Theorem iunmapss 45914

Description: The indexed union of set exponentiations is a subset of the set exponentiation of the indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunmapss.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
iunmapss.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
iunmapss.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
iunmapss	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem iunmapss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunmapss.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		iunmapss.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		iunmapss.b	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
4	3	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝑊))
5	1, 4	ralrimi 3263	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊)
6		iunexg 7961	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
7	2, 5, 6	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
8	7	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
9		ssiun2 5013	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
10	9	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
11		mapss 8888	. . . . 5 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → (𝐵 ↑m 𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐶))
12	8, 10, 11	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ↑m 𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐶))
13	12	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐵 ↑m 𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐶)))
14	1, 13	ralrimi 3263	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐶))
15		nfiu1 4993	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵
16		nfcv 2925	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 ↑m
17		nfcv 2925	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
18	15, 16, 17	nfov 7442	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐶)
19	18	iunssf 5008	. 2 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐶))
20	14, 19	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400  Ⅎwnf 1813   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  Vcvv 3455   ⊆ wss 3906  ∪ ciun 4957  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-map 8827

This theorem is referenced by:  iunmapsn  45916