Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioossioobi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioossioobi 43762
Description: Biconditional form of ioossioo 13359. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ioossioobi.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
ioossioobi.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
ioossioobi.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
ioossioobi.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
ioossioobi.cltd (𝜑𝐶 < 𝐷)
Assertion
Ref Expression
ioossioobi (𝜑 → ((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴𝐶𝐷𝐵)))

Proof of Theorem ioossioobi
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
2 df-ioo 13269 . . . . . 6 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
32ixxssxr 13277 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ*
4 infxrss 13259 . . . . 5 (((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ*) → inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) ≤ inf((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ))
51, 3, 4sylancl 587 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) ≤ inf((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ))
6 ioossioobi.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
76adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8 ioossioobi.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
98adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10 ioossioobi.cltd . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 < 𝐷)
11 ioossioobi.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
12 ioossioobi.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
13 ioon0 13291 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → ((𝐶(,)𝐷) ≠ ∅ ↔ 𝐶 < 𝐷))
1411, 12, 13syl2anc 585 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶(,)𝐷) ≠ ∅ ↔ 𝐶 < 𝐷))
1510, 14mpbird 257 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶(,)𝐷) ≠ ∅)
1615adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶(,)𝐷) ≠ ∅)
17 ssn0 4361 . . . . . 6 (((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐶(,)𝐷) ≠ ∅) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
181, 16, 17syl2anc 585 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
19 idd 24 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵𝑤 < 𝐵))
20 xrltle 13069 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵𝑤𝐵))
21 idd 24 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤𝐴 < 𝑤))
22 xrltle 13069 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤𝐴𝑤))
232, 19, 20, 21, 22ixxlb 13287 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐴)
247, 9, 18, 23syl3anc 1372 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐴)
2511adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
2612adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
27 idd 24 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐷𝑤 < 𝐷))
28 xrltle 13069 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐷𝑤𝐷))
29 idd 24 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝑤𝐶 < 𝑤))
30 xrltle 13069 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝑤𝐶𝑤))
312, 27, 28, 29, 30ixxlb 13287 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ* ∧ (𝐶(,)𝐷) ≠ ∅) → inf((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) = 𝐶)
3225, 26, 16, 31syl3anc 1372 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → inf((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) = 𝐶)
335, 24, 323brtr3d 5137 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴𝐶)
34 supxrss 13252 . . . . 5 (((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ*) → sup((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) ≤ sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ))
351, 3, 34sylancl 587 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → sup((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) ≤ sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ))
362, 27, 28, 29, 30ixxub 13286 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ* ∧ (𝐶(,)𝐷) ≠ ∅) → sup((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) = 𝐷)
3725, 26, 16, 36syl3anc 1372 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → sup((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) = 𝐷)
382, 19, 20, 21, 22ixxub 13286 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐵)
397, 9, 18, 38syl3anc 1372 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐵)
4035, 37, 393brtr3d 5137 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷𝐵)
4133, 40jca 513 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴𝐶𝐷𝐵))
426adantr 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
438adantr 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44 simprl 770 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → 𝐴𝐶)
45 simprr 772 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → 𝐷𝐵)
46 ioossioo 13359 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4742, 43, 44, 45, 46syl22anc 838 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4841, 47impbida 800 1 (𝜑 → ((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴𝐶𝐷𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  wss 3911  c0 4283   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  supcsup 9377  infcinf 9378  *cxr 11189   < clt 11190  cle 11191  (,)cioo 13265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-ioo 13269
This theorem is referenced by:  fourierdlem50  44404
  Copyright terms: Public domain W3C validator