MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixxf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ixxf 13398
Description: The set of intervals of extended reals maps to subsets of extended reals. (Contributed by FL, 14-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
ixx.1 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
Assertion
Ref Expression
ixxf 𝑂:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxf
StepHypRef Expression
1 xrex 13030 . . . 4 * ∈ V
2 ssrab2 4079 . . . 4 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)} ⊆ ℝ*
31, 2elpwi2 5334 . . 3 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ*
43rgen2w 3065 . 2 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ*
5 ixx.1 . . 3 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
65fmpo 8094 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ*𝑂:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*)
74, 6mpbi 230 1 𝑂:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  {crab 3435  Vcvv 3479  𝒫 cpw 4599   class class class wbr 5142   × cxp 5682  wf 6556  cmpo 7434  *cxr 11295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-xr 11300
This theorem is referenced by:  ixxex  13399  ixxssxr  13400  elixx3g  13401  ndmioo  13415  iccf  13489  iocpnfordt  23224  icomnfordt  23225  tpr2rico  33912  icoreresf  37354  icoreelrn  37363  relowlpssretop  37366  dmico  45583
  Copyright terms: Public domain W3C validator