Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellkr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellkr 39071
Description: Membership in the kernel of a functional. (elnlfn 31957 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrfval2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrfval2.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrfval2.o 0 = (0g𝐷)
lkrfval2.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrfval2.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ellkr ((𝑊𝑌𝐺𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾𝐺) ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝐺𝑋) = 0 )))

Proof of Theorem ellkr
StepHypRef Expression
1 lkrfval2.d . . . 4 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
2 lkrfval2.o . . . 4 0 = (0g𝐷)
3 lkrfval2.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
4 lkrfval2.k . . . 4 𝐾 = (LKer‘𝑊)
51, 2, 3, 4lkrval 39070 . . 3 ((𝑊𝑌𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) = (𝐺 “ { 0 }))
65eleq2d 2825 . 2 ((𝑊𝑌𝐺𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾𝐺) ↔ 𝑋 ∈ (𝐺 “ { 0 })))
7 eqid 2735 . . . . 5 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
8 lkrfval2.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
91, 7, 8, 3lflf 39045 . . . 4 ((𝑊𝑌𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝐷))
10 ffn 6737 . . . 4 (𝐺:𝑉⟶(Base‘𝐷) → 𝐺 Fn 𝑉)
11 elpreima 7078 . . . 4 (𝐺 Fn 𝑉 → (𝑋 ∈ (𝐺 “ { 0 }) ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝐺𝑋) ∈ { 0 })))
129, 10, 113syl 18 . . 3 ((𝑊𝑌𝐺𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐺 “ { 0 }) ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝐺𝑋) ∈ { 0 })))
13 fvex 6920 . . . . 5 (𝐺𝑋) ∈ V
1413elsn 4646 . . . 4 ((𝐺𝑋) ∈ { 0 } ↔ (𝐺𝑋) = 0 )
1514anbi2i 623 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ (𝐺𝑋) ∈ { 0 }) ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝐺𝑋) = 0 ))
1612, 15bitrdi 287 . 2 ((𝑊𝑌𝐺𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐺 “ { 0 }) ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝐺𝑋) = 0 )))
176, 16bitrd 279 1 ((𝑊𝑌𝐺𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾𝐺) ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝐺𝑋) = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {csn 4631  ccnv 5688  cima 5692   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301  0gc0g 17486  LFnlclfn 39039  LKerclk 39067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-lfl 39040  df-lkr 39068
This theorem is referenced by:  lkrval2  39072  ellkr2  39073  lkrcl  39074  lkrf0  39075  lkrlss  39077  lkrsc  39079  eqlkr  39081  lkrlsp  39084  lkrlsp2  39085  lshpkr  39099  lkrin  39146  dochfln0  41460
  Copyright terms: Public domain W3C validator