Theorem isnum3 9949

Description: A set is numerable iff it is equinumerous with its cardinal. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isnum3	⊢ (𝐴 ∈ dom card ↔ (card‘𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem isnum3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardid2 9948	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
2		cardon 9939	. . 3 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
3		isnumi 9941	. . 3 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ On ∧ (card‘𝐴) ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
4	2, 3	mpan 689	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) ≈ 𝐴 → 𝐴 ∈ dom card)
5	1, 4	impbii 208	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom card ↔ (card‘𝐴) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  Oncon0 6365  ‘cfv 6544   ≈ cen 8936  cardccrd 9930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-en 8940  df-card 9934

This theorem is referenced by:  ttukey2g  10511