MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssps Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ssps 30533
Description: Scalar multiplication on a subspace is a restriction of scalar multiplication on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ssps.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
ssps.s 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
ssps.r 𝑅 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
ssps.h 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
ssps ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑅 = (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)))
Proof of Theorem ssps
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 ssps.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
31, 2nvsf 30422 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑆:(β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ))⟢(BaseSetβ€˜π‘ˆ))
43ffund 6720 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ Fun 𝑆)
54funresd 6590 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ Fun (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)))
65adantr 480 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ Fun (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)))
7 ssps.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
87sspnv 30529 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
9 ssps.y . . . . . . . . . 10 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
10 ssps.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
119, 10nvsf 30422 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ 𝑅:(β„‚ Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘Œ)
128, 11syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑅:(β„‚ Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘Œ)
1312ffnd 6717 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑅 Fn (β„‚ Γ— π‘Œ))
14 fnresdm 6668 . . . . . . . . 9 (𝑅 Fn (β„‚ Γ— π‘Œ) β†’ (𝑅 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) = 𝑅)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑅 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) = 𝑅)
16 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
17 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 ( +𝑣 β€˜π‘Š) = ( +𝑣 β€˜π‘Š)
18 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
19 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 (normCVβ€˜π‘Š) = (normCVβ€˜π‘Š)
2016, 17, 2, 10, 18, 19, 7isssp 30527 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘Š ∈ 𝐻 ↔ (π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (( +𝑣 β€˜π‘Š) βŠ† ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑆 ∧ (normCVβ€˜π‘Š) βŠ† (normCVβ€˜π‘ˆ)))))
2120simplbda 499 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (( +𝑣 β€˜π‘Š) βŠ† ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑆 ∧ (normCVβ€˜π‘Š) βŠ† (normCVβ€˜π‘ˆ)))
2221simp2d 1141 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑅 βŠ† 𝑆)
23 ssres 6006 . . . . . . . . 9 (𝑅 βŠ† 𝑆 β†’ (𝑅 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) βŠ† (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑅 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) βŠ† (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)))
2515, 24eqsstrrd 4017 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑅 βŠ† (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)))
266, 13, 253jca 1126 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Fun (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) ∧ 𝑅 Fn (β„‚ Γ— π‘Œ) ∧ 𝑅 βŠ† (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))))
27 oprssov 7584 . . . . . 6 (((Fun (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) ∧ 𝑅 Fn (β„‚ Γ— π‘Œ) ∧ 𝑅 βŠ† (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯(𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))𝑦) = (π‘₯𝑅𝑦))
2826, 27sylan 579 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯(𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))𝑦) = (π‘₯𝑅𝑦))
2928eqcomd 2734 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯𝑅𝑦) = (π‘₯(𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))𝑦))
3029ralrimivva 3196 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘₯𝑅𝑦) = (π‘₯(𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))𝑦))
31 eqid 2728 . . 3 (β„‚ Γ— π‘Œ) = (β„‚ Γ— π‘Œ)
3230, 31jctil 519 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((β„‚ Γ— π‘Œ) = (β„‚ Γ— π‘Œ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘₯𝑅𝑦) = (π‘₯(𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))𝑦)))
333ffnd 6717 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑆 Fn (β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
3433adantr 480 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑆 Fn (β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
35 ssid 4000 . . . . 5 β„‚ βŠ† β„‚
361, 9, 7sspba 30530 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Œ βŠ† (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
37 xpss12 5687 . . . . 5 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ π‘Œ βŠ† (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (β„‚ Γ— π‘Œ) βŠ† (β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
3835, 36, 37sylancr 586 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (β„‚ Γ— π‘Œ) βŠ† (β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
39 fnssres 6672 . . . 4 ((𝑆 Fn (β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ (β„‚ Γ— π‘Œ) βŠ† (β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) Fn (β„‚ Γ— π‘Œ))
4034, 38, 39syl2anc 583 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) Fn (β„‚ Γ— π‘Œ))
41 eqfnov 7544 . . 3 ((𝑅 Fn (β„‚ Γ— π‘Œ) ∧ (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) Fn (β„‚ Γ— π‘Œ)) β†’ (𝑅 = (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) ↔ ((β„‚ Γ— π‘Œ) = (β„‚ Γ— π‘Œ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘₯𝑅𝑦) = (π‘₯(𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))𝑦))))
4213, 40, 41syl2anc 583 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑅 = (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)) ↔ ((β„‚ Γ— π‘Œ) = (β„‚ Γ— π‘Œ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘₯𝑅𝑦) = (π‘₯(𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))𝑦))))
4332, 42mpbird 257 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑅 = (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3057   βŠ† wss 3945   Γ— cxp 5670   β†Ύ cres 5674  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11130  NrmCVeccnv 30387   +𝑣 cpv 30388  BaseSetcba 30389   ·𝑠OLD cns 30390  normCVcnmcv 30393  SubSpcss 30524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-vc 30362  df-nv 30395  df-va 30398  df-ba 30399  df-sm 30400  df-0v 30401  df-nmcv 30403  df-ssp 30525
This theorem is referenced by:  sspsval  30534
  Copyright terms: Public domain W3C validator