Theorem lmodvpncan 20846

Description: Addition/subtraction cancellation law for vectors. (hvpncan 31014 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod4.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmod4.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lmodvaddsub4.m	⊢ − = (-g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodvpncan	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem lmodvpncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 20798	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2		lmod4.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lmod4.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4		lmodvaddsub4.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑊)
5	2, 3, 4	grppncan 18941	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
6	1, 5	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17117  +_gcplusg 17158  Grpcgrp 18843  -_gcsg 18845  LModclmod 20791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-0g 17342  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-lmod 20793

This theorem is referenced by:  lspsolv  21078