Theorem iccssxr 13485

Description: A closed interval is a set of extended reals. (Contributed by FL, 28-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iccssxr	⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*

Proof of Theorem iccssxr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-icc 13407	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
2	1	ixxssxr 13412	1 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3902  (class class class)co 7416  ℝ^*cxr 11269   ≤ cle 11271  [,]cicc 13403

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-xr 11274  df-icc 13407

This theorem is used by:  eliccxr  13490  supicclub2  13559  xrge0base  17697  lecldbas  23445  ordtresticc  23449  prdsxmetlem  24595  xrge0gsumle  25061  xrge0tsms  25062  metdscn  25084  iccpnfhmeo  25174  xrhmeo  25175  volsup  25785  volsup2  25834  volivth  25836  itg2le  25968  itg2const2  25970  itg2lea  25973  itg2eqa  25974  itg2split  25978  itg2gt0  25989  dvgt0lem1  26231  radcnvlt1  26651  radcnvle  26653  pserulm  26655  psercnlem2  26657  psercnlem1  26658  psercn  26659  pserdvlem1  26660  pserdvlem2  26661  abelthlem3  26666  abelth  26674  logtayl  26895  xrge0infss  33218  xrge0infssd  33219  xrge0subcld  33221  infxrge0lb  33222  infxrge0glb  33223  infxrge0gelb  33224  xrge00  33441  xrge0mulgnn0  33442  xrge0addass  33443  xrge0addgt0  33444  xrge0adddir  33445  xrge0adddi  33446  xrge0npcan  33447  xrge0tsmsd  33500  xrge0slmod  33775  xrge0iifiso  34432  xrge0iifhmeo  34433  xrge0pluscn  34437  xrge0mulc1cn  34438  xrge0tmdALT  34443  lmlimxrge0  34445  pnfneige0  34448  lmxrge0  34449  esummono  34551  esumpad  34552  esumpad2  34553  esumle  34555  gsumesum  34556  esumlub  34557  esumlef  34559  esumcst  34560  esumrnmpt2  34565  esumfsup  34567  esumpinfval  34570  esumpfinvallem  34571  esumpinfsum  34574  esumpmono  34576  esummulc2  34579  esumdivc  34580  hasheuni  34582  esumcvg  34583  esumgect  34587  esum2d  34590  measun  34709  measunl  34714  measiun  34716  voliune  34727  volfiniune  34728  ddemeas  34734  omsfval  34792  omsf  34794  oms0  34795  omssubaddlem  34797  omssubadd  34798  baselcarsg  34804  0elcarsg  34805  difelcarsg  34808  inelcarsg  34809  carsgsigalem  34813  carsggect  34816  carsgclctunlem2  34817  carsgclctunlem3  34818  carsgclctun  34819  omsmeas  34821  pmeasmono  34822  probmeasb  34928  itg2addnclem  38407  ftc1anc  38437  xadd0ge  46139  xrge0nemnfd  46149  xadd0ge2  46158  ge0lere  46349  inficc  46351  iccdificc  46356  fourierdlem1  46923  fourierdlem20  46942  fourierdlem27  46949  fourierdlem87  47008  fge0iccico  47185  gsumge0cl  47186  sge0sn  47194  sge0tsms  47195  sge0xrcl  47200  sge0pr  47209  sge0prle  47216  sge0le  47222  sge0split  47224  sge0p1  47229  sge0rernmpt  47237  sge0xrclmpt  47243  sge0xadd  47250  meaxrcl  47276  meadjun  47277  voliunsge0lem  47287  caragen0  47321  omexrcl  47322  caragenunidm  47323  caragendifcl  47329  omeunle  47331  omeiunle  47332  carageniuncl  47338  ovn0lem  47380  ovnxrcl  47384  hoidmvlelem3  47412  hoidmvlelem4  47413  vonxrcl  47483  icccldii  49832