Theorem isnum3 9948

Description: A set is numerable iff it is equinumerous with its cardinal. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isnum3	⊢ (𝐴 ∈ dom card ↔ (card‘𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem isnum3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardid2 9947	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
2		cardon 9938	. . 3 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
3		isnumi 9940	. . 3 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ On ∧ (card‘𝐴) ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
4	2, 3	mpan 687	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) ≈ 𝐴 → 𝐴 ∈ dom card)
5	1, 4	impbii 208	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom card ↔ (card‘𝐴) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  Oncon0 6357  ‘cfv 6536   ≈ cen 8935  cardccrd 9929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-en 8939  df-card 9933

This theorem is referenced by:  ttukey2g  10510