Theorem lmisfree 22141

Description: A module has a basis iff it is isomorphic to a free module. In settings where isomorphic objects are not distinguished, it is common to define "free module" as any module with a basis; thus for instance lbsex 21436 might be described as "every vector space is free". (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmisfree.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lmisfree.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmisfree	⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐽 ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐽   𝑘,𝑊

Proof of Theorem lmisfree

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4300	. . 3 ⊢ (𝐽 ≠ ∅ ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐽)
2		vex 3455	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑗 ∈ V
3	2	enref 9005	. . . . . . 7 ⊢ 𝑗 ≈ 𝑗
4		lmisfree.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5		lmisfree.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
6	4, 5	lbslcic 22140	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ∧ 𝑗 ≈ 𝑗) → 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑗))
7	3, 6	mp3an3 1479	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) → 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑗))
8		oveq2 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹 freeLMod 𝑘) = (𝐹 freeLMod 𝑗))
9	8	breq2d 5115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) ↔ 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑗)))
10	2, 9	spcev 3561	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑗) → ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘))
11	7, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) → ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘))
12	11	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑗 ∈ 𝐽 → ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘)))
13	12	exlimdv 1966	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐽 → ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘)))
14	1, 13	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐽 ≠ ∅ → ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘)))
15		lmicsym 21340	. . . 4 ⊢ (𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) → (𝐹 freeLMod 𝑘) ≃𝑚 𝑊)
16		lmiclcl 21338	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) → 𝑊 ∈ LMod)
17	4	lmodring 21136	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
18		vex 3455	. . . . . . 7 ⊢ 𝑘 ∈ V
19		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 freeLMod 𝑘) = (𝐹 freeLMod 𝑘)
20		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 unitVec 𝑘) = (𝐹 unitVec 𝑘)
21		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)) = (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘))
22	19, 20, 21	frlmlbs 22096	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ V) → ran (𝐹 unitVec 𝑘) ∈ (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)))
23	17, 18, 22	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ran (𝐹 unitVec 𝑘) ∈ (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)))
24	23	ne0d 4288	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)) ≠ ∅)
25	16, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) → (LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)) ≠ ∅)
26	21, 5	lmiclbs 22136	. . . 4 ⊢ ((𝐹 freeLMod 𝑘) ≃𝑚 𝑊 → ((LBasis‘(𝐹 freeLMod 𝑘)) ≠ ∅ → 𝐽 ≠ ∅))
27	15, 25, 26	sylc 66	. . 3 ⊢ (𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) → 𝐽 ≠ ∅)
28	27	exlimiv 1963	. 2 ⊢ (∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘) → 𝐽 ≠ ∅)
29	14, 28	impbid1 228	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐽 ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 𝑊 ≃𝑚 (𝐹 freeLMod 𝑘)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  Vcvv 3451  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ran crn 5652  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ≈ cen 8963  Scalarcsca 17424  Ringcrg 20452  LModclmod 21128   ≃_𝑚 clmic 21289  LBasisclbs 21342   freeLMod cfrlm 22045   unitVec cuvc 22081

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-map 8842  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-sup 9427  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-hash 14468  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-hom 17445  df-cco 17446  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-prds 17611  df-pws 17613  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-mhm 18971  df-submnd 18972  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-mulg 19271  df-subg 19326  df-ghm 19421  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-ring 20454  df-nzr 20756  df-subrg 20815  df-lmod 21130  df-lss 21200  df-lsp 21240  df-lmhm 21290  df-lmim 21291  df-lmic 21292  df-lbs 21343  df-sra 21441  df-rgmod 21442  df-dsmm 22031  df-frlm 22046  df-uvc 22082  df-lindf 22105  df-linds 22106

This theorem is used by:  lvecisfrlm  22142