Theorem hvpncan 30797

Description: Addition/subtraction cancellation law for vectors in Hilbert space. (Contributed by NM, 7-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvpncan	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem hvpncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvaddcl 30770	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
2		hvsubval 30774	. . 3 ⊢ (((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ 𝐵) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
3	1, 2	sylancom 587	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ 𝐵) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
4		neg1cn 12327	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
5		hvmulcl 30771	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
6	4, 5	mpan 687	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
7	6	ancli 548	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ))
8		ax-hvass 30760	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))))
9	8	3expb 1117	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))))
10	7, 9	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))))
11		hvnegid 30785	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 0ℎ)
12	11	oveq2d 7420	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐴 +ℎ 0ℎ))
13		ax-hvaddid 30762	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 +ℎ 0ℎ) = 𝐴)
14	12, 13	sylan9eqr 2788	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = 𝐴)
15	3, 10, 14	3eqtrd 2770	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7404  ℂcc 11107  1c1 11110  -cneg 11446   ℋchba 30677   +_ℎ cva 30678   ·_ℎ csm 30679  0_ℎc0v 30682   −_ℎ cmv 30683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-hfvadd 30758  ax-hvass 30760  ax-hvaddid 30762  ax-hfvmul 30763  ax-hvmulid 30764  ax-hvdistr2 30767  ax-hvmul0 30768

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11447  df-neg 11448  df-hvsub 30729

This theorem is referenced by:  hvpncan2  30798  mayete3i  31486  lnop0  31724