Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimdecfgtioc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pimdecfgtioc 45729
Description: Given a nonincreasing function, the preimage of an unbounded above, open interval, when the supremum of the preimage belongs to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimdecfgtioc.x β„²π‘₯πœ‘
pimdecfgtioc.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
pimdecfgtioc.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
pimdecfgtioc.i (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
pimdecfgtioc.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
pimdecfgtioc.y π‘Œ = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘₯)}
pimdecfgtioc.c 𝑆 = sup(π‘Œ, ℝ*, < )
pimdecfgtioc.e (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Œ)
pimdecfgtioc.d 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
Assertion
Ref Expression
pimdecfgtioc (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝐼 ∩ 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑅   𝑦,𝑆
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(π‘₯)   𝐼(𝑦)   π‘Œ(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem pimdecfgtioc
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pimdecfgtioc.y . . . . . . 7 π‘Œ = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘₯)}
2 ssrab2 4076 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘₯)} βŠ† 𝐴
31, 2eqsstri 4015 . . . . . 6 π‘Œ βŠ† 𝐴
43a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
5 pimdecfgtioc.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
64, 5sstrd 3991 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† ℝ)
7 pimdecfgtioc.c . . . 4 𝑆 = sup(π‘Œ, ℝ*, < )
8 pimdecfgtioc.e . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Œ)
9 pimdecfgtioc.d . . . 4 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
106, 7, 8, 9ressiocsup 44565 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝐼)
1110, 4ssind 4231 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† (𝐼 ∩ 𝐴))
12 pimdecfgtioc.x . . . 4 β„²π‘₯πœ‘
13 elinel2 4195 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
1413adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
15 pimdecfgtioc.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
1615adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
17 pimdecfgtioc.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
183, 8sselid 3979 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
1917, 18ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘†) ∈ ℝ*)
2019adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘†) ∈ ℝ*)
2117adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
2221, 14ffvelcdmd 7086 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
238, 1eleqtrdi 2841 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘₯)})
24 nfrab1 3449 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘₯)}
251, 24nfcxfr 2899 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯π‘Œ
26 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯ℝ*
27 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯ <
2825, 26, 27nfsup 9448 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯sup(π‘Œ, ℝ*, < )
297, 28nfcxfr 2899 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯𝑆
30 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯𝐴
31 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯𝑅
32 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯𝐹
3332, 29nffv 6900 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘†)
3431, 27, 33nfbr 5194 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘†)
35 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑆 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘†))
3635breq2d 5159 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑆 β†’ (𝑅 < (πΉβ€˜π‘₯) ↔ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘†)))
3729, 30, 34, 36elrabf 3678 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘₯)} ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘†)))
3823, 37sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘†)))
3938simprd 494 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘†))
4039adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘†))
4118adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
42 pimdecfgtioc.i . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
4342r19.21bi 3246 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
4414, 43syldan 589 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
4541, 44jca 510 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))))
46 mnfxr 11275 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
4746a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
48 ressxr 11262 . . . . . . . . . . . 12 ℝ βŠ† ℝ*
496, 8sseldd 3982 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
5048, 49sselid 3979 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
5150adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
52 elinel1 4194 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
5352, 9eleqtrdi 2841 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ (-∞(,]𝑆))
5453adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ (-∞(,]𝑆))
55 iocleub 44514 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,]𝑆)) β†’ π‘₯ ≀ 𝑆)
5647, 51, 54, 55syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ≀ 𝑆)
57 breq2 5151 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑆 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ π‘₯ ≀ 𝑆))
58 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑆 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘†))
5958breq1d 5157 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑆 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘†) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
6057, 59imbi12d 343 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑆 β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘₯ ≀ 𝑆 β†’ (πΉβ€˜π‘†) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))))
6160rspcva 3609 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑆 β†’ (πΉβ€˜π‘†) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
6245, 56, 61sylc 65 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘†) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
6316, 20, 22, 40, 62xrltletrd 13144 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘₯))
6414, 63jca 510 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘₯)))
651reqabi 3452 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ π‘Œ ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘₯)))
6664, 65sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ)
6766ex 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ))
6812, 67ralrimi 3252 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)π‘₯ ∈ π‘Œ)
69 nfv 1915 . . . . 5 β„²π‘₯ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)
7069nfci 2884 . . . 4 β„²π‘₯(𝐼 ∩ 𝐴)
7170, 25dfss3f 3972 . . 3 ((𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† π‘Œ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)π‘₯ ∈ π‘Œ)
7268, 71sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† π‘Œ)
7311, 72eqssd 3998 1 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝐼 ∩ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539  β„²wnf 1783   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  {crab 3430   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  supcsup 9437  β„cr 11111  -∞cmnf 11250  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  (,]cioc 13329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-ioc 13333
This theorem is referenced by:  decsmflem  45780
  Copyright terms: Public domain W3C validator