MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmisfree Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmisfree 21388
Description: A module has a basis iff it is isomorphic to a free module. In settings where isomorphic objects are not distinguished, it is common to define "free module" as any module with a basis; thus for instance lbsex 20770 might be described as "every vector space is free". (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmisfree.j 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
lmisfree.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lmisfree (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝐽 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘˜ π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod π‘˜)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐽   π‘˜,π‘Š

Proof of Theorem lmisfree
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4345 . . 3 (𝐽 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘— 𝑗 ∈ 𝐽)
2 vex 3478 . . . . . . . 8 𝑗 ∈ V
32enref 8977 . . . . . . 7 𝑗 β‰ˆ 𝑗
4 lmisfree.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
5 lmisfree.j . . . . . . . 8 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
64, 5lbslcic 21387 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ∧ 𝑗 β‰ˆ 𝑗) β†’ π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod 𝑗))
73, 6mp3an3 1450 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod 𝑗))
8 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐹 freeLMod π‘˜) = (𝐹 freeLMod 𝑗))
98breq2d 5159 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod π‘˜) ↔ π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod 𝑗)))
102, 9spcev 3596 . . . . . 6 (π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod 𝑗) β†’ βˆƒπ‘˜ π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod π‘˜))
117, 10syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑗 ∈ 𝐽) β†’ βˆƒπ‘˜ π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod π‘˜))
1211ex 413 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑗 ∈ 𝐽 β†’ βˆƒπ‘˜ π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod π‘˜)))
1312exlimdv 1936 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (βˆƒπ‘— 𝑗 ∈ 𝐽 β†’ βˆƒπ‘˜ π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod π‘˜)))
141, 13biimtrid 241 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝐽 β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘˜ π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod π‘˜)))
15 lmicsym 20675 . . . 4 (π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod π‘˜) β†’ (𝐹 freeLMod π‘˜) β‰ƒπ‘š π‘Š)
16 lmiclcl 20673 . . . . 5 (π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod π‘˜) β†’ π‘Š ∈ LMod)
174lmodring 20471 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
18 vex 3478 . . . . . . 7 π‘˜ ∈ V
19 eqid 2732 . . . . . . . 8 (𝐹 freeLMod π‘˜) = (𝐹 freeLMod π‘˜)
20 eqid 2732 . . . . . . . 8 (𝐹 unitVec π‘˜) = (𝐹 unitVec π‘˜)
21 eqid 2732 . . . . . . . 8 (LBasisβ€˜(𝐹 freeLMod π‘˜)) = (LBasisβ€˜(𝐹 freeLMod π‘˜))
2219, 20, 21frlmlbs 21343 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Ring ∧ π‘˜ ∈ V) β†’ ran (𝐹 unitVec π‘˜) ∈ (LBasisβ€˜(𝐹 freeLMod π‘˜)))
2317, 18, 22sylancl 586 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ ran (𝐹 unitVec π‘˜) ∈ (LBasisβ€˜(𝐹 freeLMod π‘˜)))
2423ne0d 4334 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ (LBasisβ€˜(𝐹 freeLMod π‘˜)) β‰  βˆ…)
2516, 24syl 17 . . . 4 (π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod π‘˜) β†’ (LBasisβ€˜(𝐹 freeLMod π‘˜)) β‰  βˆ…)
2621, 5lmiclbs 21383 . . . 4 ((𝐹 freeLMod π‘˜) β‰ƒπ‘š π‘Š β†’ ((LBasisβ€˜(𝐹 freeLMod π‘˜)) β‰  βˆ… β†’ 𝐽 β‰  βˆ…))
2715, 25, 26sylc 65 . . 3 (π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod π‘˜) β†’ 𝐽 β‰  βˆ…)
2827exlimiv 1933 . 2 (βˆƒπ‘˜ π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod π‘˜) β†’ 𝐽 β‰  βˆ…)
2914, 28impbid1 224 1 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝐽 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘˜ π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod π‘˜)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147  ran crn 5676  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   β‰ˆ cen 8932  Scalarcsca 17196  Ringcrg 20049  LModclmod 20463   β‰ƒπ‘š clmic 20624  LBasisclbs 20677   freeLMod cfrlm 21292   unitVec cuvc 21328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-nzr 20284  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lmhm 20625  df-lmim 20626  df-lmic 20627  df-lbs 20678  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-dsmm 21278  df-frlm 21293  df-uvc 21329  df-lindf 21352  df-linds 21353
This theorem is referenced by:  lvecisfrlm  21389
  Copyright terms: Public domain W3C validator