Theorem ixxex 13304

Description: The set of intervals of extended reals exists. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixx.1	⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})

Assertion

Ref	Expression
ixxex	⊢ 𝑂 ∈ V

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrex 12932	. . . 4 ⊢ ℝ* ∈ V
2	1, 1	xpex 7700	. . 3 ⊢ (ℝ* × ℝ*) ∈ V
3	1	pwex 5312	. . 3 ⊢ 𝒫 ℝ* ∈ V
4	2, 3	xpex 7700	. 2 ⊢ ((ℝ* × ℝ*) × 𝒫 ℝ*) ∈ V
5		ixx.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
6	5	ixxf 13303	. . 3 ⊢ 𝑂:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
7		fssxp 6686	. . 3 ⊢ (𝑂:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ* → 𝑂 ⊆ ((ℝ* × ℝ*) × 𝒫 ℝ*))
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑂 ⊆ ((ℝ* × ℝ*) × 𝒫 ℝ*)
9	4, 8	ssexi 5253	1 ⊢ 𝑂 ∈ V

Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {crab 3393  Vcvv 3433   ⊆ wss 3885  𝒫 cpw 4532   class class class wbr 5075   × cxp 5619  ⟶wf 6485   ∈ cmpo 7362  ℝ^*cxr 11173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-fv 6497  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-xr 11178

This theorem is referenced by:  iooex  13316  isbasisrelowl  37735  relowlpssretop  37741