Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimincfltioc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pimincfltioc 46731
Description: Given a nondecreasing function, the preimage of an unbounded below, open interval, when the supremum of the preimage belongs to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimincfltioc.x 𝑥𝜑
pimincfltioc.h 𝑦𝜑
pimincfltioc.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
pimincfltioc.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
pimincfltioc.i (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
pimincfltioc.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
pimincfltioc.y 𝑌 = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
pimincfltioc.c 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
pimincfltioc.e (𝜑𝑆𝑌)
pimincfltioc.d 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
Assertion
Ref Expression
pimincfltioc (𝜑𝑌 = (𝐼𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem pimincfltioc
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pimincfltioc.y . . . . . . 7 𝑌 = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
2 ssrab2 4080 . . . . . . 7 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅} ⊆ 𝐴
31, 2eqsstri 4030 . . . . . 6 𝑌𝐴
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑌𝐴)
5 pimincfltioc.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
64, 5sstrd 3994 . . . 4 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
7 pimincfltioc.c . . . 4 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
8 pimincfltioc.e . . . 4 (𝜑𝑆𝑌)
9 pimincfltioc.d . . . 4 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
106, 7, 8, 9ressiocsup 45567 . . 3 (𝜑𝑌𝐼)
1110, 4ssind 4241 . 2 (𝜑𝑌 ⊆ (𝐼𝐴))
12 pimincfltioc.x . . . 4 𝑥𝜑
13 elinel2 4202 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝐴)
1413adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝐴)
15 pimincfltioc.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
1615adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
1716, 14ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
183, 8sselid 3981 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆𝐴)
1915, 18ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑆) ∈ ℝ*)
2019adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑆) ∈ ℝ*)
21 pimincfltioc.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
2221adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
23 eleq1w 2824 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ (𝐼𝐴) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼𝐴)))
2423anbi2d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴)) ↔ (𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴))))
25 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑥))
2625breq1d 5153 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → ((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑆) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑆)))
2724, 26imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → (((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑆)) ↔ ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑆))))
28 nfv 1914 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑧 ∈ (𝐼𝐴)
2912, 28nfan 1899 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴))
30 pimincfltioc.h . . . . . . . . . . 11 𝑦𝜑
31 nfv 1914 . . . . . . . . . . 11 𝑦 𝑧 ∈ (𝐼𝐴)
3230, 31nfan 1899 . . . . . . . . . 10 𝑦(𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴))
33 pimincfltioc.i . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
3433adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
35 elinel2 4202 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑧𝐴)
3635adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑧𝐴)
3718adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑆𝐴)
38 mnfxr 11318 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
40 ressxr 11305 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℝ*
416, 8sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
4240, 41sselid 3981 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
4342adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
44 elinel1 4201 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑧𝐼)
4544, 9eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑧 ∈ (-∞(,]𝑆))
4645adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑧 ∈ (-∞(,]𝑆))
47 iocleub 45516 . . . . . . . . . . 11 ((-∞ ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*𝑧 ∈ (-∞(,]𝑆)) → 𝑧𝑆)
4839, 43, 46, 47syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑧𝑆)
4929, 32, 34, 36, 37, 48dmrelrnrel 45231 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑆))
5027, 49chvarvv 1998 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑆))
51 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑆 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑆))
5251breq1d 5153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑆 → ((𝐹𝑥) < 𝑅 ↔ (𝐹𝑆) < 𝑅))
5352, 1elrab2 3695 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝑌 ↔ (𝑆𝐴 ∧ (𝐹𝑆) < 𝑅))
548, 53sylib 218 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝐴 ∧ (𝐹𝑆) < 𝑅))
5554simprd 495 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑆) < 𝑅)
5655adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑆) < 𝑅)
5717, 20, 22, 50, 56xrlelttrd 13202 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑥) < 𝑅)
5814, 57jca 511 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) < 𝑅))
591reqabi 3460 . . . . . 6 (𝑥𝑌 ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) < 𝑅))
6058, 59sylibr 234 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝑌)
6160ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝑌))
6212, 61ralrimi 3257 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝐴)𝑥𝑌)
6328nfci 2893 . . . 4 𝑥(𝐼𝐴)
64 nfrab1 3457 . . . . 5 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
651, 64nfcxfr 2903 . . . 4 𝑥𝑌
6663, 65dfss3f 3975 . . 3 ((𝐼𝐴) ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐼𝐴)𝑥𝑌)
6762, 66sylibr 234 . 2 (𝜑 → (𝐼𝐴) ⊆ 𝑌)
6811, 67eqssd 4001 1 (𝜑𝑌 = (𝐼𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wnf 1783  wcel 2108  wral 3061  {crab 3436  cin 3950  wss 3951   class class class wbr 5143  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  cr 11154  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  (,]cioc 13388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-ioc 13392
This theorem is referenced by:  incsmflem  46756
  Copyright terms: Public domain W3C validator