Theorem hhsssh2 31206

Description: The predicate "𝐻 is a subspace of Hilbert space." (Contributed by NM, 8-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhsssh2.1	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩

Assertion

Ref	Expression
hhsssh2	⊢ (𝐻 ∈ Sℋ ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐻 ⊆ ℋ))

Proof of Theorem hhsssh2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
2		hhsssh2.1	. . 3 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
3	1, 2	hhsssh 31205	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ ↔ (𝑊 ∈ (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∧ 𝐻 ⊆ ℋ))
4		resss 5975	. . . . 5 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ
5		resss 5975	. . . . 5 ⊢ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·ℎ
6		resss 5975	. . . . 5 ⊢ (normℎ ↾ 𝐻) ⊆ normℎ
7	4, 5, 6	3pm3.2i 1340	. . . 4 ⊢ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ ∧ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·ℎ ∧ (normℎ ↾ 𝐻) ⊆ normℎ)
8	1	hhnv 31101	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec
9	1	hhva 31102	. . . . . 6 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
10	2	hhssva 31193	. . . . . 6 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( +𝑣 ‘𝑊)
11	1	hhsm 31105	. . . . . 6 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
12	2	hhsssm 31194	. . . . . 6 ⊢ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
13	1	hhnm 31107	. . . . . 6 ⊢ normℎ = (normCV‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
14	2	hhssnm 31195	. . . . . 6 ⊢ (normℎ ↾ 𝐻) = (normCV‘𝑊)
15		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) = (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
16	9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	isssp 30660	. . . . 5 ⊢ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec → (𝑊 ∈ (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ ∧ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·ℎ ∧ (normℎ ↾ 𝐻) ⊆ normℎ))))
17	8, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ ∧ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·ℎ ∧ (normℎ ↾ 𝐻) ⊆ normℎ)))
18	7, 17	mpbiran2 710	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ↔ 𝑊 ∈ NrmCVec)
19	18	anbi1i 624	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐻 ⊆ ℋ))
20	3, 19	bitri 275	1 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐻 ⊆ ℋ))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917  ⟨cop 4598   × cxp 5639   ↾ cres 5643  ‘cfv 6514  ℂcc 11073  NrmCVeccnv 30520  SubSpcss 30657   ℋchba 30855   +_ℎ cva 30856   ·_ℎ csm 30857  norm_ℎcno 30859   S_ℋ csh 30864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155  ax-hilex 30935  ax-hfvadd 30936  ax-hvcom 30937  ax-hvass 30938  ax-hv0cl 30939  ax-hvaddid 30940  ax-hfvmul 30941  ax-hvmulid 30942  ax-hvmulass 30943  ax-hvdistr1 30944  ax-hvdistr2 30945  ax-hvmul0 30946  ax-hfi 31015  ax-his1 31018  ax-his2 31019  ax-his3 31020  ax-his4 31021

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-icc 13320  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-topgen 17413  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-top 22788  df-topon 22805  df-bases 22840  df-lm 23123  df-haus 23209  df-grpo 30429  df-gid 30430  df-ginv 30431  df-gdiv 30432  df-ablo 30481  df-vc 30495  df-nv 30528  df-va 30531  df-ba 30532  df-sm 30533  df-0v 30534  df-vs 30535  df-nmcv 30536  df-ims 30537  df-ssp 30658  df-hnorm 30904  df-hba 30905  df-hvsub 30907  df-hlim 30908  df-sh 31143  df-ch 31157  df-ch0 31189

This theorem is referenced by: (None)