MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmisfree Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmisfree 21264
Description: A module has a basis iff it is isomorphic to a free module. In settings where isomorphic objects are not distinguished, it is common to define "free module" as any module with a basis; thus for instance lbsex 20642 might be described as "every vector space is free". (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmisfree.j 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
lmisfree.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lmisfree (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝐽 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘˜ π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod π‘˜)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐽   π‘˜,π‘Š

Proof of Theorem lmisfree
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4307 . . 3 (𝐽 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘— 𝑗 ∈ 𝐽)
2 vex 3448 . . . . . . . 8 𝑗 ∈ V
32enref 8928 . . . . . . 7 𝑗 β‰ˆ 𝑗
4 lmisfree.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
5 lmisfree.j . . . . . . . 8 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
64, 5lbslcic 21263 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ∧ 𝑗 β‰ˆ 𝑗) β†’ π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod 𝑗))
73, 6mp3an3 1451 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod 𝑗))
8 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐹 freeLMod π‘˜) = (𝐹 freeLMod 𝑗))
98breq2d 5118 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod π‘˜) ↔ π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod 𝑗)))
102, 9spcev 3564 . . . . . 6 (π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod 𝑗) β†’ βˆƒπ‘˜ π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod π‘˜))
117, 10syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ βˆƒπ‘˜ π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod π‘˜))
1211ex 414 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 β†’ βˆƒπ‘˜ π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod π‘˜)))
1312exlimdv 1937 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (βˆƒπ‘— 𝑗 ∈ 𝐽 β†’ βˆƒπ‘˜ π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod π‘˜)))
141, 13biimtrid 241 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝐽 β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘˜ π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod π‘˜)))
15 lmicsym 20548 . . . 4 (π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod π‘˜) β†’ (𝐹 freeLMod π‘˜) β‰ƒπ‘š π‘Š)
16 lmiclcl 20546 . . . . 5 (π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod π‘˜) β†’ π‘Š ∈ LMod)
174lmodring 20344 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
18 vex 3448 . . . . . . 7 π‘˜ ∈ V
19 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝐹 freeLMod π‘˜) = (𝐹 freeLMod π‘˜)
20 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝐹 unitVec π‘˜) = (𝐹 unitVec π‘˜)
21 eqid 2733 . . . . . . . 8 (LBasisβ€˜(𝐹 freeLMod π‘˜)) = (LBasisβ€˜(𝐹 freeLMod π‘˜))
2219, 20, 21frlmlbs 21219 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Ring ∧ π‘˜ ∈ V) β†’ ran (𝐹 unitVec π‘˜) ∈ (LBasisβ€˜(𝐹 freeLMod π‘˜)))
2317, 18, 22sylancl 587 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ ran (𝐹 unitVec π‘˜) ∈ (LBasisβ€˜(𝐹 freeLMod π‘˜)))
2423ne0d 4296 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ (LBasisβ€˜(𝐹 freeLMod π‘˜)) β‰  βˆ…)
2516, 24syl 17 . . . 4 (π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod π‘˜) β†’ (LBasisβ€˜(𝐹 freeLMod π‘˜)) β‰  βˆ…)
2621, 5lmiclbs 21259 . . . 4 ((𝐹 freeLMod π‘˜) β‰ƒπ‘š π‘Š β†’ ((LBasisβ€˜(𝐹 freeLMod π‘˜)) β‰  βˆ… β†’ 𝐽 β‰  βˆ…))
2715, 25, 26sylc 65 . . 3 (π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod π‘˜) β†’ 𝐽 β‰  βˆ…)
2827exlimiv 1934 . 2 (βˆƒπ‘˜ π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod π‘˜) β†’ 𝐽 β‰  βˆ…)
2914, 28impbid1 224 1 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝐽 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘˜ π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod π‘˜)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3444  βˆ…c0 4283   class class class wbr 5106  ran crn 5635  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   β‰ˆ cen 8883  Scalarcsca 17141  Ringcrg 19969  LModclmod 20336   β‰ƒπ‘š clmic 20497  LBasisclbs 20550   freeLMod cfrlm 21168   unitVec cuvc 21204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-lmhm 20498  df-lmim 20499  df-lmic 20500  df-lbs 20551  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-nzr 20744  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-uvc 21205  df-lindf 21228  df-linds 21229
This theorem is referenced by:  lvecisfrlm  21265
  Copyright terms: Public domain W3C validator