Theorem iccssxr 13162

Description: A closed interval is a set of extended reals. (Contributed by FL, 28-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iccssxr	⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*

Proof of Theorem iccssxr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-icc 13086	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
2	1	ixxssxr 13091	1 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*

Syntax hints:   ⊆ wss 3887  (class class class)co 7275  ℝ^*cxr 11008   ≤ cle 11010  [,]cicc 13082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-xr 11013  df-icc 13086

This theorem is referenced by:  eliccxr  13167  supicclub2  13236  lecldbas  22370  ordtresticc  22374  prdsxmetlem  23521  xrge0gsumle  23996  xrge0tsms  23997  metdscn  24019  iccpnfhmeo  24108  xrhmeo  24109  volsup  24720  volsup2  24769  volivth  24771  itg2le  24904  itg2const2  24906  itg2lea  24909  itg2eqa  24910  itg2split  24914  itg2gt0  24925  dvgt0lem1  25166  radcnvlt1  25577  radcnvle  25579  pserulm  25581  psercnlem2  25583  psercnlem1  25584  psercn  25585  pserdvlem1  25586  pserdvlem2  25587  abelthlem3  25592  abelth  25600  logtayl  25815  xrge0infss  31083  xrge0infssd  31084  xrge0subcld  31086  infxrge0lb  31087  infxrge0glb  31088  infxrge0gelb  31089  xrge0base  31294  xrge00  31295  xrge0mulgnn0  31298  xrge0addass  31299  xrge0addgt0  31300  xrge0adddir  31301  xrge0adddi  31302  xrge0npcan  31303  xrge0tsmsd  31317  xrge0slmod  31548  xrge0iifiso  31885  xrge0iifhmeo  31886  xrge0pluscn  31890  xrge0mulc1cn  31891  xrge0tmdALT  31896  lmlimxrge0  31898  pnfneige0  31901  lmxrge0  31902  esummono  32022  esumpad  32023  esumpad2  32024  esumle  32026  gsumesum  32027  esumlub  32028  esumlef  32030  esumcst  32031  esumrnmpt2  32036  esumfsup  32038  esumpinfval  32041  esumpfinvallem  32042  esumpinfsum  32045  esumpmono  32047  esummulc2  32050  esumdivc  32051  hasheuni  32053  esumcvg  32054  esumgect  32058  esum2d  32061  measun  32179  measunl  32184  measiun  32186  voliune  32197  volfiniune  32198  ddemeas  32204  omsfval  32261  omsf  32263  oms0  32264  omssubaddlem  32266  omssubadd  32267  baselcarsg  32273  0elcarsg  32274  difelcarsg  32277  inelcarsg  32278  carsgsigalem  32282  carsggect  32285  carsgclctunlem2  32286  carsgclctunlem3  32287  carsgclctun  32288  omsmeas  32290  pmeasmono  32291  probmeasb  32397  itg2addnclem  35828  ftc1anc  35858  xadd0ge  42859  xrge0nemnfd  42871  xadd0ge2  42880  ge0lere  43070  inficc  43072  iccdificc  43077  fourierdlem1  43649  fourierdlem20  43668  fourierdlem27  43675  fourierdlem87  43734  fge0iccico  43908  gsumge0cl  43909  sge0sn  43917  sge0tsms  43918  sge0xrcl  43923  sge0pr  43932  sge0prle  43939  sge0le  43945  sge0split  43947  sge0p1  43952  sge0rernmpt  43960  sge0xrclmpt  43966  sge0xadd  43973  meaxrcl  43999  meadjun  44000  voliunsge0lem  44010  caragen0  44044  omexrcl  44045  caragenunidm  44046  caragendifcl  44052  omeunle  44054  omeiunle  44055  carageniuncl  44061  ovn0lem  44103  ovnxrcl  44107  hoidmvlelem3  44135  hoidmvlelem4  44136  vonxrcl  44206  icccldii  46212