Theorem iccssxr 13456

Description: A closed interval is a set of extended reals. (Contributed by FL, 28-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iccssxr	⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*

Proof of Theorem iccssxr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-icc 13378	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
2	1	ixxssxr 13383	1 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*

Syntax hints:   ⊆ wss 3904  (class class class)co 7410  ℝ^*cxr 11241   ≤ cle 11243  [,]cicc 13374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-xr 11246  df-icc 13378

This theorem is referenced by:  eliccxr  13461  supicclub2  13530  xrge0base  17660  lecldbas  23355  ordtresticc  23359  prdsxmetlem  24504  xrge0gsumle  24970  xrge0tsms  24971  metdscn  24993  iccpnfhmeo  25083  xrhmeo  25084  volsup  25694  volsup2  25743  volivth  25745  itg2le  25877  itg2const2  25879  itg2lea  25882  itg2eqa  25883  itg2split  25887  itg2gt0  25898  dvgt0lem1  26140  radcnvlt1  26557  radcnvle  26559  pserulm  26561  psercnlem2  26563  psercnlem1  26564  psercn  26565  pserdvlem1  26566  pserdvlem2  26567  abelthlem3  26572  abelth  26580  logtayl  26801  xrge0infss  33071  xrge0infssd  33072  xrge0subcld  33074  infxrge0lb  33075  infxrge0glb  33076  infxrge0gelb  33077  xrge00  33300  xrge0mulgnn0  33301  xrge0addass  33302  xrge0addgt0  33303  xrge0adddir  33304  xrge0adddi  33305  xrge0npcan  33306  xrge0tsmsd  33359  xrge0slmod  33634  xrge0iifiso  34291  xrge0iifhmeo  34292  xrge0pluscn  34296  xrge0mulc1cn  34297  xrge0tmdALT  34302  lmlimxrge0  34304  pnfneige0  34307  lmxrge0  34308  esummono  34410  esumpad  34411  esumpad2  34412  esumle  34414  gsumesum  34415  esumlub  34416  esumlef  34418  esumcst  34419  esumrnmpt2  34424  esumfsup  34426  esumpinfval  34429  esumpfinvallem  34430  esumpinfsum  34433  esumpmono  34435  esummulc2  34438  esumdivc  34439  hasheuni  34441  esumcvg  34442  esumgect  34446  esum2d  34449  measun  34567  measunl  34572  measiun  34574  voliune  34585  volfiniune  34586  ddemeas  34592  omsfval  34650  omsf  34652  oms0  34653  omssubaddlem  34655  omssubadd  34656  baselcarsg  34662  0elcarsg  34663  difelcarsg  34666  inelcarsg  34667  carsgsigalem  34671  carsggect  34674  carsgclctunlem2  34675  carsgclctunlem3  34676  carsgclctun  34677  omsmeas  34679  pmeasmono  34680  probmeasb  34786  itg2addnclem  38288  ftc1anc  38318  xadd0ge  46008  xrge0nemnfd  46018  xadd0ge2  46027  ge0lere  46218  inficc  46220  iccdificc  46225  fourierdlem1  46792  fourierdlem20  46811  fourierdlem27  46818  fourierdlem87  46877  fge0iccico  47054  gsumge0cl  47055  sge0sn  47063  sge0tsms  47064  sge0xrcl  47069  sge0pr  47078  sge0prle  47085  sge0le  47091  sge0split  47093  sge0p1  47098  sge0rernmpt  47106  sge0xrclmpt  47112  sge0xadd  47119  meaxrcl  47145  meadjun  47146  voliunsge0lem  47156  caragen0  47190  omexrcl  47191  caragenunidm  47192  caragendifcl  47198  omeunle  47200  omeiunle  47201  carageniuncl  47207  ovn0lem  47249  ovnxrcl  47253  hoidmvlelem3  47281  hoidmvlelem4  47282  vonxrcl  47352  icccldii  49664