Theorem iccssxr 13407

Description: A closed interval is a set of extended reals. (Contributed by FL, 28-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iccssxr	⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*

Proof of Theorem iccssxr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-icc 13331	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
2	1	ixxssxr 13336	1 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*

Syntax hints:   ⊆ wss 3949  (class class class)co 7409  ℝ^*cxr 11247   ≤ cle 11249  [,]cicc 13327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-xr 11252  df-icc 13331

This theorem is referenced by:  eliccxr  13412  supicclub2  13481  lecldbas  22723  ordtresticc  22727  prdsxmetlem  23874  xrge0gsumle  24349  xrge0tsms  24350  metdscn  24372  iccpnfhmeo  24461  xrhmeo  24462  volsup  25073  volsup2  25122  volivth  25124  itg2le  25257  itg2const2  25259  itg2lea  25262  itg2eqa  25263  itg2split  25267  itg2gt0  25278  dvgt0lem1  25519  radcnvlt1  25930  radcnvle  25932  pserulm  25934  psercnlem2  25936  psercnlem1  25937  psercn  25938  pserdvlem1  25939  pserdvlem2  25940  abelthlem3  25945  abelth  25953  logtayl  26168  xrge0infss  32004  xrge0infssd  32005  xrge0subcld  32007  infxrge0lb  32008  infxrge0glb  32009  infxrge0gelb  32010  xrge0base  32217  xrge00  32218  xrge0mulgnn0  32221  xrge0addass  32222  xrge0addgt0  32223  xrge0adddir  32224  xrge0adddi  32225  xrge0npcan  32226  xrge0tsmsd  32240  xrge0slmod  32494  xrge0iifiso  32946  xrge0iifhmeo  32947  xrge0pluscn  32951  xrge0mulc1cn  32952  xrge0tmdALT  32957  lmlimxrge0  32959  pnfneige0  32962  lmxrge0  32963  esummono  33083  esumpad  33084  esumpad2  33085  esumle  33087  gsumesum  33088  esumlub  33089  esumlef  33091  esumcst  33092  esumrnmpt2  33097  esumfsup  33099  esumpinfval  33102  esumpfinvallem  33103  esumpinfsum  33106  esumpmono  33108  esummulc2  33111  esumdivc  33112  hasheuni  33114  esumcvg  33115  esumgect  33119  esum2d  33122  measun  33240  measunl  33245  measiun  33247  voliune  33258  volfiniune  33259  ddemeas  33265  omsfval  33324  omsf  33326  oms0  33327  omssubaddlem  33329  omssubadd  33330  baselcarsg  33336  0elcarsg  33337  difelcarsg  33340  inelcarsg  33341  carsgsigalem  33345  carsggect  33348  carsgclctunlem2  33349  carsgclctunlem3  33350  carsgclctun  33351  omsmeas  33353  pmeasmono  33354  probmeasb  33460  itg2addnclem  36587  ftc1anc  36617  xadd0ge  44078  xrge0nemnfd  44090  xadd0ge2  44099  ge0lere  44293  inficc  44295  iccdificc  44300  fourierdlem1  44872  fourierdlem20  44891  fourierdlem27  44898  fourierdlem87  44957  fge0iccico  45134  gsumge0cl  45135  sge0sn  45143  sge0tsms  45144  sge0xrcl  45149  sge0pr  45158  sge0prle  45165  sge0le  45171  sge0split  45173  sge0p1  45178  sge0rernmpt  45186  sge0xrclmpt  45192  sge0xadd  45199  meaxrcl  45225  meadjun  45226  voliunsge0lem  45236  caragen0  45270  omexrcl  45271  caragenunidm  45272  caragendifcl  45278  omeunle  45280  omeiunle  45281  carageniuncl  45287  ovn0lem  45329  ovnxrcl  45333  hoidmvlelem3  45361  hoidmvlelem4  45362  vonxrcl  45432  icccldii  47599