Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliccd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliccd 43749
Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eliccd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
eliccd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
eliccd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
eliccd.4 (𝜑𝐴𝐶)
eliccd.5 (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
eliccd (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem eliccd
StepHypRef Expression
1 eliccd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2 eliccd.4 . 2 (𝜑𝐴𝐶)
3 eliccd.5 . 2 (𝜑𝐶𝐵)
4 eliccd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 eliccd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6 elicc2 13330 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
74, 5, 6syl2anc 585 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
81, 2, 3, 7mpbir3and 1343 1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1088  wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  cr 11051  cle 11191  [,]cicc 13268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-icc 13272
This theorem is referenced by:  iccshift  43763  iooiinicc  43787  sqrlearg  43798  limciccioolb  43869  cncfiooicclem1  44141  iblspltprt  44221  itgspltprt  44227  itgiccshift  44228  itgperiod  44229  itgsbtaddcnst  44230  fourierdlem15  44370  fourierdlem17  44372  fourierdlem40  44395  fourierdlem50  44404  fourierdlem51  44405  fourierdlem62  44416  fourierdlem63  44417  fourierdlem64  44418  fourierdlem65  44419  fourierdlem73  44427  fourierdlem74  44428  fourierdlem75  44429  fourierdlem76  44430  fourierdlem78  44432  fourierdlem81  44435  fourierdlem82  44436  fourierdlem92  44446  fourierdlem93  44447  fourierdlem101  44455  fourierdlem103  44457  fourierdlem104  44458  fourierdlem107  44461  fourierdlem111  44465  rrxsnicc  44548  salgencntex  44591  hoidmv1lelem2  44840  hoidmvlelem1  44843  hoidmvlelem2  44844  iinhoiicclem  44921  smfmullem1  45039
  Copyright terms: Public domain W3C validator