Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimincfltioc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pimincfltioc 44947
Description: Given a nondecreasing function, the preimage of an unbounded below, open interval, when the supremum of the preimage belongs to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimincfltioc.x 𝑥𝜑
pimincfltioc.h 𝑦𝜑
pimincfltioc.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
pimincfltioc.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
pimincfltioc.i (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
pimincfltioc.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
pimincfltioc.y 𝑌 = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
pimincfltioc.c 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
pimincfltioc.e (𝜑𝑆𝑌)
pimincfltioc.d 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
Assertion
Ref Expression
pimincfltioc (𝜑𝑌 = (𝐼𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem pimincfltioc
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pimincfltioc.y . . . . . . 7 𝑌 = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
2 ssrab2 4037 . . . . . . 7 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅} ⊆ 𝐴
31, 2eqsstri 3978 . . . . . 6 𝑌𝐴
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑌𝐴)
5 pimincfltioc.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
64, 5sstrd 3954 . . . 4 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
7 pimincfltioc.c . . . 4 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
8 pimincfltioc.e . . . 4 (𝜑𝑆𝑌)
9 pimincfltioc.d . . . 4 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
106, 7, 8, 9ressiocsup 43782 . . 3 (𝜑𝑌𝐼)
1110, 4ssind 4192 . 2 (𝜑𝑌 ⊆ (𝐼𝐴))
12 pimincfltioc.x . . . 4 𝑥𝜑
13 elinel2 4156 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝐴)
1413adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝐴)
15 pimincfltioc.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
1615adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
1716, 14ffvelcdmd 7036 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
183, 8sselid 3942 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆𝐴)
1915, 18ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑆) ∈ ℝ*)
2019adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑆) ∈ ℝ*)
21 pimincfltioc.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
2221adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
23 eleq1w 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ (𝐼𝐴) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼𝐴)))
2423anbi2d 629 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴)) ↔ (𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴))))
25 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑥))
2625breq1d 5115 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → ((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑆) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑆)))
2724, 26imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → (((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑆)) ↔ ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑆))))
28 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑧 ∈ (𝐼𝐴)
2912, 28nfan 1902 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴))
30 pimincfltioc.h . . . . . . . . . . 11 𝑦𝜑
31 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 𝑦 𝑧 ∈ (𝐼𝐴)
3230, 31nfan 1902 . . . . . . . . . 10 𝑦(𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴))
33 pimincfltioc.i . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
3433adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
35 elinel2 4156 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑧𝐴)
3635adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑧𝐴)
3718adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑆𝐴)
38 mnfxr 11212 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
40 ressxr 11199 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℝ*
416, 8sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
4240, 41sselid 3942 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
4342adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
44 elinel1 4155 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑧𝐼)
4544, 9eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑧 ∈ (-∞(,]𝑆))
4645adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑧 ∈ (-∞(,]𝑆))
47 iocleub 43731 . . . . . . . . . . 11 ((-∞ ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*𝑧 ∈ (-∞(,]𝑆)) → 𝑧𝑆)
4839, 43, 46, 47syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑧𝑆)
4929, 32, 34, 36, 37, 48dmrelrnrel 43437 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑆))
5027, 49chvarvv 2002 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑆))
51 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑆 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑆))
5251breq1d 5115 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑆 → ((𝐹𝑥) < 𝑅 ↔ (𝐹𝑆) < 𝑅))
5352, 1elrab2 3648 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝑌 ↔ (𝑆𝐴 ∧ (𝐹𝑆) < 𝑅))
548, 53sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝐴 ∧ (𝐹𝑆) < 𝑅))
5554simprd 496 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑆) < 𝑅)
5655adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑆) < 𝑅)
5717, 20, 22, 50, 56xrlelttrd 13079 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑥) < 𝑅)
5814, 57jca 512 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) < 𝑅))
591reqabi 3429 . . . . . 6 (𝑥𝑌 ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) < 𝑅))
6058, 59sylibr 233 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝑌)
6160ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝑌))
6212, 61ralrimi 3240 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝐴)𝑥𝑌)
6328nfci 2890 . . . 4 𝑥(𝐼𝐴)
64 nfrab1 3426 . . . . 5 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
651, 64nfcxfr 2905 . . . 4 𝑥𝑌
6663, 65dfss3f 3935 . . 3 ((𝐼𝐴) ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐼𝐴)𝑥𝑌)
6762, 66sylibr 233 . 2 (𝜑 → (𝐼𝐴) ⊆ 𝑌)
6811, 67eqssd 3961 1 (𝜑𝑌 = (𝐼𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  wral 3064  {crab 3407  cin 3909  wss 3910   class class class wbr 5105  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  supcsup 9376  cr 11050  -∞cmnf 11187  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  (,]cioc 13265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-ioc 13269
This theorem is referenced by:  incsmflem  44972
  Copyright terms: Public domain W3C validator