Theorem lanval2 50327

Description: The set of left Kan extensions is the set of universal pairs. Therefore, the explicit universal property can be recovered by isup2 49894 and upciclem1 49866. (Contributed by Zhi Wang, 3-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
islan.r	⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
islan.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
islan.k	⊢ 𝐾 = (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lanval2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋) = (𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋))

Proof of Theorem lanval2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islan.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
2		islan.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
3		islan.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)
4	1, 2, 3	islan 50325	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋) → 𝑥 ∈ (𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋))
5	4	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋)) → 𝑥 ∈ (𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋))
6		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋)) → 𝑥 ∈ (𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋))
7		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋)) → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
8	2	fucbas 18022	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 Func 𝐸) = (Base‘𝑆)
9	8	uprcl 49884	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋) → (𝐾 ∈ (𝑅 Func 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐸)))
10	9	simprd 500	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋) → 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐸))
11	10	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋)) → 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐸))
12	3	eqcomi 2778	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = 𝐾
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋)) → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = 𝐾)
14	1, 2, 7, 11, 13	lanval 50319	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋)) → (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋) = (𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋))
15	6, 14	eleqtrrd 2872	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋)) → 𝑥 ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋))
16	5, 15	impbida 812	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝑥 ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋) ↔ 𝑥 ∈ (𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋)))
17	16	eqrdv 2767	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋) = (𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ⟨cop 4600  (class class class)co 7413   Func cfunc 17913   FuncCat cfuc 18004   UP cup 49873   −∘_F cprcof 50073   Lan clan 50305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12865  df-fz 13538  df-struct 17209  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-hom 17336  df-cco 17337  df-func 17917  df-fuc 18006  df-up 49874  df-lan 50307

This theorem is referenced by:  cmdlan  50372