Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrval2 36841
Description: Value of the kernel of a functional. (Contributed by NM, 15-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrfval2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrfval2.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrfval2.o 0 = (0g𝐷)
lkrfval2.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrfval2.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lkrval2 ((𝑊𝑋𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) = {𝑥𝑉 ∣ (𝐺𝑥) = 0 })
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑋(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem lkrval2
StepHypRef Expression
1 elex 3426 . 2 (𝑊𝑋𝑊 ∈ V)
2 lkrfval2.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 lkrfval2.d . . . . 5 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4 lkrfval2.o . . . . 5 0 = (0g𝐷)
5 lkrfval2.f . . . . 5 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
6 lkrfval2.k . . . . 5 𝐾 = (LKer‘𝑊)
72, 3, 4, 5, 6ellkr 36840 . . . 4 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐺𝐹) → (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ↔ (𝑥𝑉 ∧ (𝐺𝑥) = 0 )))
87abbi2dv 2874 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) = {𝑥 ∣ (𝑥𝑉 ∧ (𝐺𝑥) = 0 )})
9 df-rab 3070 . . 3 {𝑥𝑉 ∣ (𝐺𝑥) = 0 } = {𝑥 ∣ (𝑥𝑉 ∧ (𝐺𝑥) = 0 )}
108, 9eqtr4di 2796 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) = {𝑥𝑉 ∣ (𝐺𝑥) = 0 })
111, 10sylan 583 1 ((𝑊𝑋𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) = {𝑥𝑉 ∣ (𝐺𝑥) = 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  {cab 2714  {crab 3065  Vcvv 3408  cfv 6380  Basecbs 16760  Scalarcsca 16805  0gc0g 16944  LFnlclfn 36808  LKerclk 36836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-map 8510  df-lfl 36809  df-lkr 36837
This theorem is referenced by:  lkrlss  36846
  Copyright terms: Public domain W3C validator