Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iunmapss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunmapss 44483
Description: The indexed union of set exponentiations is a subset of the set exponentiation of the indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iunmapss.x 𝑥𝜑
iunmapss.a (𝜑𝐴𝑉)
iunmapss.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
Assertion
Ref Expression
iunmapss (𝜑 𝑥𝐴 (𝐵m 𝐶) ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem iunmapss
StepHypRef Expression
1 iunmapss.x . . 3 𝑥𝜑
2 iunmapss.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑉)
3 iunmapss.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
43ex 412 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵𝑊))
51, 4ralrimi 3248 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑊)
6 iunexg 7949 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑊) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
72, 5, 6syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
87adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
9 ssiun2 5043 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
109adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
11 mapss 8885 . . . . 5 (( 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 𝑥𝐴 𝐵) → (𝐵m 𝐶) ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐶))
128, 10, 11syl2anc 583 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵m 𝐶) ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐶))
1312ex 412 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (𝐵m 𝐶) ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐶)))
141, 13ralrimi 3248 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐵m 𝐶) ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐶))
15 nfiu1 5024 . . . 4 𝑥 𝑥𝐴 𝐵
16 nfcv 2897 . . . 4 𝑥m
17 nfcv 2897 . . . 4 𝑥𝐶
1815, 16, 17nfov 7435 . . 3 𝑥( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐶)
1918iunssf 5040 . 2 ( 𝑥𝐴 (𝐵m 𝐶) ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐶) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐵m 𝐶) ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐶))
2014, 19sylibr 233 1 (𝜑 𝑥𝐴 (𝐵m 𝐶) ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wnf 1777  wcel 2098  wral 3055  Vcvv 3468  wss 3943   ciun 4990  (class class class)co 7405  m cmap 8822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8824
This theorem is referenced by:  iunmapsn  44485
  Copyright terms: Public domain W3C validator