MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grppncan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grppncan 18184
Description: Cancellation law for subtraction (pncan 10886 analog). (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubadd.p + = (+g𝐺)
grpsubadd.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grppncan ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) 𝑌) = 𝑋)

Proof of Theorem grppncan
StepHypRef Expression
1 simp1 1132 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
2 simp2 1133 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
3 simp3 1134 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
4 grpsubadd.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
5 grpsubadd.p . . . 4 + = (+g𝐺)
6 grpsubadd.m . . . 4 = (-g𝐺)
74, 5, 6grpaddsubass 18183 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) 𝑌) = (𝑋 + (𝑌 𝑌)))
81, 2, 3, 3, 7syl13anc 1368 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) 𝑌) = (𝑋 + (𝑌 𝑌)))
9 eqid 2821 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
104, 9, 6grpsubid 18177 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → (𝑌 𝑌) = (0g𝐺))
1110oveq2d 7166 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → (𝑋 + (𝑌 𝑌)) = (𝑋 + (0g𝐺)))
12113adant2 1127 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + (𝑌 𝑌)) = (𝑋 + (0g𝐺)))
134, 5, 9grprid 18128 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 + (0g𝐺)) = 𝑋)
14133adant3 1128 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + (0g𝐺)) = 𝑋)
158, 12, 143eqtrd 2860 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) 𝑌) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  cfv 6350  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  +gcplusg 16559  0gc0g 16707  Grpcgrp 18097  -gcsg 18099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102
This theorem is referenced by:  grpnpcan  18185  grppnpcan2  18187  ssnmz  18312  conjnmz  18386  cntrsubgnsg  18465  sylow2blem3  18741  sylow3lem2  18747  subgdisj1  18811  pgpfac1lem3  19193  lmodvpncan  19681  opnsubg  22710  lfl0  36195  nelsubgcld  39122
  Copyright terms: Public domain W3C validator