MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustfbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metustfbas 24065
Description: The filter base generated by a metric 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
Assertion
Ref Expression
metustfbas ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   𝐹,π‘Ž

Proof of Theorem metustfbas
Dummy variables 𝑝 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . . . . 7 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
21metustel 24058 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐹 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
3 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
4 cnvimass 6080 . . . . . . . . . 10 (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† dom 𝐷
5 psmetf 23811 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
65fdmd 6728 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ dom 𝐷 = (𝑋 Γ— 𝑋))
76adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ dom 𝐷 = (𝑋 Γ— 𝑋))
84, 7sseqtrid 4034 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
93, 8eqsstrd 4020 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ π‘₯ βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
109ex 413 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) β†’ π‘₯ βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)))
1110rexlimdvw 3160 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) β†’ π‘₯ βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)))
122, 11sylbid 239 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐹 β†’ π‘₯ βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)))
1312ralrimiv 3145 . . . 4 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 π‘₯ βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
14 pwssb 5104 . . . 4 (𝐹 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 π‘₯ βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
1513, 14sylibr 233 . . 3 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐹 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
1615adantl 482 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ 𝐹 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
17 cnvexg 7914 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ ◑𝐷 ∈ V)
18 imaexg 7905 . . . . . . 7 (◑𝐷 ∈ V β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)1)) ∈ V)
19 elisset 2815 . . . . . . 7 ((◑𝐷 β€œ (0[,)1)) ∈ V β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)1)))
20 1rp 12977 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
21 oveq2 7416 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 1 β†’ (0[,)π‘Ž) = (0[,)1))
2221imaeq2d 6059 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 1 β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)1)))
2322rspceeqv 3633 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)1))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
2420, 23mpan 688 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)1)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
2524eximi 1837 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘₯ π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)1)) β†’ βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
2617, 18, 19, 254syl 19 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
272exbidv 1924 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐹 ↔ βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ π‘₯ = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
2826, 27mpbird 256 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐹)
2928adantl 482 . . . 4 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐹)
30 n0 4346 . . . 4 (𝐹 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐹)
3129, 30sylibr 233 . . 3 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ 𝐹 β‰  βˆ…)
321metustid 24062 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) βŠ† π‘₯)
3332adantll 712 . . . . . 6 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) βŠ† π‘₯)
34 n0 4346 . . . . . . . . . 10 (𝑋 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘ 𝑝 ∈ 𝑋)
3534biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝑋 β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘ 𝑝 ∈ 𝑋)
3635adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ βˆƒπ‘ 𝑝 ∈ 𝑋)
37 opelidres 5993 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ 𝑋 β†’ (βŸ¨π‘, π‘βŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋) ↔ 𝑝 ∈ 𝑋))
3837ibir 267 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ 𝑋 β†’ βŸ¨π‘, π‘βŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋))
3938ne0d 4335 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ 𝑋 β†’ ( I β†Ύ 𝑋) β‰  βˆ…)
4039exlimiv 1933 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘ 𝑝 ∈ 𝑋 β†’ ( I β†Ύ 𝑋) β‰  βˆ…)
4136, 40syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) β‰  βˆ…)
4241adantr 481 . . . . . 6 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) β‰  βˆ…)
43 ssn0 4400 . . . . . 6 ((( I β†Ύ 𝑋) βŠ† π‘₯ ∧ ( I β†Ύ 𝑋) β‰  βˆ…) β†’ π‘₯ β‰  βˆ…)
4433, 42, 43syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ π‘₯ β‰  βˆ…)
4544nelrdva 3701 . . . 4 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ Β¬ βˆ… ∈ 𝐹)
46 df-nel 3047 . . . 4 (βˆ… βˆ‰ 𝐹 ↔ Β¬ βˆ… ∈ 𝐹)
4745, 46sylibr 233 . . 3 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ βˆ… βˆ‰ 𝐹)
48 df-ss 3965 . . . . . . . . 9 (π‘₯ βŠ† 𝑦 ↔ (π‘₯ ∩ 𝑦) = π‘₯)
4948biimpi 215 . . . . . . . 8 (π‘₯ βŠ† 𝑦 β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) = π‘₯)
5049adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) = π‘₯)
51 simplrl 775 . . . . . . 7 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ 𝐹)
5250, 51eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ 𝐹)
53 sseqin2 4215 . . . . . . . . 9 (𝑦 βŠ† π‘₯ ↔ (π‘₯ ∩ 𝑦) = 𝑦)
5453biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝑦 βŠ† π‘₯ β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) = 𝑦)
5554adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) = 𝑦)
56 simplrr 776 . . . . . . 7 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ 𝐹)
5755, 56eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ 𝐹)
58 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
59 simprl 769 . . . . . . 7 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐹)
60 simprr 771 . . . . . . 7 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐹)
611metustto 24061 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝑦 ∨ 𝑦 βŠ† π‘₯))
6258, 59, 60, 61syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝑦 ∨ 𝑦 βŠ† π‘₯))
6352, 57, 62mpjaodan 957 . . . . 5 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ 𝐹)
64 ssidd 4005 . . . . 5 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (π‘₯ ∩ 𝑦))
65 sseq1 4007 . . . . . 6 (𝑧 = (π‘₯ ∩ 𝑦) β†’ (𝑧 βŠ† (π‘₯ ∩ 𝑦) ↔ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (π‘₯ ∩ 𝑦)))
6665rspcev 3612 . . . . 5 (((π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ 𝐹 ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (π‘₯ ∩ 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐹 𝑧 βŠ† (π‘₯ ∩ 𝑦))
6763, 64, 66syl2anc 584 . . . 4 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐹 𝑧 βŠ† (π‘₯ ∩ 𝑦))
6867ralrimivva 3200 . . 3 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐹 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐹 𝑧 βŠ† (π‘₯ ∩ 𝑦))
6931, 47, 683jca 1128 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐹 β‰  βˆ… ∧ βˆ… βˆ‰ 𝐹 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐹 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐹 𝑧 βŠ† (π‘₯ ∩ 𝑦)))
70 elfvex 6929 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ V)
7170adantl 482 . . . 4 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑋 ∈ V)
7271, 71xpexd 7737 . . 3 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V)
73 isfbas2 23338 . . 3 ((𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V β†’ (𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ↔ (𝐹 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝐹 β‰  βˆ… ∧ βˆ… βˆ‰ 𝐹 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐹 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐹 𝑧 βŠ† (π‘₯ ∩ 𝑦)))))
7472, 73syl 17 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)) ↔ (𝐹 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝐹 β‰  βˆ… ∧ βˆ… βˆ‰ 𝐹 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐹 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐹 𝑧 βŠ† (π‘₯ ∩ 𝑦)))))
7516, 69, 74mpbir2and 711 1 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜(𝑋 Γ— 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βˆ‰ wnel 3046  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  βŸ¨cop 4634   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  1c1 11110  β„*cxr 11246  β„+crp 12973  [,)cico 13325  PsMetcpsmet 20927  fBascfbas 20931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-rp 12974  df-ico 13329  df-psmet 20935  df-fbas 20940
This theorem is referenced by:  metust  24066  cfilucfil  24067  metuel  24072  psmetutop  24075  restmetu  24078  metucn  24079
  Copyright terms: Public domain W3C validator