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Theorem pimdecfgtioc 45431
Description: Given a nonincreasing function, the preimage of an unbounded above, open interval, when the supremum of the preimage belongs to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimdecfgtioc.x β„²π‘₯πœ‘
pimdecfgtioc.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
pimdecfgtioc.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
pimdecfgtioc.i (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
pimdecfgtioc.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
pimdecfgtioc.y π‘Œ = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘₯)}
pimdecfgtioc.c 𝑆 = sup(π‘Œ, ℝ*, < )
pimdecfgtioc.e (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Œ)
pimdecfgtioc.d 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
Assertion
Ref Expression
pimdecfgtioc (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝐼 ∩ 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑅   𝑦,𝑆
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(π‘₯)   𝐼(𝑦)   π‘Œ(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem pimdecfgtioc
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pimdecfgtioc.y . . . . . . 7 π‘Œ = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘₯)}
2 ssrab2 4078 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘₯)} βŠ† 𝐴
31, 2eqsstri 4017 . . . . . 6 π‘Œ βŠ† 𝐴
43a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
5 pimdecfgtioc.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
64, 5sstrd 3993 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† ℝ)
7 pimdecfgtioc.c . . . 4 𝑆 = sup(π‘Œ, ℝ*, < )
8 pimdecfgtioc.e . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Œ)
9 pimdecfgtioc.d . . . 4 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
106, 7, 8, 9ressiocsup 44267 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝐼)
1110, 4ssind 4233 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† (𝐼 ∩ 𝐴))
12 pimdecfgtioc.x . . . 4 β„²π‘₯πœ‘
13 elinel2 4197 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
1413adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
15 pimdecfgtioc.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
1615adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
17 pimdecfgtioc.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
183, 8sselid 3981 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
1917, 18ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘†) ∈ ℝ*)
2019adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘†) ∈ ℝ*)
2117adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
2221, 14ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
238, 1eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘₯)})
24 nfrab1 3452 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘₯)}
251, 24nfcxfr 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯π‘Œ
26 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯ℝ*
27 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯ <
2825, 26, 27nfsup 9446 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯sup(π‘Œ, ℝ*, < )
297, 28nfcxfr 2902 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯𝑆
30 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯𝐴
31 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯𝑅
32 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯𝐹
3332, 29nffv 6902 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘†)
3431, 27, 33nfbr 5196 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘†)
35 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑆 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘†))
3635breq2d 5161 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑆 β†’ (𝑅 < (πΉβ€˜π‘₯) ↔ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘†)))
3729, 30, 34, 36elrabf 3680 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘₯)} ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘†)))
3823, 37sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘†)))
3938simprd 497 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘†))
4039adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘†))
4118adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
42 pimdecfgtioc.i . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
4342r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
4414, 43syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
4541, 44jca 513 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))))
46 mnfxr 11271 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
4746a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
48 ressxr 11258 . . . . . . . . . . . 12 ℝ βŠ† ℝ*
496, 8sseldd 3984 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
5048, 49sselid 3981 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
5150adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
52 elinel1 4196 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
5352, 9eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ (-∞(,]𝑆))
5453adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ (-∞(,]𝑆))
55 iocleub 44216 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,]𝑆)) β†’ π‘₯ ≀ 𝑆)
5647, 51, 54, 55syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ≀ 𝑆)
57 breq2 5153 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑆 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ π‘₯ ≀ 𝑆))
58 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑆 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘†))
5958breq1d 5159 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑆 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘†) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
6057, 59imbi12d 345 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑆 β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘₯ ≀ 𝑆 β†’ (πΉβ€˜π‘†) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))))
6160rspcva 3611 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑆 β†’ (πΉβ€˜π‘†) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
6245, 56, 61sylc 65 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘†) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
6316, 20, 22, 40, 62xrltletrd 13140 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘₯))
6414, 63jca 513 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘₯)))
651reqabi 3455 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ π‘Œ ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘₯)))
6664, 65sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ)
6766ex 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ))
6812, 67ralrimi 3255 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)π‘₯ ∈ π‘Œ)
69 nfv 1918 . . . . 5 β„²π‘₯ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)
7069nfci 2887 . . . 4 β„²π‘₯(𝐼 ∩ 𝐴)
7170, 25dfss3f 3974 . . 3 ((𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† π‘Œ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)π‘₯ ∈ π‘Œ)
7268, 71sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† π‘Œ)
7311, 72eqssd 4000 1 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝐼 ∩ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  supcsup 9435  β„cr 11109  -∞cmnf 11246  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  (,]cioc 13325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-ioc 13329
This theorem is referenced by:  decsmflem  45482
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