Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrlss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrlss 34983
Description: The kernel of a linear functional is a subspace. (nlelshi 29310 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrlss.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlss.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrlss.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lkrlss ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lkrlss
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2765 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 eqid 2765 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3 eqid 2765 . . . 4 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
4 lkrlss.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 lkrlss.k . . . 4 𝐾 = (LKer‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5lkrval2 34978 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝐺𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
7 ssrab2 3847 . . 3 {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝐺𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ⊆ (Base‘𝑊)
86, 7syl6eqss 3815 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ⊆ (Base‘𝑊))
9 eqid 2765 . . . . . 6 (0g𝑊) = (0g𝑊)
101, 9lmod0vcl 19161 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
1110adantr 472 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
122, 3, 9, 4lfl0 34953 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐺‘(0g𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
131, 2, 3, 4, 5ellkr 34977 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((0g𝑊) ∈ (𝐾𝐺) ↔ ((0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐺‘(0g𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
1411, 12, 13mpbir2and 704 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (0g𝑊) ∈ (𝐾𝐺))
1514ne0d 4086 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ≠ ∅)
16 simplll 791 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝑊 ∈ LMod)
17 simplr 785 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
18 simpllr 793 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝐺𝐹)
19 simprl 787 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝑥 ∈ (𝐾𝐺))
201, 4, 5lkrcl 34980 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑥 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
2116, 18, 19, 20syl3anc 1490 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
22 eqid 2765 . . . . . . . 8 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
23 eqid 2765 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
241, 2, 22, 23lmodvscl 19149 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (Base‘𝑊))
2516, 17, 21, 24syl3anc 1490 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (Base‘𝑊))
26 simprr 789 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))
271, 4, 5lkrcl 34980 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑦 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
2816, 18, 26, 27syl3anc 1490 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
29 eqid 2765 . . . . . . 7 (+g𝑊) = (+g𝑊)
301, 29lmodvacl 19146 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
3116, 25, 28, 30syl3anc 1490 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
32 eqid 2765 . . . . . . . 8 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
33 eqid 2765 . . . . . . . 8 (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
341, 29, 2, 22, 23, 32, 33, 4lfli 34949 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑥))(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑦)))
3516, 18, 17, 21, 28, 34syl113anc 1501 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑥))(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑦)))
362, 3, 4, 5lkrf0 34981 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑥 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐺𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3716, 18, 19, 36syl3anc 1490 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝐺𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3837oveq2d 6858 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑥)) = (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))))
392lmodring 19140 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
4016, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
4123, 33, 3ringrz 18855 . . . . . . . . 9 (((Scalar‘𝑊) ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4240, 17, 41syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4338, 42eqtrd 2799 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑥)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
442, 3, 4, 5lkrf0 34981 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑦 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐺𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4516, 18, 26, 44syl3anc 1490 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝐺𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4643, 45oveq12d 6860 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → ((𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑥))(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑦)) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))))
472lmodfgrp 19141 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
4816, 47syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
4923, 3grpidcl 17719 . . . . . . . 8 ((Scalar‘𝑊) ∈ Grp → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5048, 49syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5123, 32, 3grplid 17721 . . . . . . 7 (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5248, 50, 51syl2anc 579 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5335, 46, 523eqtrd 2803 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
541, 2, 3, 4, 5ellkr 34977 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (𝐾𝐺) ↔ (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
5554ad2antrr 717 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (𝐾𝐺) ↔ (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
5631, 53, 55mpbir2and 704 . . . 4 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (𝐾𝐺))
5756ralrimivva 3118 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ∀𝑥 ∈ (𝐾𝐺)∀𝑦 ∈ (𝐾𝐺)((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (𝐾𝐺))
5857ralrimiva 3113 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (𝐾𝐺)∀𝑦 ∈ (𝐾𝐺)((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (𝐾𝐺))
59 lkrlss.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
602, 23, 1, 29, 22, 59islss 19204 . 2 ((𝐾𝐺) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐾𝐺) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝐾𝐺) ≠ ∅ ∧ ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (𝐾𝐺)∀𝑦 ∈ (𝐾𝐺)((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (𝐾𝐺)))
618, 15, 58, 60syl3anbrc 1443 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  {crab 3059  wss 3732  c0 4079  cfv 6068  (class class class)co 6842  Basecbs 16132  +gcplusg 16216  .rcmulr 16217  Scalarcsca 16219   ·𝑠 cvsca 16220  0gc0g 16368  Grpcgrp 17691  Ringcrg 18814  LModclmod 19132  LSubSpclss 19201  LFnlclfn 34945  LKerclk 34973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-plusg 16229  df-0g 16370  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-grp 17694  df-minusg 17695  df-sbg 17696  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-lfl 34946  df-lkr 34974
This theorem is referenced by:  lkrssv  34984  lkrlsp  34990  lkrlsp3  34992  lkrshp  34993  lclkrlem2f  37400  lclkrlem2n  37408  lclkrlem2v  37416  lcfrlem25  37455  lcfrlem35  37465
  Copyright terms: Public domain W3C validator