Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioossioobi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioossioobi 42730
Description: Biconditional form of ioossioo 13029. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ioossioobi.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
ioossioobi.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
ioossioobi.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
ioossioobi.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
ioossioobi.cltd (𝜑𝐶 < 𝐷)
Assertion
Ref Expression
ioossioobi (𝜑 → ((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴𝐶𝐷𝐵)))

Proof of Theorem ioossioobi
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
2 df-ioo 12939 . . . . . 6 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
32ixxssxr 12947 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ*
4 infxrss 12929 . . . . 5 (((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ*) → inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) ≤ inf((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ))
51, 3, 4sylancl 589 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) ≤ inf((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ))
6 ioossioobi.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
76adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8 ioossioobi.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
98adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10 ioossioobi.cltd . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 < 𝐷)
11 ioossioobi.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
12 ioossioobi.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
13 ioon0 12961 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → ((𝐶(,)𝐷) ≠ ∅ ↔ 𝐶 < 𝐷))
1411, 12, 13syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶(,)𝐷) ≠ ∅ ↔ 𝐶 < 𝐷))
1510, 14mpbird 260 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶(,)𝐷) ≠ ∅)
1615adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶(,)𝐷) ≠ ∅)
17 ssn0 4315 . . . . . 6 (((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐶(,)𝐷) ≠ ∅) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
181, 16, 17syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
19 idd 24 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵𝑤 < 𝐵))
20 xrltle 12739 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵𝑤𝐵))
21 idd 24 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤𝐴 < 𝑤))
22 xrltle 12739 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤𝐴𝑤))
232, 19, 20, 21, 22ixxlb 12957 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐴)
247, 9, 18, 23syl3anc 1373 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐴)
2511adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
2612adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
27 idd 24 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐷𝑤 < 𝐷))
28 xrltle 12739 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐷𝑤𝐷))
29 idd 24 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝑤𝐶 < 𝑤))
30 xrltle 12739 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝑤𝐶𝑤))
312, 27, 28, 29, 30ixxlb 12957 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ* ∧ (𝐶(,)𝐷) ≠ ∅) → inf((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) = 𝐶)
3225, 26, 16, 31syl3anc 1373 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → inf((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) = 𝐶)
335, 24, 323brtr3d 5084 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴𝐶)
34 supxrss 12922 . . . . 5 (((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ*) → sup((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) ≤ sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ))
351, 3, 34sylancl 589 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → sup((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) ≤ sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ))
362, 27, 28, 29, 30ixxub 12956 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ* ∧ (𝐶(,)𝐷) ≠ ∅) → sup((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) = 𝐷)
3725, 26, 16, 36syl3anc 1373 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → sup((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) = 𝐷)
382, 19, 20, 21, 22ixxub 12956 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐵)
397, 9, 18, 38syl3anc 1373 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐵)
4035, 37, 393brtr3d 5084 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷𝐵)
4133, 40jca 515 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴𝐶𝐷𝐵))
426adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
438adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44 simprl 771 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → 𝐴𝐶)
45 simprr 773 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → 𝐷𝐵)
46 ioossioo 13029 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4742, 43, 44, 45, 46syl22anc 839 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4841, 47impbida 801 1 (𝜑 → ((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴𝐶𝐷𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wss 3866  c0 4237   class class class wbr 5053  (class class class)co 7213  supcsup 9056  infcinf 9057  *cxr 10866   < clt 10867  cle 10868  (,)cioo 12935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-q 12545  df-ioo 12939
This theorem is referenced by:  fourierdlem50  43372
  Copyright terms: Public domain W3C validator