Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimincfltioc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pimincfltioc 45422
Description: Given a nondecreasing function, the preimage of an unbounded below, open interval, when the supremum of the preimage belongs to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimincfltioc.x β„²π‘₯πœ‘
pimincfltioc.h β„²π‘¦πœ‘
pimincfltioc.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
pimincfltioc.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
pimincfltioc.i (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
pimincfltioc.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
pimincfltioc.y π‘Œ = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅}
pimincfltioc.c 𝑆 = sup(π‘Œ, ℝ*, < )
pimincfltioc.e (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Œ)
pimincfltioc.d 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
Assertion
Ref Expression
pimincfltioc (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝐼 ∩ 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐼,𝑦   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   𝑅(𝑦)   π‘Œ(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem pimincfltioc
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pimincfltioc.y . . . . . . 7 π‘Œ = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅}
2 ssrab2 4077 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅} βŠ† 𝐴
31, 2eqsstri 4016 . . . . . 6 π‘Œ βŠ† 𝐴
43a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
5 pimincfltioc.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
64, 5sstrd 3992 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† ℝ)
7 pimincfltioc.c . . . 4 𝑆 = sup(π‘Œ, ℝ*, < )
8 pimincfltioc.e . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Œ)
9 pimincfltioc.d . . . 4 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
106, 7, 8, 9ressiocsup 44257 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝐼)
1110, 4ssind 4232 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† (𝐼 ∩ 𝐴))
12 pimincfltioc.x . . . 4 β„²π‘₯πœ‘
13 elinel2 4196 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
1413adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
15 pimincfltioc.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
1615adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
1716, 14ffvelcdmd 7087 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
183, 8sselid 3980 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
1915, 18ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘†) ∈ ℝ*)
2019adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘†) ∈ ℝ*)
21 pimincfltioc.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
2221adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
23 eleq1w 2816 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = π‘₯ β†’ (𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) ↔ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)))
2423anbi2d 629 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ↔ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))))
25 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘₯))
2625breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘†) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘†)))
2724, 26imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑧 = π‘₯ β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘†)) ↔ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘†))))
28 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)
2912, 28nfan 1902 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
30 pimincfltioc.h . . . . . . . . . . 11 β„²π‘¦πœ‘
31 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑦 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)
3230, 31nfan 1902 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
33 pimincfltioc.i . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
3433adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
35 elinel2 4196 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
3635adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
3718adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
38 mnfxr 11270 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
40 ressxr 11257 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ βŠ† ℝ*
416, 8sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
4240, 41sselid 3980 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
4342adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
44 elinel1 4195 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ 𝐼)
4544, 9eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ (-∞(,]𝑆))
4645adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ (-∞(,]𝑆))
47 iocleub 44206 . . . . . . . . . . 11 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,]𝑆)) β†’ 𝑧 ≀ 𝑆)
4839, 43, 46, 47syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑧 ≀ 𝑆)
4929, 32, 34, 36, 37, 48dmrelrnrel 43915 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘†))
5027, 49chvarvv 2002 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘†))
51 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑆 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘†))
5251breq1d 5158 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑆 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅 ↔ (πΉβ€˜π‘†) < 𝑅))
5352, 1elrab2 3686 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ π‘Œ ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘†) < 𝑅))
548, 53sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘†) < 𝑅))
5554simprd 496 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘†) < 𝑅)
5655adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘†) < 𝑅)
5717, 20, 22, 50, 56xrlelttrd 13138 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅)
5814, 57jca 512 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅))
591reqabi 3454 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ π‘Œ ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅))
6058, 59sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ)
6160ex 413 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ))
6212, 61ralrimi 3254 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)π‘₯ ∈ π‘Œ)
6328nfci 2886 . . . 4 β„²π‘₯(𝐼 ∩ 𝐴)
64 nfrab1 3451 . . . . 5 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅}
651, 64nfcxfr 2901 . . . 4 β„²π‘₯π‘Œ
6663, 65dfss3f 3973 . . 3 ((𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† π‘Œ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)π‘₯ ∈ π‘Œ)
6762, 66sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† π‘Œ)
6811, 67eqssd 3999 1 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝐼 ∩ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  β„²wnf 1785   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  supcsup 9434  β„cr 11108  -∞cmnf 11245  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248  (,]cioc 13324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-ioc 13328
This theorem is referenced by:  incsmflem  45447
  Copyright terms: Public domain W3C validator