MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssps Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ssps 29970
Description: Scalar multiplication on a subspace is a restriction of scalar multiplication on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ssps.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
ssps.s 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
ssps.r 𝑅 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
ssps.h 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
ssps ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑅 = (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)))
Proof of Theorem ssps
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 ssps.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
31, 2nvsf 29859 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑆:(β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ))⟢(BaseSetβ€˜π‘ˆ))
43ffund 6718 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ Fun 𝑆)
54funresd 6588 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ Fun (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)))
65adantr 481 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ Fun (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)))
7 ssps.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
87sspnv 29966 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
9 ssps.y . . . . . . . . . 10 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
10 ssps.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
119, 10nvsf 29859 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ 𝑅:(β„‚ Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘Œ)
128, 11syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑅:(β„‚ Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘Œ)
1312ffnd 6715 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑅 Fn (β„‚ Γ— π‘Œ))
14 fnresdm 6666 . . . . . . . . 9 (𝑅 Fn (β„‚ Γ— π‘Œ) β†’ (𝑅 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) = 𝑅)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑅 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) = 𝑅)
16 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
17 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 ( +𝑣 β€˜π‘Š) = ( +𝑣 β€˜π‘Š)
18 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
19 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (normCVβ€˜π‘Š) = (normCVβ€˜π‘Š)
2016, 17, 2, 10, 18, 19, 7isssp 29964 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘Š ∈ 𝐻 ↔ (π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (( +𝑣 β€˜π‘Š) βŠ† ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑆 ∧ (normCVβ€˜π‘Š) βŠ† (normCVβ€˜π‘ˆ)))))
2120simplbda 500 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (( +𝑣 β€˜π‘Š) βŠ† ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑆 ∧ (normCVβ€˜π‘Š) βŠ† (normCVβ€˜π‘ˆ)))
2221simp2d 1143 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑅 βŠ† 𝑆)
23 ssres 6006 . . . . . . . . 9 (𝑅 βŠ† 𝑆 β†’ (𝑅 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) βŠ† (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑅 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) βŠ† (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)))
2515, 24eqsstrrd 4020 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑅 βŠ† (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)))
266, 13, 253jca 1128 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Fun (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) ∧ 𝑅 Fn (β„‚ Γ— π‘Œ) ∧ 𝑅 βŠ† (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))))
27 oprssov 7572 . . . . . 6 (((Fun (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) ∧ 𝑅 Fn (β„‚ Γ— π‘Œ) ∧ 𝑅 βŠ† (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯(𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))𝑦) = (π‘₯𝑅𝑦))
2826, 27sylan 580 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯(𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))𝑦) = (π‘₯𝑅𝑦))
2928eqcomd 2738 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯𝑅𝑦) = (π‘₯(𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))𝑦))
3029ralrimivva 3200 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘₯𝑅𝑦) = (π‘₯(𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))𝑦))
31 eqid 2732 . . 3 (β„‚ Γ— π‘Œ) = (β„‚ Γ— π‘Œ)
3230, 31jctil 520 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((β„‚ Γ— π‘Œ) = (β„‚ Γ— π‘Œ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘₯𝑅𝑦) = (π‘₯(𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))𝑦)))
333ffnd 6715 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑆 Fn (β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
3433adantr 481 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑆 Fn (β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
35 ssid 4003 . . . . 5 β„‚ βŠ† β„‚
361, 9, 7sspba 29967 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Œ βŠ† (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
37 xpss12 5690 . . . . 5 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ π‘Œ βŠ† (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (β„‚ Γ— π‘Œ) βŠ† (β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
3835, 36, 37sylancr 587 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (β„‚ Γ— π‘Œ) βŠ† (β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
39 fnssres 6670 . . . 4 ((𝑆 Fn (β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ (β„‚ Γ— π‘Œ) βŠ† (β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) Fn (β„‚ Γ— π‘Œ))
4034, 38, 39syl2anc 584 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) Fn (β„‚ Γ— π‘Œ))
41 eqfnov 7534 . . 3 ((𝑅 Fn (β„‚ Γ— π‘Œ) ∧ (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) Fn (β„‚ Γ— π‘Œ)) β†’ (𝑅 = (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) ↔ ((β„‚ Γ— π‘Œ) = (β„‚ Γ— π‘Œ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘₯𝑅𝑦) = (π‘₯(𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))𝑦))))
4213, 40, 41syl2anc 584 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑅 = (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) ↔ ((β„‚ Γ— π‘Œ) = (β„‚ Γ— π‘Œ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘₯𝑅𝑦) = (π‘₯(𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))𝑦))))
4332, 42mpbird 256 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑅 = (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3947   Γ— cxp 5673   β†Ύ cres 5677  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  NrmCVeccnv 29824   +𝑣 cpv 29825  BaseSetcba 29826   ·𝑠OLD cns 29827  normCVcnmcv 29830  SubSpcss 29961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-nmcv 29840  df-ssp 29962
This theorem is referenced by:  sspsval  29971
  Copyright terms: Public domain W3C validator