Theorem lmisfree 22055

Description: A module has a basis iff it is isomorphic to a free module. In settings where isomorphic objects are not distinguished, it is common to define "free module" as any module with a basis; thus for instance lbsex 21352 might be described as "every vector space is free". (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmisfree.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lmisfree.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmisfree	⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐽 ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐽   𝑘,𝑊

Proof of Theorem lmisfree

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4300	. . 3 ⊢ (𝐽 ≠ ∅ ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐽)
2		vex 3454	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑗 ∈ V
3	2	enref 8991	. . . . . . 7 ⊢ 𝑗 ≈ 𝑗
4		lmisfree.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5		lmisfree.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
6	4, 5	lbslcic 22054	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ∧ 𝑗 ≈ 𝑗) → 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑗))
7	3, 6	mp3an3 1479	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) → 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑗))
8		oveq2 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹 freeLMod 𝑘) = (𝐹 freeLMod 𝑗))
9	8	breq2d 5115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) ↔ 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑗)))
10	2, 9	spcev 3560	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑗) → ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘))
11	7, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) → ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘))
12	11	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑗 ∈ 𝐽 → ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘)))
13	12	exlimdv 1966	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐽 → ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘)))
14	1, 13	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐽 ≠ ∅ → ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘)))
15		lmicsym 21256	. . . 4 ⊢ (𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) → (𝐹 freeLMod 𝑘) ≃𝑚 𝑊)
16		lmiclcl 21254	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) → 𝑊 ∈ LMod)
17	4	lmodring 21052	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
18		vex 3454	. . . . . . 7 ⊢ 𝑘 ∈ V
19		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 freeLMod 𝑘) = (𝐹 freeLMod 𝑘)
20		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 unitVec 𝑘) = (𝐹 unitVec 𝑘)
21		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)) = (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘))
22	19, 20, 21	frlmlbs 22010	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ V) → ran (𝐹 unitVec 𝑘) ∈ (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)))
23	17, 18, 22	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ran (𝐹 unitVec 𝑘) ∈ (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)))
24	23	ne0d 4288	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)) ≠ ∅)
25	16, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) → (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)) ≠ ∅)
26	21, 5	lmiclbs 22050	. . . 4 ⊢ ((𝐹 freeLMod 𝑘) ≃𝑚 𝑊 → ((LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)) ≠ ∅ → 𝐽 ≠ ∅))
27	15, 25, 26	sylc 66	. . 3 ⊢ (𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) → 𝐽 ≠ ∅)
28	27	exlimiv 1963	. 2 ⊢ (∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) → 𝐽 ≠ ∅)
29	14, 28	impbid1 228	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐽 ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ran crn 5656  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ≈ cen 8949  Scalarcsca 17345  Ringcrg 20372  LModclmod 21044   ≃_𝑚 clmic 21205  LBasisclbs 21258   freeLMod cfrlm 21959   unitVec cuvc 21995

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-hash 14395  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-hom 17366  df-cco 17367  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-prds 17532  df-pws 17534  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18891  df-submnd 18892  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-mulg 19191  df-subg 19246  df-ghm 19341  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-nzr 20673  df-subrg 20732  df-lmod 21046  df-lss 21116  df-lsp 21156  df-lmhm 21206  df-lmim 21207  df-lmic 21208  df-lbs 21259  df-sra 21357  df-rgmod 21358  df-dsmm 21945  df-frlm 21960  df-uvc 21996  df-lindf 22019  df-linds 22020

This theorem is used by:  lvecisfrlm  22056