Theorem eliccd 45934

Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliccd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
eliccd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
eliccd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
eliccd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
eliccd.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eliccd	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem eliccd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliccd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		eliccd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
3		eliccd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)
4		eliccd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		eliccd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6		elicc2 13364	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1344	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℝcr 11037   ≤ cle 11180  [,]cicc 13301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-icc 13305

This theorem is referenced by:  iccshift  45948  iooiinicc  45972  sqrlearg  45983  limciccioolb  46051  cncfiooicclem1  46321  iblspltprt  46401  itgspltprt  46407  itgiccshift  46408  itgperiod  46409  itgsbtaddcnst  46410  fourierdlem15  46550  fourierdlem17  46552  fourierdlem40  46575  fourierdlem50  46584  fourierdlem51  46585  fourierdlem62  46596  fourierdlem63  46597  fourierdlem64  46598  fourierdlem65  46599  fourierdlem73  46607  fourierdlem74  46608  fourierdlem75  46609  fourierdlem76  46610  fourierdlem78  46612  fourierdlem81  46615  fourierdlem82  46616  fourierdlem92  46626  fourierdlem93  46627  fourierdlem101  46635  fourierdlem103  46637  fourierdlem104  46638  fourierdlem107  46641  fourierdlem111  46645  rrxsnicc  46728  salgencntex  46771  hoidmv1lelem2  47020  hoidmvlelem1  47023  hoidmvlelem2  47024  iinhoiicclem  47101  smfmullem1  47219