MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixxex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ixxex 13090
Description: The set of intervals of extended reals exists. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ixx.1 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
Assertion
Ref Expression
ixxex 𝑂 ∈ V
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxex
StepHypRef Expression
1 xrex 12727 . . . 4 * ∈ V
21, 1xpex 7603 . . 3 (ℝ* × ℝ*) ∈ V
31pwex 5303 . . 3 𝒫 ℝ* ∈ V
42, 3xpex 7603 . 2 ((ℝ* × ℝ*) × 𝒫 ℝ*) ∈ V
5 ixx.1 . . . 4 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
65ixxf 13089 . . 3 𝑂:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
7 fssxp 6628 . . 3 (𝑂:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*𝑂 ⊆ ((ℝ* × ℝ*) × 𝒫 ℝ*))
86, 7ax-mp 5 . 2 𝑂 ⊆ ((ℝ* × ℝ*) × 𝒫 ℝ*)
94, 8ssexi 5246 1 𝑂 ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3432  wss 3887  𝒫 cpw 4533   class class class wbr 5074   × cxp 5587  wf 6429  cmpo 7277  *cxr 11008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-xr 11013
This theorem is referenced by:  iooex  13102  isbasisrelowl  35529  relowlpssretop  35535
  Copyright terms: Public domain W3C validator