Theorem isnumi 9858

Description: A set equinumerous to an ordinal is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isnumi	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)

Proof of Theorem isnumi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5101	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
2	1	rspcev 3576	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐵)
3		isnum2 9857	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom card ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐵)
4	2, 3	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060   class class class wbr 5098  dom cdm 5624  Oncon0 6317   ≈ cen 8880  cardccrd 9847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-en 8884  df-card 9851

This theorem is referenced by:  finnum  9860  onenon  9861  tskwe  9862  xpnum  9863  isnum3  9866  dfac8alem  9939  djunum  10106  fin67  10305  isfin7-2  10306  gch2  10586  gchacg  10591  znnen  16137  qnnen  16138  met1stc  24465  re2ndc  24745  uniiccdif  25535  dyadmbl  25557  opnmblALT  25560  mbfimaopnlem  25612  aannenlem3  26294  poimirlem32  37853