MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttukey2g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttukey2g 10514
Description: The TeichmΓΌller-Tukey Lemma ttukey 10516 with a slightly stronger conclusion: we can set up the maximal element of 𝐴 so that it also contains some given 𝐡 ∈ 𝐴 as a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ttukey2g ((βˆͺ 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐡 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝐡 βŠ† π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐡,𝑦

Proof of Theorem ttukey2g
Dummy variables 𝑀 𝑓 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 4131 . . . 4 (βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) βŠ† βˆͺ 𝐴
2 ssnum 10037 . . . 4 ((βˆͺ 𝐴 ∈ dom card ∧ (βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) βŠ† βˆͺ 𝐴) β†’ (βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ dom card)
31, 2mpan2 688 . . 3 (βˆͺ 𝐴 ∈ dom card β†’ (βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ dom card)
4 isnum3 9952 . . . . 5 ((βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ dom card ↔ (cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)) β‰ˆ (βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))
5 bren 8952 . . . . 5 ((cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)) β‰ˆ (βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–1-1-ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))
64, 5bitri 275 . . . 4 ((βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ dom card ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–1-1-ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))
7 simp1 1135 . . . . . . 7 ((𝑓:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–1-1-ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) ∧ 𝐡 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴)) β†’ 𝑓:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–1-1-ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))
8 simp2 1136 . . . . . . 7 ((𝑓:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–1-1-ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) ∧ 𝐡 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
9 simp3 1137 . . . . . . 7 ((𝑓:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–1-1-ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) ∧ 𝐡 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴)) β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴))
10 dmeq 5903 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 𝑧 β†’ dom 𝑀 = dom 𝑧)
1110unieqd 4922 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 𝑧 β†’ βˆͺ dom 𝑀 = βˆͺ dom 𝑧)
1210, 11eqeq12d 2747 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑧 β†’ (dom 𝑀 = βˆͺ dom 𝑀 ↔ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧))
1310eqeq1d 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 𝑧 β†’ (dom 𝑀 = βˆ… ↔ dom 𝑧 = βˆ…))
14 rneq 5935 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑧 β†’ ran 𝑀 = ran 𝑧)
1514unieqd 4922 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 𝑧 β†’ βˆͺ ran 𝑀 = βˆͺ ran 𝑧)
1613, 15ifbieq2d 4554 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑧 β†’ if(dom 𝑀 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ ran 𝑀) = if(dom 𝑧 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ ran 𝑧))
17 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑧 β†’ 𝑀 = 𝑧)
1817, 11fveq12d 6898 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 𝑧 β†’ (π‘€β€˜βˆͺ dom 𝑀) = (π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧))
1911fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = 𝑧 β†’ (π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑀) = (π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑧))
2019sneqd 4640 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = 𝑧 β†’ {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑀)} = {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑧)})
2118, 20uneq12d 4164 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = 𝑧 β†’ ((π‘€β€˜βˆͺ dom 𝑀) βˆͺ {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑀)}) = ((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑧)}))
2221eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑧 β†’ (((π‘€β€˜βˆͺ dom 𝑀) βˆͺ {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑀)}) ∈ 𝐴 ↔ ((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴))
2322, 20ifbieq1d 4552 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 𝑧 β†’ if(((π‘€β€˜βˆͺ dom 𝑀) βˆͺ {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑀)}) ∈ 𝐴, {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑀)}, βˆ…) = if(((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑧)}, βˆ…))
2418, 23uneq12d 4164 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑧 β†’ ((π‘€β€˜βˆͺ dom 𝑀) βˆͺ if(((π‘€β€˜βˆͺ dom 𝑀) βˆͺ {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑀)}) ∈ 𝐴, {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑀)}, βˆ…)) = ((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ if(((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑧)}, βˆ…)))
2512, 16, 24ifbieq12d 4556 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑧 β†’ if(dom 𝑀 = βˆͺ dom 𝑀, if(dom 𝑀 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ ran 𝑀), ((π‘€β€˜βˆͺ dom 𝑀) βˆͺ if(((π‘€β€˜βˆͺ dom 𝑀) βˆͺ {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑀)}) ∈ 𝐴, {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑀)}, βˆ…))) = if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, if(dom 𝑧 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ ran 𝑧), ((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ if(((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑧)}, βˆ…))))
2625cbvmptv 5261 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ V ↦ if(dom 𝑀 = βˆͺ dom 𝑀, if(dom 𝑀 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ ran 𝑀), ((π‘€β€˜βˆͺ dom 𝑀) βˆͺ if(((π‘€β€˜βˆͺ dom 𝑀) βˆͺ {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑀)}) ∈ 𝐴, {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑀)}, βˆ…)))) = (𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, if(dom 𝑧 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ ran 𝑧), ((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ if(((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑧)}, βˆ…))))
27 recseq 8377 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ V ↦ if(dom 𝑀 = βˆͺ dom 𝑀, if(dom 𝑀 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ ran 𝑀), ((π‘€β€˜βˆͺ dom 𝑀) βˆͺ if(((π‘€β€˜βˆͺ dom 𝑀) βˆͺ {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑀)}) ∈ 𝐴, {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑀)}, βˆ…)))) = (𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, if(dom 𝑧 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ ran 𝑧), ((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ if(((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑧)}, βˆ…)))) β†’ recs((𝑀 ∈ V ↦ if(dom 𝑀 = βˆͺ dom 𝑀, if(dom 𝑀 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ ran 𝑀), ((π‘€β€˜βˆͺ dom 𝑀) βˆͺ if(((π‘€β€˜βˆͺ dom 𝑀) βˆͺ {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑀)}) ∈ 𝐴, {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑀)}, βˆ…))))) = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, if(dom 𝑧 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ ran 𝑧), ((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ if(((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑧)}, βˆ…))))))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 recs((𝑀 ∈ V ↦ if(dom 𝑀 = βˆͺ dom 𝑀, if(dom 𝑀 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ ran 𝑀), ((π‘€β€˜βˆͺ dom 𝑀) βˆͺ if(((π‘€β€˜βˆͺ dom 𝑀) βˆͺ {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑀)}) ∈ 𝐴, {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑀)}, βˆ…))))) = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, if(dom 𝑧 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ ran 𝑧), ((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ if(((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(π‘“β€˜βˆͺ dom 𝑧)}, βˆ…)))))
297, 8, 9, 28ttukeylem7 10513 . . . . . 6 ((𝑓:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–1-1-ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) ∧ 𝐡 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝐡 βŠ† π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦))
30293expib 1121 . . . . 5 (𝑓:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–1-1-ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) β†’ ((𝐡 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝐡 βŠ† π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦)))
3130exlimiv 1932 . . . 4 (βˆƒπ‘“ 𝑓:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–1-1-ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) β†’ ((𝐡 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝐡 βŠ† π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦)))
326, 31sylbi 216 . . 3 ((βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ dom card β†’ ((𝐡 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝐡 βŠ† π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦)))
333, 32syl 17 . 2 (βˆͺ 𝐴 ∈ dom card β†’ ((𝐡 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝐡 βŠ† π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦)))
34333impib 1115 1 ((βˆͺ 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐡 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝐡 βŠ† π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  βˆ€wal 1538   = wceq 1540  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   ⊊ wpss 3949  βˆ…c0 4322  ifcif 4528  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  recscrecs 8373   β‰ˆ cen 8939  Fincfn 8942  cardccrd 9933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-fin 8946  df-card 9937
This theorem is referenced by:  ttukeyg  10515
  Copyright terms: Public domain W3C validator