MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latnlej2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem latnlej2 18411
Description: An idiom to express that a lattice element differs from two others. (Contributed by NM, 10-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latlej.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
latlej.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latnlej2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑋 ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍)) β†’ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ Β¬ 𝑋 ≀ 𝑍))
Proof of Theorem latnlej2
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 latlej.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 latlej.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
41, 2, 3latlej1 18400 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍))
543adant3r1 1179 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍))
6 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
7 simpr1 1191 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
8 simpr2 1192 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
91, 3latjcl 18391 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)
1093adant3r1 1179 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)
111, 2lattr 18396 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍)) β†’ 𝑋 ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
126, 7, 8, 10, 11syl13anc 1369 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍)) β†’ 𝑋 ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
135, 12mpan2d 691 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ 𝑋 ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
1413con3d 152 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (Β¬ 𝑋 ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ))
151, 2, 3latlej2 18401 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ 𝑍 ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍))
16153adant3r1 1179 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍 ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍))
17 simpr3 1193 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
181, 2lattr 18396 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍)) β†’ 𝑋 ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
196, 7, 17, 10, 18syl13anc 1369 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ 𝑍 ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍)) β†’ 𝑋 ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
2016, 19mpan2d 691 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ≀ 𝑍 β†’ 𝑋 ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
2120con3d 152 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (Β¬ 𝑋 ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ 𝑍))
2214, 21jcad 512 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (Β¬ 𝑋 ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍) β†’ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ Β¬ 𝑋 ≀ 𝑍)))
23223impia 1114 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 𝑋 ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍)) β†’ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ Β¬ 𝑋 ≀ 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5138  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18263  Latclat 18383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-poset 18265  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-lat 18384
This theorem is referenced by:  latnlej2l  18412  latnlej2r  18413
  Copyright terms: Public domain W3C validator