Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimdecfgtioc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pimdecfgtioc 43716
 Description: Given a nonincreasing function, the preimage of an unbounded above, open interval, when the supremum of the preimage belongs to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimdecfgtioc.x 𝑥𝜑
pimdecfgtioc.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
pimdecfgtioc.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
pimdecfgtioc.i (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
pimdecfgtioc.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
pimdecfgtioc.y 𝑌 = {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
pimdecfgtioc.c 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
pimdecfgtioc.e (𝜑𝑆𝑌)
pimdecfgtioc.d 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
Assertion
Ref Expression
pimdecfgtioc (𝜑𝑌 = (𝐼𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑦,𝑆
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑥)   𝐼(𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem pimdecfgtioc
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pimdecfgtioc.y . . . . . . 7 𝑌 = {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
2 ssrab2 3984 . . . . . . 7 {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)} ⊆ 𝐴
31, 2eqsstri 3926 . . . . . 6 𝑌𝐴
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑌𝐴)
5 pimdecfgtioc.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
64, 5sstrd 3902 . . . 4 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
7 pimdecfgtioc.c . . . 4 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
8 pimdecfgtioc.e . . . 4 (𝜑𝑆𝑌)
9 pimdecfgtioc.d . . . 4 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
106, 7, 8, 9ressiocsup 42557 . . 3 (𝜑𝑌𝐼)
1110, 4ssind 4137 . 2 (𝜑𝑌 ⊆ (𝐼𝐴))
12 pimdecfgtioc.x . . . 4 𝑥𝜑
13 elinel2 4101 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝐴)
1413adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝐴)
15 pimdecfgtioc.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
1615adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
17 pimdecfgtioc.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
183, 8sseldi 3890 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆𝐴)
1917, 18ffvelrnd 6843 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑆) ∈ ℝ*)
2019adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑆) ∈ ℝ*)
2117adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2221, 14ffvelrnd 6843 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
238, 1eleqtrdi 2862 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)})
24 nfrab1 3302 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥{𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
251, 24nfcxfr 2917 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑌
26 nfcv 2919 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥*
27 nfcv 2919 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 <
2825, 26, 27nfsup 8948 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥sup(𝑌, ℝ*, < )
297, 28nfcxfr 2917 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑆
30 nfcv 2919 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴
31 nfcv 2919 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑅
32 nfcv 2919 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝐹
3332, 29nffv 6668 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝐹𝑆)
3431, 27, 33nfbr 5079 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 𝑅 < (𝐹𝑆)
35 fveq2 6658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑆 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑆))
3635breq2d 5044 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑆 → (𝑅 < (𝐹𝑥) ↔ 𝑅 < (𝐹𝑆)))
3729, 30, 34, 36elrabf 3598 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)} ↔ (𝑆𝐴𝑅 < (𝐹𝑆)))
3823, 37sylib 221 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝐴𝑅 < (𝐹𝑆)))
3938simprd 499 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 < (𝐹𝑆))
4039adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑅 < (𝐹𝑆))
4118adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑆𝐴)
42 pimdecfgtioc.i . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
4342r19.21bi 3137 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
4414, 43syldan 594 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
4541, 44jca 515 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝑆𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))))
46 mnfxr 10736 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
4746a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
48 ressxr 10723 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℝ*
496, 8sseldd 3893 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
5048, 49sseldi 3890 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
5150adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
52 elinel1 4100 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝐼)
5352, 9eleqtrdi 2862 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,]𝑆))
5453adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 ∈ (-∞(,]𝑆))
55 iocleub 42506 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,]𝑆)) → 𝑥𝑆)
5647, 51, 54, 55syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝑆)
57 breq2 5036 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑆 → (𝑥𝑦𝑥𝑆))
58 fveq2 6658 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑆 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑆))
5958breq1d 5042 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑥)))
6057, 59imbi12d 348 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑆 → ((𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)) ↔ (𝑥𝑆 → (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑥))))
6160rspcva 3539 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))) → (𝑥𝑆 → (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑥)))
6245, 56, 61sylc 65 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑥))
6316, 20, 22, 40, 62xrltletrd 12595 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑅 < (𝐹𝑥))
6414, 63jca 515 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)))
651rabeq2i 3400 . . . . . 6 (𝑥𝑌 ↔ (𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)))
6664, 65sylibr 237 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝑌)
6766ex 416 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝑌))
6812, 67ralrimi 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝐴)𝑥𝑌)
69 nfv 1915 . . . . 5 𝑥 𝑧 ∈ (𝐼𝐴)
7069nfci 2902 . . . 4 𝑥(𝐼𝐴)
7170, 25dfss3f 3883 . . 3 ((𝐼𝐴) ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐼𝐴)𝑥𝑌)
7268, 71sylibr 237 . 2 (𝜑 → (𝐼𝐴) ⊆ 𝑌)
7311, 72eqssd 3909 1 (𝜑𝑌 = (𝐼𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  {crab 3074   ∩ cin 3857   ⊆ wss 3858   class class class wbr 5032  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  supcsup 8937  ℝcr 10574  -∞cmnf 10711  ℝ*cxr 10712   < clt 10713   ≤ cle 10714  (,]cioc 12780 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-po 5443  df-so 5444  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-sup 8939  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-ioc 12784 This theorem is referenced by:  decsmflem  43765
 Copyright terms: Public domain W3C validator