Theorem hhsst 31253

Description: A member of S_ℋ is a subspace. (Contributed by NM, 6-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhsst.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhsst.2	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩

Assertion

Ref	Expression
hhsst	⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))

Proof of Theorem hhsst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhsst.2	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
2	1	hhssnvt 31252	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝑊 ∈ NrmCVec)
3		resss 5955	. . . 4 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ
4		resss 5955	. . . 4 ⊢ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·ℎ
5		resss 5955	. . . 4 ⊢ (normℎ ↾ 𝐻) ⊆ normℎ
6	3, 4, 5	3pm3.2i 1340	. . 3 ⊢ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ ∧ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·ℎ ∧ (normℎ ↾ 𝐻) ⊆ normℎ)
7	2, 6	jctir 520	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ ∧ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·ℎ ∧ (normℎ ↾ 𝐻) ⊆ normℎ)))
8		hhsst.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
9	8	hhnv 31152	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
10	8	hhva 31153	. . . 4 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
11	1	hhssva 31244	. . . 4 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( +𝑣 ‘𝑊)
12	8	hhsm 31156	. . . 4 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
13	1	hhsssm 31245	. . . 4 ⊢ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
14	8	hhnm 31158	. . . 4 ⊢ normℎ = (normCV‘𝑈)
15	1	hhssnm 31246	. . . 4 ⊢ (normℎ ↾ 𝐻) = (normCV‘𝑊)
16		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
17	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	isssp 30711	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ ∧ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·ℎ ∧ (normℎ ↾ 𝐻) ⊆ normℎ))))
18	9, 17	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ ∧ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·ℎ ∧ (normℎ ↾ 𝐻) ⊆ normℎ)))
19	7, 18	sylibr 234	1 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  ⟨cop 4581   × cxp 5617   ↾ cres 5621  ‘cfv 6487  ℂcc 11010  NrmCVeccnv 30571  SubSpcss 30708   +_ℎ cva 30907   ·_ℎ csm 30908  norm_ℎcno 30910   S_ℋ csh 30915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090  ax-addf 11091  ax-mulf 11092  ax-hilex 30986  ax-hfvadd 30987  ax-hvcom 30988  ax-hvass 30989  ax-hv0cl 30990  ax-hvaddid 30991  ax-hfvmul 30992  ax-hvmulid 30993  ax-hvmulass 30994  ax-hvdistr1 30995  ax-hvdistr2 30996  ax-hvmul0 30997  ax-hfi 31066  ax-his1 31069  ax-his2 31070  ax-his3 31071  ax-his4 31072

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-q 12853  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-icc 13258  df-seq 13915  df-exp 13975  df-cj 15012  df-re 15013  df-im 15014  df-sqrt 15148  df-abs 15149  df-topgen 17353  df-psmet 21289  df-xmet 21290  df-met 21291  df-bl 21292  df-mopn 21293  df-top 22815  df-topon 22832  df-bases 22867  df-lm 23150  df-haus 23236  df-grpo 30480  df-gid 30481  df-ginv 30482  df-gdiv 30483  df-ablo 30532  df-vc 30546  df-nv 30579  df-va 30582  df-ba 30583  df-sm 30584  df-0v 30585  df-vs 30586  df-nmcv 30587  df-ims 30588  df-ssp 30709  df-hnorm 30955  df-hba 30956  df-hvsub 30958  df-hlim 30959  df-sh 31194  df-ch 31208  df-ch0 31240

This theorem is referenced by:  hhsssh  31256  hhssba  31258  hhssvs  31259  pjhthlem2  31379