Theorem eliccd 45509

Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliccd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
eliccd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
eliccd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
eliccd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
eliccd.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eliccd	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem eliccd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliccd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		eliccd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
3		eliccd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)
4		eliccd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		eliccd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6		elicc2 13379	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074   ≤ cle 11216  [,]cicc 13316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-icc 13320

This theorem is referenced by:  iccshift  45523  iooiinicc  45547  sqrlearg  45558  limciccioolb  45626  cncfiooicclem1  45898  iblspltprt  45978  itgspltprt  45984  itgiccshift  45985  itgperiod  45986  itgsbtaddcnst  45987  fourierdlem15  46127  fourierdlem17  46129  fourierdlem40  46152  fourierdlem50  46161  fourierdlem51  46162  fourierdlem62  46173  fourierdlem63  46174  fourierdlem64  46175  fourierdlem65  46176  fourierdlem73  46184  fourierdlem74  46185  fourierdlem75  46186  fourierdlem76  46187  fourierdlem78  46189  fourierdlem81  46192  fourierdlem82  46193  fourierdlem92  46203  fourierdlem93  46204  fourierdlem101  46212  fourierdlem103  46214  fourierdlem104  46215  fourierdlem107  46218  fourierdlem111  46222  rrxsnicc  46305  salgencntex  46348  hoidmv1lelem2  46597  hoidmvlelem1  46600  hoidmvlelem2  46601  iinhoiicclem  46678  smfmullem1  46796