Theorem cardid2 9961

Description: Any numerable set is equinumerous to its cardinal number. Proposition 10.5 of [TakeutiZaring] p. 85. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardid2	⊢ (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem cardid2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardval3 9960	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) = ∩ {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≈ 𝐴})
2		ssrab2 4028	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≈ 𝐴} ⊆ On
3		fvex 6892	. . . . . 6 ⊢ (card‘𝐴) ∈ V
4	1, 3	eqeltrrdi 2869	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → ∩ {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≈ 𝐴} ∈ V)
5		intex 5308	. . . . 5 ⊢ ({𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≈ 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∩ {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≈ 𝐴} ∈ V)
6	4, 5	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≈ 𝐴} ≠ ∅)
7		onint 7790	. . . 4 ⊢ (({𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≈ 𝐴} ⊆ On ∧ {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≈ 𝐴} ≠ ∅) → ∩ {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≈ 𝐴} ∈ {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≈ 𝐴})
8	2, 6, 7	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → ∩ {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≈ 𝐴} ∈ {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≈ 𝐴})
9	1, 8	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ∈ {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≈ 𝐴})
10		breq1 5106	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (card‘𝐴) → (𝑦 ≈ 𝐴 ↔ (card‘𝐴) ≈ 𝐴))
11	10	elrab 3645	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≈ 𝐴} ↔ ((card‘𝐴) ∈ On ∧ (card‘𝐴) ≈ 𝐴))
12	11	simprbi 503	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≈ 𝐴} → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
13	9, 12	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ∩ cint 4907   class class class wbr 5103  dom cdm 5655  Oncon0 6357  ‘cfv 6533   ≈ cen 8952  cardccrd 9943

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-en 8956  df-card 9947

This theorem is used by:  isnum3  9962  oncardid  9964  cardidm  9967  ficardom  9969  ficardid  9970  cardnn  9971  cardnueq0  9972  carden2a  9974  carden2b  9975  carddomi2  9978  sdomsdomcardi  9979  cardsdomelir  9981  cardsdomel  9982  infxpidm2  10023  dfac8b  10037  numdom  10044  alephnbtwn2  10078  alephsucdom  10085  infenaleph  10097  dfac12r  10152  cardadju  10200  pwsdompw  10208  cff1  10263  cfflb  10264  cflim2  10268  cfss  10270  cfslb  10271  domtriomlem  10447  cardid  10558  cardidg  10559  carden  10562  sdomsdomcard  10571  hargch  10685  gch2  10687  hashkf  14399