MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixxf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ixxf 13334
Description: The set of intervals of extended reals maps to subsets of extended reals. (Contributed by FL, 14-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
ixx.1 𝑂 = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
Assertion
Ref Expression
ixxf 𝑂:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ*
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝑅   π‘₯,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxf
StepHypRef Expression
1 xrex 12971 . . . 4 ℝ* ∈ V
2 ssrab2 4078 . . . 4 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)} βŠ† ℝ*
31, 2elpwi2 5347 . . 3 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ*
43rgen2w 3067 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ ℝ* βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ*
5 ixx.1 . . 3 𝑂 = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
65fmpo 8054 . 2 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ* βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ* ↔ 𝑂:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ*)
74, 6mpbi 229 1 𝑂:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475  π’« cpw 4603   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  βŸΆwf 6540   ∈ cmpo 7411  β„*cxr 11247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-xr 11252
This theorem is referenced by:  ixxex  13335  ixxssxr  13336  elixx3g  13337  ndmioo  13351  iccf  13425  iocpnfordt  22719  icomnfordt  22720  tpr2rico  32892  icoreresf  36233  icoreelrn  36242  relowlpssretop  36245  dmico  44278
  Copyright terms: Public domain W3C validator