Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimdecfgtioc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pimdecfgtioc 42859
Description: Given a nonincreasing function, the preimage of an unbounded above, open interval, when the supremum of the preimage belongs to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimdecfgtioc.x 𝑥𝜑
pimdecfgtioc.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
pimdecfgtioc.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
pimdecfgtioc.i (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
pimdecfgtioc.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
pimdecfgtioc.y 𝑌 = {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
pimdecfgtioc.c 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
pimdecfgtioc.e (𝜑𝑆𝑌)
pimdecfgtioc.d 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
Assertion
Ref Expression
pimdecfgtioc (𝜑𝑌 = (𝐼𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑦,𝑆
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑥)   𝐼(𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem pimdecfgtioc
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pimdecfgtioc.y . . . . . . 7 𝑌 = {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
2 ssrab2 4060 . . . . . . 7 {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)} ⊆ 𝐴
31, 2eqsstri 4005 . . . . . 6 𝑌𝐴
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑌𝐴)
5 pimdecfgtioc.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
64, 5sstrd 3981 . . . 4 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
7 pimdecfgtioc.c . . . 4 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
8 pimdecfgtioc.e . . . 4 (𝜑𝑆𝑌)
9 pimdecfgtioc.d . . . 4 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
106, 7, 8, 9ressiocsup 41695 . . 3 (𝜑𝑌𝐼)
1110, 4ssind 4213 . 2 (𝜑𝑌 ⊆ (𝐼𝐴))
12 pimdecfgtioc.x . . . 4 𝑥𝜑
13 elinel2 4177 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝐴)
1413adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝐴)
15 pimdecfgtioc.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
1615adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
17 pimdecfgtioc.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
183, 8sseldi 3969 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆𝐴)
1917, 18ffvelrnd 6848 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑆) ∈ ℝ*)
2019adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑆) ∈ ℝ*)
2117adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2221, 14ffvelrnd 6848 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
238, 1syl6eleq 2928 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)})
24 nfrab1 3390 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥{𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
251, 24nfcxfr 2980 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑌
26 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥*
27 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 <
2825, 26, 27nfsup 8904 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥sup(𝑌, ℝ*, < )
297, 28nfcxfr 2980 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑆
30 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴
31 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑅
32 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝐹
3332, 29nffv 6677 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝐹𝑆)
3431, 27, 33nfbr 5110 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 𝑅 < (𝐹𝑆)
35 fveq2 6667 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑆 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑆))
3635breq2d 5075 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑆 → (𝑅 < (𝐹𝑥) ↔ 𝑅 < (𝐹𝑆)))
3729, 30, 34, 36elrabf 3680 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)} ↔ (𝑆𝐴𝑅 < (𝐹𝑆)))
3823, 37sylib 219 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝐴𝑅 < (𝐹𝑆)))
3938simprd 496 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 < (𝐹𝑆))
4039adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑅 < (𝐹𝑆))
4118adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑆𝐴)
42 pimdecfgtioc.i . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
4342r19.21bi 3213 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
4414, 43syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
4541, 44jca 512 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝑆𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))))
46 mnfxr 10687 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
4746a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
48 ressxr 10674 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℝ*
496, 8sseldd 3972 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
5048, 49sseldi 3969 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
5150adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
52 elinel1 4176 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝐼)
5352, 9syl6eleq 2928 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,]𝑆))
5453adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 ∈ (-∞(,]𝑆))
55 iocleub 41643 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,]𝑆)) → 𝑥𝑆)
5647, 51, 54, 55syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝑆)
57 breq2 5067 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑆 → (𝑥𝑦𝑥𝑆))
58 fveq2 6667 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑆 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑆))
5958breq1d 5073 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑥)))
6057, 59imbi12d 346 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑆 → ((𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)) ↔ (𝑥𝑆 → (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑥))))
6160rspcva 3625 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))) → (𝑥𝑆 → (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑥)))
6245, 56, 61sylc 65 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑥))
6316, 20, 22, 40, 62xrltletrd 12544 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑅 < (𝐹𝑥))
6414, 63jca 512 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)))
651rabeq2i 3493 . . . . . 6 (𝑥𝑌 ↔ (𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)))
6664, 65sylibr 235 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝑌)
6766ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝑌))
6812, 67ralrimi 3221 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝐴)𝑥𝑌)
69 nfv 1908 . . . . 5 𝑥 𝑧 ∈ (𝐼𝐴)
7069nfci 2969 . . . 4 𝑥(𝐼𝐴)
7170, 25dfss3f 3963 . . 3 ((𝐼𝐴) ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐼𝐴)𝑥𝑌)
7268, 71sylibr 235 . 2 (𝜑 → (𝐼𝐴) ⊆ 𝑌)
7311, 72eqssd 3988 1 (𝜑𝑌 = (𝐼𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wnf 1777  wcel 2107  wral 3143  {crab 3147  cin 3939  wss 3940   class class class wbr 5063  wf 6348  cfv 6352  (class class class)co 7148  supcsup 8893  cr 10525  -∞cmnf 10662  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665  (,]cioc 12729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-sup 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-ioc 12733
This theorem is referenced by:  decsmflem  42908
  Copyright terms: Public domain W3C validator