Theorem iccssxr 13463

Description: A closed interval is a set of extended reals. (Contributed by FL, 28-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iccssxr	⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*

Proof of Theorem iccssxr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-icc 13385	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
2	1	ixxssxr 13390	1 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3904  (class class class)co 7412  ℝ^*cxr 11248   ≤ cle 11250  [,]cicc 13381

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-xr 11253  df-icc 13385

This theorem is used by:  eliccxr  13468  supicclub2  13537  xrge0base  17667  lecldbas  23387  ordtresticc  23391  prdsxmetlem  24536  xrge0gsumle  25002  xrge0tsms  25003  metdscn  25025  iccpnfhmeo  25115  xrhmeo  25116  volsup  25726  volsup2  25775  volivth  25777  itg2le  25909  itg2const2  25911  itg2lea  25914  itg2eqa  25915  itg2split  25919  itg2gt0  25930  dvgt0lem1  26172  radcnvlt1  26592  radcnvle  26594  pserulm  26596  psercnlem2  26598  psercnlem1  26599  psercn  26600  pserdvlem1  26601  pserdvlem2  26602  abelthlem3  26607  abelth  26615  logtayl  26836  xrge0infss  33116  xrge0infssd  33117  xrge0subcld  33119  infxrge0lb  33120  infxrge0glb  33121  infxrge0gelb  33122  xrge00  33343  xrge0mulgnn0  33344  xrge0addass  33345  xrge0addgt0  33346  xrge0adddir  33347  xrge0adddi  33348  xrge0npcan  33349  xrge0tsmsd  33402  xrge0slmod  33677  xrge0iifiso  34334  xrge0iifhmeo  34335  xrge0pluscn  34339  xrge0mulc1cn  34340  xrge0tmdALT  34345  lmlimxrge0  34347  pnfneige0  34350  lmxrge0  34351  esummono  34453  esumpad  34454  esumpad2  34455  esumle  34457  gsumesum  34458  esumlub  34459  esumlef  34461  esumcst  34462  esumrnmpt2  34467  esumfsup  34469  esumpinfval  34472  esumpfinvallem  34473  esumpinfsum  34476  esumpmono  34478  esummulc2  34481  esumdivc  34482  hasheuni  34484  esumcvg  34485  esumgect  34489  esum2d  34492  measun  34610  measunl  34615  measiun  34617  voliune  34628  volfiniune  34629  ddemeas  34635  omsfval  34693  omsf  34695  oms0  34696  omssubaddlem  34698  omssubadd  34699  baselcarsg  34705  0elcarsg  34706  difelcarsg  34709  inelcarsg  34710  carsgsigalem  34714  carsggect  34717  carsgclctunlem2  34718  carsgclctunlem3  34719  carsgclctun  34720  omsmeas  34722  pmeasmono  34723  probmeasb  34829  itg2addnclem  38350  ftc1anc  38380  xadd0ge  46066  xrge0nemnfd  46076  xadd0ge2  46085  ge0lere  46276  inficc  46278  iccdificc  46283  fourierdlem1  46850  fourierdlem20  46869  fourierdlem27  46876  fourierdlem87  46935  fge0iccico  47112  gsumge0cl  47113  sge0sn  47121  sge0tsms  47122  sge0xrcl  47127  sge0pr  47136  sge0prle  47143  sge0le  47149  sge0split  47151  sge0p1  47156  sge0rernmpt  47164  sge0xrclmpt  47170  sge0xadd  47177  meaxrcl  47203  meadjun  47204  voliunsge0lem  47214  caragen0  47248  omexrcl  47249  caragenunidm  47250  caragendifcl  47256  omeunle  47258  omeiunle  47259  carageniuncl  47265  ovn0lem  47307  ovnxrcl  47311  hoidmvlelem3  47339  hoidmvlelem4  47340  vonxrcl  47410  icccldii  49725