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Theorem ispridlc 37451
Description: The predicate "is a prime ideal". Alternate definition for commutative rings. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
ispridlc.1 𝐺 = (1st β€˜π‘…)
ispridlc.2 𝐻 = (2nd β€˜π‘…)
ispridlc.3 𝑋 = ran 𝐺
Assertion
Ref Expression
ispridlc (𝑅 ∈ CRingOps β†’ (𝑃 ∈ (PrIdlβ€˜π‘…) ↔ (𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…) ∧ 𝑃 β‰  𝑋 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ((π‘Žπ»π‘) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))))
Distinct variable groups:   𝑅,π‘Ž,𝑏   𝑃,π‘Ž,𝑏   𝑋,π‘Ž,𝑏   𝐻,π‘Ž,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem ispridlc
Dummy variables π‘₯ 𝑦 π‘Ÿ 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngorngo 37381 . . . 4 (𝑅 ∈ CRingOps β†’ 𝑅 ∈ RingOps)
2 ispridlc.1 . . . . 5 𝐺 = (1st β€˜π‘…)
3 ispridlc.2 . . . . 5 𝐻 = (2nd β€˜π‘…)
4 ispridlc.3 . . . . 5 𝑋 = ran 𝐺
52, 3, 4ispridl 37415 . . . 4 (𝑅 ∈ RingOps β†’ (𝑃 ∈ (PrIdlβ€˜π‘…) ↔ (𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…) ∧ 𝑃 β‰  𝑋 ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Idlβ€˜π‘…)βˆ€π‘  ∈ (Idlβ€˜π‘…)(βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ÿ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ÿ βŠ† 𝑃 ∨ 𝑠 βŠ† 𝑃)))))
61, 5syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ CRingOps β†’ (𝑃 ∈ (PrIdlβ€˜π‘…) ↔ (𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…) ∧ 𝑃 β‰  𝑋 ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Idlβ€˜π‘…)βˆ€π‘  ∈ (Idlβ€˜π‘…)(βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ÿ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ÿ βŠ† 𝑃 ∨ 𝑠 βŠ† 𝑃)))))
7 snssi 4806 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž ∈ 𝑋 β†’ {π‘Ž} βŠ† 𝑋)
82, 4igenidl 37444 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ RingOps ∧ {π‘Ž} βŠ† 𝑋) β†’ (𝑅 IdlGen {π‘Ž}) ∈ (Idlβ€˜π‘…))
91, 7, 8syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ (𝑅 IdlGen {π‘Ž}) ∈ (Idlβ€˜π‘…))
109adantrr 714 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 IdlGen {π‘Ž}) ∈ (Idlβ€˜π‘…))
11 snssi 4806 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ 𝑋 β†’ {𝑏} βŠ† 𝑋)
122, 4igenidl 37444 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ RingOps ∧ {𝑏} βŠ† 𝑋) β†’ (𝑅 IdlGen {𝑏}) ∈ (Idlβ€˜π‘…))
131, 11, 12syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) β†’ (𝑅 IdlGen {𝑏}) ∈ (Idlβ€˜π‘…))
1413adantrl 713 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 IdlGen {𝑏}) ∈ (Idlβ€˜π‘…))
15 raleq 3316 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ = (𝑅 IdlGen {π‘Ž}) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ÿ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑅 IdlGen {π‘Ž})βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃))
16 sseq1 4002 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ÿ = (𝑅 IdlGen {π‘Ž}) β†’ (π‘Ÿ βŠ† 𝑃 ↔ (𝑅 IdlGen {π‘Ž}) βŠ† 𝑃))
1716orbi1d 913 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ = (𝑅 IdlGen {π‘Ž}) β†’ ((π‘Ÿ βŠ† 𝑃 ∨ 𝑠 βŠ† 𝑃) ↔ ((𝑅 IdlGen {π‘Ž}) βŠ† 𝑃 ∨ 𝑠 βŠ† 𝑃)))
1815, 17imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ = (𝑅 IdlGen {π‘Ž}) β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ÿ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ÿ βŠ† 𝑃 ∨ 𝑠 βŠ† 𝑃)) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑅 IdlGen {π‘Ž})βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃 β†’ ((𝑅 IdlGen {π‘Ž}) βŠ† 𝑃 ∨ 𝑠 βŠ† 𝑃))))
19 raleq 3316 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = (𝑅 IdlGen {𝑏}) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑅 IdlGen {𝑏})(π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃))
2019ralbidv 3171 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = (𝑅 IdlGen {𝑏}) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑅 IdlGen {π‘Ž})βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑅 IdlGen {π‘Ž})βˆ€π‘¦ ∈ (𝑅 IdlGen {𝑏})(π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃))
21 sseq1 4002 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = (𝑅 IdlGen {𝑏}) β†’ (𝑠 βŠ† 𝑃 ↔ (𝑅 IdlGen {𝑏}) βŠ† 𝑃))
2221orbi2d 912 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = (𝑅 IdlGen {𝑏}) β†’ (((𝑅 IdlGen {π‘Ž}) βŠ† 𝑃 ∨ 𝑠 βŠ† 𝑃) ↔ ((𝑅 IdlGen {π‘Ž}) βŠ† 𝑃 ∨ (𝑅 IdlGen {𝑏}) βŠ† 𝑃)))
2320, 22imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = (𝑅 IdlGen {𝑏}) β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ (𝑅 IdlGen {π‘Ž})βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃 β†’ ((𝑅 IdlGen {π‘Ž}) βŠ† 𝑃 ∨ 𝑠 βŠ† 𝑃)) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑅 IdlGen {π‘Ž})βˆ€π‘¦ ∈ (𝑅 IdlGen {𝑏})(π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃 β†’ ((𝑅 IdlGen {π‘Ž}) βŠ† 𝑃 ∨ (𝑅 IdlGen {𝑏}) βŠ† 𝑃))))
2418, 23rspc2v 3617 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 IdlGen {π‘Ž}) ∈ (Idlβ€˜π‘…) ∧ (𝑅 IdlGen {𝑏}) ∈ (Idlβ€˜π‘…)) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ (Idlβ€˜π‘…)βˆ€π‘  ∈ (Idlβ€˜π‘…)(βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ÿ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ÿ βŠ† 𝑃 ∨ 𝑠 βŠ† 𝑃)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑅 IdlGen {π‘Ž})βˆ€π‘¦ ∈ (𝑅 IdlGen {𝑏})(π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃 β†’ ((𝑅 IdlGen {π‘Ž}) βŠ† 𝑃 ∨ (𝑅 IdlGen {𝑏}) βŠ† 𝑃))))
2510, 14, 24syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ (Idlβ€˜π‘…)βˆ€π‘  ∈ (Idlβ€˜π‘…)(βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ÿ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ÿ βŠ† 𝑃 ∨ 𝑠 βŠ† 𝑃)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑅 IdlGen {π‘Ž})βˆ€π‘¦ ∈ (𝑅 IdlGen {𝑏})(π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃 β†’ ((𝑅 IdlGen {π‘Ž}) βŠ† 𝑃 ∨ (𝑅 IdlGen {𝑏}) βŠ† 𝑃))))
2625adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ (Idlβ€˜π‘…)βˆ€π‘  ∈ (Idlβ€˜π‘…)(βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ÿ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ÿ βŠ† 𝑃 ∨ 𝑠 βŠ† 𝑃)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑅 IdlGen {π‘Ž})βˆ€π‘¦ ∈ (𝑅 IdlGen {𝑏})(π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃 β†’ ((𝑅 IdlGen {π‘Ž}) βŠ† 𝑃 ∨ (𝑅 IdlGen {𝑏}) βŠ† 𝑃))))
272, 3, 4prnc 37448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ (𝑅 IdlGen {π‘Ž}) = {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑋 π‘₯ = (π‘Ÿπ»π‘Ž)})
28 df-rab 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑋 π‘₯ = (π‘Ÿπ»π‘Ž)} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑋 π‘₯ = (π‘Ÿπ»π‘Ž))}
2927, 28eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ (𝑅 IdlGen {π‘Ž}) = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑋 π‘₯ = (π‘Ÿπ»π‘Ž))})
3029eqabrd 2870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑅 IdlGen {π‘Ž}) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑋 π‘₯ = (π‘Ÿπ»π‘Ž))))
3130adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑅 IdlGen {π‘Ž}) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑋 π‘₯ = (π‘Ÿπ»π‘Ž))))
322, 3, 4prnc 37448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) β†’ (𝑅 IdlGen {𝑏}) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ βˆƒπ‘  ∈ 𝑋 𝑦 = (𝑠𝐻𝑏)})
33 df-rab 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ βˆƒπ‘  ∈ 𝑋 𝑦 = (𝑠𝐻𝑏)} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑋 𝑦 = (𝑠𝐻𝑏))}
3432, 33eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) β†’ (𝑅 IdlGen {𝑏}) = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑋 𝑦 = (𝑠𝐻𝑏))})
3534eqabrd 2870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 IdlGen {𝑏}) ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑋 𝑦 = (𝑠𝐻𝑏))))
3635adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 IdlGen {𝑏}) ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑋 𝑦 = (𝑠𝐻𝑏))))
3731, 36anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑅 IdlGen {π‘Ž}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑅 IdlGen {𝑏})) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑋 π‘₯ = (π‘Ÿπ»π‘Ž)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑋 𝑦 = (𝑠𝐻𝑏)))))
3837adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑅 IdlGen {π‘Ž}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑅 IdlGen {𝑏})) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑋 π‘₯ = (π‘Ÿπ»π‘Ž)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑋 𝑦 = (𝑠𝐻𝑏)))))
3938adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘Žπ»π‘) ∈ 𝑃) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑅 IdlGen {π‘Ž}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑅 IdlGen {𝑏})) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑋 π‘₯ = (π‘Ÿπ»π‘Ž)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑋 𝑦 = (𝑠𝐻𝑏)))))
40 reeanv 3220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘  ∈ 𝑋 (π‘₯ = (π‘Ÿπ»π‘Ž) ∧ 𝑦 = (𝑠𝐻𝑏)) ↔ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑋 π‘₯ = (π‘Ÿπ»π‘Ž) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑋 𝑦 = (𝑠𝐻𝑏)))
4140anbi2i 622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘  ∈ 𝑋 (π‘₯ = (π‘Ÿπ»π‘Ž) ∧ 𝑦 = (𝑠𝐻𝑏))) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑋 π‘₯ = (π‘Ÿπ»π‘Ž) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑋 𝑦 = (𝑠𝐻𝑏))))
42 an4 653 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑋 π‘₯ = (π‘Ÿπ»π‘Ž) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑋 𝑦 = (𝑠𝐻𝑏))) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑋 π‘₯ = (π‘Ÿπ»π‘Ž)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑋 𝑦 = (𝑠𝐻𝑏))))
4341, 42bitri 275 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘  ∈ 𝑋 (π‘₯ = (π‘Ÿπ»π‘Ž) ∧ 𝑦 = (𝑠𝐻𝑏))) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑋 π‘₯ = (π‘Ÿπ»π‘Ž)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑋 𝑦 = (𝑠𝐻𝑏))))
442, 3, 4crngm4 37384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Ÿπ»π‘ )𝐻(π‘Žπ»π‘)) = ((π‘Ÿπ»π‘Ž)𝐻(𝑠𝐻𝑏)))
45443com23 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Ÿπ»π‘ )𝐻(π‘Žπ»π‘)) = ((π‘Ÿπ»π‘Ž)𝐻(𝑠𝐻𝑏)))
46453expa 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ CRingOps ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Ÿπ»π‘ )𝐻(π‘Žπ»π‘)) = ((π‘Ÿπ»π‘Ž)𝐻(𝑠𝐻𝑏)))
4746adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Ÿπ»π‘ )𝐻(π‘Žπ»π‘)) = ((π‘Ÿπ»π‘Ž)𝐻(𝑠𝐻𝑏)))
4847adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘Žπ»π‘) ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Ÿπ»π‘ )𝐻(π‘Žπ»π‘)) = ((π‘Ÿπ»π‘Ž)𝐻(𝑠𝐻𝑏)))
492, 3, 4rngocl 37282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑅 ∈ RingOps ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Ÿπ»π‘ ) ∈ 𝑋)
501, 49syl3an1 1160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Ÿπ»π‘ ) ∈ 𝑋)
51503expb 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Ÿπ»π‘ ) ∈ 𝑋)
5251adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Ÿπ»π‘ ) ∈ 𝑋)
5352adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Žπ»π‘) ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Ÿπ»π‘ ) ∈ 𝑋)
542, 3, 4idllmulcl 37401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ RingOps ∧ 𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…)) ∧ ((π‘Žπ»π‘) ∈ 𝑃 ∧ (π‘Ÿπ»π‘ ) ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Ÿπ»π‘ )𝐻(π‘Žπ»π‘)) ∈ 𝑃)
551, 54sylanl1 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…)) ∧ ((π‘Žπ»π‘) ∈ 𝑃 ∧ (π‘Ÿπ»π‘ ) ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Ÿπ»π‘ )𝐻(π‘Žπ»π‘)) ∈ 𝑃)
5655anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Žπ»π‘) ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿπ»π‘ ) ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Ÿπ»π‘ )𝐻(π‘Žπ»π‘)) ∈ 𝑃)
5753, 56syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Žπ»π‘) ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Ÿπ»π‘ )𝐻(π‘Žπ»π‘)) ∈ 𝑃)
5857adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘Žπ»π‘) ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Ÿπ»π‘ )𝐻(π‘Žπ»π‘)) ∈ 𝑃)
5948, 58eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘Žπ»π‘) ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Ÿπ»π‘Ž)𝐻(𝑠𝐻𝑏)) ∈ 𝑃)
60 oveq12 7414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ = (π‘Ÿπ»π‘Ž) ∧ 𝑦 = (𝑠𝐻𝑏)) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) = ((π‘Ÿπ»π‘Ž)𝐻(𝑠𝐻𝑏)))
6160eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ = (π‘Ÿπ»π‘Ž) ∧ 𝑦 = (𝑠𝐻𝑏)) β†’ ((π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃 ↔ ((π‘Ÿπ»π‘Ž)𝐻(𝑠𝐻𝑏)) ∈ 𝑃))
6259, 61syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘Žπ»π‘) ∈ 𝑃) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ = (π‘Ÿπ»π‘Ž) ∧ 𝑦 = (𝑠𝐻𝑏)) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃))
6362rexlimdvva 3205 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘Žπ»π‘) ∈ 𝑃) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘  ∈ 𝑋 (π‘₯ = (π‘Ÿπ»π‘Ž) ∧ 𝑦 = (𝑠𝐻𝑏)) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃))
6463adantld 490 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘Žπ»π‘) ∈ 𝑃) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘  ∈ 𝑋 (π‘₯ = (π‘Ÿπ»π‘Ž) ∧ 𝑦 = (𝑠𝐻𝑏))) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃))
6543, 64biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘Žπ»π‘) ∈ 𝑃) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑋 π‘₯ = (π‘Ÿπ»π‘Ž)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑋 𝑦 = (𝑠𝐻𝑏))) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃))
6639, 65sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘Žπ»π‘) ∈ 𝑃) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑅 IdlGen {π‘Ž}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑅 IdlGen {𝑏})) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃))
6766ralrimivv 3192 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ∧ (π‘Žπ»π‘) ∈ 𝑃) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑅 IdlGen {π‘Ž})βˆ€π‘¦ ∈ (𝑅 IdlGen {𝑏})(π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃)
6867ex 412 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Žπ»π‘) ∈ 𝑃 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑅 IdlGen {π‘Ž})βˆ€π‘¦ ∈ (𝑅 IdlGen {𝑏})(π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃))
692, 4igenss 37443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ RingOps ∧ {π‘Ž} βŠ† 𝑋) β†’ {π‘Ž} βŠ† (𝑅 IdlGen {π‘Ž}))
701, 7, 69syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ {π‘Ž} βŠ† (𝑅 IdlGen {π‘Ž}))
71 vex 3472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π‘Ž ∈ V
7271snss 4784 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž ∈ (𝑅 IdlGen {π‘Ž}) ↔ {π‘Ž} βŠ† (𝑅 IdlGen {π‘Ž}))
7370, 72sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ π‘Ž ∈ 𝑋) β†’ π‘Ž ∈ (𝑅 IdlGen {π‘Ž}))
7473adantrr 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ π‘Ž ∈ (𝑅 IdlGen {π‘Ž}))
75 ssel 3970 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 IdlGen {π‘Ž}) βŠ† 𝑃 β†’ (π‘Ž ∈ (𝑅 IdlGen {π‘Ž}) β†’ π‘Ž ∈ 𝑃))
7674, 75syl5com 31 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑅 IdlGen {π‘Ž}) βŠ† 𝑃 β†’ π‘Ž ∈ 𝑃))
772, 4igenss 37443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ RingOps ∧ {𝑏} βŠ† 𝑋) β†’ {𝑏} βŠ† (𝑅 IdlGen {𝑏}))
781, 11, 77syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) β†’ {𝑏} βŠ† (𝑅 IdlGen {𝑏}))
79 vex 3472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑏 ∈ V
8079snss 4784 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ (𝑅 IdlGen {𝑏}) ↔ {𝑏} βŠ† (𝑅 IdlGen {𝑏}))
8178, 80sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) β†’ 𝑏 ∈ (𝑅 IdlGen {𝑏}))
8281adantrl 713 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑏 ∈ (𝑅 IdlGen {𝑏}))
83 ssel 3970 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 IdlGen {𝑏}) βŠ† 𝑃 β†’ (𝑏 ∈ (𝑅 IdlGen {𝑏}) β†’ 𝑏 ∈ 𝑃))
8482, 83syl5com 31 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑅 IdlGen {𝑏}) βŠ† 𝑃 β†’ 𝑏 ∈ 𝑃))
8576, 84orim12d 961 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (((𝑅 IdlGen {π‘Ž}) βŠ† 𝑃 ∨ (𝑅 IdlGen {𝑏}) βŠ† 𝑃) β†’ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))
8685adantlr 712 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (((𝑅 IdlGen {π‘Ž}) βŠ† 𝑃 ∨ (𝑅 IdlGen {𝑏}) βŠ† 𝑃) β†’ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))
8768, 86imim12d 81 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ (𝑅 IdlGen {π‘Ž})βˆ€π‘¦ ∈ (𝑅 IdlGen {𝑏})(π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃 β†’ ((𝑅 IdlGen {π‘Ž}) βŠ† 𝑃 ∨ (𝑅 IdlGen {𝑏}) βŠ† 𝑃)) β†’ ((π‘Žπ»π‘) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃))))
8826, 87syld 47 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…)) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ (Idlβ€˜π‘…)βˆ€π‘  ∈ (Idlβ€˜π‘…)(βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ÿ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ÿ βŠ† 𝑃 ∨ 𝑠 βŠ† 𝑃)) β†’ ((π‘Žπ»π‘) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃))))
8988ralrimdvva 3203 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRingOps ∧ 𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…)) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ (Idlβ€˜π‘…)βˆ€π‘  ∈ (Idlβ€˜π‘…)(βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ÿ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ÿ βŠ† 𝑃 ∨ 𝑠 βŠ† 𝑃)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ((π‘Žπ»π‘) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃))))
9089ex 412 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRingOps β†’ (𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ (Idlβ€˜π‘…)βˆ€π‘  ∈ (Idlβ€˜π‘…)(βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ÿ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ÿ βŠ† 𝑃 ∨ 𝑠 βŠ† 𝑃)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ((π‘Žπ»π‘) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))))
9190adantrd 491 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRingOps β†’ ((𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…) ∧ 𝑃 β‰  𝑋) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ (Idlβ€˜π‘…)βˆ€π‘  ∈ (Idlβ€˜π‘…)(βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ÿ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ÿ βŠ† 𝑃 ∨ 𝑠 βŠ† 𝑃)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ((π‘Žπ»π‘) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))))
9291imdistand 570 . . . 4 (𝑅 ∈ CRingOps β†’ (((𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…) ∧ 𝑃 β‰  𝑋) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Idlβ€˜π‘…)βˆ€π‘  ∈ (Idlβ€˜π‘…)(βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ÿ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ÿ βŠ† 𝑃 ∨ 𝑠 βŠ† 𝑃))) β†’ ((𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…) ∧ 𝑃 β‰  𝑋) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ((π‘Žπ»π‘) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))))
93 df-3an 1086 . . . 4 ((𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…) ∧ 𝑃 β‰  𝑋 ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Idlβ€˜π‘…)βˆ€π‘  ∈ (Idlβ€˜π‘…)(βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ÿ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ÿ βŠ† 𝑃 ∨ 𝑠 βŠ† 𝑃))) ↔ ((𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…) ∧ 𝑃 β‰  𝑋) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Idlβ€˜π‘…)βˆ€π‘  ∈ (Idlβ€˜π‘…)(βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ÿ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ÿ βŠ† 𝑃 ∨ 𝑠 βŠ† 𝑃))))
94 df-3an 1086 . . . 4 ((𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…) ∧ 𝑃 β‰  𝑋 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ((π‘Žπ»π‘) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃))) ↔ ((𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…) ∧ 𝑃 β‰  𝑋) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ((π‘Žπ»π‘) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃))))
9592, 93, 943imtr4g 296 . . 3 (𝑅 ∈ CRingOps β†’ ((𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…) ∧ 𝑃 β‰  𝑋 ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Idlβ€˜π‘…)βˆ€π‘  ∈ (Idlβ€˜π‘…)(βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ÿ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯𝐻𝑦) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ÿ βŠ† 𝑃 ∨ 𝑠 βŠ† 𝑃))) β†’ (𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…) ∧ 𝑃 β‰  𝑋 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ((π‘Žπ»π‘) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))))
966, 95sylbid 239 . 2 (𝑅 ∈ CRingOps β†’ (𝑃 ∈ (PrIdlβ€˜π‘…) β†’ (𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…) ∧ 𝑃 β‰  𝑋 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ((π‘Žπ»π‘) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))))
972, 3, 4ispridl2 37419 . . . 4 ((𝑅 ∈ RingOps ∧ (𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…) ∧ 𝑃 β‰  𝑋 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ((π‘Žπ»π‘) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))) β†’ 𝑃 ∈ (PrIdlβ€˜π‘…))
9897ex 412 . . 3 (𝑅 ∈ RingOps β†’ ((𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…) ∧ 𝑃 β‰  𝑋 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ((π‘Žπ»π‘) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃))) β†’ 𝑃 ∈ (PrIdlβ€˜π‘…)))
991, 98syl 17 . 2 (𝑅 ∈ CRingOps β†’ ((𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…) ∧ 𝑃 β‰  𝑋 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ((π‘Žπ»π‘) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃))) β†’ 𝑃 ∈ (PrIdlβ€˜π‘…)))
10096, 99impbid 211 1 (𝑅 ∈ CRingOps β†’ (𝑃 ∈ (PrIdlβ€˜π‘…) ↔ (𝑃 ∈ (Idlβ€˜π‘…) ∧ 𝑃 β‰  𝑋 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ((π‘Žπ»π‘) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2703   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  {crab 3426   βŠ† wss 3943  {csn 4623  ran crn 5670  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  1st c1st 7972  2nd c2nd 7973  RingOpscrngo 37275  CRingOpsccring 37374  Idlcidl 37388  PrIdlcpridl 37389   IdlGen cigen 37440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-grpo 30255  df-gid 30256  df-ginv 30257  df-ablo 30307  df-ass 37224  df-exid 37226  df-mgmOLD 37230  df-sgrOLD 37242  df-mndo 37248  df-rngo 37276  df-com2 37371  df-crngo 37375  df-idl 37391  df-pridl 37392  df-igen 37441
This theorem is referenced by:  pridlc  37452  isdmn3  37455
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