Theorem hhsst 31241

Description: A member of S_ℋ is a subspace. (Contributed by NM, 6-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhsst.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhsst.2	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩

Assertion

Ref	Expression
hhsst	⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))

Proof of Theorem hhsst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhsst.2	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
2	1	hhssnvt 31240	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝑊 ∈ NrmCVec)
3		resss 5950	. . . 4 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ
4		resss 5950	. . . 4 ⊢ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·ℎ
5		resss 5950	. . . 4 ⊢ (normℎ ↾ 𝐻) ⊆ normℎ
6	3, 4, 5	3pm3.2i 1340	. . 3 ⊢ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ ∧ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·ℎ ∧ (normℎ ↾ 𝐻) ⊆ normℎ)
7	2, 6	jctir 520	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ ∧ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·ℎ ∧ (normℎ ↾ 𝐻) ⊆ normℎ)))
8		hhsst.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
9	8	hhnv 31140	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
10	8	hhva 31141	. . . 4 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
11	1	hhssva 31232	. . . 4 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( +𝑣 ‘𝑊)
12	8	hhsm 31144	. . . 4 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
13	1	hhsssm 31233	. . . 4 ⊢ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
14	8	hhnm 31146	. . . 4 ⊢ normℎ = (normCV‘𝑈)
15	1	hhssnm 31234	. . . 4 ⊢ (normℎ ↾ 𝐻) = (normCV‘𝑊)
16		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
17	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	isssp 30699	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ ∧ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·ℎ ∧ (normℎ ↾ 𝐻) ⊆ normℎ))))
18	9, 17	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ ∧ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·ℎ ∧ (normℎ ↾ 𝐻) ⊆ normℎ)))
19	7, 18	sylibr 234	1 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3902  ⟨cop 4582   × cxp 5614   ↾ cres 5618  ‘cfv 6481  ℂcc 11001  NrmCVeccnv 30559  SubSpcss 30696   +_ℎ cva 30895   ·_ℎ csm 30896  norm_ℎcno 30898   S_ℋ csh 30903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081  ax-addf 11082  ax-mulf 11083  ax-hilex 30974  ax-hfvadd 30975  ax-hvcom 30976  ax-hvass 30977  ax-hv0cl 30978  ax-hvaddid 30979  ax-hfvmul 30980  ax-hvmulid 30981  ax-hvmulass 30982  ax-hvdistr1 30983  ax-hvdistr2 30984  ax-hvmul0 30985  ax-hfi 31054  ax-his1 31057  ax-his2 31058  ax-his3 31059  ax-his4 31060

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-icc 13249  df-seq 13906  df-exp 13966  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-topgen 17344  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-met 21283  df-bl 21284  df-mopn 21285  df-top 22807  df-topon 22824  df-bases 22859  df-lm 23142  df-haus 23228  df-grpo 30468  df-gid 30469  df-ginv 30470  df-gdiv 30471  df-ablo 30520  df-vc 30534  df-nv 30567  df-va 30570  df-ba 30571  df-sm 30572  df-0v 30573  df-vs 30574  df-nmcv 30575  df-ims 30576  df-ssp 30697  df-hnorm 30943  df-hba 30944  df-hvsub 30946  df-hlim 30947  df-sh 31182  df-ch 31196  df-ch0 31228

This theorem is referenced by:  hhsssh  31244  hhssba  31246  hhssvs  31247  pjhthlem2  31367