MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssps Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ssps 30455
Description: Scalar multiplication on a subspace is a restriction of scalar multiplication on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ssps.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
ssps.s 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
ssps.r 𝑅 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
ssps.h 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
ssps ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑅 = (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)))
Proof of Theorem ssps
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 ssps.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
31, 2nvsf 30344 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑆:(β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ))⟢(BaseSetβ€˜π‘ˆ))
43ffund 6712 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ Fun 𝑆)
54funresd 6582 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ Fun (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)))
65adantr 480 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ Fun (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)))
7 ssps.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
87sspnv 30451 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
9 ssps.y . . . . . . . . . 10 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
10 ssps.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
119, 10nvsf 30344 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ 𝑅:(β„‚ Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘Œ)
128, 11syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑅:(β„‚ Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘Œ)
1312ffnd 6709 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑅 Fn (β„‚ Γ— π‘Œ))
14 fnresdm 6660 . . . . . . . . 9 (𝑅 Fn (β„‚ Γ— π‘Œ) β†’ (𝑅 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) = 𝑅)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑅 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) = 𝑅)
16 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
17 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 ( +𝑣 β€˜π‘Š) = ( +𝑣 β€˜π‘Š)
18 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
19 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (normCVβ€˜π‘Š) = (normCVβ€˜π‘Š)
2016, 17, 2, 10, 18, 19, 7isssp 30449 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘Š ∈ 𝐻 ↔ (π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (( +𝑣 β€˜π‘Š) βŠ† ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑆 ∧ (normCVβ€˜π‘Š) βŠ† (normCVβ€˜π‘ˆ)))))
2120simplbda 499 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (( +𝑣 β€˜π‘Š) βŠ† ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑆 ∧ (normCVβ€˜π‘Š) βŠ† (normCVβ€˜π‘ˆ)))
2221simp2d 1140 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑅 βŠ† 𝑆)
23 ssres 5999 . . . . . . . . 9 (𝑅 βŠ† 𝑆 β†’ (𝑅 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) βŠ† (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑅 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) βŠ† (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)))
2515, 24eqsstrrd 4014 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑅 βŠ† (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)))
266, 13, 253jca 1125 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Fun (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) ∧ 𝑅 Fn (β„‚ Γ— π‘Œ) ∧ 𝑅 βŠ† (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))))
27 oprssov 7570 . . . . . 6 (((Fun (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) ∧ 𝑅 Fn (β„‚ Γ— π‘Œ) ∧ 𝑅 βŠ† (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯(𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))𝑦) = (π‘₯𝑅𝑦))
2826, 27sylan 579 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯(𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))𝑦) = (π‘₯𝑅𝑦))
2928eqcomd 2730 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯𝑅𝑦) = (π‘₯(𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))𝑦))
3029ralrimivva 3192 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘₯𝑅𝑦) = (π‘₯(𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))𝑦))
31 eqid 2724 . . 3 (β„‚ Γ— π‘Œ) = (β„‚ Γ— π‘Œ)
3230, 31jctil 519 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((β„‚ Γ— π‘Œ) = (β„‚ Γ— π‘Œ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘₯𝑅𝑦) = (π‘₯(𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))𝑦)))
333ffnd 6709 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑆 Fn (β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
3433adantr 480 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑆 Fn (β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
35 ssid 3997 . . . . 5 β„‚ βŠ† β„‚
361, 9, 7sspba 30452 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Œ βŠ† (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
37 xpss12 5682 . . . . 5 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ π‘Œ βŠ† (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (β„‚ Γ— π‘Œ) βŠ† (β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
3835, 36, 37sylancr 586 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (β„‚ Γ— π‘Œ) βŠ† (β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
39 fnssres 6664 . . . 4 ((𝑆 Fn (β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ (β„‚ Γ— π‘Œ) βŠ† (β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) Fn (β„‚ Γ— π‘Œ))
4034, 38, 39syl2anc 583 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) Fn (β„‚ Γ— π‘Œ))
41 eqfnov 7531 . . 3 ((𝑅 Fn (β„‚ Γ— π‘Œ) ∧ (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) Fn (β„‚ Γ— π‘Œ)) β†’ (𝑅 = (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) ↔ ((β„‚ Γ— π‘Œ) = (β„‚ Γ— π‘Œ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘₯𝑅𝑦) = (π‘₯(𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))𝑦))))
4213, 40, 41syl2anc 583 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑅 = (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) ↔ ((β„‚ Γ— π‘Œ) = (β„‚ Γ— π‘Œ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘₯𝑅𝑦) = (π‘₯(𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))𝑦))))
4332, 42mpbird 257 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑅 = (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053   βŠ† wss 3941   Γ— cxp 5665   β†Ύ cres 5669  Fun wfun 6528   Fn wfn 6529  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„‚cc 11105  NrmCVeccnv 30309   +𝑣 cpv 30310  BaseSetcba 30311   ·𝑠OLD cns 30312  normCVcnmcv 30315  SubSpcss 30446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-vc 30284  df-nv 30317  df-va 30320  df-ba 30321  df-sm 30322  df-0v 30323  df-nmcv 30325  df-ssp 30447
This theorem is referenced by:  sspsval  30456
  Copyright terms: Public domain W3C validator