MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixxex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ixxex 13361
Description: The set of intervals of extended reals exists. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ixx.1 𝑂 = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
Assertion
Ref Expression
ixxex 𝑂 ∈ V
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝑅   π‘₯,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxex
StepHypRef Expression
1 xrex 12995 . . . 4 ℝ* ∈ V
21, 1xpex 7749 . . 3 (ℝ* Γ— ℝ*) ∈ V
31pwex 5374 . . 3 𝒫 ℝ* ∈ V
42, 3xpex 7749 . 2 ((ℝ* Γ— ℝ*) Γ— 𝒫 ℝ*) ∈ V
5 ixx.1 . . . 4 𝑂 = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
65ixxf 13360 . . 3 𝑂:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ*
7 fssxp 6745 . . 3 (𝑂:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ* β†’ 𝑂 βŠ† ((ℝ* Γ— ℝ*) Γ— 𝒫 ℝ*))
86, 7ax-mp 5 . 2 𝑂 βŠ† ((ℝ* Γ— ℝ*) Γ— 𝒫 ℝ*)
94, 8ssexi 5316 1 𝑂 ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3428  Vcvv 3470   βŠ† wss 3945  π’« cpw 4598   class class class wbr 5142   Γ— cxp 5670  βŸΆwf 6538   ∈ cmpo 7416  β„*cxr 11271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-xr 11276
This theorem is referenced by:  iooex  13373  isbasisrelowl  36831  relowlpssretop  36837
  Copyright terms: Public domain W3C validator