Theorem ixxex 13090

Description: The set of intervals of extended reals exists. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixx.1	⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})

Assertion

Ref	Expression
ixxex	⊢ 𝑂 ∈ V

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrex 12727	. . . 4 ⊢ ℝ* ∈ V
2	1, 1	xpex 7603	. . 3 ⊢ (ℝ* × ℝ*) ∈ V
3	1	pwex 5303	. . 3 ⊢ 𝒫 ℝ* ∈ V
4	2, 3	xpex 7603	. 2 ⊢ ((ℝ* × ℝ*) × 𝒫 ℝ*) ∈ V
5		ixx.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
6	5	ixxf 13089	. . 3 ⊢ 𝑂:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
7		fssxp 6628	. . 3 ⊢ (𝑂:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ* → 𝑂 ⊆ ((ℝ* × ℝ*) × 𝒫 ℝ*))
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑂 ⊆ ((ℝ* × ℝ*) × 𝒫 ℝ*)
9	4, 8	ssexi 5246	1 ⊢ 𝑂 ∈ V

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533   class class class wbr 5074   × cxp 5587  ⟶wf 6429   ∈ cmpo 7277  ℝ^*cxr 11008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-xr 11013

This theorem is referenced by:  iooex  13102  isbasisrelowl  35529  relowlpssretop  35535