HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhsssh2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhsssh2 31172
Description: The predicate "𝐻 is a subspace of Hilbert space." (Contributed by NM, 8-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhsssh2.1 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
Assertion
Ref Expression
hhsssh2 (𝐻S ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐻 ⊆ ℋ))

Proof of Theorem hhsssh2
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . 3 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
2 hhsssh2.1 . . 3 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
31, 2hhsssh 31171 . 2 (𝐻S ↔ (𝑊 ∈ (SubSp‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ∧ 𝐻 ⊆ ℋ))
4 resss 6007 . . . . 5 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +
5 resss 6007 . . . . 5 ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·
6 resss 6007 . . . . 5 (norm𝐻) ⊆ norm
74, 5, 63pm3.2i 1336 . . . 4 (( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ + ∧ ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ · ∧ (norm𝐻) ⊆ norm)
81hhnv 31067 . . . . 5 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec
91hhva 31068 . . . . . 6 + = ( +𝑣 ‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
102hhssva 31159 . . . . . 6 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( +𝑣𝑊)
111hhsm 31071 . . . . . 6 · = ( ·𝑠OLD ‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
122hhsssm 31160 . . . . . 6 ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) = ( ·𝑠OLD𝑊)
131hhnm 31073 . . . . . 6 norm = (normCV‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
142hhssnm 31161 . . . . . 6 (norm𝐻) = (normCV𝑊)
15 eqid 2725 . . . . . 6 (SubSp‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) = (SubSp‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
169, 10, 11, 12, 13, 14, 15isssp 30626 . . . . 5 (⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec → (𝑊 ∈ (SubSp‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ + ∧ ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ · ∧ (norm𝐻) ⊆ norm))))
178, 16ax-mp 5 . . . 4 (𝑊 ∈ (SubSp‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ + ∧ ( · ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ · ∧ (norm𝐻) ⊆ norm)))
187, 17mpbiran2 708 . . 3 (𝑊 ∈ (SubSp‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ↔ 𝑊 ∈ NrmCVec)
1918anbi1i 622 . 2 ((𝑊 ∈ (SubSp‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐻 ⊆ ℋ))
203, 19bitri 274 1 (𝐻S ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐻 ⊆ ℋ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3944  cop 4636   × cxp 5676  cres 5680  cfv 6549  cc 11143  NrmCVeccnv 30486  SubSpcss 30623  chba 30821   + cva 30822   · csm 30823  normcno 30825   S csh 30830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223  ax-addf 11224  ax-mulf 11225  ax-hilex 30901  ax-hfvadd 30902  ax-hvcom 30903  ax-hvass 30904  ax-hv0cl 30905  ax-hvaddid 30906  ax-hfvmul 30907  ax-hvmulid 30908  ax-hvmulass 30909  ax-hvdistr1 30910  ax-hvdistr2 30911  ax-hvmul0 30912  ax-hfi 30981  ax-his1 30984  ax-his2 30985  ax-his3 30986  ax-his4 30987
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9472  df-inf 9473  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-icc 13371  df-seq 14008  df-exp 14068  df-cj 15090  df-re 15091  df-im 15092  df-sqrt 15226  df-abs 15227  df-topgen 17444  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-top 22857  df-topon 22874  df-bases 22910  df-lm 23194  df-haus 23280  df-grpo 30395  df-gid 30396  df-ginv 30397  df-gdiv 30398  df-ablo 30447  df-vc 30461  df-nv 30494  df-va 30497  df-ba 30498  df-sm 30499  df-0v 30500  df-vs 30501  df-nmcv 30502  df-ims 30503  df-ssp 30624  df-hnorm 30870  df-hba 30871  df-hvsub 30873  df-hlim 30874  df-sh 31109  df-ch 31123  df-ch0 31155
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator