MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixxex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ixxex 13418
Description: The set of intervals of extended reals exists. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ixx.1 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
Assertion
Ref Expression
ixxex 𝑂 ∈ V
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxex
StepHypRef Expression
1 xrex 13052 . . . 4 * ∈ V
21, 1xpex 7788 . . 3 (ℝ* × ℝ*) ∈ V
31pwex 5398 . . 3 𝒫 ℝ* ∈ V
42, 3xpex 7788 . 2 ((ℝ* × ℝ*) × 𝒫 ℝ*) ∈ V
5 ixx.1 . . . 4 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
65ixxf 13417 . . 3 𝑂:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
7 fssxp 6775 . . 3 (𝑂:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*𝑂 ⊆ ((ℝ* × ℝ*) × 𝒫 ℝ*))
86, 7ax-mp 5 . 2 𝑂 ⊆ ((ℝ* × ℝ*) × 𝒫 ℝ*)
94, 8ssexi 5340 1 𝑂 ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  {crab 3443  Vcvv 3488  wss 3976  𝒫 cpw 4622   class class class wbr 5166   × cxp 5698  wf 6569  cmpo 7450  *cxr 11323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-xr 11328
This theorem is referenced by:  iooex  13430  isbasisrelowl  37324  relowlpssretop  37330
  Copyright terms: Public domain W3C validator