Theorem lmodlcan 20872

Description: Left cancellation law for vector sum. (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvacl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvacl.a	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodlcan	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑍 + 𝑋) = (𝑍 + 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem lmodlcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 20862	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2		lmodvacl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lmodvacl.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4	2, 3	grplcan 18976	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑍 + 𝑋) = (𝑍 + 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
5	1, 4	sylan 581	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑍 + 𝑋) = (𝑍 + 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  Grpcgrp 18909  LModclmod 20855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-lmod 20857

This theorem is referenced by:  lmodcom  20903  mapdh6hN  42189  hdmap1l6h  42263  hdmapneg  42292