12d 7034 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇))(,)(((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)))) |
513 | 234, 187,
186 | iooshift 41340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜒 → ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇))(,)(((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) |
514 | 512, 513 | eqtr2d 2832 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} = (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
515 | 514 | reseq2d 5734 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) = (𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) |
516 | 515, 238 | oveq12d 7034 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) limℂ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) |
517 | 516 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) limℂ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) |
518 | 510, 517 | eleqtrd 2885 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) |
519 | 466 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) |
520 | | ioosscn 41311 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ |
521 | 520 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ) |
522 | | icogelb 12638 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘𝑖) ≤ 𝑦) |
523 | 224, 226,
239, 522 | syl3anc 1364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑖) ≤ 𝑦) |
524 | | iooss1 12623 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑄‘𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘𝑖) ≤ 𝑦) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
525 | 224, 523,
524 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
526 | 525, 218 | sstrd 3899 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷) |
527 | 526, 163 | sseqtr4d 3929 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹) |
528 | 527 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹) |
529 | 362 | negcld 10832 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → -𝑘 ∈ ℂ) |
530 | 529, 195 | mulcld 10507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ) |
531 | 530 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ) |
532 | | eqid 2795 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ {𝑧 ∈ ℂ ∣
∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} |
533 | | eqeq1 2799 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ↔ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))) |
534 | 533 | rexbidv 3260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))) |
535 | 534 | elrab 3618 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))) |
536 | 535 | simprbi 497 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} → ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) |
537 | 536 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) |
538 | | nfre1 3269 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) |
539 | 538, 480 | nfrab 3345 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
Ⅎ𝑥{𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} |
540 | 539 | nfcri 2943 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} |
541 | 478, 540 | nfan 1881 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
Ⅎ𝑥(𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) |
542 | | simp3 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) |
543 | 155 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝜑) |
544 | 526 | sselda 3889 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ 𝐷) |
545 | 183 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℤ) |
546 | 545 | znegcld 11938 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -𝑘 ∈ ℤ) |
547 | 543, 544,
546, 286 | syl3anc 1364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) |
548 | 547 | 3adant3 1125 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) |
549 | 542, 548 | eqeltrd 2883 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ 𝐷) |
550 | 549 | 3exp 1112 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷))) |
551 | 550 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → (𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷))) |
552 | 541, 484,
551 | rexlimd 3278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → (∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤 ∈ 𝐷)) |
553 | 537, 552 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → 𝑤 ∈ 𝐷) |
554 | 553 | ralrimiva 3149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜒 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}𝑤 ∈ 𝐷) |
555 | | dfss3 3878 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ({𝑧 ∈ ℂ ∣
∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}𝑤 ∈ 𝐷) |
556 | 554, 555 | sylibr 235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷) |
557 | 556, 163 | sseqtr4d 3929 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹) |
558 | 557 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹) |
559 | 155 | ad2antrr 722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝜑) |
560 | 544 | adantlr 711 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ 𝐷) |
561 | 546 | adantlr 711 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -𝑘 ∈ ℤ) |
562 | 275 | fveq2d 6542 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑗 = -𝑘 → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))) |
563 | 562 | eqeq1d 2797 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑗 = -𝑘 → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))) |
564 | 273, 563 | imbi12d 346 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)))) |
565 | 281 | fveq2d 6542 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇)))) |
566 | 565 | eqeq1d 2797 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥))) |
567 | 279, 566 | imbi12d 346 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)))) |
568 | 567, 506 | chvarv 2370 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) |
569 | 271, 564,
568 | vtocl 3502 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) |
570 | 559, 560,
561, 569 | syl3anc 1364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘𝑥)) |
571 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) |
572 | 519, 521,
528, 531, 532, 558, 570, 571 | limcperiod 41451 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) limℂ (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)))) |
573 | 363 | oveq2d 7032 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜒 → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + -(𝑘 · 𝑇))) |
574 | 307 | recnd 10515 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜒 → 𝑦 ∈ ℂ) |
575 | 574, 258 | negsubd 10851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜒 → (𝑦 + -(𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 − (𝑘 · 𝑇))) |
576 | 304 | eqcomd 2801 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑋) |
577 | 573, 575,
576 | 3eqtrd 2835 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜒 → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = 𝑋) |
578 | 577 | eqcomd 2801 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜒 → 𝑋 = (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))) |
579 | 363 | oveq2d 7032 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + -(𝑘 · 𝑇))) |
580 | 257, 258 | negsubd 10851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) |
581 | 579, 580 | eqtr2d 2832 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇))) |
582 | 578, 581 | oveq12d 7034 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) = ((𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇)))) |
583 | 184 | renegcld 10915 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜒 → -𝑘 ∈ ℝ) |
584 | 583, 185 | remulcld 10517 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ) |
585 | 307, 182,
584 | iooshift 41340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜒 → ((𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) |
586 | 582, 585 | eqtr2d 2832 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) |
587 | 586 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) |
588 | 587 | reseq2d 5734 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))) |
589 | 577 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = 𝑋) |
590 | 588, 589 | oveq12d 7034 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) limℂ (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) |
591 | 572, 590 | eleqtrd 2885 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋)) |
592 | 518, 591 | impbida 797 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → (𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋) ↔ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦))) |
593 | 592 | eqrdv 2793 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) |
594 | 461, 593 | eqtrd 2831 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) |
595 | 167, 459,
594 | 3eqtr2d 2837 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) |
596 | 155, 177,
73 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) |
597 | 155, 177,
209 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) |
598 | | fourierdlem48.r |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖))) |
599 | 155, 177,
598 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖))) |
600 | | eqid 2795 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ if(𝑦 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) = if(𝑦 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) |
601 | | eqid 2795 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) =
((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
602 | 223, 182,
596, 597, 599, 307, 182, 309, 525, 600, 601 | fourierdlem32 41966 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜒 → if(𝑦 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) |
603 | 525 | resabs1d 5765 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) |
604 | 603 | oveq1d 7031 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) |
605 | 602, 604 | eleqtrd 2885 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜒 → if(𝑦 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦)) |
606 | | ne0i 4220 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (if(𝑦 = (𝑄‘𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦) → ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦) ≠ ∅) |
607 | 605, 606 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ 𝑦) ≠ ∅) |
608 | 595, 607 | eqnetrd 3051 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) |
609 | 152, 608 | sylbir 236 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) |
610 | 149, 150,
151, 609 | syl21anc 834 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) |
611 | 610 | 3exp 1112 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠
∅))) |
612 | 611 | adantr 481 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠
∅))) |
613 | 140, 145,
612 | rexlim2d 41448 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠
∅)) |
614 | 137, 613 | mpd 15 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) |
615 | 130, 136,
614 | vtocl 3502 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸‘𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸‘𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) |
616 | 1, 129, 615 | syl2anc 584 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) |
617 | | iocssre 12666 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈ ℝ)
→ (𝐴(,]𝐵) ⊆
ℝ) |
618 | 58, 9, 617 | syl2anc 584 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ) |
619 | | ovex 7048 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((⌊‘((𝐵
− 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V |
620 | 92 | fvmpt2 6645 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧
((⌊‘((𝐵 −
𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V) → (𝑍‘𝑥) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) |
621 | 619, 620 | mpan2 687 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑍‘𝑥) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) |
622 | 621 | oveq2d 7032 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (𝑍‘𝑥)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))) |
623 | 622 | mpteq2ia 5051 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))) |
624 | 86, 623 | eqtri 2819 |
. . . . . . 7
⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))) |
625 | 13, 9, 16, 12, 624 | fourierdlem4 41938 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵)) |
626 | 625, 10 | ffvelrnd 6717 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) |
627 | 618, 626 | sseldd 3890 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ) |
628 | 627 | adantr 481 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ) |
629 | | simpl 483 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → 𝜑) |
630 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) |
631 | | ffn 6382 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ → 𝑄 Fn (0...𝑀)) |
632 | 40, 631 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑄 Fn (0...𝑀)) |
633 | 632 | ad2antrr 722 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄 Fn (0...𝑀)) |
634 | | fvelrnb 6594 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑄 Fn (0...𝑀) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋))) |
635 | 633, 634 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋))) |
636 | 630, 635 | mpbid 233 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) |
637 | | 1zzd 11862 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 1 ∈ ℤ) |
638 | | elfzelz 12758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ) |
639 | 638 | ad2antlr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ ℤ) |
640 | 639 | zred 11936 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ ℝ) |
641 | | elfzle1 12760 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 0 ≤ 𝑗) |
642 | 641 | ad2antlr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 ≤ 𝑗) |
643 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) |
644 | 643 | eqcomd 2801 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘𝑗)) |
645 | 644 | ad2antlr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘𝑗)) |
646 | | fveq2 6538 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑗 = 0 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘0)) |
647 | 646 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘0)) |
648 | 37 | simprld 768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝜑 → ((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵)) |
649 | 648 | simpld 495 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴) |
650 | 649 | ad2antrr 722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄‘0) = 𝐴) |
651 | 645, 647,
650 | 3eqtrd 2835 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = 𝐴) |
652 | 651 | adantllr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = 𝐴) |
653 | 652 | adantllr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸‘𝑋) = 𝐴) |
654 | 13 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ) |
655 | 58 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈
ℝ*) |
656 | 9 | rexrd 10537 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈
ℝ*) |
657 | 656 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈
ℝ*) |
658 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) |
659 | | iocgtlb 41319 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸‘𝑋)) |
660 | 655, 657,
658, 659 | syl3anc 1364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸‘𝑋)) |
661 | 654, 660 | gtned 10622 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐴) |
662 | 661 | neneqd 2989 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ¬ (𝐸‘𝑋) = 𝐴) |
663 | 662 | ad3antrrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → ¬ (𝐸‘𝑋) = 𝐴) |
664 | 653, 663 | pm2.65da 813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ¬ 𝑗 = 0) |
665 | 664 | neqned 2991 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ≠ 0) |
666 | 640, 642,
665 | ne0gt0d 10624 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 < 𝑗) |
667 | | 0zd 11841 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 ∈ ℤ) |
668 | | zltp1le 11881 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((0
∈ ℤ ∧ 𝑗
∈ ℤ) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗)) |
669 | 667, 639,
668 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗)) |
670 | 666, 669 | mpbid 233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (0 + 1) ≤ 𝑗) |
671 | 77, 670 | eqbrtrid 4997 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 1 ≤ 𝑗) |
672 | | eluz2 12099 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑗 ∈
(ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤
𝑗)) |
673 | 637, 639,
671, 672 | syl3anbrc 1336 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈
(ℤ≥‘1)) |
674 | | nnuz 12130 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ℕ =
(ℤ≥‘1) |
675 | 673, 674 | syl6eleqr 2894 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑗 ∈ ℕ) |
676 | | nnm1nn0 11786 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈
ℕ0) |
677 | 675, 676 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈
ℕ0) |
678 | 677, 42 | syl6eleq 2893 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈
(ℤ≥‘0)) |
679 | 4 | ad3antrrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑀 ∈ ℤ) |
680 | | peano2zm 11874 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈
ℤ) |
681 | 638, 680 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ) |
682 | 681 | zred 11936 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ) |
683 | 638 | zred 11936 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ) |
684 | | elfzel2 12756 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ) |
685 | 684 | zred 11936 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ) |
686 | 683 | ltm1d 11420 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑗) |
687 | | elfzle2 12761 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ≤ 𝑀) |
688 | 682, 683,
685, 686, 687 | ltletrd 10647 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑀) |
689 | 688 | ad2antlr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) < 𝑀) |
690 | | elfzo2 12891 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝑗 − 1) ∈
(ℤ≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) < 𝑀)) |
691 | 678, 679,
689, 690 | syl3anbrc 1336 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) |
692 | 40 | ad3antrrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ) |
693 | 639, 680 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ) |
694 | 667, 679,
693 | 3jca 1121 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈
ℤ)) |
695 | 677 | nn0ge0d 11806 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 0 ≤ (𝑗 − 1)) |
696 | 682, 685,
688 | ltled 10635 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀) |
697 | 696 | ad2antlr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀) |
698 | 694, 695,
697 | jca32 516 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
∧ (0 ≤ (𝑗 − 1)
∧ (𝑗 − 1) ≤
𝑀))) |
699 | | elfz2 12749 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑗 − 1) ∈ (0...𝑀) ↔ ((0 ∈ ℤ
∧ 𝑀 ∈ ℤ
∧ (𝑗 − 1) ∈
ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑗
− 1) ∧ (𝑗 −
1) ≤ 𝑀))) |
700 | 698, 699 | sylibr 235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0...𝑀)) |
701 | 692, 700 | ffvelrnd 6717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ) |
702 | 701 | rexrd 10537 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈
ℝ*) |
703 | 40 | ffvelrnda 6716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ) |
704 | 703 | rexrd 10537 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈
ℝ*) |
705 | 704 | adantlr 711 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈
ℝ*) |
706 | 705 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘𝑗) ∈
ℝ*) |
707 | 618 | sselda 3889 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ) |
708 | 707 | rexrd 10537 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈
ℝ*) |
709 | 708 | ad2antrr 722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈
ℝ*) |
710 | | simplll 771 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → 𝜑) |
711 | | ovex 7048 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑗 − 1) ∈
V |
712 | | eleq1 2870 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))) |
713 | 712 | anbi2d 628 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)))) |
714 | | fveq2 6538 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘(𝑗 − 1))) |
715 | | oveq1 7023 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑗 − 1) + 1)) |
716 | 715 | fveq2d 6542 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))) |
717 | 714, 716 | breq12d 4975 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) |
718 | 713, 717 | imbi12d 346 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))) |
719 | 711, 718,
73 | vtocl 3502 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))) |
720 | 710, 691,
719 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))) |
721 | 638 | zcnd 11937 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ) |
722 | | 1cnd 10482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 1 ∈ ℂ) |
723 | 721, 722 | npcand 10849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗) |
724 | 723 | eqcomd 2801 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 = ((𝑗 − 1) + 1)) |
725 | 724 | fveq2d 6542 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))) |
726 | 725 | eqcomd 2801 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄‘𝑗)) |
727 | 726 | ad2antlr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄‘𝑗)) |
728 | 720, 727 | breqtrd 4988 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘𝑗)) |
729 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) |
730 | 728, 729 | breqtrd 4988 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝐸‘𝑋)) |
731 | 627 | leidd 11054 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝐸‘𝑋)) |
732 | 731 | ad2antrr 722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝐸‘𝑋)) |
733 | 644 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘𝑗)) |
734 | 732, 733 | breqtrd 4988 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘𝑗)) |
735 | 734 | adantllr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘𝑗)) |
736 | 702, 706,
709, 730, 735 | eliocd 41325 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘𝑗))) |
737 | 725 | oveq2d 7032 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) |
738 | 737 | ad2antlr 723 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) |
739 | 736, 738 | eleqtrd 2885 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) |
740 | 714, 716 | oveq12d 7034 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) |
741 | 740 | eleq2d 2868 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))) |
742 | 741 | rspcev 3559 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
743 | 691, 739,
742 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
744 | 743 | ex 413 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))) |
745 | 744 | adantlr 711 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))) |
746 | 745 | rexlimdva 3247 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄‘𝑗) = (𝐸‘𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))) |
747 | 636, 746 | mpd 15 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
748 | 3 | ad2antrr 722 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑀 ∈ ℕ) |
749 | 40 | ad2antrr 722 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ) |
750 | | iocssicc 12675 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) |
751 | 649 | eqcomd 2801 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑄‘0)) |
752 | 648 | simprd 496 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = 𝐵) |
753 | 752 | eqcomd 2801 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑄‘𝑀)) |
754 | 751, 753 | oveq12d 7034 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) |
755 | 750, 754 | sseqtrid 3940 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) |
756 | 755 | sselda 3889 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) |
757 | 756 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) |
758 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) |
759 | | fveq2 6538 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘𝑗)) |
760 | 759 | breq1d 4972 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝑄‘𝑘) < (𝐸‘𝑋) ↔ (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋))) |
761 | 760 | cbvrabv 3434 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < (𝐸‘𝑋)} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)} |
762 | 761 | supeq1i 8757 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
sup({𝑘 ∈
(0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < (𝐸‘𝑋)}, ℝ, < ) = sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)}, ℝ, < ) |
763 | 748, 749,
757, 758, 762 | fourierdlem25 41959 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
764 | | ioossioc 41308 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) |
765 | 764 | sseli 3885 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
766 | 765 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))) |
767 | 766 | reximdva 3237 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))) |
768 | 763, 767 | mpd 15 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
769 | 747, 768 | pm2.61dan 809 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
770 | 626, 769 | mpdan 683 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
771 | | fveq2 6538 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘𝑗)) |
772 | | oveq1 7023 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1)) |
773 | 772 | fveq2d 6542 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) |
774 | 771, 773 | oveq12d 7034 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) |
775 | 774 | eleq2d 2868 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))) |
776 | 775 | cbvrexv 3404 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑖 ∈
(0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) |
777 | 770, 776 | sylib 219 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) |
778 | 777 | adantr 481 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) |
779 | | elfzonn0 12932 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0) |
780 | | 1nn0 11761 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 1 ∈
ℕ0 |
781 | 780 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 1 ∈
ℕ0) |
782 | 779, 781 | nn0addcld 11807 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈
ℕ0) |
783 | 782, 42 | syl6eleq 2893 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈
(ℤ≥‘0)) |
784 | 783 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈
(ℤ≥‘0)) |
785 | 784 | 3ad2antl2 1179 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈
(ℤ≥‘0)) |
786 | 4 | ad2antrr 722 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ) |
787 | 786 | 3ad2antl1 1178 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ) |
788 | 779 | nn0red 11804 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ) |
789 | 788 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ) |
790 | 789 | 3ad2antl2 1179 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ) |
791 | | 1red 10488 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 1 ∈
ℝ) |
792 | 790, 791 | readdcld 10516 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℝ) |
793 | 787 | zred 11936 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℝ) |
794 | | elfzop1le2 41097 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀) |
795 | 794 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀) |
796 | 795 | 3ad2antl2 1179 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀) |
797 | | simplr 765 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) |
798 | | fveq2 6538 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑀 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘𝑀) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) |
799 | 798 | eqcomd 2801 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑀 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘𝑀)) |
800 | 799 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘𝑀)) |
801 | 752 | ad2antrr 722 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝑄‘𝑀) = 𝐵) |
802 | 797, 800,
801 | 3eqtrd 2835 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) = 𝐵) |
803 | 802 | adantllr 715 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) = 𝐵) |
804 | | simpllr 772 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) |
805 | 804 | neneqd 2989 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → ¬ (𝐸‘𝑋) = 𝐵) |
806 | 803, 805 | pm2.65da 813 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ¬ 𝑀 = (𝑗 + 1)) |
807 | 806 | neqned 2991 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ≠ (𝑗 + 1)) |
808 | 807 | 3ad2antl1 1178 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ≠ (𝑗 + 1)) |
809 | 792, 793,
796, 808 | leneltd 10641 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) < 𝑀) |
810 | | elfzo2 12891 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
∧ 𝑀 ∈ ℤ
∧ (𝑗 + 1) < 𝑀)) |
811 | 785, 787,
809, 810 | syl3anbrc 1336 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) |
812 | 40 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ) |
813 | | fzofzp1 12984 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈ (0...𝑀)) |
814 | 813 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑗 + 1) ∈ (0...𝑀)) |
815 | 812, 814 | ffvelrnd 6717 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ) |
816 | 815 | rexrd 10537 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈
ℝ*) |
817 | 816 | adantlr 711 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈
ℝ*) |
818 | 817 | 3adant3 1125 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈
ℝ*) |
819 | 818 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈
ℝ*) |
820 | | simpl1l 1217 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝜑) |
821 | 820, 40 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ) |
822 | | fzofzp1 12984 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀) → ((𝑗 + 1) + 1) ∈ (0...𝑀)) |
823 | 811, 822 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ((𝑗 + 1) + 1) ∈ (0...𝑀)) |
824 | 821, 823 | ffvelrnd 6717 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)) ∈ ℝ) |
825 | 824 | rexrd 10537 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)) ∈
ℝ*) |
826 | 627 | rexrd 10537 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) ∈
ℝ*) |
827 | 826 | ad2antrr 722 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈
ℝ*) |
828 | 827 | 3ad2antl1 1178 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈
ℝ*) |
829 | 815 | leidd 11054 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1))) |
830 | 829 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1))) |
831 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) |
832 | 831 | eqcomd 2801 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝐸‘𝑋)) |
833 | 832 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝐸‘𝑋)) |
834 | 830, 833 | breqtrd 4988 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸‘𝑋)) |
835 | 834 | adantllr 715 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸‘𝑋)) |
836 | 835 | 3adantl3 1161 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸‘𝑋)) |
837 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) |
838 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) |
839 | | ovex 7048 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑗 + 1) ∈ V |
840 | | eleq1 2870 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀))) |
841 | 840 | anbi2d 628 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)))) |
842 | | fveq2 6538 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) |
843 | | oveq1 7023 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑗 + 1) + 1)) |
844 | 843 | fveq2d 6542 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))) |
845 | 842, 844 | breq12d 4975 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))) |
846 | 841, 845 | imbi12d 346 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))))) |
847 | 839, 846,
73 | vtocl 3502 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))) |
848 | 847 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))) |
849 | 838, 848 | eqbrtrd 4984 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))) |
850 | 820, 811,
837, 849 | syl21anc 834 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))) |
851 | 819, 825,
828, 836, 850 | elicod 12637 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))) |
852 | 842, 844 | oveq12d 7034 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))) |
853 | 852 | eleq2d 2868 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))))) |
854 | 853 | rspcev 3559 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
855 | 811, 851,
854 | syl2anc 584 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
856 | | simpl2 1185 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) |
857 | | id 22 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))) |
858 | 857 | 3adant1r 1170 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))) |
859 | | elfzofz 12903 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀)) |
860 | 859 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀)) |
861 | 812, 860 | ffvelrnd 6717 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ) |
862 | 861 | rexrd 10537 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑗) ∈
ℝ*) |
863 | 862 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘𝑗) ∈
ℝ*) |
864 | 863 | 3adantl3 1161 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘𝑗) ∈
ℝ*) |
865 | 816 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈
ℝ*) |
866 | 865 | 3adantl3 1161 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈
ℝ*) |
867 | 826 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈
ℝ*) |
868 | 867 | 3ad2antl1 1178 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈
ℝ*) |
869 | 861 | 3adant3 1125 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘𝑗) ∈ ℝ) |
870 | 627 | 3ad2ant1 1126 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ) |
871 | 862 | 3adant3 1125 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘𝑗) ∈
ℝ*) |
872 | 816 | 3adant3 1125 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈
ℝ*) |
873 | | simp3 1131 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) |
874 | | iocgtlb 41319 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑄‘𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ* ∧
(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)) |
875 | 871, 872,
873, 874 | syl3anc 1364 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘𝑗) < (𝐸‘𝑋)) |
876 | 869, 870,
875 | ltled 10635 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘𝑗) ≤ (𝐸‘𝑋)) |
877 | 876 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘𝑗) ≤ (𝐸‘𝑋)) |
878 | 870 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ℝ) |
879 | 815 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ) |
880 | 879 | 3adantl3 1161 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ) |
881 | | iocleub 41320 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑄‘𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ* ∧
(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1))) |
882 | 871, 872,
873, 881 | syl3anc 1364 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1))) |
883 | 882 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1))) |
884 | | neqne 2992 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (¬
(𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝐸‘𝑋) ≠ (𝑄‘(𝑗 + 1))) |
885 | 884 | necomd 3039 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (¬
(𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≠ (𝐸‘𝑋)) |
886 | 885 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≠ (𝐸‘𝑋)) |
887 | 878, 880,
883, 886 | leneltd 10641 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) < (𝑄‘(𝑗 + 1))) |
888 | 864, 866,
868, 877, 887 | elicod 12637 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) |
889 | 858, 888 | sylan 580 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) |
890 | 771, 773 | oveq12d 7034 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) |
891 | 890 | eleq2d 2868 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))) |
892 | 891 | rspcev 3559 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
893 | 856, 889,
892 | syl2anc 584 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸‘𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
894 | 855, 893 | pm2.61dan 809 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
895 | 894 | rexlimdv3a 3249 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → (∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) |
896 | 778, 895 | mpd 15 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
897 | | simpr 485 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) |
898 | | oveq1 7023 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) |
899 | 898 | oveq2d 7032 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) |
900 | 899 | eqeq2d 2805 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → ((𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))) |
901 | 900 | rspcev 3559 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((⌊‘((𝐵
− 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) |
902 | 99, 107, 901 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) |
903 | 902 | ad2antrr 722 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) |
904 | | r19.42v 3311 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑘 ∈
ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) |
905 | 897, 903,
904 | sylanbrc 583 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) |
906 | 905 | ex 413 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))) |
907 | 906 | reximdv 3236 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))) |
908 | 896, 907 | mpd 15 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) |
909 | 629, 908 | jca 512 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))) |
910 | | eleq1 2870 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) |
911 | | eqeq1 2799 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → (𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) |
912 | 910, 911 | anbi12d 630 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → ((𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))) |
913 | 912 | 2rexbidv 3263 |
. . . . . 6
⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))) |
914 | 913 | anbi2d 628 |
. . . . 5
⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))) |
915 | 914 | imbi1d 343 |
. . . 4
⊢ (𝑦 = (𝐸‘𝑋) → (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠
∅))) |
916 | 915, 614 | vtoclg 3510 |
. . 3
⊢ ((𝐸‘𝑋) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸‘𝑋) ∈ ((𝑄‘𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠
∅)) |
917 | 628, 909,
916 | sylc 65 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) |
918 | 616, 917 | pm2.61dane 3072 |
1
⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) ≠ ∅) |