HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvpncan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvpncan 30867
Description: Addition/subtraction cancellation law for vectors in Hilbert space. (Contributed by NM, 7-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvpncan ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž ๐ต) = ๐ด)

Proof of Theorem hvpncan
StepHypRef Expression
1 hvaddcl 30840 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹)
2 hvsubval 30844 . . 3 (((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž ๐ต) = ((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)))
31, 2sylancom 586 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž ๐ต) = ((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)))
4 neg1cn 12362 . . . . 5 -1 โˆˆ โ„‚
5 hvmulcl 30841 . . . . 5 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹)
64, 5mpan 688 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹)
76ancli 547 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง (-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹))
8 ax-hvass 30830 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง (-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)) = (๐ด +โ„Ž (๐ต +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต))))
983expb 1117 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง (-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)) = (๐ด +โ„Ž (๐ต +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต))))
107, 9sylan2 591 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)) = (๐ด +โ„Ž (๐ต +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต))))
11 hvnegid 30855 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ต +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)) = 0โ„Ž)
1211oveq2d 7440 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด +โ„Ž (๐ต +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต))) = (๐ด +โ„Ž 0โ„Ž))
13 ax-hvaddid 30832 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด +โ„Ž 0โ„Ž) = ๐ด)
1412, 13sylan9eqr 2789 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด +โ„Ž (๐ต +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต))) = ๐ด)
153, 10, 143eqtrd 2771 1 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž ๐ต) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7424  โ„‚cc 11142  1c1 11145  -cneg 11481   โ„‹chba 30747   +โ„Ž cva 30748   ยทโ„Ž csm 30749  0โ„Žc0v 30752   โˆ’โ„Ž cmv 30753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-hfvadd 30828  ax-hvass 30830  ax-hvaddid 30832  ax-hfvmul 30833  ax-hvmulid 30834  ax-hvdistr2 30837  ax-hvmul0 30838
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-ltxr 11289  df-sub 11482  df-neg 11483  df-hvsub 30799
This theorem is referenced by:  hvpncan2  30868  mayete3i  31556  lnop0  31794
  Copyright terms: Public domain W3C validator