Theorem eliccd 45614

Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliccd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
eliccd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
eliccd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
eliccd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
eliccd.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eliccd	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem eliccd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliccd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		eliccd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
3		eliccd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)
4		eliccd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		eliccd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6		elicc2 13311	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346  ℝcr 11005   ≤ cle 11147  [,]cicc 13248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-icc 13252

This theorem is referenced by:  iccshift  45628  iooiinicc  45652  sqrlearg  45663  limciccioolb  45731  cncfiooicclem1  46001  iblspltprt  46081  itgspltprt  46087  itgiccshift  46088  itgperiod  46089  itgsbtaddcnst  46090  fourierdlem15  46230  fourierdlem17  46232  fourierdlem40  46255  fourierdlem50  46264  fourierdlem51  46265  fourierdlem62  46276  fourierdlem63  46277  fourierdlem64  46278  fourierdlem65  46279  fourierdlem73  46287  fourierdlem74  46288  fourierdlem75  46289  fourierdlem76  46290  fourierdlem78  46292  fourierdlem81  46295  fourierdlem82  46296  fourierdlem92  46306  fourierdlem93  46307  fourierdlem101  46315  fourierdlem103  46317  fourierdlem104  46318  fourierdlem107  46321  fourierdlem111  46325  rrxsnicc  46408  salgencntex  46451  hoidmv1lelem2  46700  hoidmvlelem1  46703  hoidmvlelem2  46704  iinhoiicclem  46781  smfmullem1  46899