Theorem latnlej2r 18635

Description: An idiom to express that a lattice element differs from two others. (Contributed by NM, 19-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latnlej2r	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑍)

Proof of Theorem latnlej2r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4	1, 2, 3	latnlej2 18633	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)) → (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑍))
5	4	simprd 501	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  lecple 17435  joincjn 18485  Latclat 18605

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-poset 18487  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-lat 18606

This theorem is used by:  4noncolr3  40511