Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrlss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrlss 36410
 Description: The kernel of a linear functional is a subspace. (nlelshi 29853 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrlss.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlss.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrlss.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lkrlss ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lkrlss
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2798 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 eqid 2798 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3 eqid 2798 . . . 4 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
4 lkrlss.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 lkrlss.k . . . 4 𝐾 = (LKer‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5lkrval2 36405 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝐺𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
7 ssrab2 4007 . . 3 {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝐺𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ⊆ (Base‘𝑊)
86, 7eqsstrdi 3969 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ⊆ (Base‘𝑊))
9 eqid 2798 . . . . . 6 (0g𝑊) = (0g𝑊)
101, 9lmod0vcl 19660 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
1110adantr 484 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
122, 3, 9, 4lfl0 36380 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐺‘(0g𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
131, 2, 3, 4, 5ellkr 36404 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((0g𝑊) ∈ (𝐾𝐺) ↔ ((0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐺‘(0g𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
1411, 12, 13mpbir2and 712 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (0g𝑊) ∈ (𝐾𝐺))
1514ne0d 4251 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ≠ ∅)
16 simplll 774 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝑊 ∈ LMod)
17 simplr 768 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
18 simpllr 775 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝐺𝐹)
19 simprl 770 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝑥 ∈ (𝐾𝐺))
201, 4, 5lkrcl 36407 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑥 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
2116, 18, 19, 20syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
22 eqid 2798 . . . . . . . 8 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
23 eqid 2798 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
241, 2, 22, 23lmodvscl 19648 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (Base‘𝑊))
2516, 17, 21, 24syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (Base‘𝑊))
26 simprr 772 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))
271, 4, 5lkrcl 36407 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑦 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
2816, 18, 26, 27syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
29 eqid 2798 . . . . . . 7 (+g𝑊) = (+g𝑊)
301, 29lmodvacl 19645 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
3116, 25, 28, 30syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
32 eqid 2798 . . . . . . . 8 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
33 eqid 2798 . . . . . . . 8 (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
341, 29, 2, 22, 23, 32, 33, 4lfli 36376 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑥))(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑦)))
3516, 18, 17, 21, 28, 34syl113anc 1379 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑥))(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑦)))
362, 3, 4, 5lkrf0 36408 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑥 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐺𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3716, 18, 19, 36syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝐺𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3837oveq2d 7152 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑥)) = (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))))
392lmodring 19639 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
4016, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
4123, 33, 3ringrz 19338 . . . . . . . . 9 (((Scalar‘𝑊) ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4240, 17, 41syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4338, 42eqtrd 2833 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑥)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
442, 3, 4, 5lkrf0 36408 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑦 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐺𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4516, 18, 26, 44syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝐺𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4643, 45oveq12d 7154 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → ((𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑥))(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑦)) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))))
472lmodfgrp 19640 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
4816, 47syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
4923, 3grpidcl 18127 . . . . . . 7 ((Scalar‘𝑊) ∈ Grp → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5023, 32, 3grplid 18129 . . . . . . 7 (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5148, 49, 50syl2anc2 588 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5235, 46, 513eqtrd 2837 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
531, 2, 3, 4, 5ellkr 36404 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (𝐾𝐺) ↔ (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
5453ad2antrr 725 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (𝐾𝐺) ↔ (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
5531, 52, 54mpbir2and 712 . . . 4 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (𝐾𝐺))
5655ralrimivva 3156 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ∀𝑥 ∈ (𝐾𝐺)∀𝑦 ∈ (𝐾𝐺)((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (𝐾𝐺))
5756ralrimiva 3149 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (𝐾𝐺)∀𝑦 ∈ (𝐾𝐺)((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (𝐾𝐺))
58 lkrlss.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
592, 23, 1, 29, 22, 58islss 19703 . 2 ((𝐾𝐺) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐾𝐺) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝐾𝐺) ≠ ∅ ∧ ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (𝐾𝐺)∀𝑦 ∈ (𝐾𝐺)((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (𝐾𝐺)))
608, 15, 57, 59syl3anbrc 1340 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  {crab 3110   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  .rcmulr 16561  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564  0gc0g 16708  Grpcgrp 18098  Ringcrg 19294  LModclmod 19631  LSubSpclss 19700  LFnlclfn 36372  LKerclk 36400 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-map 8394  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-lfl 36373  df-lkr 36401 This theorem is referenced by:  lkrssv  36411  lkrlsp  36417  lkrlsp3  36419  lkrshp  36420  lclkrlem2f  38827  lclkrlem2n  38835  lclkrlem2v  38843  lcfrlem25  38882  lcfrlem35  38892
 Copyright terms: Public domain W3C validator