Theorem hhsst 31193

Description: A member of S_ℋ is a subspace. (Contributed by NM, 6-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhsst.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhsst.2	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩

Assertion

Ref	Expression
hhsst	⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))

Proof of Theorem hhsst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhsst.2	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
2	1	hhssnvt 31192	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝑊 ∈ NrmCVec)
3		resss 6001	. . . 4 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ
4		resss 6001	. . . 4 ⊢ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·ℎ
5		resss 6001	. . . 4 ⊢ (normℎ ↾ 𝐻) ⊆ normℎ
6	3, 4, 5	3pm3.2i 1336	. . 3 ⊢ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ ∧ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·ℎ ∧ (normℎ ↾ 𝐻) ⊆ normℎ)
7	2, 6	jctir 519	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ ∧ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·ℎ ∧ (normℎ ↾ 𝐻) ⊆ normℎ)))
8		hhsst.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
9	8	hhnv 31092	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
10	8	hhva 31093	. . . 4 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
11	1	hhssva 31184	. . . 4 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( +𝑣 ‘𝑊)
12	8	hhsm 31096	. . . 4 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
13	1	hhsssm 31185	. . . 4 ⊢ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
14	8	hhnm 31098	. . . 4 ⊢ normℎ = (normCV‘𝑈)
15	1	hhssnm 31186	. . . 4 ⊢ (normℎ ↾ 𝐻) = (normCV‘𝑊)
16		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
17	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	isssp 30651	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ ∧ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·ℎ ∧ (normℎ ↾ 𝐻) ⊆ normℎ))))
18	9, 17	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ ∧ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·ℎ ∧ (normℎ ↾ 𝐻) ⊆ normℎ)))
19	7, 18	sylibr 233	1 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3946  ⟨cop 4629   × cxp 5670   ↾ cres 5674  ‘cfv 6543  ℂcc 11144  NrmCVeccnv 30511  SubSpcss 30648   +_ℎ cva 30847   ·_ℎ csm 30848  norm_ℎcno 30850   S_ℋ csh 30855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226  ax-hilex 30926  ax-hfvadd 30927  ax-hvcom 30928  ax-hvass 30929  ax-hv0cl 30930  ax-hvaddid 30931  ax-hfvmul 30932  ax-hvmulid 30933  ax-hvmulass 30934  ax-hvdistr1 30935  ax-hvdistr2 30936  ax-hvmul0 30937  ax-hfi 31006  ax-his1 31009  ax-his2 31010  ax-his3 31011  ax-his4 31012

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-map 8846  df-pm 8847  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12256  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-n0 12516  df-z 12602  df-uz 12866  df-q 12976  df-rp 13020  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-icc 13376  df-seq 14013  df-exp 14073  df-cj 15096  df-re 15097  df-im 15098  df-sqrt 15232  df-abs 15233  df-topgen 17450  df-psmet 21328  df-xmet 21329  df-met 21330  df-bl 21331  df-mopn 21332  df-top 22881  df-topon 22898  df-bases 22934  df-lm 23218  df-haus 23304  df-grpo 30420  df-gid 30421  df-ginv 30422  df-gdiv 30423  df-ablo 30472  df-vc 30486  df-nv 30519  df-va 30522  df-ba 30523  df-sm 30524  df-0v 30525  df-vs 30526  df-nmcv 30527  df-ims 30528  df-ssp 30649  df-hnorm 30895  df-hba 30896  df-hvsub 30898  df-hlim 30899  df-sh 31134  df-ch 31148  df-ch0 31180

This theorem is referenced by:  hhsssh  31196  hhssba  31198  hhssvs  31199  pjhthlem2  31319