Theorem isnum3 9878

Description: A set is numerable iff it is equinumerous with its cardinal. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isnum3	⊢ (𝐴 ∈ dom card ↔ (card‘𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem isnum3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardid2 9877	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
2		cardon 9868	. . 3 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
3		isnumi 9870	. . 3 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ On ∧ (card‘𝐴) ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
4	2, 3	mpan 691	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) ≈ 𝐴 → 𝐴 ∈ dom card)
5	1, 4	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom card ↔ (card‘𝐴) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  Oncon0 6325  ‘cfv 6500   ≈ cen 8892  cardccrd 9859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-en 8896  df-card 9863

This theorem is referenced by:  ttukey2g  10438