MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixxf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ixxf 13333
Description: The set of intervals of extended reals maps to subsets of extended reals. (Contributed by FL, 14-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
ixx.1 𝑂 = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
Assertion
Ref Expression
ixxf 𝑂:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ*
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝑅   π‘₯,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxf
StepHypRef Expression
1 xrex 12970 . . . 4 ℝ* ∈ V
2 ssrab2 4077 . . . 4 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)} βŠ† ℝ*
31, 2elpwi2 5346 . . 3 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ*
43rgen2w 3066 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ ℝ* βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ*
5 ixx.1 . . 3 𝑂 = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
65fmpo 8053 . 2 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ* βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ* ↔ 𝑂:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ*)
74, 6mpbi 229 1 𝑂:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474  π’« cpw 4602   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  βŸΆwf 6539   ∈ cmpo 7410  β„*cxr 11246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-xr 11251
This theorem is referenced by:  ixxex  13334  ixxssxr  13335  elixx3g  13336  ndmioo  13350  iccf  13424  iocpnfordt  22718  icomnfordt  22719  tpr2rico  32887  icoreresf  36228  icoreelrn  36237  relowlpssretop  36240  dmico  44268
  Copyright terms: Public domain W3C validator