Theorem pimincfltioc 46672

Description: Given a nondecreasing function, the preimage of an unbounded below, open interval, when the supremum of the preimage belongs to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimincfltioc.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimincfltioc.h	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
pimincfltioc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
pimincfltioc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
pimincfltioc.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
pimincfltioc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
pimincfltioc.y	⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑅}
pimincfltioc.c	⊢ 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
pimincfltioc.e	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
pimincfltioc.d	⊢ 𝐼 = (-∞(,]𝑆)

Assertion

Ref	Expression
pimincfltioc	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐼 ∩ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem pimincfltioc

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimincfltioc.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑅}
2		ssrab2 4090	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑅} ⊆ 𝐴
3	1, 2	eqsstri 4030	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 ⊆ 𝐴
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐴)
5		pimincfltioc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6	4, 5	sstrd 4006	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ)
7		pimincfltioc.c	. . . 4 ⊢ 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
8		pimincfltioc.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
9		pimincfltioc.d	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
10	6, 7, 8, 9	ressiocsup 45507	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐼)
11	10, 4	ssind 4249	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ (𝐼 ∩ 𝐴))
12		pimincfltioc.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
13		elinel2 4212	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14	13	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
15		pimincfltioc.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
17	16, 14	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
18	3, 8	sselid 3993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
19	15, 18	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ*)
20	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ*)
21		pimincfltioc.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
22	21	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
23		eleq1w 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)))
24	23	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))))
25		fveq2 6907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑥))
26	25	breq1d 5158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑆) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑆)))
27	24, 26	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑆)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑆))))
28		nfv 1912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)
29	12, 28	nfan 1897	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
30		pimincfltioc.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
31		nfv 1912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)
32	30, 31	nfan 1897	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
33		pimincfltioc.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
35		elinel2 4212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
36	35	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
37	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑆 ∈ 𝐴)
38		mnfxr 11316	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
40		ressxr 11303	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
41	6, 8	sseldd 3996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
42	40, 41	sselid 3993	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
43	42	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
44		elinel1 4211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐼)
45	44, 9	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑧 ∈ (-∞(,]𝑆))
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑧 ∈ (-∞(,]𝑆))
47		iocleub 45456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,]𝑆)) → 𝑧 ≤ 𝑆)
48	39, 43, 46, 47	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑧 ≤ 𝑆)
49	29, 32, 34, 36, 37, 48	dmrelrnrel 45169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑆))
50	27, 49	chvarvv 1996	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑆))
51		fveq2 6907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑆))
52	51	breq1d 5158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑥) < 𝑅 ↔ (𝐹‘𝑆) < 𝑅))
53	52, 1	elrab2 3698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑌 ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑆) < 𝑅))
54	8, 53	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑆) < 𝑅))
55	54	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) < 𝑅)
56	55	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑆) < 𝑅)
57	17, 20, 22, 50, 56	xrlelttrd 13199	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) < 𝑅)
58	14, 57	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝑅))
59	1	reqabi 3457	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑌 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝑅))
60	58, 59	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝑌)
61	60	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑌))
62	12, 61	ralrimi 3255	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)𝑥 ∈ 𝑌)
63	28	nfci 2891	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐼 ∩ 𝐴)
64		nfrab1 3454	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑅}
65	1, 64	nfcxfr 2901	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
66	63, 65	dfss3f 3987	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)𝑥 ∈ 𝑌)
67	62, 66	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑌)
68	11, 67	eqssd 4013	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐼 ∩ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  Ⅎwnf 1780   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  {crab 3433   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  supcsup 9478  ℝcr 11152  -∞cmnf 11291  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294  (,]cioc 13385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-ioc 13389

This theorem is referenced by:  incsmflem  46697