Theorem iccssxr 12820

Description: A closed interval is a set of extended reals. (Contributed by FL, 28-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iccssxr	⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*

Proof of Theorem iccssxr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-icc 12746	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
2	1	ixxssxr 12751	1 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*

Syntax hints:   ⊆ wss 3936  (class class class)co 7156  ℝ^*cxr 10674   ≤ cle 10676  [,]cicc 12742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-xr 10679  df-icc 12746

This theorem is referenced by:  eliccxr  12824  supicclub2  12890  lecldbas  21827  ordtresticc  21831  prdsxmetlem  22978  xrge0gsumle  23441  xrge0tsms  23442  metdscn  23464  iccpnfhmeo  23549  xrhmeo  23550  volsup  24157  volsup2  24206  volivth  24208  itg2le  24340  itg2const2  24342  itg2lea  24345  itg2eqa  24346  itg2split  24350  itg2gt0  24361  dvgt0lem1  24599  radcnvlt1  25006  radcnvle  25008  pserulm  25010  psercnlem2  25012  psercnlem1  25013  psercn  25014  pserdvlem1  25015  pserdvlem2  25016  abelthlem3  25021  abelth  25029  logtayl  25243  xrge0infss  30484  xrge0infssd  30485  xrge0subcld  30487  infxrge0lb  30488  infxrge0glb  30489  infxrge0gelb  30490  xrge0base  30672  xrge00  30673  xrge0mulgnn0  30676  xrge0addass  30677  xrge0addgt0  30678  xrge0adddir  30679  xrge0adddi  30680  xrge0npcan  30681  xrge0tsmsd  30692  xrge0slmod  30917  xrge0iifiso  31178  xrge0iifhmeo  31179  xrge0pluscn  31183  xrge0mulc1cn  31184  xrge0tmdALT  31189  lmlimxrge0  31191  pnfneige0  31194  lmxrge0  31195  esummono  31313  esumpad  31314  esumpad2  31315  esumle  31317  gsumesum  31318  esumlub  31319  esumlef  31321  esumcst  31322  esumrnmpt2  31327  esumfsup  31329  esumpinfval  31332  esumpfinvallem  31333  esumpinfsum  31336  esumpmono  31338  esummulc2  31341  esumdivc  31342  hasheuni  31344  esumcvg  31345  esumgect  31349  esum2d  31352  measun  31470  measunl  31475  measiun  31477  voliune  31488  volfiniune  31489  ddemeas  31495  omsfval  31552  omsf  31554  oms0  31555  omssubaddlem  31557  omssubadd  31558  baselcarsg  31564  0elcarsg  31565  difelcarsg  31568  inelcarsg  31569  carsgsigalem  31573  carsggect  31576  carsgclctunlem2  31577  carsgclctunlem3  31578  carsgclctun  31579  omsmeas  31581  pmeasmono  31582  probmeasb  31688  itg2addnclem  34958  ftc1anc  34990  xadd0ge  41608  xrge0nemnfd  41620  xadd0ge2  41629  ge0lere  41828  inficc  41830  iccdificc  41835  fourierdlem1  42413  fourierdlem20  42432  fourierdlem27  42439  fourierdlem87  42498  fge0iccico  42672  gsumge0cl  42673  sge0sn  42681  sge0tsms  42682  sge0xrcl  42687  sge0pr  42696  sge0prle  42703  sge0le  42709  sge0split  42711  sge0p1  42716  sge0rernmpt  42724  sge0xrclmpt  42730  sge0xadd  42737  meaxrcl  42763  meadjun  42764  voliunsge0lem  42774  caragen0  42808  omexrcl  42809  caragenunidm  42810  caragendifcl  42816  omeunle  42818  omeiunle  42819  carageniuncl  42825  ovn0lem  42867  ovnxrcl  42871  hoidmvlelem3  42899  hoidmvlelem4  42900  vonxrcl  42970