MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latnlej2r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latnlej2r 18350
Description: An idiom to express that a lattice element differs from two others. (Contributed by NM, 19-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l = (le‘𝐾)
latlej.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latnlej2r ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ ¬ 𝑋 (𝑌 𝑍)) → ¬ 𝑋 𝑍)

Proof of Theorem latnlej2r
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latlej.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 latlej.j . . 3 = (join‘𝐾)
41, 2, 3latnlej2 18348 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ ¬ 𝑋 (𝑌 𝑍)) → (¬ 𝑋 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 𝑍))
54simprd 496 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ ¬ 𝑋 (𝑌 𝑍)) → ¬ 𝑋 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  joincjn 18200  Latclat 18320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-poset 18202  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-lat 18321
This theorem is referenced by:  4noncolr3  37916
  Copyright terms: Public domain W3C validator