MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssps Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssps 29714
Description: Scalar multiplication on a subspace is a restriction of scalar multiplication on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ssps.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
ssps.s 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
ssps.r 𝑅 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
ssps.h 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
ssps ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑅 = (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)))

Proof of Theorem ssps
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 ssps.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
31, 2nvsf 29603 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑆:(β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ))⟢(BaseSetβ€˜π‘ˆ))
43ffund 6677 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ Fun 𝑆)
54funresd 6549 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ Fun (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)))
65adantr 482 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ Fun (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)))
7 ssps.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
87sspnv 29710 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
9 ssps.y . . . . . . . . . 10 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
10 ssps.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
119, 10nvsf 29603 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ 𝑅:(β„‚ Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘Œ)
128, 11syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑅:(β„‚ Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘Œ)
1312ffnd 6674 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑅 Fn (β„‚ Γ— π‘Œ))
14 fnresdm 6625 . . . . . . . . 9 (𝑅 Fn (β„‚ Γ— π‘Œ) β†’ (𝑅 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) = 𝑅)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑅 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) = 𝑅)
16 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
17 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 ( +𝑣 β€˜π‘Š) = ( +𝑣 β€˜π‘Š)
18 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
19 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (normCVβ€˜π‘Š) = (normCVβ€˜π‘Š)
2016, 17, 2, 10, 18, 19, 7isssp 29708 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘Š ∈ 𝐻 ↔ (π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (( +𝑣 β€˜π‘Š) βŠ† ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑆 ∧ (normCVβ€˜π‘Š) βŠ† (normCVβ€˜π‘ˆ)))))
2120simplbda 501 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (( +𝑣 β€˜π‘Š) βŠ† ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑆 ∧ (normCVβ€˜π‘Š) βŠ† (normCVβ€˜π‘ˆ)))
2221simp2d 1144 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑅 βŠ† 𝑆)
23 ssres 5969 . . . . . . . . 9 (𝑅 βŠ† 𝑆 β†’ (𝑅 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) βŠ† (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑅 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) βŠ† (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)))
2515, 24eqsstrrd 3988 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑅 βŠ† (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)))
266, 13, 253jca 1129 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Fun (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) ∧ 𝑅 Fn (β„‚ Γ— π‘Œ) ∧ 𝑅 βŠ† (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))))
27 oprssov 7528 . . . . . 6 (((Fun (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) ∧ 𝑅 Fn (β„‚ Γ— π‘Œ) ∧ 𝑅 βŠ† (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯(𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))𝑦) = (π‘₯𝑅𝑦))
2826, 27sylan 581 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯(𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))𝑦) = (π‘₯𝑅𝑦))
2928eqcomd 2743 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯𝑅𝑦) = (π‘₯(𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))𝑦))
3029ralrimivva 3198 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘₯𝑅𝑦) = (π‘₯(𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))𝑦))
31 eqid 2737 . . 3 (β„‚ Γ— π‘Œ) = (β„‚ Γ— π‘Œ)
3230, 31jctil 521 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((β„‚ Γ— π‘Œ) = (β„‚ Γ— π‘Œ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘₯𝑅𝑦) = (π‘₯(𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))𝑦)))
333ffnd 6674 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑆 Fn (β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
3433adantr 482 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑆 Fn (β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
35 ssid 3971 . . . . 5 β„‚ βŠ† β„‚
361, 9, 7sspba 29711 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Œ βŠ† (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
37 xpss12 5653 . . . . 5 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ π‘Œ βŠ† (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (β„‚ Γ— π‘Œ) βŠ† (β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
3835, 36, 37sylancr 588 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (β„‚ Γ— π‘Œ) βŠ† (β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
39 fnssres 6629 . . . 4 ((𝑆 Fn (β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ (β„‚ Γ— π‘Œ) βŠ† (β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) Fn (β„‚ Γ— π‘Œ))
4034, 38, 39syl2anc 585 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) Fn (β„‚ Γ— π‘Œ))
41 eqfnov 7490 . . 3 ((𝑅 Fn (β„‚ Γ— π‘Œ) ∧ (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) Fn (β„‚ Γ— π‘Œ)) β†’ (𝑅 = (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) ↔ ((β„‚ Γ— π‘Œ) = (β„‚ Γ— π‘Œ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘₯𝑅𝑦) = (π‘₯(𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))𝑦))))
4213, 40, 41syl2anc 585 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑅 = (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) ↔ ((β„‚ Γ— π‘Œ) = (β„‚ Γ— π‘Œ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘₯𝑅𝑦) = (π‘₯(𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))𝑦))))
4332, 42mpbird 257 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑅 = (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065   βŠ† wss 3915   Γ— cxp 5636   β†Ύ cres 5640  Fun wfun 6495   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  NrmCVeccnv 29568   +𝑣 cpv 29569  BaseSetcba 29570   ·𝑠OLD cns 29571  normCVcnmcv 29574  SubSpcss 29705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-nmcv 29584  df-ssp 29706
This theorem is referenced by:  sspsval  29715
  Copyright terms: Public domain W3C validator