MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustfbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metustfbas 24287
Description: The filter base generated by a metric 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
Assertion
Ref Expression
metustfbas ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   𝐹,π‘Ž

Proof of Theorem metustfbas
Dummy variables 𝑝 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . . . . 7 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
21metustel 24280 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐹 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
3 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
4 cnvimass 6081 . . . . . . . . . 10 (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† dom 𝐷
5 psmetf 24033 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
65fdmd 6729 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ dom 𝐷 = (𝑋 Γ— 𝑋))
76adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ dom 𝐷 = (𝑋 Γ— 𝑋))
84, 7sseqtrid 4035 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
93, 8eqsstrd 4021 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ π‘₯ βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
109ex 412 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) β†’ π‘₯ βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)))
1110rexlimdvw 3159 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) β†’ π‘₯ βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)))
122, 11sylbid 239 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐹 β†’ π‘₯ βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)))
1312ralrimiv 3144 . . . 4 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 π‘₯ βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
14 pwssb 5105 . . . 4 (𝐹 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 π‘₯ βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
1513, 14sylibr 233 . . 3 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐹 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
1615adantl 481 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ 𝐹 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
17 cnvexg 7918 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ ◑𝐷 ∈ V)
18 imaexg 7909 . . . . . . 7 (◑𝐷 ∈ V β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)1)) ∈ V)
19 elisset 2814 . . . . . . 7 ((◑𝐷 β€œ (0[,)1)) ∈ V β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)1)))
20 1rp 12983 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
21 oveq2 7420 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 1 β†’ (0[,)π‘Ž) = (0[,)1))
2221imaeq2d 6060 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 1 β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)1)))
2322rspceeqv 3634 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)1))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
2420, 23mpan 687 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)1)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
2524eximi 1836 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘₯ π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)1)) β†’ βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
2617, 18, 19, 254syl 19 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
272exbidv 1923 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐹 ↔ βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
2826, 27mpbird 256 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐹)
2928adantl 481 . . . 4 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐹)
30 n0 4347 . . . 4 (𝐹 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐹)
3129, 30sylibr 233 . . 3 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ 𝐹 β‰  βˆ…)
321metustid 24284 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) βŠ† π‘₯)
3332adantll 711 . . . . . 6 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) βŠ† π‘₯)
34 n0 4347 . . . . . . . . . 10 (𝑋 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘ 𝑝 ∈ 𝑋)
3534biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝑋 β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘ 𝑝 ∈ 𝑋)
3635adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ βˆƒπ‘ 𝑝 ∈ 𝑋)
37 opelidres 5994 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ 𝑋 β†’ (βŸ¨π‘, π‘βŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋) ↔ 𝑝 ∈ 𝑋))
3837ibir 267 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ 𝑋 β†’ βŸ¨π‘, π‘βŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋))
3938ne0d 4336 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ 𝑋 β†’ ( I β†Ύ 𝑋) β‰  βˆ…)
4039exlimiv 1932 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘ 𝑝 ∈ 𝑋 β†’ ( I β†Ύ 𝑋) β‰  βˆ…)
4136, 40syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) β‰  βˆ…)
4241adantr 480 . . . . . 6 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) β‰  βˆ…)
43 ssn0 4401 . . . . . 6 ((( I β†Ύ 𝑋) βŠ† π‘₯ ∧ ( I β†Ύ 𝑋) β‰  βˆ…) β†’ π‘₯ β‰  βˆ…)
4433, 42, 43syl2anc 583 . . . . 5 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ π‘₯ β‰  βˆ…)
4544nelrdva 3702 . . . 4 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ Β¬ βˆ… ∈ 𝐹)
46 df-nel 3046 . . . 4 (βˆ… βˆ‰ 𝐹 ↔ Β¬ βˆ… ∈ 𝐹)
4745, 46sylibr 233 . . 3 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ βˆ… βˆ‰ 𝐹)
48 df-ss 3966 . . . . . . . . 9 (π‘₯ βŠ† 𝑦 ↔ (π‘₯ ∩ 𝑦) = π‘₯)
4948biimpi 215 . . . . . . . 8 (π‘₯ βŠ† 𝑦 β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) = π‘₯)
5049adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) = π‘₯)
51 simplrl 774 . . . . . . 7 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ 𝐹)
5250, 51eqeltrd 2832 . . . . . 6 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ 𝐹)
53 sseqin2 4216 . . . . . . . . 9 (𝑦 βŠ† π‘₯ ↔ (π‘₯ ∩ 𝑦) = 𝑦)
5453biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝑦 βŠ† π‘₯ β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) = 𝑦)
5554adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) = 𝑦)
56 simplrr 775 . . . . . . 7 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ 𝐹)
5755, 56eqeltrd 2832 . . . . . 6 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ 𝐹)
58 simplr 766 . . . . . . 7 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
59 simprl 768 . . . . . . 7 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐹)
60 simprr 770 . . . . . . 7 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐹)
611metustto 24283 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝑦 ∨ 𝑦 βŠ† π‘₯))
6258, 59, 60, 61syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝑦 ∨ 𝑦 βŠ† π‘₯))
6352, 57, 62mpjaodan 956 . . . . 5 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ 𝐹)
64 ssidd 4006 . . . . 5 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (π‘₯ ∩ 𝑦))
65 sseq1 4008 . . . . . 6 (𝑧 = (π‘₯ ∩ 𝑦) β†’ (𝑧 βŠ† (π‘₯ ∩ 𝑦) ↔ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (π‘₯ ∩ 𝑦)))
6665rspcev 3613 . . . . 5 (((π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ 𝐹 ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (π‘₯ ∩ 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐹 𝑧 βŠ† (π‘₯ ∩ 𝑦))
6763, 64, 66syl2anc 583 . . . 4 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐹 𝑧 βŠ† (π‘₯ ∩ 𝑦))
6867ralrimivva 3199 . . 3 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐹 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐹 𝑧 βŠ† (π‘₯ ∩ 𝑦))
6931, 47, 683jca 1127 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐹 β‰  βˆ… ∧ βˆ… βˆ‰ 𝐹 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐹 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐹 𝑧 βŠ† (π‘₯ ∩ 𝑦)))
70 elfvex 6930 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ V)
7170adantl 481 . . . 4 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑋 ∈ V)
7271, 71xpexd 7741 . . 3 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V)
73 isfbas2 23560 . . 3 ((𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V β†’ (𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ↔ (𝐹 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝐹 β‰  βˆ… ∧ βˆ… βˆ‰ 𝐹 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐹 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐹 𝑧 βŠ† (π‘₯ ∩ 𝑦)))))
7472, 73syl 17 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ↔ (𝐹 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝐹 β‰  βˆ… ∧ βˆ… βˆ‰ 𝐹 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐹 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐹 𝑧 βŠ† (π‘₯ ∩ 𝑦)))))
7516, 69, 74mpbir2and 710 1 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   βˆ‰ wnel 3045  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  βŸ¨cop 4635   ↦ cmpt 5232   I cid 5574   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  0cc0 11113  1c1 11114  β„*cxr 11252  β„+crp 12979  [,)cico 13331  PsMetcpsmet 21129  fBascfbas 21133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-rp 12980  df-ico 13335  df-psmet 21137  df-fbas 21142
This theorem is referenced by:  metust  24288  cfilucfil  24289  metuel  24294  psmetutop  24297  restmetu  24300  metucn  24301
  Copyright terms: Public domain W3C validator