Theorem lanval2 51013

Description: The set of left Kan extensions is the set of universal pairs. Therefore, the explicit universal property can be recovered by isup2 50513 and upciclem1 50485. (Contributed by Zhi Wang, 3-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
islan.r	⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
islan.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
islan.k	⊢ 𝐾 = (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lanval2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋) = (𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋))

Proof of Theorem lanval2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islan.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
2		islan.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
3		islan.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)
4	1, 2, 3	islan 51011	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋) → 𝑥 ∈ (𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋))
5	4	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋)) → 𝑥 ∈ (𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋))
6		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋)) → 𝑥 ∈ (𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋))
7		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋)) → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
8	2	fucbas 18164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 Func 𝐸) = (Base‘𝑆)
9	8	uprcl 50503	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋) → (𝐾 ∈ (𝑅 Func 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐸)))
10	9	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋) → 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐸))
11	10	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋)) → 𝑋 ∈ (𝐶 Func 𝐸))
12	3	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = 𝐾
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋)) → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = 𝐾)
14	1, 2, 7, 11, 13	lanval 51005	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋)) → (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋) = (𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋))
15	6, 14	eleqtrrd 2867	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋)) → 𝑥 ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋))
16	5, 15	impbida 813	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝑥 ∈ (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋) ↔ 𝑥 ∈ (𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋)))
17	16	eqrdv 2761	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Lan 𝐸)𝑋) = (𝐾(𝑅 UP 𝑆)𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ⟨cop 4838  (class class class)co 7440   Func cfunc 18055   FuncCat cfuc 18146   UP cup 50492   −∘_F cprcof 50711   Lan clan 50991

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-struct 17351  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-hom 17478  df-cco 17479  df-func 18059  df-fuc 18148  df-up 50493  df-lan 50993

This theorem is used by:  cmdlan  51058