Theorem pimincfltioc 46733

Description: Given a nondecreasing function, the preimage of an unbounded below, open interval, when the supremum of the preimage belongs to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimincfltioc.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimincfltioc.h	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
pimincfltioc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
pimincfltioc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
pimincfltioc.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
pimincfltioc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
pimincfltioc.y	⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑅}
pimincfltioc.c	⊢ 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
pimincfltioc.e	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
pimincfltioc.d	⊢ 𝐼 = (-∞(,]𝑆)

Assertion

Ref	Expression
pimincfltioc	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐼 ∩ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem pimincfltioc

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimincfltioc.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑅}
2		ssrab2 4028	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑅} ⊆ 𝐴
3	1, 2	eqsstri 3979	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 ⊆ 𝐴
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐴)
5		pimincfltioc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6	4, 5	sstrd 3943	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ)
7		pimincfltioc.c	. . . 4 ⊢ 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
8		pimincfltioc.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
9		pimincfltioc.d	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
10	6, 7, 8, 9	ressiocsup 45573	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐼)
11	10, 4	ssind 4189	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ (𝐼 ∩ 𝐴))
12		pimincfltioc.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
13		elinel2 4150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14	13	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
15		pimincfltioc.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
17	16, 14	ffvelcdmd 7013	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
18	3, 8	sselid 3930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
19	15, 18	ffvelcdmd 7013	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ*)
20	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ*)
21		pimincfltioc.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
22	21	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
23		eleq1w 2812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)))
24	23	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))))
25		fveq2 6817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑥))
26	25	breq1d 5099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑆) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑆)))
27	24, 26	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑆)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑆))))
28		nfv 1915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)
29	12, 28	nfan 1900	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
30		pimincfltioc.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
31		nfv 1915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)
32	30, 31	nfan 1900	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
33		pimincfltioc.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
35		elinel2 4150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
36	35	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
37	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑆 ∈ 𝐴)
38		mnfxr 11161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
40		ressxr 11148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
41	6, 8	sseldd 3933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
42	40, 41	sselid 3930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
43	42	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
44		elinel1 4149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐼)
45	44, 9	eleqtrdi 2839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑧 ∈ (-∞(,]𝑆))
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑧 ∈ (-∞(,]𝑆))
47		iocleub 45522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,]𝑆)) → 𝑧 ≤ 𝑆)
48	39, 43, 46, 47	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑧 ≤ 𝑆)
49	29, 32, 34, 36, 37, 48	dmrelrnrel 45242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑆))
50	27, 49	chvarvv 1990	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑆))
51		fveq2 6817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑆))
52	51	breq1d 5099	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑥) < 𝑅 ↔ (𝐹‘𝑆) < 𝑅))
53	52, 1	elrab2 3648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑌 ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑆) < 𝑅))
54	8, 53	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑆) < 𝑅))
55	54	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) < 𝑅)
56	55	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑆) < 𝑅)
57	17, 20, 22, 50, 56	xrlelttrd 13051	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) < 𝑅)
58	14, 57	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝑅))
59	1	reqabi 3416	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑌 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝑅))
60	58, 59	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝑌)
61	60	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑌))
62	12, 61	ralrimi 3228	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)𝑥 ∈ 𝑌)
63	28	nfci 2880	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐼 ∩ 𝐴)
64		nfrab1 3413	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑅}
65	1, 64	nfcxfr 2890	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
66	63, 65	dfss3f 3924	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)𝑥 ∈ 𝑌)
67	62, 66	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑌)
68	11, 67	eqssd 3950	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐼 ∩ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2110  ∀wral 3045  {crab 3393   ∩ cin 3899   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5089  ⟶wf 6473  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  supcsup 9319  ℝcr 10997  -∞cmnf 11136  ℝ^*cxr 11137   < clt 11138   ≤ cle 11139  (,]cioc 13238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-ioc 13242

This theorem is referenced by:  incsmflem  46758