Theorem pimincfltioc 47156

Description: Given a nondecreasing function, the preimage of an unbounded below, open interval, when the supremum of the preimage belongs to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimincfltioc.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimincfltioc.h	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
pimincfltioc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
pimincfltioc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
pimincfltioc.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
pimincfltioc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
pimincfltioc.y	⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑅}
pimincfltioc.c	⊢ 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
pimincfltioc.e	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
pimincfltioc.d	⊢ 𝐼 = (-∞(,]𝑆)

Assertion

Ref	Expression
pimincfltioc	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐼 ∩ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem pimincfltioc

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimincfltioc.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑅}
2		ssrab2 4014	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑅} ⊆ 𝐴
3	1, 2	eqsstri 3964	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 ⊆ 𝐴
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐴)
5		pimincfltioc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6	4, 5	sstrd 3928	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ)
7		pimincfltioc.c	. . . 4 ⊢ 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
8		pimincfltioc.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
9		pimincfltioc.d	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
10	6, 7, 8, 9	ressiocsup 45996	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐼)
11	10, 4	ssind 4172	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ (𝐼 ∩ 𝐴))
12		pimincfltioc.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
13		elinel2 4134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14	13	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
15		pimincfltioc.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
16	15	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
17	16, 14	ffvelcdmd 7029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
18	3, 8	sselid 3916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
19	15, 18	ffvelcdmd 7029	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ*)
20	19	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ*)
21		pimincfltioc.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
22	21	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
23		eleq1w 2819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)))
24	23	anbi2d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))))
25		fveq2 6830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑥))
26	25	breq1d 5085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑆) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑆)))
27	24, 26	imbi12d 345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑆)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑆))))
28		nfv 1917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)
29	12, 28	nfan 1902	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
30		pimincfltioc.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
31		nfv 1917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)
32	30, 31	nfan 1902	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
33		pimincfltioc.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
35		elinel2 4134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
37	18	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑆 ∈ 𝐴)
38		mnfxr 11196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
40		ressxr 11183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
41	6, 8	sseldd 3919	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
42	40, 41	sselid 3916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
43	42	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
44		elinel1 4133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐼)
45	44, 9	eleqtrdi 2846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑧 ∈ (-∞(,]𝑆))
46	45	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑧 ∈ (-∞(,]𝑆))
47		iocleub 45945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,]𝑆)) → 𝑧 ≤ 𝑆)
48	39, 43, 46, 47	syl3anc 1375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑧 ≤ 𝑆)
49	29, 32, 34, 36, 37, 48	dmrelrnrel 45668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑆))
50	27, 49	chvarvv 1992	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑆))
51		fveq2 6830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑆))
52	51	breq1d 5085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑥) < 𝑅 ↔ (𝐹‘𝑆) < 𝑅))
53	52, 1	elrab2 3635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑌 ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑆) < 𝑅))
54	8, 53	sylib 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑆) < 𝑅))
55	54	simprd 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) < 𝑅)
56	55	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑆) < 𝑅)
57	17, 20, 22, 50, 56	xrlelttrd 13105	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) < 𝑅)
58	14, 57	jca 512	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝑅))
59	1	reqabi 3411	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑌 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝑅))
60	58, 59	sylibr 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝑌)
61	60	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑌))
62	12, 61	ralrimi 3234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)𝑥 ∈ 𝑌)
63	28	nfci 2886	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐼 ∩ 𝐴)
64		nfrab1 3408	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑅}
65	1, 64	nfcxfr 2896	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
66	63, 65	dfss3f 3910	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)𝑥 ∈ 𝑌)
67	62, 66	sylibr 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑌)
68	11, 67	eqssd 3935	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐼 ∩ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1543  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2115  ∀wral 3050  {crab 3388   ∩ cin 3885   ⊆ wss 3886   class class class wbr 5075  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  supcsup 9346  ℝcr 11031  -∞cmnf 11171  ℝ^*cxr 11172   < clt 11173   ≤ cle 11174  (,]cioc 13293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1970  ax-7 2011  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2148  ax-11 2164  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7681  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 850  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2070  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3061  df-rmo 3341  df-reu 3342  df-rab 3389  df-v 3430  df-sbc 3727  df-csb 3835  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-ioc 13297

This theorem is referenced by:  incsmflem  47181