Theorem ioossioobi 45906

Description: Biconditional form of ioossioo 13371. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioossioobi.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
ioossioobi.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
ioossioobi.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
ioossioobi.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
ioossioobi.cltd	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
ioossioobi	⊢ (𝜑 → ((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)))

Proof of Theorem ioossioobi

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
2		df-ioo 13279	. . . . . 6 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
3	2	ixxssxr 13287	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ*
4		infxrss 13269	. . . . 5 ⊢ (((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ*) → inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) ≤ inf((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ))
5	1, 3, 4	sylancl 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) ≤ inf((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ))
6		ioossioobi.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		ioossioobi.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10		ioossioobi.cltd	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐷)
11		ioossioobi.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
12		ioossioobi.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
13		ioon0 13301	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → ((𝐶(,)𝐷) ≠ ∅ ↔ 𝐶 < 𝐷))
14	11, 12, 13	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶(,)𝐷) ≠ ∅ ↔ 𝐶 < 𝐷))
15	10, 14	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶(,)𝐷) ≠ ∅)
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶(,)𝐷) ≠ ∅)
17		ssn0 4358	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐶(,)𝐷) ≠ ∅) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
18	1, 16, 17	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
19		idd 24	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 < 𝐵))
20		xrltle 13077	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
21		idd 24	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 < 𝑤))
22		xrltle 13077	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
23	2, 19, 20, 21, 22	ixxlb 13297	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐴)
24	7, 9, 18, 23	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐴)
25	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
26	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
27		idd 24	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐷 → 𝑤 < 𝐷))
28		xrltle 13077	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐷 → 𝑤 ≤ 𝐷))
29		idd 24	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝑤 → 𝐶 < 𝑤))
30		xrltle 13077	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝑤 → 𝐶 ≤ 𝑤))
31	2, 27, 28, 29, 30	ixxlb 13297	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ (𝐶(,)𝐷) ≠ ∅) → inf((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) = 𝐶)
32	25, 26, 16, 31	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → inf((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) = 𝐶)
33	5, 24, 32	3brtr3d 5131	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
34		supxrss 13261	. . . . 5 ⊢ (((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ*) → sup((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) ≤ sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ))
35	1, 3, 34	sylancl 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → sup((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) ≤ sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ))
36	2, 27, 28, 29, 30	ixxub 13296	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ (𝐶(,)𝐷) ≠ ∅) → sup((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) = 𝐷)
37	25, 26, 16, 36	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → sup((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) = 𝐷)
38	2, 19, 20, 21, 22	ixxub 13296	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐵)
39	7, 9, 18, 38	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐵)
40	35, 37, 39	3brtr3d 5131	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷 ≤ 𝐵)
41	33, 40	jca 511	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵))
42	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
43	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44		simprl 771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
45		simprr 773	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → 𝐷 ≤ 𝐵)
46		ioossioo 13371	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
47	42, 43, 44, 45, 46	syl22anc 839	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
48	41, 47	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287   class class class wbr 5100  (class class class)co 7370  supcsup 9357  infcinf 9358  ℝ^*cxr 11179   < clt 11180   ≤ cle 11181  (,)cioo 13275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-sup 9359  df-inf 9360  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-q 12876  df-ioo 13279

This theorem is referenced by:  fourierdlem50  46543