Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimdecfgtioc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pimdecfgtioc 41497
Description: Given a nonincreasing function, the preimage of an unbounded above, open interval, when the supremum of the preimage belongs to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimdecfgtioc.x 𝑥𝜑
pimdecfgtioc.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
pimdecfgtioc.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
pimdecfgtioc.i (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
pimdecfgtioc.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
pimdecfgtioc.y 𝑌 = {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
pimdecfgtioc.c 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
pimdecfgtioc.e (𝜑𝑆𝑌)
pimdecfgtioc.d 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
Assertion
Ref Expression
pimdecfgtioc (𝜑𝑌 = (𝐼𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑦,𝑆
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑥)   𝐼(𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem pimdecfgtioc
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pimdecfgtioc.y . . . . . . 7 𝑌 = {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
2 ssrab2 3847 . . . . . . 7 {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)} ⊆ 𝐴
31, 2eqsstri 3795 . . . . . 6 𝑌𝐴
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑌𝐴)
5 pimdecfgtioc.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
64, 5sstrd 3771 . . . 4 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
7 pimdecfgtioc.c . . . 4 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
8 pimdecfgtioc.e . . . 4 (𝜑𝑆𝑌)
9 pimdecfgtioc.d . . . 4 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
106, 7, 8, 9ressiocsup 40351 . . 3 (𝜑𝑌𝐼)
1110, 4ssind 3996 . 2 (𝜑𝑌 ⊆ (𝐼𝐴))
12 pimdecfgtioc.x . . . 4 𝑥𝜑
13 elinel2 3962 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝐴)
1413adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝐴)
15 pimdecfgtioc.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
1615adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
17 pimdecfgtioc.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
183, 8sseldi 3759 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆𝐴)
1917, 18ffvelrnd 6550 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑆) ∈ ℝ*)
2019adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑆) ∈ ℝ*)
2117adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2221, 14ffvelrnd 6550 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
238, 1syl6eleq 2854 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)})
24 nfrab1 3270 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥{𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
251, 24nfcxfr 2905 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑌
26 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥*
27 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 <
2825, 26, 27nfsup 8564 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥sup(𝑌, ℝ*, < )
297, 28nfcxfr 2905 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑆
30 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴
31 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑅
32 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝐹
3332, 29nffv 6385 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝐹𝑆)
3431, 27, 33nfbr 4856 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 𝑅 < (𝐹𝑆)
35 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑆 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑆))
3635breq2d 4821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑆 → (𝑅 < (𝐹𝑥) ↔ 𝑅 < (𝐹𝑆)))
3729, 30, 34, 36elrabf 3515 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)} ↔ (𝑆𝐴𝑅 < (𝐹𝑆)))
3823, 37sylib 209 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝐴𝑅 < (𝐹𝑆)))
3938simprd 489 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 < (𝐹𝑆))
4039adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑅 < (𝐹𝑆))
4118adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑆𝐴)
42 pimdecfgtioc.i . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
4342r19.21bi 3079 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
4414, 43syldan 585 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
4541, 44jca 507 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝑆𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))))
46 mnfxr 10350 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
4746a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
48 ressxr 10337 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℝ*
496, 8sseldd 3762 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
5048, 49sseldi 3759 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
5150adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
52 elinel1 3961 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝐼)
5352, 9syl6eleq 2854 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,]𝑆))
5453adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 ∈ (-∞(,]𝑆))
55 iocleub 40299 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,]𝑆)) → 𝑥𝑆)
5647, 51, 54, 55syl3anc 1490 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝑆)
57 breq2 4813 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑆 → (𝑥𝑦𝑥𝑆))
58 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑆 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑆))
5958breq1d 4819 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑥)))
6057, 59imbi12d 335 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑆 → ((𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)) ↔ (𝑥𝑆 → (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑥))))
6160rspcva 3459 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))) → (𝑥𝑆 → (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑥)))
6245, 56, 61sylc 65 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑥))
6316, 20, 22, 40, 62xrltletrd 12194 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑅 < (𝐹𝑥))
6414, 63jca 507 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)))
651rabeq2i 3346 . . . . . 6 (𝑥𝑌 ↔ (𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)))
6664, 65sylibr 225 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝑌)
6766ex 401 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝑌))
6812, 67ralrimi 3104 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝐴)𝑥𝑌)
69 nfv 2009 . . . . 5 𝑥 𝑧 ∈ (𝐼𝐴)
7069nfci 2897 . . . 4 𝑥(𝐼𝐴)
7170, 25dfss3f 3753 . . 3 ((𝐼𝐴) ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐼𝐴)𝑥𝑌)
7268, 71sylibr 225 . 2 (𝜑 → (𝐼𝐴) ⊆ 𝑌)
7311, 72eqssd 3778 1 (𝜑𝑌 = (𝐼𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wnf 1878  wcel 2155  wral 3055  {crab 3059  cin 3731  wss 3732   class class class wbr 4809  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  supcsup 8553  cr 10188  -∞cmnf 10326  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  (,]cioc 12378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-po 5198  df-so 5199  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-ioc 12382
This theorem is referenced by:  decsmflem  41546
  Copyright terms: Public domain W3C validator