MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnumi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnumi 9937
Description: A set equinumerous to an ordinal is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
isnumi ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)

Proof of Theorem isnumi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5141 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐵𝐴𝐵))
21rspcev 3604 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑥 ∈ On 𝑥𝐵)
3 isnum2 9936 . 2 (𝐵 ∈ dom card ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝑥𝐵)
42, 3sylibr 233 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2098  wrex 3062   class class class wbr 5138  dom cdm 5666  Oncon0 6354  cen 8932  cardccrd 9926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ord 6357  df-on 6358  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-en 8936  df-card 9930
This theorem is referenced by:  finnum  9939  onenon  9940  tskwe  9941  xpnum  9942  isnum3  9945  dfac8alem  10020  djunum  10186  fin67  10386  isfin7-2  10387  gch2  10666  gchacg  10671  znnen  16152  qnnen  16153  met1stc  24352  re2ndc  24639  uniiccdif  25429  dyadmbl  25451  opnmblALT  25454  mbfimaopnlem  25506  aannenlem3  26184  poimirlem32  37010
  Copyright terms: Public domain W3C validator