Theorem isnum3 9941

Description: A set is numerable iff it is equinumerous with its cardinal. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isnum3	⊢ (𝐴 ∈ dom card ↔ (card‘𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem isnum3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardid2 9940	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
2		cardon 9931	. . 3 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
3		isnumi 9933	. . 3 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ On ∧ (card‘𝐴) ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
4	2, 3	mpan 702	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) ≈ 𝐴 → 𝐴 ∈ dom card)
5	1, 4	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom card ↔ (card‘𝐴) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  dom cdm 5663  Oncon0 6362  ‘cfv 6538   ≈ cen 8941  cardccrd 9922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6365  df-on 6366  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-en 8945  df-card 9926

This theorem is referenced by:  ttukey2g  10501