Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1l6h Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap1l6h 41346
Description: Lemmma for hdmap1l6 41350. Part (6) of [Baer] p. 48 line 2. (Contributed by NM, 1-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1l6.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hdmap1l6.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap1l6.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hdmap1l6.p + = (+gβ€˜π‘ˆ)
hdmap1l6.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
hdmap1l6c.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
hdmap1l6.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
hdmap1l6.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap1l6.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
hdmap1l6.a ✚ = (+gβ€˜πΆ)
hdmap1l6.r 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
hdmap1l6.q 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
hdmap1l6.l 𝐿 = (LSpanβ€˜πΆ)
hdmap1l6.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap1l6.i 𝐼 = ((HDMap1β€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap1l6.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hdmap1l6.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
hdmap1l6cl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
hdmap1l6.mn (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (πΏβ€˜{𝐹}))
hdmap1l6d.xn (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
hdmap1l6d.yz (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
hdmap1l6d.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
hdmap1l6d.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
hdmap1l6d.w (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
hdmap1l6d.wn (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
hdmap1l6h (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)))

Proof of Theorem hdmap1l6h
StepHypRef Expression
1 hdmap1l6.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 hdmap1l6.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 hdmap1l6.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 hdmap1l6.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
5 hdmap1l6.s . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
6 hdmap1l6c.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
7 hdmap1l6.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
8 hdmap1l6.c . . . 4 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 hdmap1l6.d . . . 4 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
10 hdmap1l6.a . . . 4 ✚ = (+gβ€˜πΆ)
11 hdmap1l6.r . . . 4 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
12 hdmap1l6.q . . . 4 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
13 hdmap1l6.l . . . 4 𝐿 = (LSpanβ€˜πΆ)
14 hdmap1l6.m . . . 4 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
15 hdmap1l6.i . . . 4 𝐼 = ((HDMap1β€˜πΎ)β€˜π‘Š)
16 hdmap1l6.k . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
17 hdmap1l6.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
18 hdmap1l6cl.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
19 hdmap1l6.mn . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (πΏβ€˜{𝐹}))
20 hdmap1l6d.xn . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
21 hdmap1l6d.yz . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
22 hdmap1l6d.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
23 hdmap1l6d.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
24 hdmap1l6d.w . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
25 hdmap1l6d.wn . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25hdmap1l6g 41345 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩)) = (((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©)) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)))
271, 8, 16lcdlmod 41121 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
281, 2, 16dvhlvec 40638 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
2924eldifad 3951 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
3018eldifad 3951 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3122eldifad 3951 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
323, 7, 28, 29, 30, 31, 25lspindpi 21024 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ})))
3332simpld 493 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
3433necomd 2986 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑀}))
351, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 34, 18, 29hdmap1cl 41333 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ∈ 𝐷)
3623eldifad 3951 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
373, 7, 28, 30, 31, 36, 20lspindpi 21024 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑍})))
3837simpld 493 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
391, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 38, 18, 31hdmap1cl 41333 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ∈ 𝐷)
4037simprd 494 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
411, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 40, 18, 36hdmap1cl 41333 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©) ∈ 𝐷)
429, 10lmodass 20763 . . . 4 ((𝐢 ∈ LMod ∧ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ∈ 𝐷 ∧ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ∈ 𝐷 ∧ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©) ∈ 𝐷)) β†’ (((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©)) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©))))
4327, 35, 39, 41, 42syl13anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ (((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©)) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©))))
4426, 43eqtrd 2765 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩)) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©))))
453, 4, 6, 7, 28, 18, 22, 23, 24, 21, 38, 25mapdindp1 41249 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))
461, 2, 16dvhlmod 40639 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
473, 4lmodvacl 20762 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
4846, 31, 36, 47syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
491, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 45, 18, 48hdmap1cl 41333 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩) ∈ 𝐷)
509, 10lmodvacl 20762 . . . 4 ((𝐢 ∈ LMod ∧ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ∈ 𝐷 ∧ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©) ∈ 𝐷) β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)) ∈ 𝐷)
5127, 39, 41, 50syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)) ∈ 𝐷)
529, 10lmodlcan 20764 . . 3 ((𝐢 ∈ LMod ∧ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩) ∈ 𝐷 ∧ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)) ∈ 𝐷 ∧ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ∈ 𝐷)) β†’ (((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩)) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©))) ↔ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©))))
5327, 49, 51, 35, 52syl13anc 1369 . 2 (πœ‘ β†’ (((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩)) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©))) ↔ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©))))
5444, 53mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   βˆ– cdif 3936  {csn 4624  {cpr 4626  βŸ¨cotp 4632  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  0gc0g 17420  -gcsg 18896  LModclmod 20747  LSpanclspn 20859  HLchlt 38878  LHypclh 39513  DVecHcdvh 40607  LCDualclcd 41115  mapdcmpd 41153  HDMap1chdma1 41320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-riotaBAD 38481
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-undef 8277  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-0g 17422  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-cntz 19272  df-oppg 19301  df-lsm 19595  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-dvr 20344  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-lvec 20992  df-lsatoms 38504  df-lshyp 38505  df-lcv 38547  df-lfl 38586  df-lkr 38614  df-ldual 38652  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-lplanes 39028  df-lvols 39029  df-lines 39030  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325  df-lhyp 39517  df-laut 39518  df-ldil 39633  df-ltrn 39634  df-trl 39688  df-tgrp 40272  df-tendo 40284  df-edring 40286  df-dveca 40532  df-disoa 40558  df-dvech 40608  df-dib 40668  df-dic 40702  df-dih 40758  df-doch 40877  df-djh 40924  df-lcdual 41116  df-mapd 41154  df-hdmap1 41322
This theorem is referenced by:  hdmap1l6i  41347
  Copyright terms: Public domain W3C validator