Theorem hhsssh2 29046

Description: The predicate "𝐻 is a subspace of Hilbert space." (Contributed by NM, 8-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhsssh2.1	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩

Assertion

Ref	Expression
hhsssh2	⊢ (𝐻 ∈ Sℋ ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐻 ⊆ ℋ))

Proof of Theorem hhsssh2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . 3 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
2		hhsssh2.1	. . 3 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
3	1, 2	hhsssh 29045	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ ↔ (𝑊 ∈ (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∧ 𝐻 ⊆ ℋ))
4		resss 5877	. . . . 5 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ
5		resss 5877	. . . . 5 ⊢ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·ℎ
6		resss 5877	. . . . 5 ⊢ (normℎ ↾ 𝐻) ⊆ normℎ
7	4, 5, 6	3pm3.2i 1335	. . . 4 ⊢ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ ∧ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·ℎ ∧ (normℎ ↾ 𝐻) ⊆ normℎ)
8	1	hhnv 28941	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec
9	1	hhva 28942	. . . . . 6 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
10	2	hhssva 29033	. . . . . 6 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( +𝑣 ‘𝑊)
11	1	hhsm 28945	. . . . . 6 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
12	2	hhsssm 29034	. . . . . 6 ⊢ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
13	1	hhnm 28947	. . . . . 6 ⊢ normℎ = (normCV‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
14	2	hhssnm 29035	. . . . . 6 ⊢ (normℎ ↾ 𝐻) = (normCV‘𝑊)
15		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) = (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
16	9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	isssp 28500	. . . . 5 ⊢ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec → (𝑊 ∈ (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ ∧ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·ℎ ∧ (normℎ ↾ 𝐻) ⊆ normℎ))))
17	8, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ ∧ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·ℎ ∧ (normℎ ↾ 𝐻) ⊆ normℎ)))
18	7, 17	mpbiran2 708	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ↔ 𝑊 ∈ NrmCVec)
19	18	anbi1i 625	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐻 ⊆ ℋ))
20	3, 19	bitri 277	1 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐻 ⊆ ℋ))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3935  ⟨cop 4572   × cxp 5552   ↾ cres 5556  ‘cfv 6354  ℂcc 10534  NrmCVeccnv 28360  SubSpcss 28497   ℋchba 28695   +_ℎ cva 28696   ·_ℎ csm 28697  norm_ℎcno 28699   S_ℋ csh 28704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616  ax-hilex 28775  ax-hfvadd 28776  ax-hvcom 28777  ax-hvass 28778  ax-hv0cl 28779  ax-hvaddid 28780  ax-hfvmul 28781  ax-hvmulid 28782  ax-hvmulass 28783  ax-hvdistr1 28784  ax-hvdistr2 28785  ax-hvmul0 28786  ax-hfi 28855  ax-his1 28858  ax-his2 28859  ax-his3 28860  ax-his4 28861

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-sup 8905  df-inf 8906  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-icc 12744  df-seq 13369  df-exp 13429  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-topgen 16716  df-psmet 20536  df-xmet 20537  df-met 20538  df-bl 20539  df-mopn 20540  df-top 21501  df-topon 21518  df-bases 21553  df-lm 21836  df-haus 21922  df-grpo 28269  df-gid 28270  df-ginv 28271  df-gdiv 28272  df-ablo 28321  df-vc 28335  df-nv 28368  df-va 28371  df-ba 28372  df-sm 28373  df-0v 28374  df-vs 28375  df-nmcv 28376  df-ims 28377  df-ssp 28498  df-hnorm 28744  df-hba 28745  df-hvsub 28747  df-hlim 28748  df-sh 28983  df-ch 28997  df-ch0 29029

This theorem is referenced by: (None)