MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustfbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metustfbas 23160
Description: The filter base generated by a metric 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 𝐹 = ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
Assertion
Ref Expression
metustfbas ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → 𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎   𝑋,𝑎   𝐹,𝑎

Proof of Theorem metustfbas
Dummy variables 𝑝 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . . . . 7 𝐹 = ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
21metustel 23153 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥𝐹 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
3 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
4 cnvimass 5936 . . . . . . . . . 10 (𝐷 “ (0[,)𝑎)) ⊆ dom 𝐷
5 psmetf 22909 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
65fdmd 6511 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
76adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
84, 7sseqtrid 4004 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → (𝐷 “ (0[,)𝑎)) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
93, 8eqsstrd 3990 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → 𝑥 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
109ex 416 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)) → 𝑥 ⊆ (𝑋 × 𝑋)))
1110rexlimdvw 3283 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)) → 𝑥 ⊆ (𝑋 × 𝑋)))
122, 11sylbid 243 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑋 × 𝑋)))
1312ralrimiv 3176 . . . 4 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ∀𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
14 pwssb 5009 . . . 4 (𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ↔ ∀𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
1513, 14sylibr 237 . . 3 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋))
1615adantl 485 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋))
17 cnvexg 7619 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ V)
18 imaexg 7610 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ V → (𝐷 “ (0[,)1)) ∈ V)
19 elisset 3491 . . . . . . 7 ((𝐷 “ (0[,)1)) ∈ V → ∃𝑥 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)1)))
20 1rp 12386 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
21 oveq2 7153 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 1 → (0[,)𝑎) = (0[,)1))
2221imaeq2d 5916 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 1 → (𝐷 “ (0[,)𝑎)) = (𝐷 “ (0[,)1)))
2322rspceeqv 3624 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ+𝑥 = (𝐷 “ (0[,)1))) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
2420, 23mpan 689 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐷 “ (0[,)1)) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
2524eximi 1836 . . . . . . 7 (∃𝑥 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)1)) → ∃𝑥𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
2617, 18, 19, 254syl 19 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ∃𝑥𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
272exbidv 1923 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (∃𝑥 𝑥𝐹 ↔ ∃𝑥𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
2826, 27mpbird 260 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ∃𝑥 𝑥𝐹)
2928adantl 485 . . . 4 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ∃𝑥 𝑥𝐹)
30 n0 4292 . . . 4 (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐹)
3129, 30sylibr 237 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → 𝐹 ≠ ∅)
321metustid 23157 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥𝐹) → ( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑥)
3332adantll 713 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑥𝐹) → ( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑥)
34 n0 4292 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝𝑋)
3534biimpi 219 . . . . . . . . 9 (𝑋 ≠ ∅ → ∃𝑝 𝑝𝑋)
3635adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ∃𝑝 𝑝𝑋)
37 opelidres 5852 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝑋 → (⟨𝑝, 𝑝⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋) ↔ 𝑝𝑋))
3837ibir 271 . . . . . . . . . 10 (𝑝𝑋 → ⟨𝑝, 𝑝⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋))
3938ne0d 4283 . . . . . . . . 9 (𝑝𝑋 → ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅)
4039exlimiv 1932 . . . . . . . 8 (∃𝑝 𝑝𝑋 → ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅)
4136, 40syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅)
4241adantr 484 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑥𝐹) → ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅)
43 ssn0 4336 . . . . . 6 ((( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑥 ∧ ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑥 ≠ ∅)
4433, 42, 43syl2anc 587 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥 ≠ ∅)
4544nelrdva 3682 . . . 4 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
46 df-nel 3119 . . . 4 (∅ ∉ 𝐹 ↔ ¬ ∅ ∈ 𝐹)
4745, 46sylibr 237 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ∅ ∉ 𝐹)
48 df-ss 3936 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 ↔ (𝑥𝑦) = 𝑥)
4948biimpi 219 . . . . . . . 8 (𝑥𝑦 → (𝑥𝑦) = 𝑥)
5049adantl 485 . . . . . . 7 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑦) = 𝑥)
51 simplrl 776 . . . . . . 7 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐹)
5250, 51eqeltrd 2916 . . . . . 6 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐹)
53 sseqin2 4176 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑥 ↔ (𝑥𝑦) = 𝑦)
5453biimpi 219 . . . . . . . 8 (𝑦𝑥 → (𝑥𝑦) = 𝑦)
5554adantl 485 . . . . . . 7 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑥𝑦) = 𝑦)
56 simplrr 777 . . . . . . 7 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝐹)
5755, 56eqeltrd 2916 . . . . . 6 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐹)
58 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
59 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → 𝑥𝐹)
60 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → 𝑦𝐹)
611metustto 23156 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥𝐹𝑦𝐹) → (𝑥𝑦𝑦𝑥))
6258, 59, 60, 61syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → (𝑥𝑦𝑦𝑥))
6352, 57, 62mpjaodan 956 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐹)
64 ssidd 3975 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦))
65 sseq1 3977 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑥𝑦) → (𝑧 ⊆ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦)))
6665rspcev 3609 . . . . 5 (((𝑥𝑦) ∈ 𝐹 ∧ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦)) → ∃𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
6763, 64, 66syl2anc 587 . . . 4 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → ∃𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
6867ralrimivva 3186 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
6931, 47, 683jca 1125 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))
70 elfvex 6691 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
7170adantl 485 . . . 4 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → 𝑋 ∈ V)
7271, 71xpexd 7464 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑋 × 𝑋) ∈ V)
73 isfbas2 22436 . . 3 ((𝑋 × 𝑋) ∈ V → (𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))))
7472, 73syl 17 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))))
7516, 69, 74mpbir2and 712 1 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → 𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2115  wne 3014  wnel 3118  wral 3133  wrex 3134  Vcvv 3480  cin 3918  wss 3919  c0 4275  𝒫 cpw 4521  cop 4555  cmpt 5132   I cid 5446   × cxp 5540  ccnv 5541  dom cdm 5542  ran crn 5543  cres 5544  cima 5545  cfv 6343  (class class class)co 7145  0cc0 10529  1c1 10530  *cxr 10666  +crp 12382  [,)cico 12733  PsMetcpsmet 20522  fBascfbas 20526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-op 4556  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-rp 12383  df-ico 12737  df-psmet 20530  df-fbas 20535
This theorem is referenced by:  metust  23161  cfilucfil  23162  metuel  23167  psmetutop  23170  restmetu  23173  metucn  23174
  Copyright terms: Public domain W3C validator