MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustfbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metustfbas 24585
Description: The filter base generated by a metric 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 𝐹 = ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
Assertion
Ref Expression
metustfbas ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → 𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎   𝑋,𝑎   𝐹,𝑎

Proof of Theorem metustfbas
Dummy variables 𝑝 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . . . . 7 𝐹 = ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
21metustel 24578 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥𝐹 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
3 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
4 cnvimass 6101 . . . . . . . . . 10 (𝐷 “ (0[,)𝑎)) ⊆ dom 𝐷
5 psmetf 24331 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
65fdmd 6746 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
76adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
84, 7sseqtrid 4047 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → (𝐷 “ (0[,)𝑎)) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
93, 8eqsstrd 4033 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → 𝑥 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
109ex 412 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)) → 𝑥 ⊆ (𝑋 × 𝑋)))
1110rexlimdvw 3157 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)) → 𝑥 ⊆ (𝑋 × 𝑋)))
122, 11sylbid 240 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑋 × 𝑋)))
1312ralrimiv 3142 . . . 4 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ∀𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
14 pwssb 5105 . . . 4 (𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ↔ ∀𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
1513, 14sylibr 234 . . 3 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋))
1615adantl 481 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋))
17 cnvexg 7946 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ V)
18 imaexg 7935 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ V → (𝐷 “ (0[,)1)) ∈ V)
19 elisset 2820 . . . . . . 7 ((𝐷 “ (0[,)1)) ∈ V → ∃𝑥 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)1)))
20 1rp 13035 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
21 oveq2 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 1 → (0[,)𝑎) = (0[,)1))
2221imaeq2d 6079 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 1 → (𝐷 “ (0[,)𝑎)) = (𝐷 “ (0[,)1)))
2322rspceeqv 3644 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ+𝑥 = (𝐷 “ (0[,)1))) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
2420, 23mpan 690 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐷 “ (0[,)1)) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
2524eximi 1831 . . . . . . 7 (∃𝑥 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)1)) → ∃𝑥𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
2617, 18, 19, 254syl 19 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ∃𝑥𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
272exbidv 1918 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (∃𝑥 𝑥𝐹 ↔ ∃𝑥𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
2826, 27mpbird 257 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ∃𝑥 𝑥𝐹)
2928adantl 481 . . . 4 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ∃𝑥 𝑥𝐹)
30 n0 4358 . . . 4 (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐹)
3129, 30sylibr 234 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → 𝐹 ≠ ∅)
321metustid 24582 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥𝐹) → ( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑥)
3332adantll 714 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑥𝐹) → ( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑥)
34 n0 4358 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝𝑋)
3534biimpi 216 . . . . . . . . 9 (𝑋 ≠ ∅ → ∃𝑝 𝑝𝑋)
3635adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ∃𝑝 𝑝𝑋)
37 opelidres 6011 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝑋 → (⟨𝑝, 𝑝⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋) ↔ 𝑝𝑋))
3837ibir 268 . . . . . . . . . 10 (𝑝𝑋 → ⟨𝑝, 𝑝⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋))
3938ne0d 4347 . . . . . . . . 9 (𝑝𝑋 → ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅)
4039exlimiv 1927 . . . . . . . 8 (∃𝑝 𝑝𝑋 → ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅)
4136, 40syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅)
4241adantr 480 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑥𝐹) → ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅)
43 ssn0 4409 . . . . . 6 ((( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑥 ∧ ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑥 ≠ ∅)
4433, 42, 43syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥 ≠ ∅)
4544nelrdva 3713 . . . 4 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
46 df-nel 3044 . . . 4 (∅ ∉ 𝐹 ↔ ¬ ∅ ∈ 𝐹)
4745, 46sylibr 234 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ∅ ∉ 𝐹)
48 dfss2 3980 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 ↔ (𝑥𝑦) = 𝑥)
4948biimpi 216 . . . . . . . 8 (𝑥𝑦 → (𝑥𝑦) = 𝑥)
5049adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑦) = 𝑥)
51 simplrl 777 . . . . . . 7 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐹)
5250, 51eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐹)
53 sseqin2 4230 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑥 ↔ (𝑥𝑦) = 𝑦)
5453biimpi 216 . . . . . . . 8 (𝑦𝑥 → (𝑥𝑦) = 𝑦)
5554adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑥𝑦) = 𝑦)
56 simplrr 778 . . . . . . 7 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝐹)
5755, 56eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐹)
58 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
59 simprl 771 . . . . . . 7 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → 𝑥𝐹)
60 simprr 773 . . . . . . 7 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → 𝑦𝐹)
611metustto 24581 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥𝐹𝑦𝐹) → (𝑥𝑦𝑦𝑥))
6258, 59, 60, 61syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → (𝑥𝑦𝑦𝑥))
6352, 57, 62mpjaodan 960 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐹)
64 ssidd 4018 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦))
65 sseq1 4020 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑥𝑦) → (𝑧 ⊆ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦)))
6665rspcev 3621 . . . . 5 (((𝑥𝑦) ∈ 𝐹 ∧ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦)) → ∃𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
6763, 64, 66syl2anc 584 . . . 4 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → ∃𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
6867ralrimivva 3199 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
6931, 47, 683jca 1127 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))
70 elfvex 6944 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
7170adantl 481 . . . 4 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → 𝑋 ∈ V)
7271, 71xpexd 7769 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑋 × 𝑋) ∈ V)
73 isfbas2 23858 . . 3 ((𝑋 × 𝑋) ∈ V → (𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))))
7472, 73syl 17 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))))
7516, 69, 74mpbir2and 713 1 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → 𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  wne 2937  wnel 3043  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3477  cin 3961  wss 3962  c0 4338  𝒫 cpw 4604  cop 4636  cmpt 5230   I cid 5581   × cxp 5686  ccnv 5687  dom cdm 5688  ran crn 5689  cres 5690  cima 5691  cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153  *cxr 11291  +crp 13031  [,)cico 13385  PsMetcpsmet 21365  fBascfbas 21369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-rp 13032  df-ico 13389  df-psmet 21373  df-fbas 21378
This theorem is referenced by:  metust  24586  cfilucfil  24587  metuel  24592  psmetutop  24595  restmetu  24598  metucn  24599
  Copyright terms: Public domain W3C validator