![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > hvpncan | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Addition/subtraction cancellation law for vectors in Hilbert space. (Contributed by NM, 7-Jun-2004.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
hvpncan | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด +โ ๐ต) โโ ๐ต) = ๐ด) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | hvaddcl 30840 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด +โ ๐ต) โ โ) | |
2 | hvsubval 30844 | . . 3 โข (((๐ด +โ ๐ต) โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด +โ ๐ต) โโ ๐ต) = ((๐ด +โ ๐ต) +โ (-1 ยทโ ๐ต))) | |
3 | 1, 2 | sylancom 586 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด +โ ๐ต) โโ ๐ต) = ((๐ด +โ ๐ต) +โ (-1 ยทโ ๐ต))) |
4 | neg1cn 12362 | . . . . 5 โข -1 โ โ | |
5 | hvmulcl 30841 | . . . . 5 โข ((-1 โ โ โง ๐ต โ โ) โ (-1 ยทโ ๐ต) โ โ) | |
6 | 4, 5 | mpan 688 | . . . 4 โข (๐ต โ โ โ (-1 ยทโ ๐ต) โ โ) |
7 | 6 | ancli 547 | . . 3 โข (๐ต โ โ โ (๐ต โ โ โง (-1 ยทโ ๐ต) โ โ)) |
8 | ax-hvass 30830 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (-1 ยทโ ๐ต) โ โ) โ ((๐ด +โ ๐ต) +โ (-1 ยทโ ๐ต)) = (๐ด +โ (๐ต +โ (-1 ยทโ ๐ต)))) | |
9 | 8 | 3expb 1117 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง (-1 ยทโ ๐ต) โ โ)) โ ((๐ด +โ ๐ต) +โ (-1 ยทโ ๐ต)) = (๐ด +โ (๐ต +โ (-1 ยทโ ๐ต)))) |
10 | 7, 9 | sylan2 591 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด +โ ๐ต) +โ (-1 ยทโ ๐ต)) = (๐ด +โ (๐ต +โ (-1 ยทโ ๐ต)))) |
11 | hvnegid 30855 | . . . 4 โข (๐ต โ โ โ (๐ต +โ (-1 ยทโ ๐ต)) = 0โ) | |
12 | 11 | oveq2d 7440 | . . 3 โข (๐ต โ โ โ (๐ด +โ (๐ต +โ (-1 ยทโ ๐ต))) = (๐ด +โ 0โ)) |
13 | ax-hvaddid 30832 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (๐ด +โ 0โ) = ๐ด) | |
14 | 12, 13 | sylan9eqr 2789 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด +โ (๐ต +โ (-1 ยทโ ๐ต))) = ๐ด) |
15 | 3, 10, 14 | 3eqtrd 2771 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด +โ ๐ต) โโ ๐ต) = ๐ด) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 = wceq 1533 โ wcel 2098 (class class class)co 7424 โcc 11142 1c1 11145 -cneg 11481 โchba 30747 +โ cva 30748 ยทโ csm 30749 0โc0v 30752 โโ cmv 30753 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2698 ax-sep 5301 ax-nul 5308 ax-pow 5367 ax-pr 5431 ax-un 7744 ax-resscn 11201 ax-1cn 11202 ax-icn 11203 ax-addcl 11204 ax-addrcl 11205 ax-mulcl 11206 ax-mulrcl 11207 ax-mulcom 11208 ax-addass 11209 ax-mulass 11210 ax-distr 11211 ax-i2m1 11212 ax-1ne0 11213 ax-1rid 11214 ax-rnegex 11215 ax-rrecex 11216 ax-cnre 11217 ax-pre-lttri 11218 ax-pre-lttrn 11219 ax-pre-ltadd 11220 ax-hfvadd 30828 ax-hvass 30830 ax-hvaddid 30832 ax-hfvmul 30833 ax-hvmulid 30834 ax-hvdistr2 30837 ax-hvmul0 30838 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2937 df-nel 3043 df-ral 3058 df-rex 3067 df-reu 3373 df-rab 3429 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4325 df-if 4531 df-pw 4606 df-sn 4631 df-pr 4633 df-op 4637 df-uni 4911 df-iun 5000 df-br 5151 df-opab 5213 df-mpt 5234 df-id 5578 df-po 5592 df-so 5593 df-xp 5686 df-rel 5687 df-cnv 5688 df-co 5689 df-dm 5690 df-rn 5691 df-res 5692 df-ima 5693 df-iota 6503 df-fun 6553 df-fn 6554 df-f 6555 df-f1 6556 df-fo 6557 df-f1o 6558 df-fv 6559 df-riota 7380 df-ov 7427 df-oprab 7428 df-mpo 7429 df-er 8729 df-en 8969 df-dom 8970 df-sdom 8971 df-pnf 11286 df-mnf 11287 df-ltxr 11289 df-sub 11482 df-neg 11483 df-hvsub 30799 |
This theorem is referenced by: hvpncan2 30868 mayete3i 31556 lnop0 31794 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |