Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrlss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrlss 37557
Description: The kernel of a linear functional is a subspace. (nlelshi 31002 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrlss.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlss.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrlss.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lkrlss ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lkrlss
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 eqid 2736 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3 eqid 2736 . . . 4 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
4 lkrlss.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 lkrlss.k . . . 4 𝐾 = (LKer‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5lkrval2 37552 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝐺𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
7 ssrab2 4037 . . 3 {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝐺𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ⊆ (Base‘𝑊)
86, 7eqsstrdi 3998 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ⊆ (Base‘𝑊))
9 eqid 2736 . . . . . 6 (0g𝑊) = (0g𝑊)
101, 9lmod0vcl 20351 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
1110adantr 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
122, 3, 9, 4lfl0 37527 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐺‘(0g𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
131, 2, 3, 4, 5ellkr 37551 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((0g𝑊) ∈ (𝐾𝐺) ↔ ((0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐺‘(0g𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
1411, 12, 13mpbir2and 711 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (0g𝑊) ∈ (𝐾𝐺))
1514ne0d 4295 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ≠ ∅)
16 simplll 773 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝑊 ∈ LMod)
17 simplr 767 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
18 simpllr 774 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝐺𝐹)
19 simprl 769 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝑥 ∈ (𝐾𝐺))
201, 4, 5lkrcl 37554 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑥 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
2116, 18, 19, 20syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
22 eqid 2736 . . . . . . . 8 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
23 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
241, 2, 22, 23lmodvscl 20339 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (Base‘𝑊))
2516, 17, 21, 24syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (Base‘𝑊))
26 simprr 771 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))
271, 4, 5lkrcl 37554 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑦 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
2816, 18, 26, 27syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
29 eqid 2736 . . . . . . 7 (+g𝑊) = (+g𝑊)
301, 29lmodvacl 20336 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
3116, 25, 28, 30syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
32 eqid 2736 . . . . . . . 8 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
33 eqid 2736 . . . . . . . 8 (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
341, 29, 2, 22, 23, 32, 33, 4lfli 37523 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑥))(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑦)))
3516, 18, 17, 21, 28, 34syl113anc 1382 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑥))(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑦)))
362, 3, 4, 5lkrf0 37555 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑥 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐺𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3716, 18, 19, 36syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝐺𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3837oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑥)) = (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))))
392lmodring 20330 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
4016, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
4123, 33, 3ringrz 20012 . . . . . . . . 9 (((Scalar‘𝑊) ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4240, 17, 41syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4338, 42eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑥)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
442, 3, 4, 5lkrf0 37555 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑦 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐺𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4516, 18, 26, 44syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝐺𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4643, 45oveq12d 7375 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → ((𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑥))(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑦)) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))))
472lmodfgrp 20331 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
4816, 47syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
4923, 3grpidcl 18778 . . . . . . 7 ((Scalar‘𝑊) ∈ Grp → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5023, 32, 3grplid 18780 . . . . . . 7 (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5148, 49, 50syl2anc2 585 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5235, 46, 513eqtrd 2780 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
531, 2, 3, 4, 5ellkr 37551 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (𝐾𝐺) ↔ (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
5453ad2antrr 724 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (𝐾𝐺) ↔ (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
5531, 52, 54mpbir2and 711 . . . 4 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (𝐾𝐺))
5655ralrimivva 3197 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ∀𝑥 ∈ (𝐾𝐺)∀𝑦 ∈ (𝐾𝐺)((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (𝐾𝐺))
5756ralrimiva 3143 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (𝐾𝐺)∀𝑦 ∈ (𝐾𝐺)((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (𝐾𝐺))
58 lkrlss.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
592, 23, 1, 29, 22, 58islss 20395 . 2 ((𝐾𝐺) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐾𝐺) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝐾𝐺) ≠ ∅ ∧ ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (𝐾𝐺)∀𝑦 ∈ (𝐾𝐺)((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (𝐾𝐺)))
608, 15, 57, 59syl3anbrc 1343 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  {crab 3407  wss 3910  c0 4282  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321  Grpcgrp 18748  Ringcrg 19964  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392  LFnlclfn 37519  LKerclk 37547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lfl 37520  df-lkr 37548
This theorem is referenced by:  lkrssv  37558  lkrlsp  37564  lkrlsp3  37566  lkrshp  37567  lclkrlem2f  39975  lclkrlem2n  39983  lclkrlem2v  39991  lcfrlem25  40030  lcfrlem35  40040
  Copyright terms: Public domain W3C validator