Theorem ellkr 38262

Description: Membership in the kernel of a functional. (elnlfn 31436 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrfval2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrfval2.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrfval2.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkrfval2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrfval2.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ellkr	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) = 0 )))

Proof of Theorem ellkr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrfval2.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
2		lkrfval2.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
3		lkrfval2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
4		lkrfval2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	lkrval 38261	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐾‘𝐺) = (◡𝐺 “ { 0 }))
6	5	eleq2d 2819	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ 𝑋 ∈ (◡𝐺 “ { 0 })))
7		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
8		lkrfval2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9	1, 7, 8, 3	lflf 38236	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝐷))
10		ffn 6717	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝑉⟶(Base‘𝐷) → 𝐺 Fn 𝑉)
11		elpreima 7059	. . . 4 ⊢ (𝐺 Fn 𝑉 → (𝑋 ∈ (◡𝐺 “ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ { 0 })))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (◡𝐺 “ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ { 0 })))
13		fvex 6904	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘𝑋) ∈ V
14	13	elsn 4643	. . . 4 ⊢ ((𝐺‘𝑋) ∈ { 0 } ↔ (𝐺‘𝑋) = 0 )
15	14	anbi2i 623	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) = 0 ))
16	12, 15	bitrdi 286	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (◡𝐺 “ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) = 0 )))
17	6, 16	bitrd 278	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) = 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4628  ^◡ccnv 5675   “ cima 5679   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  Basecbs 17148  Scalarcsca 17204  0_gc0g 17389  LFnlclfn 38230  LKerclk 38258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-lfl 38231  df-lkr 38259

This theorem is referenced by:  lkrval2  38263  ellkr2  38264  lkrcl  38265  lkrf0  38266  lkrlss  38268  lkrsc  38270  eqlkr  38272  lkrlsp  38275  lkrlsp2  38276  lshpkr  38290  lkrin  38337  dochfln0  40651