Theorem hhsst 31341

Description: A member of S_ℋ is a subspace. (Contributed by NM, 6-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhsst.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhsst.2	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩

Assertion

Ref	Expression
hhsst	⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))

Proof of Theorem hhsst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhsst.2	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
2	1	hhssnvt 31340	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝑊 ∈ NrmCVec)
3		resss 5960	. . . 4 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ
4		resss 5960	. . . 4 ⊢ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·ℎ
5		resss 5960	. . . 4 ⊢ (normℎ ↾ 𝐻) ⊆ normℎ
6	3, 4, 5	3pm3.2i 1340	. . 3 ⊢ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ ∧ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·ℎ ∧ (normℎ ↾ 𝐻) ⊆ normℎ)
7	2, 6	jctir 520	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ ∧ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·ℎ ∧ (normℎ ↾ 𝐻) ⊆ normℎ)))
8		hhsst.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
9	8	hhnv 31240	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
10	8	hhva 31241	. . . 4 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
11	1	hhssva 31332	. . . 4 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( +𝑣 ‘𝑊)
12	8	hhsm 31244	. . . 4 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
13	1	hhsssm 31333	. . . 4 ⊢ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
14	8	hhnm 31246	. . . 4 ⊢ normℎ = (normCV‘𝑈)
15	1	hhssnm 31334	. . . 4 ⊢ (normℎ ↾ 𝐻) = (normCV‘𝑊)
16		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
17	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	isssp 30799	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ ∧ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·ℎ ∧ (normℎ ↾ 𝐻) ⊆ normℎ))))
18	9, 17	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ ∧ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·ℎ ∧ (normℎ ↾ 𝐻) ⊆ normℎ)))
19	7, 18	sylibr 234	1 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901  ⟨cop 4586   × cxp 5622   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  ℂcc 11024  NrmCVeccnv 30659  SubSpcss 30796   +_ℎ cva 30995   ·_ℎ csm 30996  norm_ℎcno 30998   S_ℋ csh 31003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105  ax-mulf 11106  ax-hilex 31074  ax-hfvadd 31075  ax-hvcom 31076  ax-hvass 31077  ax-hv0cl 31078  ax-hvaddid 31079  ax-hfvmul 31080  ax-hvmulid 31081  ax-hvmulass 31082  ax-hvdistr1 31083  ax-hvdistr2 31084  ax-hvmul0 31085  ax-hfi 31154  ax-his1 31157  ax-his2 31158  ax-his3 31159  ax-his4 31160

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-icc 13268  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-topgen 17363  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-top 22838  df-topon 22855  df-bases 22890  df-lm 23173  df-haus 23259  df-grpo 30568  df-gid 30569  df-ginv 30570  df-gdiv 30571  df-ablo 30620  df-vc 30634  df-nv 30667  df-va 30670  df-ba 30671  df-sm 30672  df-0v 30673  df-vs 30674  df-nmcv 30675  df-ims 30676  df-ssp 30797  df-hnorm 31043  df-hba 31044  df-hvsub 31046  df-hlim 31047  df-sh 31282  df-ch 31296  df-ch0 31328

This theorem is referenced by:  hhsssh  31344  hhssba  31346  hhssvs  31347  pjhthlem2  31467