Theorem iccssxr 13391

Description: A closed interval is a set of extended reals. (Contributed by FL, 28-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iccssxr	⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*

Proof of Theorem iccssxr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-icc 13313	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
2	1	ixxssxr 13318	1 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*

Syntax hints:   ⊆ wss 3914  (class class class)co 7387  ℝ^*cxr 11207   ≤ cle 11209  [,]cicc 13309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-xr 11212  df-icc 13313

This theorem is referenced by:  eliccxr  13396  supicclub2  13465  lecldbas  23106  ordtresticc  23110  prdsxmetlem  24256  xrge0gsumle  24722  xrge0tsms  24723  metdscn  24745  iccpnfhmeo  24843  xrhmeo  24844  volsup  25457  volsup2  25506  volivth  25508  itg2le  25640  itg2const2  25642  itg2lea  25645  itg2eqa  25646  itg2split  25650  itg2gt0  25661  dvgt0lem1  25907  radcnvlt1  26327  radcnvle  26329  pserulm  26331  psercnlem2  26334  psercnlem1  26335  psercn  26336  pserdvlem1  26337  pserdvlem2  26338  abelthlem3  26343  abelth  26351  logtayl  26569  xrge0infss  32683  xrge0infssd  32684  xrge0subcld  32686  infxrge0lb  32687  infxrge0glb  32688  infxrge0gelb  32689  xrge0base  32952  xrge00  32953  xrge0mulgnn0  32956  xrge0addass  32957  xrge0addgt0  32958  xrge0adddir  32959  xrge0adddi  32960  xrge0npcan  32961  xrge0tsmsd  33002  xrge0slmod  33319  xrge0iifiso  33925  xrge0iifhmeo  33926  xrge0pluscn  33930  xrge0mulc1cn  33931  xrge0tmdALT  33936  lmlimxrge0  33938  pnfneige0  33941  lmxrge0  33942  esummono  34044  esumpad  34045  esumpad2  34046  esumle  34048  gsumesum  34049  esumlub  34050  esumlef  34052  esumcst  34053  esumrnmpt2  34058  esumfsup  34060  esumpinfval  34063  esumpfinvallem  34064  esumpinfsum  34067  esumpmono  34069  esummulc2  34072  esumdivc  34073  hasheuni  34075  esumcvg  34076  esumgect  34080  esum2d  34083  measun  34201  measunl  34206  measiun  34208  voliune  34219  volfiniune  34220  ddemeas  34226  omsfval  34285  omsf  34287  oms0  34288  omssubaddlem  34290  omssubadd  34291  baselcarsg  34297  0elcarsg  34298  difelcarsg  34301  inelcarsg  34302  carsgsigalem  34306  carsggect  34309  carsgclctunlem2  34310  carsgclctunlem3  34311  carsgclctun  34312  omsmeas  34314  pmeasmono  34315  probmeasb  34421  itg2addnclem  37665  ftc1anc  37695  xadd0ge  45317  xrge0nemnfd  45328  xadd0ge2  45337  ge0lere  45530  inficc  45532  iccdificc  45537  fourierdlem1  46106  fourierdlem20  46125  fourierdlem27  46132  fourierdlem87  46191  fge0iccico  46368  gsumge0cl  46369  sge0sn  46377  sge0tsms  46378  sge0xrcl  46383  sge0pr  46392  sge0prle  46399  sge0le  46405  sge0split  46407  sge0p1  46412  sge0rernmpt  46420  sge0xrclmpt  46426  sge0xadd  46433  meaxrcl  46459  meadjun  46460  voliunsge0lem  46470  caragen0  46504  omexrcl  46505  caragenunidm  46506  caragendifcl  46512  omeunle  46514  omeiunle  46515  carageniuncl  46521  ovn0lem  46563  ovnxrcl  46567  hoidmvlelem3  46595  hoidmvlelem4  46596  vonxrcl  46666  icccldii  48907