Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliccd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliccd 44217
Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eliccd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
eliccd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
eliccd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
eliccd.4 (𝜑𝐴𝐶)
eliccd.5 (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
eliccd (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem eliccd
StepHypRef Expression
1 eliccd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2 eliccd.4 . 2 (𝜑𝐴𝐶)
3 eliccd.5 . 2 (𝜑𝐶𝐵)
4 eliccd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 eliccd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6 elicc2 13389 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
74, 5, 6syl2anc 585 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
81, 2, 3, 7mpbir3and 1343 1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1088  wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  cr 11109  cle 11249  [,]cicc 13327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-icc 13331
This theorem is referenced by:  iccshift  44231  iooiinicc  44255  sqrlearg  44266  limciccioolb  44337  cncfiooicclem1  44609  iblspltprt  44689  itgspltprt  44695  itgiccshift  44696  itgperiod  44697  itgsbtaddcnst  44698  fourierdlem15  44838  fourierdlem17  44840  fourierdlem40  44863  fourierdlem50  44872  fourierdlem51  44873  fourierdlem62  44884  fourierdlem63  44885  fourierdlem64  44886  fourierdlem65  44887  fourierdlem73  44895  fourierdlem74  44896  fourierdlem75  44897  fourierdlem76  44898  fourierdlem78  44900  fourierdlem81  44903  fourierdlem82  44904  fourierdlem92  44914  fourierdlem93  44915  fourierdlem101  44923  fourierdlem103  44925  fourierdlem104  44926  fourierdlem107  44929  fourierdlem111  44933  rrxsnicc  45016  salgencntex  45059  hoidmv1lelem2  45308  hoidmvlelem1  45311  hoidmvlelem2  45312  iinhoiicclem  45389  smfmullem1  45507
  Copyright terms: Public domain W3C validator