Theorem pimdecfgtioc 47237

Description: Given a nonincreasing function, the preimage of an unbounded above, open interval, when the supremum of the preimage belongs to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimdecfgtioc.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimdecfgtioc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
pimdecfgtioc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
pimdecfgtioc.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
pimdecfgtioc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
pimdecfgtioc.y	⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)}
pimdecfgtioc.c	⊢ 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
pimdecfgtioc.e	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
pimdecfgtioc.d	⊢ 𝐼 = (-∞(,]𝑆)

Assertion

Ref	Expression
pimdecfgtioc	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐼 ∩ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑦,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑥)   𝐼(𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem pimdecfgtioc

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimdecfgtioc.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)}
2		ssrab2 4028	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)} ⊆ 𝐴
3	1, 2	eqsstri 3977	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 ⊆ 𝐴
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐴)
5		pimdecfgtioc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6	4, 5	sstrd 3941	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ)
7		pimdecfgtioc.c	. . . 4 ⊢ 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
8		pimdecfgtioc.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
9		pimdecfgtioc.d	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
10	6, 7, 8, 9	ressiocsup 46078	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐼)
11	10, 4	ssind 4187	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ (𝐼 ∩ 𝐴))
12		pimdecfgtioc.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
13		elinel2 4149	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14	13	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
15		pimdecfgtioc.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
16	15	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
17		pimdecfgtioc.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
18	3, 8	sselid 3929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
19	17, 18	ffvelcdmd 7055	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ*)
20	19	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ*)
21	17	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
22	21, 14	ffvelcdmd 7055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
23	8, 1	eleqtrdi 2866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)})
24		nfrab1 3428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)}
25	1, 24	nfcxfr 2916	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
26		nfcv 2918	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ*
27		nfcv 2918	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥 <
28	25, 26, 27	nfsup 9387	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥sup(𝑌, ℝ*, < )
29	7, 28	nfcxfr 2916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑆
30		nfcv 2918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
31		nfcv 2918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥𝑅
32		nfcv 2918	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
33	32, 29	nffv 6866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑆)
34	31, 27, 33	nfbr 5141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑅 < (𝐹‘𝑆)
35		fveq2 6856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑆))
36	35	breq2d 5106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝑅 < (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑅 < (𝐹‘𝑆)))
37	29, 30, 34, 36	elrabf 3642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)} ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (𝐹‘𝑆)))
38	23, 37	sylib 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (𝐹‘𝑆)))
39	38	simprd 498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 < (𝐹‘𝑆))
40	39	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑅 < (𝐹‘𝑆))
41	18	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑆 ∈ 𝐴)
42		pimdecfgtioc.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
43	42	r19.21bi 3248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
44	14, 43	syldan 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
45	41, 44	jca 518	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))))
46		mnfxr 11229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
48		ressxr 11216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
49	6, 8	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
50	48, 49	sselid 3929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
51	50	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
52		elinel1 4148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐼)
53	52, 9	eleqtrdi 2866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,]𝑆))
54	53	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ (-∞(,]𝑆))
55		iocleub 46027	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,]𝑆)) → 𝑥 ≤ 𝑆)
56	47, 51, 54, 55	syl3anc 1386	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ≤ 𝑆)
57		breq2 5098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥 ≤ 𝑆))
58		fveq2 6856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑆))
59	58	breq1d 5104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑥)))
60	57, 59	imbi12d 346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → ((𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑥 ≤ 𝑆 → (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑥))))
61	60	rspcva 3574	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))) → (𝑥 ≤ 𝑆 → (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑥)))
62	45, 56, 61	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑥))
63	16, 20, 22, 40, 62	xrltletrd 13153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑅 < (𝐹‘𝑥))
64	14, 63	jca 518	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)))
65	1	reqabi 3431	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑌 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)))
66	64, 65	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝑌)
67	66	ex 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑌))
68	12, 67	ralrimi 3254	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)𝑥 ∈ 𝑌)
69		nfv 1928	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)
70	69	nfci 2906	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐼 ∩ 𝐴)
71	70, 25	dfss3f 3923	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)𝑥 ∈ 𝑌)
72	68, 71	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑌)
73	11, 72	eqssd 3948	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐼 ∩ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1554  Ⅎwnf 1797   ∈ wcel 2136  ∀wral 3070  {crab 3408   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5094  ⟶wf 6506  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  supcsup 9376  ℝcr 11062  -∞cmnf 11204  ℝ^*cxr 11205   < clt 11206   ≤ cle 11207  (,]cioc 13340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-id 5535  df-po 5548  df-so 5549  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-sup 9378  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-ioc 13344

This theorem is referenced by:  decsmflem  47288