Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | ispridl2.1 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ πΊ = (1st βπ
) |
2 | | ispridl2.3 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ π = ran πΊ |
3 | 1, 2 | idlss 36478 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π
β RingOps β§ π β (Idlβπ
)) β π β π) |
4 | | ssralv 4011 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β π β (βπ β π βπ β π ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π)) β βπ β π βπ β π ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π)))) |
5 | 3, 4 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π
β RingOps β§ π β (Idlβπ
)) β (βπ β π βπ β π ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π)) β βπ β π βπ β π ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π)))) |
6 | 5 | adantrr 716 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π
β RingOps β§ (π β (Idlβπ
) β§ π β (Idlβπ
))) β (βπ β π βπ β π ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π)) β βπ β π βπ β π ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π)))) |
7 | 1, 2 | idlss 36478 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π
β RingOps β§ π β (Idlβπ
)) β π β π) |
8 | | ssralv 4011 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β π β (βπ β π ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π)) β βπ β π ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π)))) |
9 | 8 | ralimdv 3167 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β π β (βπ β π βπ β π ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π)) β βπ β π βπ β π ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π)))) |
10 | 7, 9 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π
β RingOps β§ π β (Idlβπ
)) β (βπ β π βπ β π ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π)) β βπ β π βπ β π ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π)))) |
11 | 10 | adantrl 715 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π
β RingOps β§ (π β (Idlβπ
) β§ π β (Idlβπ
))) β (βπ β π βπ β π ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π)) β βπ β π βπ β π ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π)))) |
12 | 6, 11 | syld 47 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π
β RingOps β§ (π β (Idlβπ
) β§ π β (Idlβπ
))) β (βπ β π βπ β π ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π)) β βπ β π βπ β π ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π)))) |
13 | 12 | adantlr 714 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π
β RingOps β§ π β (Idlβπ
)) β§ (π β (Idlβπ
) β§ π β (Idlβπ
))) β (βπ β π βπ β π ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π)) β βπ β π βπ β π ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π)))) |
14 | | r19.26-2 3136 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(βπ β
π βπ β π ((ππ»π) β π β§ ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π))) β (βπ β π βπ β π (ππ»π) β π β§ βπ β π βπ β π ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π)))) |
15 | | pm3.35 802 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((ππ»π) β π β§ ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π))) β (π β π β¨ π β π)) |
16 | 15 | 2ralimi 3127 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(βπ β
π βπ β π ((ππ»π) β π β§ ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π))) β βπ β π βπ β π (π β π β¨ π β π)) |
17 | | 2ralor 3220 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(βπ β
π βπ β π (π β π β¨ π β π) β (βπ β π π β π β¨ βπ β π π β π)) |
18 | | dfss3 3933 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β π β βπ β π π β π) |
19 | | dfss3 3933 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β π β βπ β π π β π) |
20 | 18, 19 | orbi12i 914 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β π β¨ π β π) β (βπ β π π β π β¨ βπ β π π β π)) |
21 | 17, 20 | sylbb2 237 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(βπ β
π βπ β π (π β π β¨ π β π) β (π β π β¨ π β π)) |
22 | 16, 21 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(βπ β
π βπ β π ((ππ»π) β π β§ ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π))) β (π β π β¨ π β π)) |
23 | 14, 22 | sylbir 234 |
. . . . . . . . . 10
β’
((βπ β
π βπ β π (ππ»π) β π β§ βπ β π βπ β π ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π))) β (π β π β¨ π β π)) |
24 | 23 | expcom 415 |
. . . . . . . . 9
β’
(βπ β
π βπ β π ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π)) β (βπ β π βπ β π (ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π))) |
25 | 13, 24 | syl6 35 |
. . . . . . . 8
β’ (((π
β RingOps β§ π β (Idlβπ
)) β§ (π β (Idlβπ
) β§ π β (Idlβπ
))) β (βπ β π βπ β π ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π)) β (βπ β π βπ β π (ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π)))) |
26 | 25 | ralrimdvva 3204 |
. . . . . . 7
β’ ((π
β RingOps β§ π β (Idlβπ
)) β (βπ β π βπ β π ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π)) β βπ β (Idlβπ
)βπ β (Idlβπ
)(βπ β π βπ β π (ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π)))) |
27 | 26 | ex 414 |
. . . . . 6
β’ (π
β RingOps β (π β (Idlβπ
) β (βπ β π βπ β π ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π)) β βπ β (Idlβπ
)βπ β (Idlβπ
)(βπ β π βπ β π (ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π))))) |
28 | 27 | adantrd 493 |
. . . . 5
β’ (π
β RingOps β ((π β (Idlβπ
) β§ π β π) β (βπ β π βπ β π ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π)) β βπ β (Idlβπ
)βπ β (Idlβπ
)(βπ β π βπ β π (ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π))))) |
29 | 28 | imdistand 572 |
. . . 4
β’ (π
β RingOps β (((π β (Idlβπ
) β§ π β π) β§ βπ β π βπ β π ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π))) β ((π β (Idlβπ
) β§ π β π) β§ βπ β (Idlβπ
)βπ β (Idlβπ
)(βπ β π βπ β π (ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π))))) |
30 | | df-3an 1090 |
. . . 4
β’ ((π β (Idlβπ
) β§ π β π β§ βπ β π βπ β π ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π))) β ((π β (Idlβπ
) β§ π β π) β§ βπ β π βπ β π ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π)))) |
31 | | df-3an 1090 |
. . . 4
β’ ((π β (Idlβπ
) β§ π β π β§ βπ β (Idlβπ
)βπ β (Idlβπ
)(βπ β π βπ β π (ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π))) β ((π β (Idlβπ
) β§ π β π) β§ βπ β (Idlβπ
)βπ β (Idlβπ
)(βπ β π βπ β π (ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π)))) |
32 | 29, 30, 31 | 3imtr4g 296 |
. . 3
β’ (π
β RingOps β ((π β (Idlβπ
) β§ π β π β§ βπ β π βπ β π ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π))) β (π β (Idlβπ
) β§ π β π β§ βπ β (Idlβπ
)βπ β (Idlβπ
)(βπ β π βπ β π (ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π))))) |
33 | | ispridl2.2 |
. . . 4
β’ π» = (2nd βπ
) |
34 | 1, 33, 2 | ispridl 36496 |
. . 3
β’ (π
β RingOps β (π β (PrIdlβπ
) β (π β (Idlβπ
) β§ π β π β§ βπ β (Idlβπ
)βπ β (Idlβπ
)(βπ β π βπ β π (ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π))))) |
35 | 32, 34 | sylibrd 259 |
. 2
β’ (π
β RingOps β ((π β (Idlβπ
) β§ π β π β§ βπ β π βπ β π ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π))) β π β (PrIdlβπ
))) |
36 | 35 | imp 408 |
1
β’ ((π
β RingOps β§ (π β (Idlβπ
) β§ π β π β§ βπ β π βπ β π ((ππ»π) β π β (π β π β¨ π β π)))) β π β (PrIdlβπ
)) |