Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhsssh2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhsssh2 29062
 Description: The predicate "𝐻 is a subspace of Hilbert space." (Contributed by NM, 8-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhsssh2.1 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
Assertion
Ref Expression
hhsssh2 (𝐻S ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐻 ⊆ ℋ))

Proof of Theorem hhsssh2
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . 3 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
2 hhsssh2.1 . . 3 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
31, 2hhsssh 29061 . 2 (𝐻S ↔ (𝑊 ∈ (SubSp‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ∧ 𝐻 ⊆ ℋ))
4 resss 5867 . . . . 5 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +
5 resss 5867 . . . . 5 ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·
6 resss 5867 . . . . 5 (norm𝐻) ⊆ norm
74, 5, 63pm3.2i 1336 . . . 4 (( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ + ∧ ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ · ∧ (norm𝐻) ⊆ norm)
81hhnv 28957 . . . . 5 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec
91hhva 28958 . . . . . 6 + = ( +𝑣 ‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
102hhssva 29049 . . . . . 6 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( +𝑣𝑊)
111hhsm 28961 . . . . . 6 · = ( ·𝑠OLD ‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
122hhsssm 29050 . . . . . 6 ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) = ( ·𝑠OLD𝑊)
131hhnm 28963 . . . . . 6 norm = (normCV‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
142hhssnm 29051 . . . . . 6 (norm𝐻) = (normCV𝑊)
15 eqid 2824 . . . . . 6 (SubSp‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) = (SubSp‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
169, 10, 11, 12, 13, 14, 15isssp 28516 . . . . 5 (⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec → (𝑊 ∈ (SubSp‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ + ∧ ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ · ∧ (norm𝐻) ⊆ norm))))
178, 16ax-mp 5 . . . 4 (𝑊 ∈ (SubSp‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ + ∧ ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ · ∧ (norm𝐻) ⊆ norm)))
187, 17mpbiran2 709 . . 3 (𝑊 ∈ (SubSp‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ↔ 𝑊 ∈ NrmCVec)
1918anbi1i 626 . 2 ((𝑊 ∈ (SubSp‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐻 ⊆ ℋ))
203, 19bitri 278 1 (𝐻S ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐻 ⊆ ℋ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ⊆ wss 3919  ⟨cop 4556   × cxp 5541   ↾ cres 5545  ‘cfv 6345  ℂcc 10535  NrmCVeccnv 28376  SubSpcss 28513   ℋchba 28711   +ℎ cva 28712   ·ℎ csm 28713  normℎcno 28715   Sℋ csh 28720 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617  ax-hilex 28791  ax-hfvadd 28792  ax-hvcom 28793  ax-hvass 28794  ax-hv0cl 28795  ax-hvaddid 28796  ax-hfvmul 28797  ax-hvmulid 28798  ax-hvmulass 28799  ax-hvdistr1 28800  ax-hvdistr2 28801  ax-hvmul0 28802  ax-hfi 28871  ax-his1 28874  ax-his2 28875  ax-his3 28876  ax-his4 28877 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-er 8287  df-map 8406  df-pm 8407  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-sup 8905  df-inf 8906  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-icc 12744  df-seq 13376  df-exp 13437  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-topgen 16719  df-psmet 20092  df-xmet 20093  df-met 20094  df-bl 20095  df-mopn 20096  df-top 21508  df-topon 21525  df-bases 21560  df-lm 21843  df-haus 21929  df-grpo 28285  df-gid 28286  df-ginv 28287  df-gdiv 28288  df-ablo 28337  df-vc 28351  df-nv 28384  df-va 28387  df-ba 28388  df-sm 28389  df-0v 28390  df-vs 28391  df-nmcv 28392  df-ims 28393  df-ssp 28514  df-hnorm 28760  df-hba 28761  df-hvsub 28763  df-hlim 28764  df-sh 28999  df-ch 29013  df-ch0 29045 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator