Theorem iunmapss 45662

Description: The indexed union of set exponentiations is a subset of the set exponentiation of the indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunmapss.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
iunmapss.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
iunmapss.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
iunmapss	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem iunmapss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunmapss.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		iunmapss.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		iunmapss.b	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
4	3	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝑊))
5	1, 4	ralrimi 3236	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊)
6		iunexg 7909	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
7	2, 5, 6	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
9		ssiun2 4991	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
10	9	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
11		mapss 8830	. . . . 5 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → (𝐵 ↑m 𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐶))
12	8, 10, 11	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ↑m 𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐶))
13	12	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐵 ↑m 𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐶)))
14	1, 13	ralrimi 3236	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐶))
15		nfiu1 4970	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵
16		nfcv 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 ↑m
17		nfcv 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
18	15, 16, 17	nfov 7390	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐶)
19	18	iunssf 4986	. 2 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐶))
20	14, 19	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑m 𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ∪ ciun 4934  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-map 8768

This theorem is referenced by:  iunmapsn  45664