Theorem lmisfree 22022

Description: A module has a basis iff it is isomorphic to a free module. In settings where isomorphic objects are not distinguished, it is common to define "free module" as any module with a basis; thus for instance lbsex 21319 might be described as "every vector space is free". (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmisfree.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lmisfree.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmisfree	⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐽 ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐽   𝑘,𝑊

Proof of Theorem lmisfree

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4307	. . 3 ⊢ (𝐽 ≠ ∅ ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐽)
2		vex 3461	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑗 ∈ V
3	2	enref 8984	. . . . . . 7 ⊢ 𝑗 ≈ 𝑗
4		lmisfree.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5		lmisfree.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
6	4, 5	lbslcic 22021	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ∧ 𝑗 ≈ 𝑗) → 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑗))
7	3, 6	mp3an3 1479	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) → 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑗))
8		oveq2 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹 freeLMod 𝑘) = (𝐹 freeLMod 𝑗))
9	8	breq2d 5123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) ↔ 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑗)))
10	2, 9	spcev 3567	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑗) → ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘))
11	7, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) → ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘))
12	11	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑗 ∈ 𝐽 → ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘)))
13	12	exlimdv 1966	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐽 → ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘)))
14	1, 13	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐽 ≠ ∅ → ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘)))
15		lmicsym 21223	. . . 4 ⊢ (𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) → (𝐹 freeLMod 𝑘) ≃𝑚 𝑊)
16		lmiclcl 21221	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) → 𝑊 ∈ LMod)
17	4	lmodring 21019	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
18		vex 3461	. . . . . . 7 ⊢ 𝑘 ∈ V
19		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 freeLMod 𝑘) = (𝐹 freeLMod 𝑘)
20		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 unitVec 𝑘) = (𝐹 unitVec 𝑘)
21		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)) = (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘))
22	19, 20, 21	frlmlbs 21977	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ V) → ran (𝐹 unitVec 𝑘) ∈ (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)))
23	17, 18, 22	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ran (𝐹 unitVec 𝑘) ∈ (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)))
24	23	ne0d 4295	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)) ≠ ∅)
25	16, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) → (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)) ≠ ∅)
26	21, 5	lmiclbs 22017	. . . 4 ⊢ ((𝐹 freeLMod 𝑘) ≃𝑚 𝑊 → ((LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)) ≠ ∅ → 𝐽 ≠ ∅))
27	15, 25, 26	sylc 66	. . 3 ⊢ (𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) → 𝐽 ≠ ∅)
28	27	exlimiv 1963	. 2 ⊢ (∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) → 𝐽 ≠ ∅)
29	14, 28	impbid1 228	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐽 ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  Vcvv 3457  ∅c0 4286   class class class wbr 5111  ran crn 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ≈ cen 8942  Scalarcsca 17331  Ringcrg 20339  LModclmod 21011   ≃_𝑚 clmic 21172  LBasisclbs 21225   freeLMod cfrlm 21926   unitVec cuvc 21962

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-sup 9405  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-seq 14052  df-hash 14381  df-struct 17225  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-sca 17344  df-vsca 17345  df-ip 17346  df-tset 17347  df-ple 17348  df-ds 17350  df-hom 17352  df-cco 17353  df-0g 17512  df-gsum 17513  df-prds 17518  df-pws 17520  df-mre 17656  df-mrc 17657  df-acs 17659  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-mhm 18865  df-submnd 18866  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-sbg 19029  df-mulg 19158  df-subg 19213  df-ghm 19308  df-cntz 19411  df-cmn 19876  df-abl 19877  df-mgp 20241  df-rng 20255  df-ur 20288  df-ring 20341  df-nzr 20640  df-subrg 20699  df-lmod 21013  df-lss 21083  df-lsp 21123  df-lmhm 21173  df-lmim 21174  df-lmic 21175  df-lbs 21226  df-sra 21324  df-rgmod 21325  df-dsmm 21912  df-frlm 21927  df-uvc 21963  df-lindf 21986  df-linds 21987

This theorem is used by:  lvecisfrlm  22023