Theorem isnumi 9928

Description: A set equinumerous to an ordinal is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isnumi	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)

Proof of Theorem isnumi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5113	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
2	1	rspcev 3590	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐵)
3		isnum2 9927	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom card ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐵)
4	2, 3	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095   class class class wbr 5110  dom cdm 5659  Oncon0 6357   ≈ cen 8936  cardccrd 9917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-en 8940  df-card 9921

This theorem is referenced by:  finnum  9930  onenon  9931  tskwe  9932  xpnum  9933  isnum3  9936  dfac8alem  10009  djunum  10175  fin67  10375  isfin7-2  10376  gch2  10656  gchacg  10661  znnen  16264  qnnen  16265  met1stc  24643  re2ndc  24923  uniiccdif  25702  dyadmbl  25724  opnmblALT  25727  mbfimaopnlem  25779  aannenlem3  26456  poimirlem32  38186