Theorem isnumi 9875

Description: A set equinumerous to an ordinal is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isnumi	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)

Proof of Theorem isnumi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5105	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
2	1	rspcev 3585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐵)
3		isnum2 9874	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom card ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐵)
4	2, 3	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   class class class wbr 5102  dom cdm 5631  Oncon0 6320   ≈ cen 8892  cardccrd 9864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-en 8896  df-card 9868

This theorem is referenced by:  finnum  9877  onenon  9878  tskwe  9879  xpnum  9880  isnum3  9883  dfac8alem  9958  djunum  10125  fin67  10324  isfin7-2  10325  gch2  10604  gchacg  10609  znnen  16156  qnnen  16157  met1stc  24385  re2ndc  24665  uniiccdif  25455  dyadmbl  25477  opnmblALT  25480  mbfimaopnlem  25532  aannenlem3  26214  poimirlem32  37619