Theorem pimdecfgtioc 46744

Description: Given a nonincreasing function, the preimage of an unbounded above, open interval, when the supremum of the preimage belongs to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimdecfgtioc.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimdecfgtioc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
pimdecfgtioc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
pimdecfgtioc.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
pimdecfgtioc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
pimdecfgtioc.y	⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)}
pimdecfgtioc.c	⊢ 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
pimdecfgtioc.e	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
pimdecfgtioc.d	⊢ 𝐼 = (-∞(,]𝑆)

Assertion

Ref	Expression
pimdecfgtioc	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐼 ∩ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑦,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑥)   𝐼(𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem pimdecfgtioc

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimdecfgtioc.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)}
2		ssrab2 4055	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)} ⊆ 𝐴
3	1, 2	eqsstri 4005	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 ⊆ 𝐴
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐴)
5		pimdecfgtioc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6	4, 5	sstrd 3969	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ)
7		pimdecfgtioc.c	. . . 4 ⊢ 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
8		pimdecfgtioc.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
9		pimdecfgtioc.d	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
10	6, 7, 8, 9	ressiocsup 45583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐼)
11	10, 4	ssind 4216	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ (𝐼 ∩ 𝐴))
12		pimdecfgtioc.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
13		elinel2 4177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14	13	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
15		pimdecfgtioc.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
17		pimdecfgtioc.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
18	3, 8	sselid 3956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
19	17, 18	ffvelcdmd 7075	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ*)
20	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ*)
21	17	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
22	21, 14	ffvelcdmd 7075	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
23	8, 1	eleqtrdi 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)})
24		nfrab1 3436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)}
25	1, 24	nfcxfr 2896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
26		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ*
27		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥 <
28	25, 26, 27	nfsup 9463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥sup(𝑌, ℝ*, < )
29	7, 28	nfcxfr 2896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑆
30		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
31		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥𝑅
32		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
33	32, 29	nffv 6886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑆)
34	31, 27, 33	nfbr 5166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑅 < (𝐹‘𝑆)
35		fveq2 6876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑆))
36	35	breq2d 5131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝑅 < (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑅 < (𝐹‘𝑆)))
37	29, 30, 34, 36	elrabf 3667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)} ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (𝐹‘𝑆)))
38	23, 37	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (𝐹‘𝑆)))
39	38	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 < (𝐹‘𝑆))
40	39	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑅 < (𝐹‘𝑆))
41	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑆 ∈ 𝐴)
42		pimdecfgtioc.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
43	42	r19.21bi 3234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
44	14, 43	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
45	41, 44	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))))
46		mnfxr 11292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
48		ressxr 11279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
49	6, 8	sseldd 3959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
50	48, 49	sselid 3956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
52		elinel1 4176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐼)
53	52, 9	eleqtrdi 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,]𝑆))
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ (-∞(,]𝑆))
55		iocleub 45532	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,]𝑆)) → 𝑥 ≤ 𝑆)
56	47, 51, 54, 55	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ≤ 𝑆)
57		breq2 5123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥 ≤ 𝑆))
58		fveq2 6876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑆))
59	58	breq1d 5129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑥)))
60	57, 59	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → ((𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑥 ≤ 𝑆 → (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑥))))
61	60	rspcva 3599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))) → (𝑥 ≤ 𝑆 → (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑥)))
62	45, 56, 61	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑥))
63	16, 20, 22, 40, 62	xrltletrd 13177	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑅 < (𝐹‘𝑥))
64	14, 63	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)))
65	1	reqabi 3439	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑌 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)))
66	64, 65	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝑌)
67	66	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑌))
68	12, 67	ralrimi 3240	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)𝑥 ∈ 𝑌)
69		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)
70	69	nfci 2886	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐼 ∩ 𝐴)
71	70, 25	dfss3f 3950	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)𝑥 ∈ 𝑌)
72	68, 71	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑌)
73	11, 72	eqssd 3976	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐼 ∩ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  {crab 3415   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  supcsup 9452  ℝcr 11128  -∞cmnf 11267  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270  (,]cioc 13363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-ioc 13367

This theorem is referenced by:  decsmflem  46795