Theorem eliccd 45955

Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliccd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
eliccd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
eliccd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
eliccd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
eliccd.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eliccd	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem eliccd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliccd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		eliccd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
3		eliccd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)
4		eliccd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		eliccd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6		elicc2 13358	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1344	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7361  ℝcr 11031   ≤ cle 11174  [,]cicc 13295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-icc 13299

This theorem is referenced by:  iccshift  45969  iooiinicc  45993  sqrlearg  46004  limciccioolb  46072  cncfiooicclem1  46342  iblspltprt  46422  itgspltprt  46428  itgiccshift  46429  itgperiod  46430  itgsbtaddcnst  46431  fourierdlem15  46571  fourierdlem17  46573  fourierdlem40  46596  fourierdlem50  46605  fourierdlem51  46606  fourierdlem62  46617  fourierdlem63  46618  fourierdlem64  46619  fourierdlem65  46620  fourierdlem73  46628  fourierdlem74  46629  fourierdlem75  46630  fourierdlem76  46631  fourierdlem78  46633  fourierdlem81  46636  fourierdlem82  46637  fourierdlem92  46647  fourierdlem93  46648  fourierdlem101  46656  fourierdlem103  46658  fourierdlem104  46659  fourierdlem107  46662  fourierdlem111  46666  rrxsnicc  46749  salgencntex  46792  hoidmv1lelem2  47041  hoidmvlelem1  47044  hoidmvlelem2  47045  iinhoiicclem  47122  smfmullem1  47240