Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrlss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrlss 35762
Description: The kernel of a linear functional is a subspace. (nlelshi 29528 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrlss.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlss.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrlss.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lkrlss ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lkrlss
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2795 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 eqid 2795 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3 eqid 2795 . . . 4 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
4 lkrlss.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 lkrlss.k . . . 4 𝐾 = (LKer‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5lkrval2 35757 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝐺𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
7 ssrab2 3977 . . 3 {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝐺𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ⊆ (Base‘𝑊)
86, 7syl6eqss 3942 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ⊆ (Base‘𝑊))
9 eqid 2795 . . . . . 6 (0g𝑊) = (0g𝑊)
101, 9lmod0vcl 19353 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
1110adantr 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
122, 3, 9, 4lfl0 35732 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐺‘(0g𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
131, 2, 3, 4, 5ellkr 35756 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((0g𝑊) ∈ (𝐾𝐺) ↔ ((0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐺‘(0g𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
1411, 12, 13mpbir2and 709 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (0g𝑊) ∈ (𝐾𝐺))
1514ne0d 4221 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ≠ ∅)
16 simplll 771 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝑊 ∈ LMod)
17 simplr 765 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
18 simpllr 772 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝐺𝐹)
19 simprl 767 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝑥 ∈ (𝐾𝐺))
201, 4, 5lkrcl 35759 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑥 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
2116, 18, 19, 20syl3anc 1364 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
22 eqid 2795 . . . . . . . 8 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
23 eqid 2795 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
241, 2, 22, 23lmodvscl 19341 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (Base‘𝑊))
2516, 17, 21, 24syl3anc 1364 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (Base‘𝑊))
26 simprr 769 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))
271, 4, 5lkrcl 35759 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑦 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
2816, 18, 26, 27syl3anc 1364 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
29 eqid 2795 . . . . . . 7 (+g𝑊) = (+g𝑊)
301, 29lmodvacl 19338 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
3116, 25, 28, 30syl3anc 1364 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
32 eqid 2795 . . . . . . . 8 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
33 eqid 2795 . . . . . . . 8 (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
341, 29, 2, 22, 23, 32, 33, 4lfli 35728 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑥))(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑦)))
3516, 18, 17, 21, 28, 34syl113anc 1375 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑥))(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑦)))
362, 3, 4, 5lkrf0 35760 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑥 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐺𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3716, 18, 19, 36syl3anc 1364 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝐺𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3837oveq2d 7032 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑥)) = (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))))
392lmodring 19332 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
4016, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
4123, 33, 3ringrz 19028 . . . . . . . . 9 (((Scalar‘𝑊) ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4240, 17, 41syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4338, 42eqtrd 2831 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑥)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
442, 3, 4, 5lkrf0 35760 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑦 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐺𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4516, 18, 26, 44syl3anc 1364 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝐺𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4643, 45oveq12d 7034 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → ((𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑥))(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑦)) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))))
472lmodfgrp 19333 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
4816, 47syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
4923, 3grpidcl 17889 . . . . . . 7 ((Scalar‘𝑊) ∈ Grp → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5023, 32, 3grplid 17891 . . . . . . 7 (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5148, 49, 50syl2anc2 585 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5235, 46, 513eqtrd 2835 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
531, 2, 3, 4, 5ellkr 35756 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (𝐾𝐺) ↔ (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
5453ad2antrr 722 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (𝐾𝐺) ↔ (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
5531, 52, 54mpbir2and 709 . . . 4 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (𝐾𝐺))
5655ralrimivva 3158 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ∀𝑥 ∈ (𝐾𝐺)∀𝑦 ∈ (𝐾𝐺)((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (𝐾𝐺))
5756ralrimiva 3149 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (𝐾𝐺)∀𝑦 ∈ (𝐾𝐺)((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (𝐾𝐺))
58 lkrlss.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
592, 23, 1, 29, 22, 58islss 19396 . 2 ((𝐾𝐺) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐾𝐺) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝐾𝐺) ≠ ∅ ∧ ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (𝐾𝐺)∀𝑦 ∈ (𝐾𝐺)((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (𝐾𝐺)))
608, 15, 57, 59syl3anbrc 1336 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  wral 3105  {crab 3109  wss 3859  c0 4211  cfv 6225  (class class class)co 7016  Basecbs 16312  +gcplusg 16394  .rcmulr 16395  Scalarcsca 16397   ·𝑠 cvsca 16398  0gc0g 16542  Grpcgrp 17861  Ringcrg 18987  LModclmod 19324  LSubSpclss 19393  LFnlclfn 35724  LKerclk 35752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-plusg 16407  df-0g 16544  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-sbg 17866  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-lmod 19326  df-lss 19394  df-lfl 35725  df-lkr 35753
This theorem is referenced by:  lkrssv  35763  lkrlsp  35769  lkrlsp3  35771  lkrshp  35772  lclkrlem2f  38179  lclkrlem2n  38187  lclkrlem2v  38195  lcfrlem25  38234  lcfrlem35  38244
  Copyright terms: Public domain W3C validator