Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11 1204 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β πΎ β HL) |
2 | 1 | hllatd 37855 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β πΎ β Lat) |
3 | | simp2l 1200 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β π
β π΄) |
4 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
5 | | 3noncol.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | 4, 5 | atbase 37780 |
. . . . 5
β’ (π
β π΄ β π
β (BaseβπΎ)) |
7 | 3, 6 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β π
β (BaseβπΎ)) |
8 | | simp12 1205 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β π β π΄) |
9 | 4, 5 | atbase 37780 |
. . . . 5
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
10 | 8, 9 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β π β (BaseβπΎ)) |
11 | | simp13 1206 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β π β π΄) |
12 | 4, 5 | atbase 37780 |
. . . . 5
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
13 | 11, 12 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β π β (BaseβπΎ)) |
14 | | simp32 1211 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β Β¬ π
β€ (π β¨ π)) |
15 | | 3noncol.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
16 | | 3noncol.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
17 | 4, 15, 16 | latnlej1r 18354 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π
β π) |
18 | 2, 7, 10, 13, 14, 17 | syl131anc 1384 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β π
β π) |
19 | 18 | necomd 3000 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β π β π
) |
20 | | simp2r 1201 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β π β π΄) |
21 | 4, 5 | atbase 37780 |
. . . 4
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
22 | 20, 21 | syl 17 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β π β (BaseβπΎ)) |
23 | 4, 16 | latjcl 18335 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π
β (BaseβπΎ)) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
24 | 2, 13, 7, 23 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
25 | | simp33 1212 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) |
26 | 16, 5 | hlatjass 37861 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β ((π β¨ π) β¨ π
) = (π β¨ (π β¨ π
))) |
27 | 1, 8, 11, 3, 26 | syl13anc 1373 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β ((π β¨ π) β¨ π
) = (π β¨ (π β¨ π
))) |
28 | 27 | breq2d 5122 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β (π β€ ((π β¨ π) β¨ π
) β π β€ (π β¨ (π β¨ π
)))) |
29 | 25, 28 | mtbid 324 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β Β¬ π β€ (π β¨ (π β¨ π
))) |
30 | 4, 15, 16 | latnlej2r 18357 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ (π β¨ π
))) β Β¬ π β€ (π β¨ π
)) |
31 | 2, 22, 10, 24, 29, 30 | syl131anc 1384 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β Β¬ π β€ (π β¨ π
)) |
32 | | simp31 1210 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β π β π) |
33 | 15, 16, 5 | hlatexch1 37887 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β€ (π β¨ π
) β π
β€ (π β¨ π))) |
34 | 1, 8, 3, 11, 32, 33 | syl131anc 1384 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β (π β€ (π β¨ π
) β π
β€ (π β¨ π))) |
35 | 4, 16 | latjcom 18343 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
36 | 2, 10, 13, 35 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
37 | 36 | breq2d 5122 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β (π
β€ (π β¨ π) β π
β€ (π β¨ π))) |
38 | 34, 37 | sylibrd 259 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β (π β€ (π β¨ π
) β π
β€ (π β¨ π))) |
39 | 14, 38 | mtod 197 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β Β¬ π β€ (π β¨ π
)) |
40 | 4, 15, 16, 5 | hlexch1 37874 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
)) β (π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) |
41 | 1, 8, 20, 24, 39, 40 | syl131anc 1384 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β (π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) |
42 | 4, 16 | latjcom 18343 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π
β (BaseβπΎ)) β (π β¨ π
) = (π
β¨ π)) |
43 | 2, 13, 7, 42 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β (π β¨ π
) = (π
β¨ π)) |
44 | 43 | oveq1d 7377 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β ((π β¨ π
) β¨ π) = ((π
β¨ π) β¨ π)) |
45 | 4, 16 | latj31 18383 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β ((π
β¨ π) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π
)) |
46 | 2, 7, 13, 10, 45 | syl13anc 1373 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β ((π
β¨ π) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π
)) |
47 | 44, 46 | eqtrd 2777 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β ((π β¨ π
) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π
)) |
48 | 47 | breq2d 5122 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β (π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) |
49 | 41, 48 | sylibd 238 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β (π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) |
50 | 25, 49 | mtod 197 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) |
51 | 19, 31, 50 | 3jca 1129 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β (π β π
β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) |