Theorem eliccd 45771

Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliccd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
eliccd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
eliccd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
eliccd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
eliccd.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eliccd	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem eliccd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliccd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		eliccd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
3		eliccd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)
4		eliccd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		eliccd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6		elicc2 13329	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝcr 11027   ≤ cle 11169  [,]cicc 13266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-icc 13270

This theorem is referenced by:  iccshift  45785  iooiinicc  45809  sqrlearg  45820  limciccioolb  45888  cncfiooicclem1  46158  iblspltprt  46238  itgspltprt  46244  itgiccshift  46245  itgperiod  46246  itgsbtaddcnst  46247  fourierdlem15  46387  fourierdlem17  46389  fourierdlem40  46412  fourierdlem50  46421  fourierdlem51  46422  fourierdlem62  46433  fourierdlem63  46434  fourierdlem64  46435  fourierdlem65  46436  fourierdlem73  46444  fourierdlem74  46445  fourierdlem75  46446  fourierdlem76  46447  fourierdlem78  46449  fourierdlem81  46452  fourierdlem82  46453  fourierdlem92  46463  fourierdlem93  46464  fourierdlem101  46472  fourierdlem103  46474  fourierdlem104  46475  fourierdlem107  46478  fourierdlem111  46482  rrxsnicc  46565  salgencntex  46608  hoidmv1lelem2  46857  hoidmvlelem1  46860  hoidmvlelem2  46861  iinhoiicclem  46938  smfmullem1  47056