Theorem lanrcl5 50256

Description: The second component of a left Kan extension is a natural transformation. (Contributed by Zhi Wang, 4-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lanrcl2.l	⊢ (𝜑 → 𝐿(𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋)𝐴)
lanrcl5.n	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
lanrcl5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑋𝑁(𝐿 ∘func 𝐹)))

Proof of Theorem lanrcl5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lanrcl2.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿(𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋)𝐴)
2		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐸) = (𝐷 FuncCat 𝐸)
3		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 FuncCat 𝐸) = (𝐶 FuncCat 𝐸)
4		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)
5	2, 3, 4	islan2 50247	. . . . 5 ⊢ (𝐿(𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋)𝐴 → 𝐿((⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)((𝐷 FuncCat 𝐸) UP (𝐶 FuncCat 𝐸))𝑋)𝐴)
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿((⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)((𝐷 FuncCat 𝐸) UP (𝐶 FuncCat 𝐸))𝑋)𝐴)
7	6	up1st2nd 49806	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿(⟨(1st ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)), (2nd ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹))⟩((𝐷 FuncCat 𝐸) UP (𝐶 FuncCat 𝐸))𝑋)𝐴)
8		lanrcl5.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐸)
9	3, 8	fuchom 17997	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Hom ‘(𝐶 FuncCat 𝐸))
10	7, 9	uprcl5 49813	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑋𝑁((1st ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹))‘𝐿)))
11	1	lanrcl4 50255	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
12		eqidd 2763	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)) = (1st ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)))
13	11, 12	prcof1 50009	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹))‘𝐿) = (𝐿 ∘func 𝐹))
14	13	oveq2d 7412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑁((1st ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹))‘𝐿)) = (𝑋𝑁(𝐿 ∘func 𝐹)))
15	10, 14	eleqtrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑋𝑁(𝐿 ∘func 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  1^st c1st 7968  2^nd c2nd 7969   ∘_func ccofu 17889   Nat cnat 17977   FuncCat cfuc 17978   UP cup 49794   −∘_F cprcof 49994   Lan clan 50226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-fz 13513  df-struct 17183  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-hom 17310  df-cco 17311  df-func 17891  df-cofu 17893  df-nat 17979  df-fuc 17980  df-up 49795  df-prcof 49995  df-lan 50228

This theorem is referenced by: (None)