MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnumi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnumi 9986
Description: A set equinumerous to an ordinal is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
isnumi ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)

Proof of Theorem isnumi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5146 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐵𝐴𝐵))
21rspcev 3622 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑥 ∈ On 𝑥𝐵)
3 isnum2 9985 . 2 (𝐵 ∈ dom card ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝑥𝐵)
42, 3sylibr 234 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2108  wrex 3070   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  Oncon0 6384  cen 8982  cardccrd 9975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-en 8986  df-card 9979
This theorem is referenced by:  finnum  9988  onenon  9989  tskwe  9990  xpnum  9991  isnum3  9994  dfac8alem  10069  djunum  10236  fin67  10435  isfin7-2  10436  gch2  10715  gchacg  10720  znnen  16248  qnnen  16249  met1stc  24534  re2ndc  24822  uniiccdif  25613  dyadmbl  25635  opnmblALT  25638  mbfimaopnlem  25690  aannenlem3  26372  poimirlem32  37659
  Copyright terms: Public domain W3C validator