Theorem lmisfree 21862

Description: A module has a basis iff it is isomorphic to a free module. In settings where isomorphic objects are not distinguished, it is common to define "free module" as any module with a basis; thus for instance lbsex 21167 might be described as "every vector space is free". (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmisfree.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lmisfree.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmisfree	⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐽 ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐽   𝑘,𝑊

Proof of Theorem lmisfree

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4353	. . 3 ⊢ (𝐽 ≠ ∅ ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐽)
2		vex 3484	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑗 ∈ V
3	2	enref 9025	. . . . . . 7 ⊢ 𝑗 ≈ 𝑗
4		lmisfree.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5		lmisfree.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
6	4, 5	lbslcic 21861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ∧ 𝑗 ≈ 𝑗) → 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑗))
7	3, 6	mp3an3 1452	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) → 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑗))
8		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹 freeLMod 𝑘) = (𝐹 freeLMod 𝑗))
9	8	breq2d 5155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) ↔ 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑗)))
10	2, 9	spcev 3606	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑗) → ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘))
11	7, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) → ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘))
12	11	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑗 ∈ 𝐽 → ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘)))
13	12	exlimdv 1933	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐽 → ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘)))
14	1, 13	biimtrid 242	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐽 ≠ ∅ → ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘)))
15		lmicsym 21071	. . . 4 ⊢ (𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) → (𝐹 freeLMod 𝑘) ≃𝑚 𝑊)
16		lmiclcl 21069	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) → 𝑊 ∈ LMod)
17	4	lmodring 20866	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
18		vex 3484	. . . . . . 7 ⊢ 𝑘 ∈ V
19		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 freeLMod 𝑘) = (𝐹 freeLMod 𝑘)
20		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 unitVec 𝑘) = (𝐹 unitVec 𝑘)
21		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)) = (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘))
22	19, 20, 21	frlmlbs 21817	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ V) → ran (𝐹 unitVec 𝑘) ∈ (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)))
23	17, 18, 22	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ran (𝐹 unitVec 𝑘) ∈ (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)))
24	23	ne0d 4342	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)) ≠ ∅)
25	16, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) → (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)) ≠ ∅)
26	21, 5	lmiclbs 21857	. . . 4 ⊢ ((𝐹 freeLMod 𝑘) ≃𝑚 𝑊 → ((LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)) ≠ ∅ → 𝐽 ≠ ∅))
27	15, 25, 26	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) → 𝐽 ≠ ∅)
28	27	exlimiv 1930	. 2 ⊢ (∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) → 𝐽 ≠ ∅)
29	14, 28	impbid1 225	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐽 ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  Vcvv 3480  ∅c0 4333   class class class wbr 5143  ran crn 5686  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ≈ cen 8982  Scalarcsca 17300  Ringcrg 20230  LModclmod 20858   ≃_𝑚 clmic 21020  LBasisclbs 21073   freeLMod cfrlm 21766   unitVec cuvc 21802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-nzr 20513  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lmhm 21021  df-lmim 21022  df-lmic 21023  df-lbs 21074  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-uvc 21803  df-lindf 21826  df-linds 21827

This theorem is referenced by:  lvecisfrlm  21863