Theorem hhsssh2 31563

Description: The predicate "𝐻 is a subspace of Hilbert space." (Contributed by NM, 8-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhsssh2.1	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩

Assertion

Ref	Expression
hhsssh2	⊢ (𝐻 ∈ Sℋ ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐻 ⊆ ℋ))

Proof of Theorem hhsssh2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . 3 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
2		hhsssh2.1	. . 3 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
3	1, 2	hhsssh 31562	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ ↔ (𝑊 ∈ (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∧ 𝐻 ⊆ ℋ))
4		resss 6001	. . . . 5 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ
5		resss 6001	. . . . 5 ⊢ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·ℎ
6		resss 6001	. . . . 5 ⊢ (normℎ ↾ 𝐻) ⊆ normℎ
7	4, 5, 6	3pm3.2i 1356	. . . 4 ⊢ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ ∧ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·ℎ ∧ (normℎ ↾ 𝐻) ⊆ normℎ)
8	1	hhnv 31458	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec
9	1	hhva 31459	. . . . . 6 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
10	2	hhssva 31550	. . . . . 6 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( +𝑣 ‘𝑊)
11	1	hhsm 31462	. . . . . 6 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
12	2	hhsssm 31551	. . . . . 6 ⊢ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
13	1	hhnm 31464	. . . . . 6 ⊢ normℎ = (normCV‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
14	2	hhssnm 31552	. . . . . 6 ⊢ (normℎ ↾ 𝐻) = (normCV‘𝑊)
15		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) = (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
16	9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	isssp 31017	. . . . 5 ⊢ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec → (𝑊 ∈ (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ ∧ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·ℎ ∧ (normℎ ↾ 𝐻) ⊆ normℎ))))
17	8, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ ∧ ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻)) ⊆ ·ℎ ∧ (normℎ ↾ 𝐻) ⊆ normℎ)))
18	7, 17	mpbiran2 722	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ↔ 𝑊 ∈ NrmCVec)
19	18	anbi1i 635	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐻 ⊆ ℋ))
20	3, 19	bitri 278	1 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐻 ⊆ ℋ))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  ⟨cop 4600   × cxp 5660   ↾ cres 5664  ‘cfv 6537  ℂcc 11098  NrmCVeccnv 30877  SubSpcss 31014   ℋchba 31212   +_ℎ cva 31213   ·_ℎ csm 31214  norm_ℎcno 31216   S_ℋ csh 31221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179  ax-mulf 11180  ax-hilex 31292  ax-hfvadd 31293  ax-hvcom 31294  ax-hvass 31295  ax-hv0cl 31296  ax-hvaddid 31297  ax-hfvmul 31298  ax-hvmulid 31299  ax-hvmulass 31300  ax-hvdistr1 31301  ax-hvdistr2 31302  ax-hvmul0 31303  ax-hfi 31372  ax-his1 31375  ax-his2 31376  ax-his3 31377  ax-his4 31378

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-icc 13379  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-topgen 17496  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-top 23020  df-topon 23037  df-bases 23072  df-lm 23355  df-haus 23441  df-grpo 30786  df-gid 30787  df-ginv 30788  df-gdiv 30789  df-ablo 30838  df-vc 30852  df-nv 30885  df-va 30888  df-ba 30889  df-sm 30890  df-0v 30891  df-vs 30892  df-nmcv 30893  df-ims 30894  df-ssp 31015  df-hnorm 31261  df-hba 31262  df-hvsub 31264  df-hlim 31265  df-sh 31500  df-ch 31514  df-ch0 31546

This theorem is referenced by: (None)