Theorem ellkr 39752

Description: Membership in the kernel of a functional. (elnlfn 32220 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrfval2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrfval2.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrfval2.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkrfval2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrfval2.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ellkr	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) = 0 )))

Proof of Theorem ellkr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrfval2.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
2		lkrfval2.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
3		lkrfval2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
4		lkrfval2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	lkrval 39751	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐾‘𝐺) = (◡𝐺 “ { 0 }))
6	5	eleq2d 2855	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ 𝑋 ∈ (◡𝐺 “ { 0 })))
7		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
8		lkrfval2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9	1, 7, 8, 3	lflf 39726	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝐷))
10		ffn 6706	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝑉⟶(Base‘𝐷) → 𝐺 Fn 𝑉)
11		elpreima 7054	. . . 4 ⊢ (𝐺 Fn 𝑉 → (𝑋 ∈ (◡𝐺 “ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ { 0 })))
12	9, 10, 11	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (◡𝐺 “ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ { 0 })))
13		fvex 6895	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘𝑋) ∈ V
14	13	elsn 4609	. . . 4 ⊢ ((𝐺‘𝑋) ∈ { 0 } ↔ (𝐺‘𝑋) = 0 )
15	14	anbi2i 634	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) = 0 ))
16	12, 15	bitrdi 290	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (◡𝐺 “ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) = 0 )))
17	6, 16	bitrd 282	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) = 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {csn 4594  ^◡ccnv 5661   “ cima 5665   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  Basecbs 17268  Scalarcsca 17312  0_gc0g 17491  LFnlclfn 39720  LKerclk 39748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8825  df-lfl 39721  df-lkr 39749

This theorem is referenced by:  lkrval2  39753  ellkr2  39754  lkrcl  39755  lkrf0  39756  lkrlss  39758  lkrsc  39760  eqlkr  39762  lkrlsp  39765  lkrlsp2  39766  lshpkr  39780  lkrin  39827  dochfln0  42140