Theorem isnumi 9968

Description: A set equinumerous to an ordinal is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isnumi	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)

Proof of Theorem isnumi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5126	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
2	1	rspcev 3605	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐵)
3		isnum2 9967	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom card ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐵)
4	2, 3	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3059   class class class wbr 5123  dom cdm 5665  Oncon0 6363   ≈ cen 8964  cardccrd 9957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-ord 6366  df-on 6367  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-en 8968  df-card 9961

This theorem is referenced by:  finnum  9970  onenon  9971  tskwe  9972  xpnum  9973  isnum3  9976  dfac8alem  10051  djunum  10218  fin67  10417  isfin7-2  10418  gch2  10697  gchacg  10702  znnen  16230  qnnen  16231  met1stc  24478  re2ndc  24758  uniiccdif  25549  dyadmbl  25571  opnmblALT  25574  mbfimaopnlem  25626  aannenlem3  26308  poimirlem32  37618