HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhsst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhsst 31193
Description: A member of S is a subspace. (Contributed by NM, 6-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhsst.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
hhsst.2 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
Assertion
Ref Expression
hhsst (𝐻S𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))

Proof of Theorem hhsst
StepHypRef Expression
1 hhsst.2 . . . 4 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
21hhssnvt 31192 . . 3 (𝐻S𝑊 ∈ NrmCVec)
3 resss 6001 . . . 4 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +
4 resss 6001 . . . 4 ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·
5 resss 6001 . . . 4 (norm𝐻) ⊆ norm
63, 4, 53pm3.2i 1336 . . 3 (( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ + ∧ ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ · ∧ (norm𝐻) ⊆ norm)
72, 6jctir 519 . 2 (𝐻S → (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ + ∧ ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ · ∧ (norm𝐻) ⊆ norm)))
8 hhsst.1 . . . 4 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
98hhnv 31092 . . 3 𝑈 ∈ NrmCVec
108hhva 31093 . . . 4 + = ( +𝑣𝑈)
111hhssva 31184 . . . 4 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( +𝑣𝑊)
128hhsm 31096 . . . 4 · = ( ·𝑠OLD𝑈)
131hhsssm 31185 . . . 4 ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) = ( ·𝑠OLD𝑊)
148hhnm 31098 . . . 4 norm = (normCV𝑈)
151hhssnm 31186 . . . 4 (norm𝐻) = (normCV𝑊)
16 eqid 2726 . . . 4 (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
1710, 11, 12, 13, 14, 15, 16isssp 30651 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ + ∧ ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ · ∧ (norm𝐻) ⊆ norm))))
189, 17ax-mp 5 . 2 (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ + ∧ ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ · ∧ (norm𝐻) ⊆ norm)))
197, 18sylibr 233 1 (𝐻S𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wss 3946  cop 4629   × cxp 5670  cres 5674  cfv 6543  cc 11144  NrmCVeccnv 30511  SubSpcss 30648   + cva 30847   · csm 30848  normcno 30850   S csh 30855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226  ax-hilex 30926  ax-hfvadd 30927  ax-hvcom 30928  ax-hvass 30929  ax-hv0cl 30930  ax-hvaddid 30931  ax-hfvmul 30932  ax-hvmulid 30933  ax-hvmulass 30934  ax-hvdistr1 30935  ax-hvdistr2 30936  ax-hvmul0 30937  ax-hfi 31006  ax-his1 31009  ax-his2 31010  ax-his3 31011  ax-his4 31012
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-map 8846  df-pm 8847  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12256  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-n0 12516  df-z 12602  df-uz 12866  df-q 12976  df-rp 13020  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-icc 13376  df-seq 14013  df-exp 14073  df-cj 15096  df-re 15097  df-im 15098  df-sqrt 15232  df-abs 15233  df-topgen 17450  df-psmet 21328  df-xmet 21329  df-met 21330  df-bl 21331  df-mopn 21332  df-top 22881  df-topon 22898  df-bases 22934  df-lm 23218  df-haus 23304  df-grpo 30420  df-gid 30421  df-ginv 30422  df-gdiv 30423  df-ablo 30472  df-vc 30486  df-nv 30519  df-va 30522  df-ba 30523  df-sm 30524  df-0v 30525  df-vs 30526  df-nmcv 30527  df-ims 30528  df-ssp 30649  df-hnorm 30895  df-hba 30896  df-hvsub 30898  df-hlim 30899  df-sh 31134  df-ch 31148  df-ch0 31180
This theorem is referenced by:  hhsssh  31196  hhssba  31198  hhssvs  31199  pjhthlem2  31319
  Copyright terms: Public domain W3C validator