Theorem ellkr 37103

Description: Membership in the kernel of a functional. (elnlfn 30290 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrfval2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrfval2.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrfval2.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkrfval2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrfval2.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ellkr	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) = 0 )))

Proof of Theorem ellkr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrfval2.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
2		lkrfval2.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
3		lkrfval2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
4		lkrfval2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	lkrval 37102	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐾‘𝐺) = (◡𝐺 “ { 0 }))
6	5	eleq2d 2824	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ 𝑋 ∈ (◡𝐺 “ { 0 })))
7		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
8		lkrfval2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9	1, 7, 8, 3	lflf 37077	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝐷))
10		ffn 6600	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝑉⟶(Base‘𝐷) → 𝐺 Fn 𝑉)
11		elpreima 6935	. . . 4 ⊢ (𝐺 Fn 𝑉 → (𝑋 ∈ (◡𝐺 “ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ { 0 })))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (◡𝐺 “ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ { 0 })))
13		fvex 6787	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘𝑋) ∈ V
14	13	elsn 4576	. . . 4 ⊢ ((𝐺‘𝑋) ∈ { 0 } ↔ (𝐺‘𝑋) = 0 )
15	14	anbi2i 623	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) = 0 ))
16	12, 15	bitrdi 287	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (◡𝐺 “ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) = 0 )))
17	6, 16	bitrd 278	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) = 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {csn 4561  ^◡ccnv 5588   “ cima 5592   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965  0_gc0g 17150  LFnlclfn 37071  LKerclk 37099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-map 8617  df-lfl 37072  df-lkr 37100

This theorem is referenced by:  lkrval2  37104  ellkr2  37105  lkrcl  37106  lkrf0  37107  lkrlss  37109  lkrsc  37111  eqlkr  37113  lkrlsp  37116  lkrlsp2  37117  lshpkr  37131  lkrin  37178  dochfln0  39491