Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioossioobi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioossioobi 44530
Description: Biconditional form of ioossioo 13423. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ioossioobi.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
ioossioobi.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
ioossioobi.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
ioossioobi.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
ioossioobi.cltd (𝜑𝐶 < 𝐷)
Assertion
Ref Expression
ioossioobi (𝜑 → ((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴𝐶𝐷𝐵)))

Proof of Theorem ioossioobi
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
2 df-ioo 13333 . . . . . 6 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
32ixxssxr 13341 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ*
4 infxrss 13323 . . . . 5 (((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ*) → inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) ≤ inf((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ))
51, 3, 4sylancl 585 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) ≤ inf((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ))
6 ioossioobi.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
76adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8 ioossioobi.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
98adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10 ioossioobi.cltd . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 < 𝐷)
11 ioossioobi.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
12 ioossioobi.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
13 ioon0 13355 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → ((𝐶(,)𝐷) ≠ ∅ ↔ 𝐶 < 𝐷))
1411, 12, 13syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶(,)𝐷) ≠ ∅ ↔ 𝐶 < 𝐷))
1510, 14mpbird 256 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶(,)𝐷) ≠ ∅)
1615adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶(,)𝐷) ≠ ∅)
17 ssn0 4401 . . . . . 6 (((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐶(,)𝐷) ≠ ∅) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
181, 16, 17syl2anc 583 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
19 idd 24 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵𝑤 < 𝐵))
20 xrltle 13133 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵𝑤𝐵))
21 idd 24 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤𝐴 < 𝑤))
22 xrltle 13133 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤𝐴𝑤))
232, 19, 20, 21, 22ixxlb 13351 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐴)
247, 9, 18, 23syl3anc 1370 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐴)
2511adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
2612adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
27 idd 24 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐷𝑤 < 𝐷))
28 xrltle 13133 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐷𝑤𝐷))
29 idd 24 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝑤𝐶 < 𝑤))
30 xrltle 13133 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝑤𝐶𝑤))
312, 27, 28, 29, 30ixxlb 13351 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ* ∧ (𝐶(,)𝐷) ≠ ∅) → inf((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) = 𝐶)
3225, 26, 16, 31syl3anc 1370 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → inf((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) = 𝐶)
335, 24, 323brtr3d 5180 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴𝐶)
34 supxrss 13316 . . . . 5 (((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ*) → sup((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) ≤ sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ))
351, 3, 34sylancl 585 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → sup((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) ≤ sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ))
362, 27, 28, 29, 30ixxub 13350 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ* ∧ (𝐶(,)𝐷) ≠ ∅) → sup((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) = 𝐷)
3725, 26, 16, 36syl3anc 1370 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → sup((𝐶(,)𝐷), ℝ*, < ) = 𝐷)
382, 19, 20, 21, 22ixxub 13350 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐵)
397, 9, 18, 38syl3anc 1370 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐵)
4035, 37, 393brtr3d 5180 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷𝐵)
4133, 40jca 511 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴𝐶𝐷𝐵))
426adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
438adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44 simprl 768 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → 𝐴𝐶)
45 simprr 770 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → 𝐷𝐵)
46 ioossioo 13423 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4742, 43, 44, 45, 46syl22anc 836 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4841, 47impbida 798 1 (𝜑 → ((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴𝐶𝐷𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wss 3949  c0 4323   class class class wbr 5149  (class class class)co 7412  supcsup 9438  infcinf 9439  *cxr 11252   < clt 11253  cle 11254  (,)cioo 13329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-ioo 13333
This theorem is referenced by:  fourierdlem50  45172
  Copyright terms: Public domain W3C validator