Theorem pimdecfgtioc 44303

Description: Given a nonincreasing function, the preimage of an unbounded above, open interval, when the supremum of the preimage belongs to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimdecfgtioc.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimdecfgtioc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
pimdecfgtioc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
pimdecfgtioc.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
pimdecfgtioc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
pimdecfgtioc.y	⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)}
pimdecfgtioc.c	⊢ 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
pimdecfgtioc.e	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
pimdecfgtioc.d	⊢ 𝐼 = (-∞(,]𝑆)

Assertion

Ref	Expression
pimdecfgtioc	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐼 ∩ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑦,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑥)   𝐼(𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem pimdecfgtioc

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimdecfgtioc.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)}
2		ssrab2 4019	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)} ⊆ 𝐴
3	1, 2	eqsstri 3960	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 ⊆ 𝐴
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐴)
5		pimdecfgtioc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6	4, 5	sstrd 3936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ)
7		pimdecfgtioc.c	. . . 4 ⊢ 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
8		pimdecfgtioc.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
9		pimdecfgtioc.d	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
10	6, 7, 8, 9	ressiocsup 43141	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐼)
11	10, 4	ssind 4172	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ (𝐼 ∩ 𝐴))
12		pimdecfgtioc.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
13		elinel2 4136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14	13	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
15		pimdecfgtioc.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
16	15	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
17		pimdecfgtioc.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
18	3, 8	sselid 3924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
19	17, 18	ffvelcdmd 6994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ*)
20	19	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ*)
21	17	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
22	21, 14	ffvelcdmd 6994	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
23	8, 1	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)})
24		nfrab1 3329	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)}
25	1, 24	nfcxfr 2903	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
26		nfcv 2905	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ*
27		nfcv 2905	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥 <
28	25, 26, 27	nfsup 9254	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥sup(𝑌, ℝ*, < )
29	7, 28	nfcxfr 2903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑆
30		nfcv 2905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
31		nfcv 2905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥𝑅
32		nfcv 2905	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
33	32, 29	nffv 6814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑆)
34	31, 27, 33	nfbr 5128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑅 < (𝐹‘𝑆)
35		fveq2 6804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑆))
36	35	breq2d 5093	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝑅 < (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑅 < (𝐹‘𝑆)))
37	29, 30, 34, 36	elrabf 3625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)} ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (𝐹‘𝑆)))
38	23, 37	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (𝐹‘𝑆)))
39	38	simprd 497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 < (𝐹‘𝑆))
40	39	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑅 < (𝐹‘𝑆))
41	18	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑆 ∈ 𝐴)
42		pimdecfgtioc.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
43	42	r19.21bi 3231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
44	14, 43	syldan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
45	41, 44	jca 513	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))))
46		mnfxr 11078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
48		ressxr 11065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
49	6, 8	sseldd 3927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
50	48, 49	sselid 3924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
51	50	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
52		elinel1 4135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐼)
53	52, 9	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,]𝑆))
54	53	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ (-∞(,]𝑆))
55		iocleub 43090	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,]𝑆)) → 𝑥 ≤ 𝑆)
56	47, 51, 54, 55	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ≤ 𝑆)
57		breq2 5085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥 ≤ 𝑆))
58		fveq2 6804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑆))
59	58	breq1d 5091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑥)))
60	57, 59	imbi12d 345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → ((𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑥 ≤ 𝑆 → (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑥))))
61	60	rspcva 3564	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))) → (𝑥 ≤ 𝑆 → (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑥)))
62	45, 56, 61	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑥))
63	16, 20, 22, 40, 62	xrltletrd 12941	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑅 < (𝐹‘𝑥))
64	14, 63	jca 513	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)))
65	1	rabeq2i 3429	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑌 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)))
66	64, 65	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝑌)
67	66	ex 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑌))
68	12, 67	ralrimi 3237	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)𝑥 ∈ 𝑌)
69		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)
70	69	nfci 2888	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐼 ∩ 𝐴)
71	70, 25	dfss3f 3917	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)𝑥 ∈ 𝑌)
72	68, 71	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑌)
73	11, 72	eqssd 3943	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐼 ∩ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2104  ∀wral 3062  {crab 3284   ∩ cin 3891   ⊆ wss 3892   class class class wbr 5081  ⟶wf 6454  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  supcsup 9243  ℝcr 10916  -∞cmnf 11053  ℝ^*cxr 11054   < clt 11055   ≤ cle 11056  (,]cioc 13126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-po 5514  df-so 5515  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-sup 9245  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-ioc 13130

This theorem is referenced by:  decsmflem  44354