Theorem mapdh6hN 41216

Description: Lemmma for mapdh6N 41220. Part (6) of [Baer] p. 48 line 2. (Contributed by NM, 1-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdhc.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdhc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
mapdh.a	⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
mapdh6d.xn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh6d.yz	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
mapdh6d.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh6d.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh6d.w	⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh6d.wn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
mapdh6hN	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,ℎ   ℎ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥, −   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   𝜑,ℎ   0 ,ℎ   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ   ℎ,𝐽   ℎ,𝑀   ℎ,𝑁   𝑅,ℎ   𝑈,ℎ   − ,ℎ   𝑤,ℎ   ℎ,𝑍,𝑥   ✚ ,ℎ   ℎ,𝐼,𝑥   + ,ℎ,𝑥   𝑥,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤)   𝐷(𝑤)   + (𝑤)   ✚ (𝑥,𝑤)   𝑄(𝑤,ℎ)   𝑅(𝑤)   𝑈(𝑥,𝑤)   𝐹(𝑤)   𝐻(𝑥,𝑤,ℎ)   𝐼(𝑤)   𝐽(𝑤)   𝐾(𝑥,𝑤,ℎ)   𝑀(𝑤)   − (𝑤)   𝑁(𝑤)   𝑉(𝑥,𝑤,ℎ)   𝑊(𝑥,𝑤,ℎ)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)   0 (𝑤)   𝑍(𝑤)

Proof of Theorem mapdh6hN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
2		mapdh.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
3		mapdh.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		mapdh.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
5		mapdh.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		mapdh.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7		mapdh.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑈)
8		mapdhc.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
9		mapdh.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10		mapdh.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
11		mapdh.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
12		mapdh.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
13		mapdh.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
14		mapdh.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15		mapdhc.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
16		mapdh.mn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
17		mapdhcl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18		mapdh.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑈)
19		mapdh.a	. . . 4 ⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
20		mapdh6d.xn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
21		mapdh6d.yz	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
22		mapdh6d.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
23		mapdh6d.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
24		mapdh6d.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
25		mapdh6d.wn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	mapdh6gN 41215	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩)) = (((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩)) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
27	3, 10, 14	lcdlmod 41065	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
28	24	eldifad 3959	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ 𝑉)
29	3, 5, 14	dvhlvec 40582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
30	17	eldifad 3959	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
31	22	eldifad 3959	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
32	6, 9, 29, 28, 30, 31, 25	lspindpi 21020	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
33	32	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
34	33	necomd 2993	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
35	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 28, 34	mapdhcl 41200	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ∈ 𝐷)
36	23	eldifad 3959	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
37	6, 9, 29, 30, 31, 36, 20	lspindpi 21020	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
38	37	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
39	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 31, 38	mapdhcl 41200	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
40	37	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
41	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 36, 40	mapdhcl 41200	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷)
42	11, 19	lmodass 20759	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ∈ 𝐷 ∧ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷 ∧ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷)) → (((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩)) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ✚ ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))))
43	27, 35, 39, 41, 42	syl13anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩)) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ✚ ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))))
44	26, 43	eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩)) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ✚ ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))))
45	3, 5, 14	dvhlmod 40583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
46	6, 18	lmodvacl 20758	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
47	45, 31, 36, 46	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
48	6, 18, 8, 9, 29, 17, 22, 23, 24, 21, 38, 25	mapdindp1 41193	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
49	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 47, 48	mapdhcl 41200	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) ∈ 𝐷)
50	11, 19	lmodvacl 20758	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷 ∧ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷) → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) ∈ 𝐷)
51	27, 39, 41, 50	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) ∈ 𝐷)
52	11, 19	lmodlcan 20760	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) ∈ 𝐷 ∧ ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) ∈ 𝐷 ∧ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ∈ 𝐷)) → (((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩)) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ✚ ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))) ↔ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))))
53	27, 49, 51, 35, 52	syl13anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩)) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ✚ ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))) ↔ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))))
54	44, 53	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  Vcvv 3471   ∖ cdif 3944  ifcif 4529  {csn 4629  {cpr 4631  ⟨cotp 4637   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6548  ℩crio 7375  (class class class)co 7420  1^st c1st 7991  2^nd c2nd 7992  Basecbs 17180  +_gcplusg 17233  0_gc0g 17421  -_gcsg 18892  LModclmod 20743  LSpanclspn 20855  HLchlt 38822  LHypclh 39457  DVecHcdvh 40551  LCDualclcd 41059  mapdcmpd 41097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-riotaBAD 38425

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-undef 8279  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-0g 17423  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-proset 18287  df-poset 18305  df-plt 18322  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-p0 18417  df-p1 18418  df-lat 18424  df-clat 18491  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-subg 19078  df-cntz 19268  df-oppg 19297  df-lsm 19591  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-invr 20327  df-dvr 20340  df-drng 20626  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lsp 20856  df-lvec 20988  df-lsatoms 38448  df-lshyp 38449  df-lcv 38491  df-lfl 38530  df-lkr 38558  df-ldual 38596  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-llines 38971  df-lplanes 38972  df-lvols 38973  df-lines 38974  df-psubsp 38976  df-pmap 38977  df-padd 39269  df-lhyp 39461  df-laut 39462  df-ldil 39577  df-ltrn 39578  df-trl 39632  df-tgrp 40216  df-tendo 40228  df-edring 40230  df-dveca 40476  df-disoa 40502  df-dvech 40552  df-dib 40612  df-dic 40646  df-dih 40702  df-doch 40821  df-djh 40868  df-lcdual 41060  df-mapd 41098

This theorem is referenced by:  mapdh6iN  41217