MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sspg 30531
Description: Vector addition on a subspace is a restriction of vector addition on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspg.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
sspg.g 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
sspg.f 𝐹 = ( +𝑣 β€˜π‘Š)
sspg.h 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
sspg ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐹 = (𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
Proof of Theorem sspg
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 sspg.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
31, 2nvgf 30421 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐺:((BaseSetβ€˜π‘ˆ) Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ))⟢(BaseSetβ€˜π‘ˆ))
43ffund 6720 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ Fun 𝐺)
54funresd 6590 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ Fun (𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
65adantr 480 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ Fun (𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
7 sspg.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
87sspnv 30529 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
9 sspg.y . . . . . . . . . 10 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
10 sspg.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = ( +𝑣 β€˜π‘Š)
119, 10nvgf 30421 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ 𝐹:(π‘Œ Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘Œ)
128, 11syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐹:(π‘Œ Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘Œ)
1312ffnd 6717 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐹 Fn (π‘Œ Γ— π‘Œ))
14 fnresdm 6668 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn (π‘Œ Γ— π‘Œ) β†’ (𝐹 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = 𝐹)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐹 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = 𝐹)
16 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
17 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
18 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
19 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 (normCVβ€˜π‘Š) = (normCVβ€˜π‘Š)
202, 10, 16, 17, 18, 19, 7isssp 30527 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘Š ∈ 𝐻 ↔ (π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (𝐹 βŠ† 𝐺 ∧ ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š) βŠ† ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) ∧ (normCVβ€˜π‘Š) βŠ† (normCVβ€˜π‘ˆ)))))
2120simplbda 499 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐹 βŠ† 𝐺 ∧ ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š) βŠ† ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) ∧ (normCVβ€˜π‘Š) βŠ† (normCVβ€˜π‘ˆ)))
2221simp1d 1140 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐹 βŠ† 𝐺)
23 ssres 6006 . . . . . . . . 9 (𝐹 βŠ† 𝐺 β†’ (𝐹 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) βŠ† (𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐹 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) βŠ† (𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
2515, 24eqsstrrd 4017 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐹 βŠ† (𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
266, 13, 253jca 1126 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Fun (𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∧ 𝐹 Fn (π‘Œ Γ— π‘Œ) ∧ 𝐹 βŠ† (𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
27 oprssov 7584 . . . . . 6 (((Fun (𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∧ 𝐹 Fn (π‘Œ Γ— π‘Œ) ∧ 𝐹 βŠ† (𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯(𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑦) = (π‘₯𝐹𝑦))
2826, 27sylan 579 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯(𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑦) = (π‘₯𝐹𝑦))
2928eqcomd 2734 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯𝐹𝑦) = (π‘₯(𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑦))
3029ralrimivva 3196 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘₯𝐹𝑦) = (π‘₯(𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑦))
31 eqid 2728 . . 3 (π‘Œ Γ— π‘Œ) = (π‘Œ Γ— π‘Œ)
3230, 31jctil 519 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((π‘Œ Γ— π‘Œ) = (π‘Œ Γ— π‘Œ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘₯𝐹𝑦) = (π‘₯(𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑦)))
333ffnd 6717 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐺 Fn ((BaseSetβ€˜π‘ˆ) Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
3433adantr 480 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐺 Fn ((BaseSetβ€˜π‘ˆ) Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
351, 9, 7sspba 30530 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Œ βŠ† (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
36 xpss12 5687 . . . . 5 ((π‘Œ βŠ† (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Œ βŠ† (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† ((BaseSetβ€˜π‘ˆ) Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
3735, 35, 36syl2anc 583 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† ((BaseSetβ€˜π‘ˆ) Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
38 fnssres 6672 . . . 4 ((𝐺 Fn ((BaseSetβ€˜π‘ˆ) Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† ((BaseSetβ€˜π‘ˆ) Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) Fn (π‘Œ Γ— π‘Œ))
3934, 37, 38syl2anc 583 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) Fn (π‘Œ Γ— π‘Œ))
40 eqfnov 7544 . . 3 ((𝐹 Fn (π‘Œ Γ— π‘Œ) ∧ (𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) Fn (π‘Œ Γ— π‘Œ)) β†’ (𝐹 = (𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ↔ ((π‘Œ Γ— π‘Œ) = (π‘Œ Γ— π‘Œ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘₯𝐹𝑦) = (π‘₯(𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑦))))
4113, 39, 40syl2anc 583 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐹 = (𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ↔ ((π‘Œ Γ— π‘Œ) = (π‘Œ Γ— π‘Œ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘₯𝐹𝑦) = (π‘₯(𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑦))))
4232, 41mpbird 257 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐹 = (𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3057   βŠ† wss 3945   Γ— cxp 5670   β†Ύ cres 5674  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  NrmCVeccnv 30387   +𝑣 cpv 30388  BaseSetcba 30389   ·𝑠OLD cns 30390  normCVcnmcv 30393  SubSpcss 30524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-grpo 30296  df-ablo 30348  df-vc 30362  df-nv 30395  df-va 30398  df-ba 30399  df-sm 30400  df-0v 30401  df-nmcv 30403  df-ssp 30525
This theorem is referenced by:  sspgval  30532
  Copyright terms: Public domain W3C validator