Theorem pimdecfgtioc 47062

Description: Given a nonincreasing function, the preimage of an unbounded above, open interval, when the supremum of the preimage belongs to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimdecfgtioc.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimdecfgtioc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
pimdecfgtioc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
pimdecfgtioc.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
pimdecfgtioc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
pimdecfgtioc.y	⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)}
pimdecfgtioc.c	⊢ 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
pimdecfgtioc.e	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
pimdecfgtioc.d	⊢ 𝐼 = (-∞(,]𝑆)

Assertion

Ref	Expression
pimdecfgtioc	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐼 ∩ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑦,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑥)   𝐼(𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem pimdecfgtioc

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimdecfgtioc.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)}
2		ssrab2 4034	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)} ⊆ 𝐴
3	1, 2	eqsstri 3982	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 ⊆ 𝐴
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐴)
5		pimdecfgtioc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6	4, 5	sstrd 3946	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ)
7		pimdecfgtioc.c	. . . 4 ⊢ 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
8		pimdecfgtioc.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
9		pimdecfgtioc.d	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
10	6, 7, 8, 9	ressiocsup 45903	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐼)
11	10, 4	ssind 4195	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ (𝐼 ∩ 𝐴))
12		pimdecfgtioc.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
13		elinel2 4156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14	13	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
15		pimdecfgtioc.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
17		pimdecfgtioc.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
18	3, 8	sselid 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
19	17, 18	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ*)
20	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ*)
21	17	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
22	21, 14	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
23	8, 1	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)})
24		nfrab1 3421	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)}
25	1, 24	nfcxfr 2897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
26		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ*
27		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥 <
28	25, 26, 27	nfsup 9366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥sup(𝑌, ℝ*, < )
29	7, 28	nfcxfr 2897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑆
30		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
31		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥𝑅
32		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
33	32, 29	nffv 6852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑆)
34	31, 27, 33	nfbr 5147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑅 < (𝐹‘𝑆)
35		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑆))
36	35	breq2d 5112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝑅 < (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑅 < (𝐹‘𝑆)))
37	29, 30, 34, 36	elrabf 3645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)} ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (𝐹‘𝑆)))
38	23, 37	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (𝐹‘𝑆)))
39	38	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 < (𝐹‘𝑆))
40	39	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑅 < (𝐹‘𝑆))
41	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑆 ∈ 𝐴)
42		pimdecfgtioc.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
43	42	r19.21bi 3230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
44	14, 43	syldan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
45	41, 44	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))))
46		mnfxr 11201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
48		ressxr 11188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
49	6, 8	sseldd 3936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
50	48, 49	sselid 3933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
52		elinel1 4155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐼)
53	52, 9	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,]𝑆))
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ (-∞(,]𝑆))
55		iocleub 45852	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,]𝑆)) → 𝑥 ≤ 𝑆)
56	47, 51, 54, 55	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ≤ 𝑆)
57		breq2 5104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥 ≤ 𝑆))
58		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑆))
59	58	breq1d 5110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑥)))
60	57, 59	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → ((𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑥 ≤ 𝑆 → (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑥))))
61	60	rspcva 3576	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))) → (𝑥 ≤ 𝑆 → (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑥)))
62	45, 56, 61	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑥))
63	16, 20, 22, 40, 62	xrltletrd 13087	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑅 < (𝐹‘𝑥))
64	14, 63	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)))
65	1	reqabi 3424	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑌 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)))
66	64, 65	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝑌)
67	66	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑌))
68	12, 67	ralrimi 3236	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)𝑥 ∈ 𝑌)
69		nfv 1916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)
70	69	nfci 2887	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐼 ∩ 𝐴)
71	70, 25	dfss3f 3927	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)𝑥 ∈ 𝑌)
72	68, 71	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑌)
73	11, 72	eqssd 3953	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐼 ∩ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3401   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  supcsup 9355  ℝcr 11037  -∞cmnf 11176  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179  (,]cioc 13274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-ioc 13278

This theorem is referenced by:  decsmflem  47113