Theorem ellkr 35618

Description: Membership in the kernel of a functional. (elnlfn 29476 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrfval2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrfval2.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrfval2.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkrfval2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrfval2.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ellkr	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) = 0 )))

Proof of Theorem ellkr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrfval2.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
2		lkrfval2.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
3		lkrfval2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
4		lkrfval2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	lkrval 35617	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐾‘𝐺) = (◡𝐺 “ { 0 }))
6	5	eleq2d 2845	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ 𝑋 ∈ (◡𝐺 “ { 0 })))
7		eqid 2772	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
8		lkrfval2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9	1, 7, 8, 3	lflf 35592	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝐷))
10		ffn 6338	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝑉⟶(Base‘𝐷) → 𝐺 Fn 𝑉)
11		elpreima 6647	. . . 4 ⊢ (𝐺 Fn 𝑉 → (𝑋 ∈ (◡𝐺 “ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ { 0 })))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (◡𝐺 “ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ { 0 })))
13		fvex 6506	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘𝑋) ∈ V
14	13	elsn 4450	. . . 4 ⊢ ((𝐺‘𝑋) ∈ { 0 } ↔ (𝐺‘𝑋) = 0 )
15	14	anbi2i 613	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) = 0 ))
16	12, 15	syl6bb 279	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (◡𝐺 “ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) = 0 )))
17	6, 16	bitrd 271	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) = 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  {csn 4435  ^◡ccnv 5399   “ cima 5403   Fn wfn 6177  ⟶wf 6178  ‘cfv 6182  Basecbs 16329  Scalarcsca 16414  0_gc0g 16559  LFnlclfn 35586  LKerclk 35614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-id 5305  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-map 8200  df-lfl 35587  df-lkr 35615

This theorem is referenced by:  lkrval2  35619  ellkr2  35620  lkrcl  35621  lkrf0  35622  lkrlss  35624  lkrsc  35626  eqlkr  35628  lkrlsp  35631  lkrlsp2  35632  lshpkr  35646  lkrin  35693  dochfln0  38006