Theorem ellkr 39089

Description: Membership in the kernel of a functional. (elnlfn 31864 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrfval2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrfval2.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrfval2.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkrfval2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrfval2.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ellkr	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) = 0 )))

Proof of Theorem ellkr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrfval2.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
2		lkrfval2.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
3		lkrfval2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
4		lkrfval2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	lkrval 39088	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐾‘𝐺) = (◡𝐺 “ { 0 }))
6	5	eleq2d 2815	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ 𝑋 ∈ (◡𝐺 “ { 0 })))
7		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
8		lkrfval2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9	1, 7, 8, 3	lflf 39063	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝐷))
10		ffn 6691	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝑉⟶(Base‘𝐷) → 𝐺 Fn 𝑉)
11		elpreima 7033	. . . 4 ⊢ (𝐺 Fn 𝑉 → (𝑋 ∈ (◡𝐺 “ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ { 0 })))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (◡𝐺 “ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ { 0 })))
13		fvex 6874	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘𝑋) ∈ V
14	13	elsn 4607	. . . 4 ⊢ ((𝐺‘𝑋) ∈ { 0 } ↔ (𝐺‘𝑋) = 0 )
15	14	anbi2i 623	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) = 0 ))
16	12, 15	bitrdi 287	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (◡𝐺 “ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) = 0 )))
17	6, 16	bitrd 279	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) = 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4592  ^◡ccnv 5640   “ cima 5644   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  Scalarcsca 17230  0_gc0g 17409  LFnlclfn 39057  LKerclk 39085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-map 8804  df-lfl 39058  df-lkr 39086

This theorem is referenced by:  lkrval2  39090  ellkr2  39091  lkrcl  39092  lkrf0  39093  lkrlss  39095  lkrsc  39097  eqlkr  39099  lkrlsp  39102  lkrlsp2  39103  lshpkr  39117  lkrin  39164  dochfln0  41478