Theorem lanval2 49363

Description: The set of left Kan extensions is the set of universal pairs. Therefore, the explicit universal property can be recovered by isup2 48993 and upciclem1 48967. (Contributed by Zhi Wang, 3-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
islan.r	⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
islan.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
islan.k	⊢ 𝐾 = (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lanval2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩Lan𝐸)𝑋) = (𝐾(𝑅UP𝑆)𝑋))

Proof of Theorem lanval2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islan.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
2		islan.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
3		islan.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)
4	1, 2, 3	islan 49361	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩Lan𝐸)𝑋) → 𝑥 ∈ (𝐾(𝑅UP𝑆)𝑋))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩Lan𝐸)𝑋)) → 𝑥 ∈ (𝐾(𝑅UP𝑆)𝑋))
6		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾(𝑅UP𝑆)𝑋)) → 𝑥 ∈ (𝐾(𝑅UP𝑆)𝑋))
7		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾(𝑅UP𝑆)𝑋)) → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
8	2	fucbas 17963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 Func 𝐸) = (Base‘𝑆)
9	8	uprcl 48984	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐾(𝑅UP𝑆)𝑋) → (𝐾 ∈ (𝑅 Func 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐸)))
10	9	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐾(𝑅UP𝑆)𝑋) → 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐸))
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾(𝑅UP𝑆)𝑋)) → 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐸))
12	3	eqcomi 2743	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = 𝐾
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾(𝑅UP𝑆)𝑋)) → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = 𝐾)
14	1, 2, 7, 11, 13	lanval 49355	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾(𝑅UP𝑆)𝑋)) → (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩Lan𝐸)𝑋) = (𝐾(𝑅UP𝑆)𝑋))
15	6, 14	eleqtrrd 2836	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾(𝑅UP𝑆)𝑋)) → 𝑥 ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩Lan𝐸)𝑋))
16	5, 15	impbida 800	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝑥 ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩Lan𝐸)𝑋) ↔ 𝑥 ∈ (𝐾(𝑅UP𝑆)𝑋)))
17	16	eqrdv 2732	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩Lan𝐸)𝑋) = (𝐾(𝑅UP𝑆)𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ⟨cop 4605  (class class class)co 7400   Func cfunc 17854   FuncCat cfuc 17945  UPcup 48974   −∘_F cprcof 49147  Lanclan 49343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5247  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-cnex 11178  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-icn 11181  ax-addcl 11182  ax-addrcl 11183  ax-mulcl 11184  ax-mulrcl 11185  ax-mulcom 11186  ax-addass 11187  ax-mulass 11188  ax-distr 11189  ax-i2m1 11190  ax-1ne0 11191  ax-1rid 11192  ax-rnegex 11193  ax-rrecex 11194  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197  ax-pre-ltadd 11198  ax-pre-mulgt0 11199

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4882  df-iun 4967  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-tr 5228  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6288  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7857  df-1st 7983  df-2nd 7984  df-frecs 8275  df-wrecs 8306  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8475  df-er 8714  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-fin 8958  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12234  df-2 12296  df-3 12297  df-4 12298  df-5 12299  df-6 12300  df-7 12301  df-8 12302  df-9 12303  df-n0 12495  df-z 12582  df-dec 12702  df-uz 12846  df-fz 13515  df-struct 17153  df-slot 17188  df-ndx 17200  df-base 17216  df-hom 17282  df-cco 17283  df-func 17858  df-fuc 17947  df-up 48975  df-lan 49345

This theorem is referenced by: (None)