MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnumi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnumi 9363
Description: A set equinumerous to an ordinal is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
isnumi ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)

Proof of Theorem isnumi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5036 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐵𝐴𝐵))
21rspcev 3574 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑥 ∈ On 𝑥𝐵)
3 isnum2 9362 . 2 (𝐵 ∈ dom card ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝑥𝐵)
42, 3sylibr 237 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2112  wrex 3110   class class class wbr 5033  dom cdm 5523  Oncon0 6163  cen 8493  cardccrd 9352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-ord 6166  df-on 6167  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-en 8497  df-card 9356
This theorem is referenced by:  finnum  9365  onenon  9366  tskwe  9367  xpnum  9368  isnum3  9371  dfac8alem  9444  djunum  9610  fin67  9810  isfin7-2  9811  gch2  10090  gchacg  10095  znnen  15561  qnnen  15562  met1stc  23132  re2ndc  23410  uniiccdif  24186  dyadmbl  24208  opnmblALT  24211  mbfimaopnlem  24263  aannenlem3  24930  poimirlem32  35088
  Copyright terms: Public domain W3C validator