Theorem latnlej2 18594

Description: An idiom to express that a lattice element differs from two others. (Contributed by NM, 10-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latnlej2	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)) → (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑍))

Proof of Theorem latnlej2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4	1, 2, 3	latlej1 18583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑌 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍))
5	4	3adant3r1 1201	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍))
6		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
7		simpr1 1213	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		simpr2 1214	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
9	1, 3	latjcl 18574	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
10	9	3adant3r1 1201	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
11	1, 2	lattr 18579	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)) → 𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))
12	6, 7, 8, 10, 11	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)) → 𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))
13	5, 12	mpan2d 707	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → 𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))
14	13	con3d 153	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑌))
15	1, 2, 3	latlej2 18584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑍 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍))
16	15	3adant3r1 1201	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍))
17		simpr3 1215	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
18	1, 2	lattr 18579	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)) → 𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))
19	6, 7, 17, 10, 18	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)) → 𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))
20	16, 19	mpan2d 707	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑍 → 𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))
21	20	con3d 153	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑍))
22	14, 21	jcad 522	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍) → (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑍)))
23	22	3impia 1135	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)) → (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17348  lecple 17396  joincjn 18446  Latclat 18566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-poset 18448  df-lub 18479  df-glb 18480  df-join 18481  df-meet 18482  df-lat 18567

This theorem is used by:  latnlej2l  18595  latnlej2r  18596