Theorem ioossioobi 45631

Description: Biconditional form of ioossioo 13351. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioossioobi.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
ioossioobi.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
ioossioobi.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
ioossioobi.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
ioossioobi.cltd	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
ioossioobi	⊢ (𝜑 → ((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)))

Proof of Theorem ioossioobi

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
2		df-ioo 13259	. . . . . 6 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
3	2	ixxssxr 13267	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ*
4		infxrss 13249	. . . . 5 ⊢ (((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ*) → inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) ≤ inf((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ))
5	1, 3, 4	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) ≤ inf((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ))
6		ioossioobi.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		ioossioobi.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10		ioossioobi.cltd	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐷)
11		ioossioobi.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
12		ioossioobi.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
13		ioon0 13281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → ((𝐶(,)𝐷) ≠ ∅ ↔ 𝐶 < 𝐷))
14	11, 12, 13	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶(,)𝐷) ≠ ∅ ↔ 𝐶 < 𝐷))
15	10, 14	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶(,)𝐷) ≠ ∅)
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶(,)𝐷) ≠ ∅)
17		ssn0 4355	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐶(,)𝐷) ≠ ∅) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
18	1, 16, 17	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
19		idd 24	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 < 𝐵))
20		xrltle 13058	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
21		idd 24	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 < 𝑤))
22		xrltle 13058	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
23	2, 19, 20, 21, 22	ixxlb 13277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐴)
24	7, 9, 18, 23	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐴)
25	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
26	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
27		idd 24	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐷 → 𝑤 < 𝐷))
28		xrltle 13058	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐷 → 𝑤 ≤ 𝐷))
29		idd 24	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝑤 → 𝐶 < 𝑤))
30		xrltle 13058	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝑤 → 𝐶 ≤ 𝑤))
31	2, 27, 28, 29, 30	ixxlb 13277	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ (𝐶(,)𝐷) ≠ ∅) → inf((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) = 𝐶)
32	25, 26, 16, 31	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → inf((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) = 𝐶)
33	5, 24, 32	3brtr3d 5126	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
34		supxrss 13241	. . . . 5 ⊢ (((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ*) → sup((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) ≤ sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ))
35	1, 3, 34	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → sup((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) ≤ sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ))
36	2, 27, 28, 29, 30	ixxub 13276	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ (𝐶(,)𝐷) ≠ ∅) → sup((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) = 𝐷)
37	25, 26, 16, 36	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → sup((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) = 𝐷)
38	2, 19, 20, 21, 22	ixxub 13276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐵)
39	7, 9, 18, 38	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐵)
40	35, 37, 39	3brtr3d 5126	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷 ≤ 𝐵)
41	33, 40	jca 511	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵))
42	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
43	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44		simprl 770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
45		simprr 772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → 𝐷 ≤ 𝐵)
46		ioossioo 13351	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
47	42, 43, 44, 45, 46	syl22anc 838	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
48	41, 47	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   ⊆ wss 3899  ∅c0 4284   class class class wbr 5095  (class class class)co 7355  supcsup 9334  infcinf 9335  ℝ^*cxr 11155   < clt 11156   ≤ cle 11157  (,)cioo 13255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-q 12857  df-ioo 13259

This theorem is referenced by:  fourierdlem50  46268