Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhsst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhsst 29059
 Description: A member of Sℋ is a subspace. (Contributed by NM, 6-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhsst.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
hhsst.2 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
Assertion
Ref Expression
hhsst (𝐻S𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))

Proof of Theorem hhsst
StepHypRef Expression
1 hhsst.2 . . . 4 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
21hhssnvt 29058 . . 3 (𝐻S𝑊 ∈ NrmCVec)
3 resss 5844 . . . 4 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +
4 resss 5844 . . . 4 ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·
5 resss 5844 . . . 4 (norm𝐻) ⊆ norm
63, 4, 53pm3.2i 1336 . . 3 (( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ + ∧ ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ · ∧ (norm𝐻) ⊆ norm)
72, 6jctir 524 . 2 (𝐻S → (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ + ∧ ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ · ∧ (norm𝐻) ⊆ norm)))
8 hhsst.1 . . . 4 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
98hhnv 28958 . . 3 𝑈 ∈ NrmCVec
108hhva 28959 . . . 4 + = ( +𝑣𝑈)
111hhssva 29050 . . . 4 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( +𝑣𝑊)
128hhsm 28962 . . . 4 · = ( ·𝑠OLD𝑈)
131hhsssm 29051 . . . 4 ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) = ( ·𝑠OLD𝑊)
148hhnm 28964 . . . 4 norm = (normCV𝑈)
151hhssnm 29052 . . . 4 (norm𝐻) = (normCV𝑊)
16 eqid 2798 . . . 4 (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
1710, 11, 12, 13, 14, 15, 16isssp 28517 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ + ∧ ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ · ∧ (norm𝐻) ⊆ norm))))
189, 17ax-mp 5 . 2 (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ + ∧ ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ · ∧ (norm𝐻) ⊆ norm)))
197, 18sylibr 237 1 (𝐻S𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  ⟨cop 4531   × cxp 5518   ↾ cres 5522  ‘cfv 6325  ℂcc 10527  NrmCVeccnv 28377  SubSpcss 28514   +ℎ cva 28713   ·ℎ csm 28714  normℎcno 28716   Sℋ csh 28721 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609  ax-hilex 28792  ax-hfvadd 28793  ax-hvcom 28794  ax-hvass 28795  ax-hv0cl 28796  ax-hvaddid 28797  ax-hfvmul 28798  ax-hvmulid 28799  ax-hvmulass 28800  ax-hvdistr1 28801  ax-hvdistr2 28802  ax-hvmul0 28803  ax-hfi 28872  ax-his1 28875  ax-his2 28876  ax-his3 28877  ax-his4 28878 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-map 8394  df-pm 8395  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-sup 8893  df-inf 8894  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-q 12340  df-rp 12381  df-xneg 12498  df-xadd 12499  df-xmul 12500  df-icc 12736  df-seq 13368  df-exp 13429  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-topgen 16712  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-top 21509  df-topon 21526  df-bases 21561  df-lm 21844  df-haus 21930  df-grpo 28286  df-gid 28287  df-ginv 28288  df-gdiv 28289  df-ablo 28338  df-vc 28352  df-nv 28385  df-va 28388  df-ba 28389  df-sm 28390  df-0v 28391  df-vs 28392  df-nmcv 28393  df-ims 28394  df-ssp 28515  df-hnorm 28761  df-hba 28762  df-hvsub 28764  df-hlim 28765  df-sh 29000  df-ch 29014  df-ch0 29046 This theorem is referenced by:  hhsssh  29062  hhssba  29064  hhssvs  29065  pjhthlem2  29185
 Copyright terms: Public domain W3C validator