Theorem islan2 50948

Description: A left Kan extension is a universal pair. (Contributed by Zhi Wang, 4-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
islan.r	⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
islan.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
islan.k	⊢ 𝐾 = (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
islan2	⊢ (𝐿(𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋)𝐴 → 𝐿(𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋)𝐴)

Proof of Theorem islan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islan.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
2		islan.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
3		islan.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)
4	1, 2, 3	islan 50947	. 2 ⊢ (⟨𝐿, 𝐴⟩ ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋) → ⟨𝐿, 𝐴⟩ ∈ (𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋))
5		df-br 5106	. 2 ⊢ (𝐿(𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋)𝐴 ↔ ⟨𝐿, 𝐴⟩ ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋))
6		df-br 5106	. 2 ⊢ (𝐿(𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋)𝐴 ↔ ⟨𝐿, 𝐴⟩ ∈ (𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋))
7	4, 5, 6	3imtr4i 295	1 ⊢ (𝐿(𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋)𝐴 → 𝐿(𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋)𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4837   class class class wbr 5105  (class class class)co 7427   FuncCat cfuc 18132   UP cup 50428   −∘_F cprcof 50647   Lan clan 50927

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-func 18045  df-lan 50929

This theorem is used by:  lanrcl5  50957