Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellkr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellkr 39090
Description: Membership in the kernel of a functional. (elnlfn 31947 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrfval2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrfval2.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrfval2.o 0 = (0g𝐷)
lkrfval2.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrfval2.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ellkr ((𝑊𝑌𝐺𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾𝐺) ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝐺𝑋) = 0 )))

Proof of Theorem ellkr
StepHypRef Expression
1 lkrfval2.d . . . 4 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
2 lkrfval2.o . . . 4 0 = (0g𝐷)
3 lkrfval2.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
4 lkrfval2.k . . . 4 𝐾 = (LKer‘𝑊)
51, 2, 3, 4lkrval 39089 . . 3 ((𝑊𝑌𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) = (𝐺 “ { 0 }))
65eleq2d 2827 . 2 ((𝑊𝑌𝐺𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾𝐺) ↔ 𝑋 ∈ (𝐺 “ { 0 })))
7 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
8 lkrfval2.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
91, 7, 8, 3lflf 39064 . . . 4 ((𝑊𝑌𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝐷))
10 ffn 6736 . . . 4 (𝐺:𝑉⟶(Base‘𝐷) → 𝐺 Fn 𝑉)
11 elpreima 7078 . . . 4 (𝐺 Fn 𝑉 → (𝑋 ∈ (𝐺 “ { 0 }) ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝐺𝑋) ∈ { 0 })))
129, 10, 113syl 18 . . 3 ((𝑊𝑌𝐺𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐺 “ { 0 }) ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝐺𝑋) ∈ { 0 })))
13 fvex 6919 . . . . 5 (𝐺𝑋) ∈ V
1413elsn 4641 . . . 4 ((𝐺𝑋) ∈ { 0 } ↔ (𝐺𝑋) = 0 )
1514anbi2i 623 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ (𝐺𝑋) ∈ { 0 }) ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝐺𝑋) = 0 ))
1612, 15bitrdi 287 . 2 ((𝑊𝑌𝐺𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐺 “ { 0 }) ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝐺𝑋) = 0 )))
176, 16bitrd 279 1 ((𝑊𝑌𝐺𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾𝐺) ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝐺𝑋) = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {csn 4626  ccnv 5684  cima 5688   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300  0gc0g 17484  LFnlclfn 39058  LKerclk 39086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-lfl 39059  df-lkr 39087
This theorem is referenced by:  lkrval2  39091  ellkr2  39092  lkrcl  39093  lkrf0  39094  lkrlss  39096  lkrsc  39098  eqlkr  39100  lkrlsp  39103  lkrlsp2  39104  lshpkr  39118  lkrin  39165  dochfln0  41479
  Copyright terms: Public domain W3C validator