Theorem lmisfree 21809

Description: A module has a basis iff it is isomorphic to a free module. In settings where isomorphic objects are not distinguished, it is common to define "free module" as any module with a basis; thus for instance lbsex 21132 might be described as "every vector space is free". (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmisfree.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lmisfree.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmisfree	⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐽 ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐽   𝑘,𝑊

Proof of Theorem lmisfree

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4307	. . 3 ⊢ (𝐽 ≠ ∅ ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐽)
2		vex 3446	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑗 ∈ V
3	2	enref 8934	. . . . . . 7 ⊢ 𝑗 ≈ 𝑗
4		lmisfree.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5		lmisfree.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
6	4, 5	lbslcic 21808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ∧ 𝑗 ≈ 𝑗) → 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑗))
7	3, 6	mp3an3 1453	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) → 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑗))
8		oveq2 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹 freeLMod 𝑘) = (𝐹 freeLMod 𝑗))
9	8	breq2d 5112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) ↔ 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑗)))
10	2, 9	spcev 3562	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑗) → ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘))
11	7, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) → ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘))
12	11	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑗 ∈ 𝐽 → ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘)))
13	12	exlimdv 1935	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐽 → ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘)))
14	1, 13	biimtrid 242	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐽 ≠ ∅ → ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘)))
15		lmicsym 21036	. . . 4 ⊢ (𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) → (𝐹 freeLMod 𝑘) ≃𝑚 𝑊)
16		lmiclcl 21034	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) → 𝑊 ∈ LMod)
17	4	lmodring 20831	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
18		vex 3446	. . . . . . 7 ⊢ 𝑘 ∈ V
19		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 freeLMod 𝑘) = (𝐹 freeLMod 𝑘)
20		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 unitVec 𝑘) = (𝐹 unitVec 𝑘)
21		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)) = (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘))
22	19, 20, 21	frlmlbs 21764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ V) → ran (𝐹 unitVec 𝑘) ∈ (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)))
23	17, 18, 22	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ran (𝐹 unitVec 𝑘) ∈ (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)))
24	23	ne0d 4296	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)) ≠ ∅)
25	16, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) → (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)) ≠ ∅)
26	21, 5	lmiclbs 21804	. . . 4 ⊢ ((𝐹 freeLMod 𝑘) ≃𝑚 𝑊 → ((LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)) ≠ ∅ → 𝐽 ≠ ∅))
27	15, 25, 26	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) → 𝐽 ≠ ∅)
28	27	exlimiv 1932	. 2 ⊢ (∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) → 𝐽 ≠ ∅)
29	14, 28	impbid1 225	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐽 ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3442  ∅c0 4287   class class class wbr 5100  ran crn 5633  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ≈ cen 8892  Scalarcsca 17192  Ringcrg 20180  LModclmod 20823   ≃_𝑚 clmic 20985  LBasisclbs 21038   freeLMod cfrlm 21713   unitVec cuvc 21749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-nzr 20458  df-subrg 20515  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-lmhm 20986  df-lmim 20987  df-lmic 20988  df-lbs 21039  df-sra 21137  df-rgmod 21138  df-dsmm 21699  df-frlm 21714  df-uvc 21750  df-lindf 21773  df-linds 21774

This theorem is referenced by:  lvecisfrlm  21810