Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iunmapss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunmapss 44588
Description: The indexed union of set exponentiations is a subset of the set exponentiation of the indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iunmapss.x 𝑥𝜑
iunmapss.a (𝜑𝐴𝑉)
iunmapss.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
Assertion
Ref Expression
iunmapss (𝜑 𝑥𝐴 (𝐵m 𝐶) ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem iunmapss
StepHypRef Expression
1 iunmapss.x . . 3 𝑥𝜑
2 iunmapss.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑉)
3 iunmapss.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
43ex 412 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵𝑊))
51, 4ralrimi 3251 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑊)
6 iunexg 7967 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑊) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
72, 5, 6syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
87adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
9 ssiun2 5050 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
109adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
11 mapss 8908 . . . . 5 (( 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 𝑥𝐴 𝐵) → (𝐵m 𝐶) ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐶))
128, 10, 11syl2anc 583 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵m 𝐶) ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐶))
1312ex 412 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (𝐵m 𝐶) ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐶)))
141, 13ralrimi 3251 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐵m 𝐶) ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐶))
15 nfiu1 5030 . . . 4 𝑥 𝑥𝐴 𝐵
16 nfcv 2899 . . . 4 𝑥m
17 nfcv 2899 . . . 4 𝑥𝐶
1815, 16, 17nfov 7450 . . 3 𝑥( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐶)
1918iunssf 5047 . 2 ( 𝑥𝐴 (𝐵m 𝐶) ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐶) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐵m 𝐶) ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐶))
2014, 19sylibr 233 1 (𝜑 𝑥𝐴 (𝐵m 𝐶) ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wnf 1778  wcel 2099  wral 3058  Vcvv 3471  wss 3947   ciun 4996  (class class class)co 7420  m cmap 8845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-map 8847
This theorem is referenced by:  iunmapsn  44590
  Copyright terms: Public domain W3C validator