Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliccd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliccd 41769
Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eliccd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
eliccd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
eliccd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
eliccd.4 (𝜑𝐴𝐶)
eliccd.5 (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
eliccd (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem eliccd
StepHypRef Expression
1 eliccd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2 eliccd.4 . 2 (𝜑𝐴𝐶)
3 eliccd.5 . 2 (𝜑𝐶𝐵)
4 eliccd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 eliccd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6 elicc2 12793 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
74, 5, 6syl2anc 586 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
81, 2, 3, 7mpbir3and 1337 1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  w3a 1082  wcel 2108   class class class wbr 5057  (class class class)co 7148  cr 10528  cle 10668  [,]cicc 12733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-icc 12737
This theorem is referenced by:  iccshift  41784  iooiinicc  41808  sqrlearg  41819  limciccioolb  41892  cncfiooicclem1  42166  iblspltprt  42248  itgspltprt  42254  itgiccshift  42255  itgperiod  42256  itgsbtaddcnst  42257  fourierdlem15  42398  fourierdlem17  42400  fourierdlem40  42423  fourierdlem50  42432  fourierdlem51  42433  fourierdlem62  42444  fourierdlem63  42445  fourierdlem64  42446  fourierdlem65  42447  fourierdlem73  42455  fourierdlem74  42456  fourierdlem75  42457  fourierdlem76  42458  fourierdlem78  42460  fourierdlem81  42463  fourierdlem82  42464  fourierdlem92  42474  fourierdlem93  42475  fourierdlem101  42483  fourierdlem103  42485  fourierdlem104  42486  fourierdlem107  42489  fourierdlem111  42493  rrxsnicc  42576  salgencntex  42617  hoidmv1lelem2  42865  hoidmvlelem1  42868  hoidmvlelem2  42869  iinhoiicclem  42946  smfmullem1  43057
  Copyright terms: Public domain W3C validator