Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh6hN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh6hN 40252
Description: Lemmma for mapdh6N 40256. Part (6) of [Baer] p. 48 line 2. (Contributed by NM, 1-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
mapdh.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
mapdh.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdh.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdh.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
mapdhc.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
mapdh.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdh.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdh.r 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
mapdh.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdh.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdhc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh.mn (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
mapdhcl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh.p + = (+gβ€˜π‘ˆ)
mapdh.a ✚ = (+gβ€˜πΆ)
mapdh6d.xn (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
mapdh6d.yz (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
mapdh6d.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh6d.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh6d.w (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh6d.wn (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
mapdh6hN (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐷,β„Ž   β„Ž,𝐹,π‘₯   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑁   π‘₯, 0   π‘₯,𝑄   π‘₯,𝑅   π‘₯, βˆ’   β„Ž,𝑋,π‘₯   β„Ž,π‘Œ,π‘₯   πœ‘,β„Ž   0 ,β„Ž   𝐢,β„Ž   𝐷,β„Ž   β„Ž,𝐽   β„Ž,𝑀   β„Ž,𝑁   𝑅,β„Ž   π‘ˆ,β„Ž   βˆ’ ,β„Ž   𝑀,β„Ž   β„Ž,𝑍,π‘₯   ✚ ,β„Ž   β„Ž,𝐼,π‘₯   + ,β„Ž,π‘₯   π‘₯,𝑀
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑀)   𝐢(π‘₯,𝑀)   𝐷(𝑀)   + (𝑀)   ✚ (π‘₯,𝑀)   𝑄(𝑀,β„Ž)   𝑅(𝑀)   π‘ˆ(π‘₯,𝑀)   𝐹(𝑀)   𝐻(π‘₯,𝑀,β„Ž)   𝐼(𝑀)   𝐽(𝑀)   𝐾(π‘₯,𝑀,β„Ž)   𝑀(𝑀)   βˆ’ (𝑀)   𝑁(𝑀)   𝑉(π‘₯,𝑀,β„Ž)   π‘Š(π‘₯,𝑀,β„Ž)   𝑋(𝑀)   π‘Œ(𝑀)   0 (𝑀)   𝑍(𝑀)

Proof of Theorem mapdh6hN
StepHypRef Expression
1 mapdh.q . . . 4 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
2 mapdh.i . . . 4 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
3 mapdh.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 mapdh.m . . . 4 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 mapdh.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 mapdh.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
7 mapdh.s . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
8 mapdhc.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
9 mapdh.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
10 mapdh.c . . . 4 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 mapdh.d . . . 4 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
12 mapdh.r . . . 4 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
13 mapdh.j . . . 4 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
14 mapdh.k . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
15 mapdhc.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
16 mapdh.mn . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
17 mapdhcl.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
18 mapdh.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
19 mapdh.a . . . 4 ✚ = (+gβ€˜πΆ)
20 mapdh6d.xn . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
21 mapdh6d.yz . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
22 mapdh6d.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
23 mapdh6d.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
24 mapdh6d.w . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
25 mapdh6d.wn . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25mapdh6gN 40251 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩)) = (((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©)) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)))
273, 10, 14lcdlmod 40101 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
2824eldifad 3923 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
293, 5, 14dvhlvec 39618 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
3017eldifad 3923 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3122eldifad 3923 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
326, 9, 29, 28, 30, 31, 25lspindpi 20609 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ})))
3332simpld 496 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
3433necomd 2996 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑀}))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 28, 34mapdhcl 40236 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ∈ 𝐷)
3623eldifad 3923 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
376, 9, 29, 30, 31, 36, 20lspindpi 20609 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑍})))
3837simpld 496 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
391, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 31, 38mapdhcl 40236 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ∈ 𝐷)
4037simprd 497 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
411, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 36, 40mapdhcl 40236 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©) ∈ 𝐷)
4211, 19lmodass 20352 . . . 4 ((𝐢 ∈ LMod ∧ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ∈ 𝐷 ∧ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ∈ 𝐷 ∧ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©) ∈ 𝐷)) β†’ (((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©)) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©))))
4327, 35, 39, 41, 42syl13anc 1373 . . 3 (πœ‘ β†’ (((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©)) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©))))
4426, 43eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩)) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©))))
453, 5, 14dvhlmod 39619 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
466, 18lmodvacl 20351 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
4745, 31, 36, 46syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
486, 18, 8, 9, 29, 17, 22, 23, 24, 21, 38, 25mapdindp1 40229 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))
491, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 47, 48mapdhcl 40236 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩) ∈ 𝐷)
5011, 19lmodvacl 20351 . . . 4 ((𝐢 ∈ LMod ∧ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ∈ 𝐷 ∧ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©) ∈ 𝐷) β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)) ∈ 𝐷)
5127, 39, 41, 50syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)) ∈ 𝐷)
5211, 19lmodlcan 20353 . . 3 ((𝐢 ∈ LMod ∧ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩) ∈ 𝐷 ∧ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)) ∈ 𝐷 ∧ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ∈ 𝐷)) β†’ (((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩)) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©))) ↔ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©))))
5327, 49, 51, 35, 52syl13anc 1373 . 2 (πœ‘ β†’ (((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩)) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©))) ↔ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©))))
5444, 53mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3908  ifcif 4487  {csn 4587  {cpr 4589  βŸ¨cotp 4595   ↦ cmpt 5189  β€˜cfv 6497  β„©crio 7313  (class class class)co 7358  1st c1st 7920  2nd c2nd 7921  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  0gc0g 17326  -gcsg 18755  LModclmod 20336  LSpanclspn 20447  HLchlt 37858  LHypclh 38493  DVecHcdvh 39587  LCDualclcd 40095  mapdcmpd 40133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-riotaBAD 37461
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-undef 8205  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-0g 17328  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-p1 18320  df-lat 18326  df-clat 18393  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-cntz 19102  df-oppg 19129  df-lsm 19423  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-dvr 20117  df-drng 20199  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-lvec 20579  df-lsatoms 37484  df-lshyp 37485  df-lcv 37527  df-lfl 37566  df-lkr 37594  df-ldual 37632  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859  df-llines 38007  df-lplanes 38008  df-lvols 38009  df-lines 38010  df-psubsp 38012  df-pmap 38013  df-padd 38305  df-lhyp 38497  df-laut 38498  df-ldil 38613  df-ltrn 38614  df-trl 38668  df-tgrp 39252  df-tendo 39264  df-edring 39266  df-dveca 39512  df-disoa 39538  df-dvech 39588  df-dib 39648  df-dic 39682  df-dih 39738  df-doch 39857  df-djh 39904  df-lcdual 40096  df-mapd 40134
This theorem is referenced by:  mapdh6iN  40253
  Copyright terms: Public domain W3C validator