Theorem grppncan 19270

Description: Cancellation law for subtraction (pncan 11590 analog). (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grppncan	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑌) = 𝑋)

Proof of Theorem grppncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
2		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		grpsubadd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpsubadd.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		grpsubadd.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
7	4, 5, 6	grpaddsubass 19269	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑌) = (𝑋 + (𝑌 − 𝑌)))
8	1, 2, 3, 3, 7	syl13anc 1400	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑌) = (𝑋 + (𝑌 − 𝑌)))
9		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
10	4, 9, 6	grpsubid 19263	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 − 𝑌) = (0g‘𝐺))
11	10	oveq2d 7459	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑌 − 𝑌)) = (𝑋 + (0g‘𝐺)))
12	11	3adant2 1149	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑌 − 𝑌)) = (𝑋 + (0g‘𝐺)))
13	4, 5, 9	grprid 19208	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (0g‘𝐺)) = 𝑋)
14	13	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (0g‘𝐺)) = 𝑋)
15	8, 12, 14	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑌) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457  0_gc0g 17639  Grpcgrp 19173  -_gcsg 19175

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178

This theorem is used by:  grpnpcan  19271  grppnpcan2  19273  ssnmz  19405  conjnmz  19495  cntrsubgnsg  19587  sylow2blem3  19866  sylow3lem2  19872  subgdisj1  19935  pgpfac1lem3  20323  lmodvpncan  21220  opnsubg  24457  lfl0  40314  nelsubgcld  43754